5.3. Abstrakte Anwendungsaufgaben

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1 Aufgabe.. Abstrakte Anwendungsaufgaben In den Raum zwischen der x-achse und dem Graphen von f(x) = x x + soll ein Rechteck möglichst großer Fläche gelegt werden, dessen Ecken auf dem Graphen liegen. Wie breit ist das Rechteck? : Die u f(u) ist maximal für u =. Aufgabe In den Raum zwischen der x-achse und dem Graphen von f(x) = x + x 9 soll ein Rechteck möglichst großer Fläche gelegt werden, dessen Ecken auf dem Graphen liegen. Wie breit ist das Rechteck? : Die Fläche A(u) = u f(u) ist monoton steigend, so dass das Rechteck so breit wie möglich bemessen wird, ohne den Graphen zu schneiden. Die Ecken liegen dann auf den Hochpunkten von f bei u =. Aufgabe Die Senkrechte x = u mit 0 u schneidet die x-achse im Punkt P und f(x) = x + x im Punkt Q. Für welches u wird die Fläche des Dreiecks OPQ maximal? (u 0) (f(u) g(u)) = u + u, A (u) = u + u, A (u) = 6u + relatives Max bei u =,67 (außerhalb) mit A(,67) 9,, Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A() = absolutes Max bei u =. Aufgabe () In den Raum zwischen der x-achse und der Parabel f(x) = x x soll ein rechtwinkliges Dreieck maximaler Fläche gelegt werden. Dabei soll eine Ecke im Ursprung liegen und eine Kathete auf der x-achse verlaufen. Gib die Breite, die Höhe und die Fläche dieses Dreiecks an. (u 0) (0 f(u)) = u + u () Ableitungen A (u) = u + u und A (u) = u + () 6 relatives Max bei u =,67 LE mit A( ) = 7,7 FE und f( 6 ) = 9 Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A() = 0 absolutes Max bei u =,7 LE () () Aufgabe () In den Raum zwischen der x-achse und der Parabel f(x) = x x soll ein rechtwinkliges Dreieck maximaler Fläche gelegt werden. Dabei soll eine Ecke im Ursprung liegen und eine Kathete auf der x-achse verlaufen. Gib die Breite, die Höhe und die Fläche dieses Dreiecks an.

2 (0 u) (f(u) 0) = u + u () Ableitungen A (u) = u + u und A (u) = u + () 6 relatives Max bei u =,67 LE mit A( ) = 7,7 FE und f( 6 ) = 9 Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A( ) = 0 absolutes Max bei u =,7 LE () () Aufgabe 6 Die Senkrechte x = u schneidet f(x) = 0,x im Punkt B und g(x) = 0,x im Punkt C. Außerdem ist der Punkt A( ) gegeben. Für welches u mit 0 u wird die Fläche des Dreiecks ABC maximal? ( u) (f(u) g(u)) = u + u, A (u) = u + u, A (u) = u. relatives Max bei u =, mit A(,) 0,6, Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A() = 0 absolutes Max bei u =. Aufgabe 7 In den Raum zwischen den Parabeln f(x) = 0,x und g(x) = 0,x + soll ein Rechteck maximaler Fläche einbeschrieben werden, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Welchen Flächeninhalt hat dieses Rechteck? Fläche A(u) = g h = (u ( u)) (g(u) f(u)) = u + u () Ableitungen: A (u) = 6u +, A (u) = u. () relatives Max bei u =, mit Breite g =,, Höhe h = g( ) f( ) = Fläche A(, und 6 ) = 6,6 () Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A() = 0 absolutes Max bei u = Aufgabe () In den Raum zwischen der Parabeln f(x) = x + und der x-achse soll ein Rechteck maximaler Fläche einbeschrieben werden, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen und das den Punkt P( ) nicht enthält. Welchen Flächeninhalt hat dieses Rechteck? Hinweis: Zeichne die Parabel und den Punkt mit LE = cm. Skizziere dann einige mögliche Rechtecke. Fläche A(u) = g h = (u ( u)) (f(u) 0) = u f(u) = u + u () Erlaubter Bereich 0 u oder 0 f(u) () rel Max bei u =, > mit f( ) =,7 > liegt außerhalb des erlaubten Bereiches () Das maximale Rechteck muss also an der Grenze des erlaubten Bereiches liegen, d.h., entweder u = und f(u) = mit Fläche A() = 6 FE oder u = und f(u) = mit Fläche A( ) =,6 FE. Die erste Möglichkeit ist besser! () ()

3 Aufgabe 9 Gegeben sei die Funktion f(x) = (x x ). Bestimme das u 0, für das das rechtwinklige Dreieck mit den Ecken A(u f(u)), B(u 0) und C( 0) einen maximalen Flächeninhalt bekommt. Dreiecksfläche: A(u) = b h = ( u) f (u) = (u 7u u + 7). Gesucht: absolutes Maximum von A(u) im Bereich 0 u. kein relatives Maximum im Bereich vorhanden. (Hochpunkt bei u = und Tiefpunkt bei u = ) Bereichsgrenzen: A(0) = Aufgabe 0 () 7 und A() = 0 absolutes Maximum bzw. maximale Fläche für u = 0. Gegeben sei die Funktion f(x) = 6 x + 9 x. Bestimme das u ε [0, ], für das das rechtwinklige Dreieck mit den Ecken A(u f(u)), B(u 0) und C(0 0) einen maximalen Flächeninhalt bekommt. Dreiecksfläche: A(u) = b h = u f (u) = 9 u + u. () 7 relatives Maximum (A (u) = 0 und A (u) < 0) bei u = 6 mit A( 6) =. () (Ein weiterer Hochpunkt liegt außerhalb des Bereiches bei u = 6 ;ein Tiefpunkt liegt außerdem an der Bereichsgrenze bei u = 0) Bereichsgrenzen: A(0) = 0 und A( Aufgabe ) = 0 absolutes Maximum bzw. maximale Fläche bei u = 6. () Gegeben sind die beiden Parabeln f(x) = x und g(x) = x + x sowie der Punkt A( 0). Die Senkrechte x = u mit 0 u schneidet f im Punkt B und g im Punkt C. a) Für welches u wird die Länge der Strecke BC maximal? (7) b) Für welches u wird die Fläche des Dreiecks ABC maximal? () Hinweis: g hat den Scheitelpunkt S g ( ). a) BC(u) = g(u) f(u) = u + u, BC (u) = u + und BC (u) = relatives Maximum (BC (u) = 0 und BC (u) < 0) bei u =. Bereichsgrenzen: BC(0) = 0, BC() =, BC() = 0 absolutes Maximum bei u =. b) A(u) = [g(u) f(u)] [u ( )] = [ u + u] [u + ] = u + u, A (u) = u + und A (u) = 6u relatives Maximum (A (u) = 0 und A (u) < 0) bei u =. Bereichsgrenzen: A(0) = 0, A( ) =, A() = 0 absolutes Maximum bei u =. 6 Aufgabe Gegeben sind die beiden Parabeln f(x) = x x und g(x) = x sowie der Punkt A( 0). Die Senkrechte x = u mit 0 u schneidet f im Punkt B und g im Punkt C. a) Für welches u wird die Länge der Strecke BC maximal? (7) b) Für welches u wird die Fläche des Dreiecks ABC maximal? () Hinweis: f hat den Scheitelpunkt S f ( ).

4 gleicher Ansatz, gleiche Rechnung, gleiches Ergebnis wie in Aufgabe Aufgabe Gegeben sind die beiden Parabeln f(x) = x und g(x) = x + sowie der Punkt A( 0). Die Senkrechte x = u mit u schneidet f im Punkt B und g im Punkt C. Für welches u wird die Fläche des Dreiecks ABC maximal? Berechnen Sie die maximale Fläche. A(u) = [g(u) f(u)] [ u] = [ u + ] [ u + ] = u u u +, A (u) = u u und A (u) = 6u relatives Maximum (A (u) = 0 und A (u) < 0) bei u =. Bereichsgrenzen: A( ) = 0, 6 A( ) =, A() = 0 absolutes Maximum bei u = 7 Aufgabe Gegeben sind die beiden Parabeln f(x) = x 6 und g(x) = x + sowie der Punkt A( 0). Die Senkrechte x = u schneidet g im Punkt B und f im Punkt C. Für welches u wird die Fläche des Dreiecks ABC maximal? Berechnen Sie die maximale Fläche. A(u) = [g(u) f(u)] [u ( )] = [ u + ] [u + ] = u u + u +, A (u) = u u + und A (u) = 6u relatives Maximum (A (u) = 0 und A (u) < 0) bei u =. Bereichsgrenzen: A( ) = 0, 6 A( ) =, A() = 0 absolutes Maximum bei u = 7 Aufgabe (0) Gegeben sind die Parabeln f(x) = x + und g(x) = x +. Zeichne die Schaubilder von f und g in ein gemeinsames Koordinatensystem mit x, x und LE = cm. Für welches u mit 0 < u < hat das Rechteck mit den Ecken E ( u f( u)), E (u f(u)), E (u g(u)) und E ( u g( u)) einen maximalen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser Flächeninhalt? A(u) = b h = u [f(u) g(u)] = u + u A (u) = u + und A (u) = u rel Max bei u = mit A() = FE. Randwerte: A(0) = A( ) = 0 abs. Max bei u = Aufgabe 6 (0) Gegeben sind die Parabeln f(x) = x + und g(x) = x +. Zeichne die Schaubilder von f und g in ein 6 gemeinsames Koordinatensystem mit x, x und LE = cm. Für welches u mit 0 < u < 6 hat das Rechteck mit den Ecken E ( u f( u)), E (u f(u)), E (u g(u)) und E ( u g( u)) einen maximalen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser Flächeninhalt? A(u) = b h = u [f(u) g(u)] = u + 6u A (u) = u + 6 und A (u) = 6u rel Max bei u = A( ) = FE. Randwerte: A(0) = A( 6 ) = 0 abs. Max bei u = mit

5 Aufgabe 7 () In den Raum zwischen der x-achse und dem Schaubild von f (x) = (x + ) (x ) soll ein rechtwinkliges Dreieck gelegt werden, dessen Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt, den dieses Dreieck haben kann. A(u) = [f (u) 0] [ u] = 0 (u + ) (u ) = 0 (u u + 6u + 0u + ) () A (u) = (u 6u + u + 0) = (u + )(u )(u ) (0,) A (u) = 6 (u u + ) = 6 (u )(u + + ) (0, rel Max bei u = mit A() = 0 Aufgabe () FE. Grenzen: A( ) = A() = 0 abs Max bei u = () In den Raum zwischen der x-achse und dem Schaubild von f (x) = (x ) (x ) soll ein rechtwinkliges Dreieck gelegt werden, dessen Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt, den dieses Dreieck haben kann. A(u) = [f (u) 0] [ u] = 0 (u ) (u ) = 0 (u u + 6u 60u + ) () A (u) = (u 9u + u ) = (u )(u )(u ) (0,) A (u) = 6 (u 6u + ) = 6 (u )(u + + rel Max bei u = mit A() = 6 0 ) (0,) FE. Grenzen: A() = A() = 0 abs Max bei u = ()