12. EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENTIALRECHNUNG

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1 . EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENTIALRECHNUNG.. Problemstellug (a) Die mittlere Äderugsrate Uhrzeit t Temperatur T(t) I ebesteheder Tabelle sid die zu verschiedee Tageszeite gemessee Temperature a eiem bestimmte Ort agegebe. Betrachtet ma i verschiedee Zeititervalle z.b. [8;], [;4] ud [0;6] die Temperaturäderuge, so erhält ma folgede Werte: [8;]: [;4]: [0;6]: Diese Werte habe i dieser Form keie große Aussagekraft, da die uterschiedliche Läge der Zeititervalle icht berücksichtigt wurde. Soll die Temperaturäderug als Vergleichsmaß diee, so muß sie auf ei i alle Fälle gleiches Zeititervall, z.b. auf eie Stude, umgerechet werde. So ergibt sich: [8;]: : 4 [;4]: 4 4 : [0;6]: : 6 0,67 Nu ist es möglich, die Äderug der Temperatur pro Stude i de gegebee Zeititervalle azugebe. Verallgemeiert ma die obige Berechug ud betrachtet darüberhiaus die Zuordug der Temperatur zu eier bestimmte Zeit als reelle Fuktio f(), so läßt sich defiiere: Mittlere Äderugsrate oder Differezequotiet im Itervall [a;b]: f (b) f (a) f ( ) b a Das Beispiel zeigt bereits, daß der Differezequotiet über ei großes Itervall ur weig über de Verlauf der Fuktio i diesem Itervall aussagt. Je kleier ma das Itervall wählt, umso mehr drückt der Differezequotiet die aktuelle Tedez über de weitere Verlauf der Fuktio aus. Im vorige Beispiel kote ma jedoch die Itervallgröße icht kleier als eie Stude wähle, da icht ausreiched Date zur Verfügug stade. Das ächste Beispiel soll us dies jedoch ermögliche. - -

2 Betrachtet ma de Weg, de ei frei falleder Körper zurücklegt, da ka dieser Weg s i Abhägigkeit vo der Zeit t (i Sekude) agegebe werde: s(t) 5t. Die Geschwiigkeit des Körpers ergibt sich als Verhältis vo zurückgelegtem Weg zur vergagee Zeit i eiem bestimmte Zeititervall. Will ma die Geschwidigkeit zu eiem bestimmte Zeitpukt z.b. t 3 ermittel, so ka ma ur das Itervall um diese Zeitpukt sehr klei wähle, um eie Näherug für diese Geschwidigkeit, der sogeate Mometageschwidigkeit, zu ermittel. Zeititervall [3;z] Mittlere Geschwidigkeit [3;4] 35 [3;3,5] 3,5 [3;3,] 30,5 [3;3,0] 30,05 [3;3,00] 30,005 Der Differezequotiet läßt sich diesmal auch allgemei aschreibe: sz ( ) s( 3) 5z 45 Mittlere Geschwidigkeit v( 3; z) z 3 z 3 Je kleier das Itervall [3;z] wird, umso mehr ähert sich der Wert für die mittlere Geschwidigkeit i diesem Itervall dem Wert 30m/s. Es ist us jedoch icht möglich, für z 3 selbst die Mometageschwidigkeit zu bereche, da dies zu eier Divisio durch Null führt. (b) Das Tageteproblem Stellt ma eie Fuktio f() wie die vorige graphisch dar ud wählt zwei Pukte P(a f(a)) ud Q(b f(b)), so läßt sich der Differezequotiet wiederum iterpretiere. Das Verhältis vo f() zu etspricht geau dem Astieg der Gerade durch P ud Q, also der Sekate s i Bezug auf de Fuktiosgraphe. Läßt ma de eie Radpukt a des Itervalls [a;b] fi ud verkleiert das Itervall durch Veräderug des Radpuktes b (siehe voriges Beispiel), so äher sich die Werte für de Astieg wiederum eiem Wert. Die Sekate selbst äher sich immer mehr der Gerade, die ur de Pukt P mit der Fuktio (i der Umgebug vo P) gemeisam hat, der sogeate Tagete a de Fuktiosgraphe im Pukt P. - -

3 .. Der Differetialquotiet (a) Die Äderugsrate Die Berechug des Differezequotiete läßt sich zusammefassed so beschreibe: f ( ) fz ( ) f ( ) Bei eier reelle Fuktio f() wird folgeder Quotiet gebildet. z Dabei lasse sich die Werte für z ubegrezt dem fie Wert äher, wobei z atürlich ie de Wert vo aehme darf. Nähert sich bei dieser Berechug der Differezequotiet ebefalls eiem bestimmte Wert, so bezeichet ma diese Wert als die Äderugsrate oder de Differetialquotiete. fz f f Der Grezwert f ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) z z 0 heißt Äderugsrate oder Differetialquotiet der Fuktio f a der Stelle. Die Äderugsrate f () ka als ei Maß für die Stärke bzw. Schelligkeit der Äderug vo f() a der Stelle agesehe werde. I Alehug a das Tageteproblem ka die Äderugsrate als Astieg der Tagete vo f() a der Stelle agesehe werde. Die Gerade durch de Pukt X( f()) mit der Steigug f () ist die Tagete a de Graphe vo f. Ma et f () auch de Astieg der Fuktio f a der Stelle. Zur Berechug des Differetialquotiete vorerst bei Potezfuktioe geht ma folgedermaße vor: fz ( ) f ( ) z ( z+ )( z ) z+ z.b. f() z z z f ( ) lim( z+ ) + fz ( ) f ( ) z oder allgemei für f() z z z 3 z + z + z z + f ( ) lim( z + z + z z + ) z 3 Der Differetialquotiet für Potezfuktioe mit atürliche Epoete lautet: f ( ), f ( ) - 3 -

4 Da die Berechug für keie bestimmte Wert vo durchgeführt wurde, ist sie für alle reelle gültig. Dadurch ist mit f wieder eie reelle Fuktio festgelegt, ma bezeichet sie als (erste) Ableitug vo f. De recherische Vorgag bezeichet ma etspreched als ableite bzw. differeziere. (b) Differetatiosregel Ist eie Fuktio f ud ihre Ableitug f bekat, so gilt für die Fuktio c f (c R): c f( z) c f( ) fz ( c f) ( ) lim lim ( ) f c ( ) c f ( ) z z z z ( c f) c f ( c R) Sid zwei Fuktioe f ud g sowie dere Ableituge f ud g bekat, so gilt für die Fuktio f + g: ( ) ( ) lim (( fz ) + gz ( )) (( f ) + g ( )) fz lim ( ) f ( ) + gz ( ) g f + g ( ) z z z z fz lim ( ) f ( ) gz lim ( ) g + ( ) f ( ) + g ( ) z z z z ( f + g) f + g Diese Summeregel gilt für alle differezierbare Fuktioe ud läßt sich atürlich auf eie ubegrezte Azahl vo Fuktioe verallgemeier. Sie ermöglicht us vor allem die Ableitug beliebiger Polyomfuktioe, da sich diese aus Potezfuktioe zusammesetze. Im folgede wurde die Regel für die Ableitug der Potezfuktio für eiige Soderfälle agewedet. f ( ), f ( ) ud f( ) c, f ( ) 0 Aufgrud der historische Etwicklug habe sich für die Bildug des Differetialquotiete uterschiedliche Schreibweise ud Symbole ergebe. Ist die Fuktio durch ihre Fuktiosgleichug y f() gegebe, so schreibt ma für die Ableitug y f (). Auch die vo Leibiz verwedete Schreibweise dy d für de Differetialquotiete ist üblich, wobei diese Symbolik für keie Bruch, soder für dy ach d steht ud damit im spezielle zum Ausdruck brigt, daß y ach der Variable abgeleitet wird

5 .3. Newtosches Näherugsverfahre Die Mittel der Differetialrechug ermögliche ei verbessertes Verfahre zur Lösug vo Gleichuge höhere Grades, das sogeate Newtosche Näherugsverfahre. Dieses Verfahre hat i seie Grudzüge Ählichkeit zur Reagula falsi, statt der Sekate wird die Tagete zum Auffide eier verbesserte Lösug für eie Startwert verwedet. De Startwert fidet ma wie auch bei der Regula falsi als Wert i eiem Itervall [a;b], sodaß f(a) ud f(b) uterschiedliches Vorzeiche habe. Bezeichet ma de Startwert mit a, so lautet die Gleichug der Tagete im Pukt P(a f(a )): Tagete t: y f( a ) f ( a ) ( a ) Die Nullstelle dieser Tagete ist die verbesserte Näherug a für die Lösug der Gleichug: fa ( ) Nullstelle a a f ( a ) Setzt ma dieses Verfahre fort, ka ma sich der Lösug beliebig geau äher. fa ( ) Newtosches Näherugsverfahre (Nullstelle) a+ a f ( a ) 3 Beispiel: Bereche Sie eie Nullstelle vo f( ) mit a,5 auf vier Kommastelle geau. f ( ) a f(a ) f (a ) a +,5 0,5 3,75,4666,4666-0,0053 4,0594,4679,4679-0,00004,

6 .4. Kurvediskussio Viele Zusammehäge i der Techik ud i der Wirtschaft lasse sich, we auch oft ur als vereifachtes Modell, durch Fuktioe darstelle. Für diese Aweduge sid aber die Eigeschafte ud der Verlauf dieser Fuktio bzw. des Graphe der Fuktio vo großer Bedeutug. Wie im folgede gezeigt wird, stellt die Differetialrechug die mathematische Grudlage zur Utersuchug vo Fuktioe zur Verfügug. Eie solche Utersuchug wird als Kurvediskussio bezeichet. Wir wolle us vorerst wieder ur auf Polyomfuktioe, dere Ableituge wir bereits allgemei gezeigt habe, beschräke. (a) Nullstelle Wie wir bereits bei de lieare Fuktioe ud ihre Aweduge sehe kote, sid oft die Pukte eier Fuktio, dere Fuktioswert gleich Null ist ud die daher auf der -Achse liege, vo erstem Iteresse. Ma errechet diese Stelle, idem ma die Fuktiosgleichug gleich Null setzt. Nullstelle f() 0 y 0 Für lieare ud quadratische Gleichuge sid eideutige Formel zur Lösug bereits hergeleitet worde; Gleichuge höhere Grades sid etweder durch Heraushebe eies Liearfaktors (Wurzelsatz vo Vieta) mittels Polyomdivisio oder durch ei Näherugsverfahre (Regula falsi, Newtosches Näherugsverfahre) zu löse. Hierbei ist zu bedeke, daß die Azahl der reelle Lösuge höchste gleich dem Grad des Polyoms sei ka. Durch Überleguge bezüglich des Vorzeiches ud des Grades des Polyoms ka ma Aussage treffe, ob es überhaupt eie reelle Nullstelle gibt. Eie Wertetabelle ka zumidest helfe, ei Itervall [a;b] zu fide, so daß f(a) ud f(b) ugleiches Vorzeiche habe. Da Polyomfuktioe eie uuterbroche Verlauf habe (siehe auch spätere Abschitt Stetigkeit), muß daher i diesem Itervall eie Nullstelle der Fuktio liege. Umgekehrt müsse jedoch beim Durchgag durch eie Nullstelle die Fuktioswerte icht das Vorzeiche wechsel, ma deke a die Grudparabel f()

7 (b) Etremstelle Im Kapitel über quadratische Gleichuge habe wir de Scheitel eier quadratische Gewifuktio gesucht, weil a dieser Stelle der Gewi am größte war. Im Bezug auf seie Umgebug hat der Scheitel eier quadratische Fuktio eie größere bzw. eie kleiere Fuktioswert als die Pukte liks ud rechts vom Scheitel. Eie derartige Pukt bezeichet ma als lokale Etrempukt; je achdem, ob a de Stelle liks ud rechts größere oder kleiere Fuktioswerte auftrete, spricht ma vo eier lokale Miimumstelle bzw. Maimumstelle. Eie Stelle p heißt lokale Maimumstelle eier reelle Fuktio f, we es eie Umgebug ]p ε;p+ε[ gibt, sodaß f() f(p) für alle ]p ε;p+ε[ gilt. Eie Stelle p heißt lokale Miimumstelle eier reelle Fuktio f, we es eie Umgebug ]p ε;p+ε[ gibt, sodaß f() f(p) für alle ]p ε;p+ε[ gilt. Die Bezeichug lokal soll hierbei zum Ausdruck brige, daß es sich icht automatisch um de größte bzw. kleiste Fuktioswert der Fuktio hadelt. Diese würde ma als globale Etremstelle bzw. als Maimum ud Miimum der Fuktio bezeiche. Augescheilich ist die Tagete a de Graphe i eiem Etrempukt horizotal ud parallel zur - Achse, Ihr Astieg ist also gleich Null; das heißt, daß f (p) 0 gilt

8 Ist p eie lokale Etremstelle, so ist f (p) 0. Umgekehrt gilt allerdigs icht, daß jede Stelle, für die die erste Ableitug gleich Null ist, automatisch eie Etremstelle ist. Die obestehede Zeichug der Fuktio y 3, für die f (0) 0 gilt, hat bei p0 keie Etremstelle, da die obige Bediguge für kei Itervall ]p-ε;p+ε[ erfüllt sid. Die Bedigug f (p) 0 ist also eie otwedige, jedoch keie hireichede Bedigug. Mit de derzeitige Mittel köe wir eie Stelle p da als Etremstelle festlege, we f (p) 0 gilt ud mit eiem Wert liks ud rechts dieser Stelle überprüft wurde, ob beide Fuktioswerte größer oder kleier als der a der Stelle p sid. Damit wird zusätzlich festgestellt, ob es sich um eie Miimum- oder Maimumstelle hadelt. Die Wahl zweier solcher Pukte ka darüberhiaus ur da sivoll erfolge, we alle Stelle p i mit f (p i ) 0 bekat sid. Beispiel: 3 Bereche Sie die Etremstelle vo f( ) f ( ) , 4 P ( 3), E ( ), P ( 3 ) P ( 3 ), E ( 4 3), P ( 5 ) 3 Die Etremstelle sid E ( ) ud E (4-3), wobei es sich bei E um eie lokale Maimumstelle ud bei E um eie lokale Miimumstelle hadelt. Zur Vereifachug der Schreibweise werde lokale Maimumstelle oft als Hochpukte (H) ud lokale Miimumstelle als Tiefpukte (T) bezeichet. (c) Mootoieverhalte Eie reelle Fuktio f heißt streg mooto zuehmed bzw. abehmed, we für alle, eies Itervalls gilt: < f( ) < f( ) bzw. < f( ) > f( ) Eie reelle Fuktio f heißt mooto zuehmed bzw. abehmed, we für alle, eies Itervalls gilt: < f( ) f( ) bzw. < f( ) f( ) - 8 -

9 Aschaulich läßt sich das Mootoieverhalte atürlich auch über die Steigug der Tagete ud damit f formuliere. Ist die Fuktio f i eiem Itervall mooto zuehmed, da ist f () größer oder gleich Null für alle i diesem Itervall. Etspreched umgekehrt gilt atürlich, daß f () kleier oder gleich Null ist, we die Fuktio f i eiem Itervall mooto falled ist. f() mooto zuehmed: f () 0 f() mooto abehmed: f () 0 Für die strege Mootoie gelte diese Aussage etspreched mit > bzw. <, wobei es sich jedoch um keie otwedige, soder um eie hireichede Bedigug hadelt (da es Pukte mit gleichem Astieg gebe ka). Der Wechsel zwische Zuehme ud Abehme vo f() ka u ur da stattfide, we f () gleich Null ist. Die Stelle, für die eierseits f () 0 gilt ud adererseits ei Wechsel des Mootoieverhaltes erfolgt, sid aber die Etremstelle. Durch die Etremstelle werde also Itervalle festgelegt, i dee eie Fuktio f gleiches Mootoieverhalte zeigt. Damit läßt sich u die Bedigug zur Ermittlug eier Etremstelle verfeiert agebe. Eie Stelle p ist da Etremstelle, we f (p) 0 gilt ud a der Stelle p ei Mootoiewechsel stattfidet. Sid p, p,..., p Etremstelle der reelle Fuktio f, so hat die Fuktio i de Itervalle ] ;p ], [p ;p ],..., [p ;+ [ jeweils über das gesamte Itervall gleiches Mootoieverhalte. Das Mootoieverhalte wechselt jeweils vo Itervall zu Itervall. Beispiel: 3 Bestimme Sie das Mootoieverhalte vo f( ) f ( ) , 4 f () 9, f ( 3) 3, f ( 5) 9 H( ), T( 4 3) Diesmal wurde die Etscheidug, ob a der Stelle p eie Etremstelle vorliegt ud weiterführed ob es sich um eie Hochpukt oder Tiefpukt hadelt, mittels der der Ableitug f getroffe. Somit ergibt sich: - 9 -

10 ] ; ] mooto zuehmed, da z.b. f () 9 > 0 [ 4 ; ] mooto abehmed, da z.b. f (3) -3 < 0 [4;+ [ mooto zuehmed, da z.b. f (5) 9 > 0 Zusammefassed läßt sich daher über de Zusammehag zwische eier Fuktio ud ihrer Ableitug folgede Aussage treffe: Die (erste) Ableitug eier Fuktio gibt Auskuft über das Zu- ud Abehme dieser Fuktio. (d) Die zweite Ableitug Im folgede wolle wir us och geauer mit de Steiguge der Tagete eier Fuktio beschäftige. Errechet ma die Steiguge der Tagete eier Fuktio, so ka ma bei diese Werte wiederum ei Zu- ud Abehme feststelle. Folgede Tabelle macht dies für die bisherige Beispielsfuktio f() deutlich: f () Die Tabelle zeigt, daß die Werte für die Steigug der Tagete afags abehme, bis sie bei 3 eie scheibare Tiefstad erreiche, ab da ehme die Werte wieder zu. Bei dieser Fuktio ergibt sich zufälligerweise auch eie Symmetrie der Werte. Will ma das Zu- ud Abehme der Steiguge eakt beschreibe, so bediet ma sich des obe ageführte Zusammehags zwische eier Fuktio ud ihrer Ableitug. Sieht ma f als die Fuktio, die die Steigug wiedergibt, so beschreibt die Ableitug vo f, also f, das Zu- ud Abehme dieser Steigug. Damit wird die zweite Ableitug eier Fuktio zur eifache Möglichkeit, eie Stelle p als Etremstelle zu verifiziere. Eie Stelle p, für die f (p) 0 gilt ud f (p) größer oder kleier Null ist, ist eie lokale Etremstelle vo f

11 Da sich beim Durchgag durch eie Etremstelle eier Fuktio f das Vorzeiche der erste Ableitug f ädert (Mootoiewechsel), ehme die Steiguge der Tagete bei diesem Durchgag etweder ab oder zu. Dieses Verhalte wird aber geau durch die zweite Ableitug beschriebe. Da beim Durchgag durch eie Maimumstelle die Steiguge der Tagete abehme, ist der Wert der zweite Ableitug a dieser Stelle kleier Null; etspreched umgekehrt ist der Wert der zweite Ableitug bei eier Miimumstelle größer Null. Lokale Maimumstelle: f (p) 0 ud f (p) < 0, lokale Miimumstelle: f (p) 0 ud f (p) > 0 Auch diese Bedigug ist ur eie hireichede, da im Falle vo f (p) 0 ud f (p) 0 keie zuverlässige Aussage über die Stelle p getroffe werde ka. I diesem Fall ist eie Etscheidug ur über die Vorzeiche vo f beim Durchgag durch die Stelle p möglich (ma deke a die Fälle f() 3 bzw. f() 4 ). Beispiel: 3 Bestimme Sie die Etremstelle vo f( ) f ( ) , 4 f ( ) 6 8 f ( ) 6 < 0, f ( 4) 6 > 0 H( ), T( 4 3) Verwedet ma die zweite Ableitug zur Verifizierug der Etremstelle, so ist also die wesetliche Bedigug hierbei, daß die zweite Ableitug a dieser Stelle icht gleich Null ist, da sost keie Etscheidug mittels zweiter Ableitug getroffe werde ka. Zusätzlich gibt das Vorzeiche der zweite Ableitug a dieser Stelle och Auskuft, ob es sich um eie lokale Maimum- oder Miimumstelle hadelt. - -

12 (e) Wedestelle Der vorige Abschitt hat gezeigt, daß die zweite Ableitug f eier Fuktio f das Zu- ud Abehme der Steigug, die ja durch f gegebe ist, beschreibt. Wiederum sid die Stelle, a dee ei Wechsel zwische Zu- ud Abehme vo f stattfidet, dadurch bestimmt, daß auf jedefall f 0 gelte muß. Diese Stelle bezeichet ma als Wedestelle. Ist p eie Wedestelle, so ist f (p) 0. Eie Wedestelle ist somit eie Etremstelle der erste Ableitug f eier Fuktio f. Der vorige Abschitt hat scho gezeigt, daß der Wert der Steigug a dieser Stelle eie Tiefwert oder Hochwert aimmt. Wiederum ist die Bedigug f (p)0 och icht ausreiched, um eie Wedestelle zu fide. Aalog zum Auffide vo Etremstelle vo f muß u bei der zweite Ableitug ei Vorzeichewechsel beim Durchgag durch die Wedestelle erfolge. Eie Stelle p ist da Wedestelle, we f (p) 0 gilt ud beim Durchgag durch p ei Vorzeichewechsel vo f stattfidet. Ählich zur Überprüfug der Etremstelle vo f i der zweite Ableitug köe die Wedestelle mittels der dritte Ableitug verifiziert werde. I diesem Fall ist aber ur vo Bedeutug, daß die dritte Ableitug a dieser Stelle ugleich Null ist. Eie Stelle p, für die f (p) 0 gilt ud f ugleich Null ist, ist eie Wedestelle. Auch diese Bedigug ist ur hireiched, da im Falle f (p) 0 ud f (p) 0 keie zuverlässige Aussage über die Stelle p getroffe werde ka. I diesem Fall ist eie Etscheidug wieder ur über die Vorzeiche vo f beim Durchgag durch die Stelle p möglich (ma deke a die Fälle f() 4 bzw. f() 5 ). 3 Beispiel: Bestimme Sie die Wedestelle vo f( ) f ( ) , f ( ) f 6, f ( 3) 6 0 W( 3 ) - -

13 (f) Krümmugsverhalte Ählich wie die erste Ableitug f eier Fuktio f als ei Maß für die Stärke der Äderug der Fuktio f agesehe wird, ist die zweite Ableitug f eier Fuktio f als Maß für die Stärke der Äderug vo f, der Steigug, zu verstehe. Die Stärke, wie sich die Steigug ädert, gibt eier Kurve aber eie charakteristische Verlauf bezüglich ihrer Krümmug. Die zweite Ableitug ka also zur Bestimmug des Krümmugsverhalte des Graphe eier Fuktio f heragezoge werde. Für die weitere Betrachtug wolle wir bezüglich der Krümmug des Graphe eier Fuktio ur zwische der Richtug dieser Krümmug uterscheide. Diese Frage ist vergleichbar mit der Frage ach der Richtug des Lekradeischlages beim Fahre etlag des Graphe sowie ach de Pukte, a dee sich diese Richtug ädert. Diese Pukte sig geau a jee Stelle, a dee sich da Zu- ud Abehme der Steiguge der Tagete ädert; es hadelt sich also um die Wedestelle. Somit ergebe sich durch die Wedestelle Itervalle, i dee die Fuktio f gleiches Krümmugsverhalte zeigt; sie ist dort rechtsgekrümmt oder liksgekrümmt. I eiem Bereich, i dem die Steiguge der Tagete abehme ud f () < 0 gilt, ist der Graph der Fuktio rechtgekrümmt; i eiem Bereich, i dem die Steiguge der Tagete abehme ud f () > 0 gilt, ist der Graph der Fuktio liksgekrümmt. f() positiv oder liksgekrümmt: f () > 0 f() egativ oder rechtsgekrümmt: f () < 0 Auch diese Bedigug ist ur hireiched. Eakter müßte ma formuliere, daß der Graph eier Fuktio a eier Stelle p positiv oder liksgekrümmt ist, we i eier Umgebug vo p alle Pukte des Graphe vo f oberhalb der Tagete a der Stelle p liege. Etspreched ist der Graph der Fuktio a eier Stelle p egativ oder rechtsgekrümmt, we i eier Umgebug vo p alle Pukte des Graphe vo f uterhalb der Tagete a der Stelle p liege. Ma spricht auch vo kokaver (positiv) ud koveer (egativ) Krümmug. 3 Beispiel: Bestimme Sie das Krümmugsverhalte vo f( ) f ( ) , f ( ) 6 8, W( 3 ) ] ; 3 ] rechtsgekrümmt, da z.b. f () -6 < 0 [ 3; + [ liksgekrümmt, da z.b. f (4) 6 > 0-3 -

14 (g) Symmetrieeigeschafte Gerade bei der Diskussio vo Polyomfuktioe ka ma zuweile ei Symmetrieverhalte des Graphe feststelle. Hierbei sid folgede Fälle zu uterscheide: Symmetrie bezüglich der -Achse: Eie Kurve ist symmetrisch zur -Achse, we für jede Pukt P( y) auch der Pukt P ( y) Elemet der Kurve ist. Dieser Fall tritt jedoch ur selte auf, da es sich bei dieser Kurve um keie Fuktio hadelt. Beispiel: y Symmetrie bezüglich der y-achse: Eie Kurve ist symmetrisch zur y-achse, we für jede Pukt P( y) auch der Pukt P( y) Elemet der Kurve ist. Es muß also gelte: f ( ) f( ) Dies gilt im spezielle bei de sogeate gerade Polyomfuktioe; das sid jee Polyomfuktioe, die ur gerade Epoete aufweise. 4 Beispiel: y Symmetrie bezüglich des Ursprugs: Eie Kurve ist symmetrisch zum Ursprug, we für jede Pukt P( y) auch der Pukt P( y) Elemet der Kurve ist. Es muß also gelte: f ( ) f( ) Dies gilt im spezielle bei de sogeate ugerade Polyomfuktioe; das sid jee Polyomfuktioe, die ur ugerade Epoete aufweise. Sie verlaufe alle durch de Ursprug. Beispiel: y Symmetrie bezüglich des Wedepuktes: Eie Kurve ist symmetrisch zu ihrem Wedepukt W( w y w ), we für jede Pukt P( y) auch der Pukt P( y y) Elemet der Kurve ist. Bei mehrere Wedepukte gilt die Symmetrie bezüglich der eizele Wedepukte zuweile ur i eiem bestimmte Itervall. Es muß gelte: f ( ) f( ) f ( ) w w w w 3 Beispiel: y mit W( 6) Es ist och azumerke, daß das Zutreffe eier Symmetrieeigeschaft die adere ausschließt (Ausahme: Ursprug ist auch Wedepukt)

15 (h) Zusammefassug Kurvediskussio Hireichede Bedigug Notwedige Bedigug Nullstelle f() 0 f() 0 Etremstelle f () 0 ud f () 0 f () 0 ud Vorzeichewechsel vo f () beim Durchgag durch die Etremstelle lokale Maimumstelle f () 0 ud f () < 0 f( ε) f() ud f(+ε) f() für eie Umgebug ] ε;+ε[ lokale Miimumstelle f () 0 ud f () > 0 f( ε) f() ud f(+ε) f() für eie Umgebug ] ε;+ε[ Mootoieverhalte zuehmed abehmed f () 0 mooto f () > 0 streg mooto f () 0 mooto f () < 0 streg mooto < f( ) f( ) mooto < f( ) < f( ) streg mooto < f( ) f( ) mooto < f( ) > f( ) streg mooto Wedestelle f () 0 ud f () 0 f () 0 ud Vorzeichewechsel vo f () beim Durchgag durch die Wedestelle Krümmugsverhalte positiv oder liksgekrümmt f () > 0 Alle Pukte i eier Umgebug ] ε;+ε[ liege oberhalb der Tagete egativ oder rechtsgekrümmt f () < 0 Alle Pukte i eier Umgebug ] ε;+ε[ liege uterhalb der Tagete Diese Auflistug ist ur als Grudschema für Polyomfuktioe zu verstehe. Die Fuktioe i de weitere Abschitte zeige, daß dieses Schema och eier Erweiterug bedarf

16 .5. Umkehraufgabe Sid vo eier Polyomfuktio bestimmte Agabe bekat ud gilt es, die Koeffiziete der Fuktio zu ermittel, so spricht ma vo eier Umkehraufgabe. Die Polyomfuktio wird allgemei etspreched ihres Grades agesetzt ud die bekate Agabe werde da weiterführed i die Fuktio bzw. dere Ableituge eigesetzt. Dies führt zu eiem Gleichugssystem, desse Lösug die Koeffiziete der gesuchte Polyomfuktio sid. Beispiel: Der Graph eier Polyomfuktio vierte Grades hat im Pukt H(0 8) eie Hochpukt ud im Pukt W( 3) eie Wedepukt; die Steigug der Wedetagete ist 4. Ermittel Sie die Fuktiosgleichug. 4 3 f( ) a + b + c + d + e 3 f ( ) 4a + 3b + c + d f ( ) a + 6b + c H(0 8) e 8 W( 3) 6a 8b+ 4c d + e 3 f (0)0 0 d f ( )4 3a+ b 4c + d 4 f ( )0 48a b+ c 0 Gleichugssystem 6a 8b+ 4c 5 3a+ b 4c 4 4a 6b+ c 0 3 Lösug des Gleichugssystems a, b 0, c, d 0, e Fuktiosgleichug f( ) Eie Überprüfug der gefudee Polyomfuktio ka u durch eie aschließede Kurvediskussio erfolge

17 .6. Weitere Differetatiosregel (a) Produktregel Für die Ableitug des Produkts (f g) zweier Fuktioe f ud g gilt: ( f g)( ) ( f g)( z) ( f g)( ) fz ( ) gz ( ) f ( ) g ( ) fz ( ) gz ( ) f( ) gz ( ) + f( ) gz ( ) f( ) g ( ) z z z gz ( ) [ fz ( ) f ( )] + f ( ) [g( z) g ( )] fz ( ) f ( ) gz ( ) g ( ) gz ( ) + f ( ) z z z fz ( ) f ( ) gz ( ) g ( ) [( f g)( )] lim g( z) + f ( ) g ( ) f ( ) + f ( ) g ( ) z z z Produktregel: Sid die Fuktioe f ud g a der Stelle differezierbar, so ist auch die Fuktio f g a der Stelle differezierbar ud es gilt: ( f g) f g+ f g Beispiel: Differeziere Sie die Fuktio h( ) ( + ) ( 3 ). f( ) +, f ( ) + g ( ), g ( ) h ( ) ( + ) ( ) + ( + ) Bei Polyomfuktioe ist das Ausmultipliziere oftmals der schellere Weg. (b) Quotieteregel Für die Ableitug des Quotiete zweier Fuktioe f ud g gilt: f g fz ( ) f ( ) ( ) gz ( ) g ( ) fz ( ) g ( ) f ( ) gz ( ) fz ( ) g ( ) f ( ) g ( ) + f ( ) g ( ) f ( ) gz ( ) z ( z ) g( z) g( ) ( z ) g( z) g( ) g ( ) [ fz ( ) f ( )] f ( ) [g( z) g ( )] fz ( ) f ( ) gz ( ) g ( ) g ( ) f ( ) gz ( ) g ( ) z g( z) g( ) z z - 7 -

18 f g g f f g g f f g ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z gz ( ) g ( ) [g( )] Quotieteregel: Sid die Fuktioe f ud g a der Stelle differezierbar, so ist auch die Fuktio f f a der Stelle differezierbar ud es gilt: g g f g f g g Beispiel: Differeziere Sie die Fuktio h( ). f( ), f ( ) g ( ), g ( ) ( ) h ( ) Die Quotieteregel erlaubt es, die Ableitug der Potezfuktio auf Epoete aus de gaze Zahle zu erweiter. Der Differetialquotiet für Potezfuktioe mit gazzahlige Epoete lautet ( 0): f ( ), f ( ) Beispiel: Differeziere Sie die Fuktio f( ) 3. f( ) f ( ) Da die Variable i diesem Fall im Neer auftritt, muß die Bedigug 0 zusätzlich ageführt sei

19 (c) Wurzelfuktioe Für die Ableitug der allgemeie Wurzelfuktio f ( ) ( R + ) gilt: f ( ) z z z z z z z z z z ( ) lim z z + z z + Der Differetialquotiet für Wurzelfuktioe lautet ( R + ): f ( ), f ( ) Schreibt ma also die Wurzelfuktio auch i der Potezschreibweise a, so läßt sich die Ableitug ach der bekate Regel für Potezfuktioe bilde. Die Variable muß i diesem Fall atürlich aus de positive reelle Zahle sei. (d) Ketteregel Viele Fuktioe sid leichter zu verstehe, we ma sie als ei Hitereiaderausführe zweier Fuktioe f ud g auffaßt. Zum Beispiel ka ma die Fuktio h ( ) + als Zusammesetzug der Fuktioe g ( ) + ud fg ( ) g verstehe. Diese Zusammesetzug wird auch als Verkettug vo Fuktioe bezeichet. Die Fuktio h() läßt sich da als h() f(g()) aschreibe; das heißt, daß zuerst die Fuktio g() ausgeführt wird, ud dieses Ergebis g() im weitere das Argumet für die Fuktio f() darstellt. Für die Ableitug der Verkettug zweier Fuktioe f ud g gilt: fg ( ( )) fgz ( ( )) fg ( ( )) fgz ( ( )) fg ( ( )) gz ( ) g ( ) fgz ( ( )) fg ( ( )) gz ( ) g ( ) z z gz ( ) g ( ) gz ( ) g ( ) z fgz ( ( )) fg ( ( )) gz ( ) g ( ) ( ( )) lim f ( g( ) g ( ) z gz ( ) g ( ) z [ fg ] - 9 -

20 Ketteregel: Sid die Fuktioe f a der Stelle g() ud g a der Stelle differezierbar, so ist auch die Fuktio f(g) a der Stelle differezierbar ud es gilt: [ ] fg ( ) f ( g) g Die Ketteregel besagt, daß die Verkettug f(g()) abgeleitet wird, idem die Fuktio f ugeachtet des Argumets g abgeleitet ud mit der Ableitug der Fuktio g multipliziert wird. Diese Regel wird oft i der folgede leicht merkbare Form ausgesproche: Ableitug der Verkettug: Äußere Ableitug mal iere Ableitug. Hierbei wird also die Ableitug vo f(g) als äußere Ableitug, die vo g() als iere Ableitug bezeichet. Beispiel: Differeziere Sie die Fuktio h( ) +. h ( ) f( g) g, f ( ) g ( ) +, g ( ) + g + Die Ketteregel erlaubt es, die Ableitug der Potezfuktio auf Epoete aus de ratioale Zahle zu erweiter. Der Differetialquotiet für Potezfuktioe mit ratioale Epoete lautet ( R + ): m m m f ( ), f ( ) m 5 Beispiel: Differeziere Sie die Fuktio f( ) 3. f( ) f ( )

21 (e) Ableitug der Wikelfuktioe Die Herleitug der Ableituge für die Wikelfuktioe ist ur mit de Mittel der eakte Grezwertdefiitio möglich ud übersteigt daher de Rahme dieses Skriptums. Daher werde im folgede ur die Ergebisse der Bildug des Differetialquotiete ageführt. Dabei ist zu beachte, daß die Regel ur da Gültigkeit habe, we die Argumete für die Wikelfuktioe im Bogemaß gegebe sid. Die Fuktio si() ist für alle R differezierbar ud es gilt: si ( ) cos( ) Die Fuktio cos() ist für alle R differezierbar ud es gilt: cos ( ) si( ) Die Fuktio ta() ist für alle R \ {(k+) π} differezierbar ud es gilt: ta ( ) cos ( ) Die Ableitug vo ta() bzw. auch für cot() ist mittels Quotieteregel durch si() ud cos() herleitbar. Beispiel: Differeziere Sie die Fuktio f( ) cot( ). cos( ) f( ) cot( ) si( ) si( ) si( ) cos( ) cos( ) f ( ) si ( ) (si ( ) + cos ( )) si ( ) si ( ) Beispiel: Differeziere Sie die Fuktio f( ) ( cos( )) f ( ) ( cos( )) si( ) 4 si( ) ( cos( )). Im vorige Beispiel mußte zweimal die Ketteregel zur Ermittlug der Ableitug agewedet werde. - -

22 (f) Ableitug der Epoetialfuktio ud der Logarithmusfuktio Die Epoetialfuktio e ist a jeder Stelle R differezierbar ud es gilt: ( e ) e Die Epoetialfuktio bleibt also beim Differeziere uverädert. Die Ableitug der allgemeie Epoetialfuktio f()a ist aufgrud des Zusammehags a e l(a) ud Verwedug der Ketteregel herleitbar. Die Epoetialfuktio a ist a jeder Stelle R (a R + ) differezierbar ud es gilt: ( a ) a l( a) Die Ableitug für die Logarithmusfuktio f() l() ist u bereits herleitbar, de es gilt: f ( ) l( z) l( ) ) z Setzt ma l(z) u ud l() v, da folgt daraus z e u ud e v ud für de Differezeqoutiete: f ( ) l( z) l( ) u v u v u v ) z e e e e u v lim u v u v u v v e e e e e lim u v u v u v Die Logarithmusfuktio l() ist a jeder Stelle R + differezierbar ud es gilt: l ( ) Ebeso erhält ma für die allgemeie Logarithmusfuktio f() log a () (Logarithmus zur Basis a) uter Eibeziehug des Zusammehags log a( ) l( a) l( ) : Die Logarithmusfuktio log a () ist a jeder Stelle R + differezierbar ud es gilt: [ log a( ) ] l(a) - -

23 .7. Etremwertaufgabe Der folgede Abschitt stellt eie eifache ud deoch eidrucksvolle Awedug der Differetialrechug dar. Ergibt sich eie Fuktio als Beschreibug eies praktische Problems, so bekomme die eizele Ergebisse eier Kurvediskussio atürlich eie iterpretierbare Bedeutug; so lasse sich z.b. für eie Kostefuktio evetuell die Produktiosmege ermittel, a dee die Koste ei Maimum oder ei Miimum betrage. Das folgede Beispiel soll de recherische Ablauf zur Lösug der sogeate Etremwertaufgabe darlege. (a) Allgemeies Ablaufschema Beispiel: Ei Bauer besitzt 00m Draht ud möchte damit eie rechteckige Weideplatz für seie Tiere umzäue. Wie groß müsse die Seiteläge dieses Rechtecks gewählt werde, damit desse Flächeihalt möglichst groß wird. Wie groß ist dieser Flächeihalt? Aus 00m Zau lasse sich uterschiedliche Rechtecke mit de Seiteläge a, b forme, die auch uterschiedliche Flächeihalt A habe; z.b. a 0m, b 40m ud A 400m oder a 0m, b 30m ud A 600m. Es stellt sich also zurecht die Frage, für welche Seiteläge der Flächeihalt möglichst groß wird. Die Größe, die ei Maimum oder ei Miimum aehme soll, legt die sogeate Hauptbedigug fest. Hauptbedigug (HB) A a b I dieser Hauptbedigug trete meistes mehrere Variable auf, zwische dee es jedoch eie Zusammehag gibt. Dieser Zusammehag wird i der sogeate Nebebedigug festgehalte. Sie ergibt sich aufgrud eies geometrische Zusammehags (Strahlesatz, pythagoräischer Lehrsatz, usw.) oder durch Beschräkuge, die sich aus der jeweilige praktische Awedug ergebe. I diesem Beispiel ist z.b. der Weideplatz durch de vorgegebe Umfag vo 00m, der Zauläge, beschräkt. Nebebedigug (NB) 00 a+ b Es köe sich, abhägig vo der Variablezahl der Hauptbedigug, auch mehrere Nebebediguge ergebe. Im weitere werde aus diese Nebebediguge eizele Variable eplizit berechet, sodaß - 3 -

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