32. n oder p? (Ü) Sie müssen die Dotierung in einem unbekannten Halbleiterplättchen bestimmen.

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1 Lichttechnisches Institut Universität Karlsruhe Prof. Dr. rer. nat. Uli Lemmer / Dipl.-Ing. Felix Glöckler Kaiserstrasse Karlsruhe Festkörperelektronik 6. Übungsblatt 13. Juli 2006 Möglicher Abgabetermin: Donnerstag, 20. Juli in der Vorlesung 30. Störstellenleitung vs. intrinsische Leitung (T) Ein Halbleiter habe eine Bandlücke von W g = 1 ev. Elektronen und Löcher sollen eine effektive Masse gleich der freien Elektronenmasse haben. Der Halbleiter sei p-dotiert mit einer Akzeptorkonzentration von p = cm 3. Das Akzeptorniveau liege ev über dem Valenzband. (a) Wie groß ist die Dichte der Löcher bei T=300 K (Die Lage des Ferminiveaus kann aus Abbildung 3 abgeschätzt werden)? Vergleichen Sie diese mit der Dichte der Löcher in einem undotierten Halbleiter mit sonst gleichen Eigenschaften. ( ) (b) Bestimmen Sie nun die Dichten der freien Elektronen für beide Fälle in a). ( ) (c) Berechnen Sie die Leitfähigkeit σ bei T=300 K unter der Annahme einer Löcherbeweglichkeit von 100 cm 2 V 1 s 1. Die Beweglichkeit der Elektronen sei 1500 cm 2 V 1 s 1 ( ) 31. Fermi-Energie (T) ( ) In einem intrinsischen Halbleiter betrage die effektive Masse von Elektronen im Minimum des Leitungsbandes ein Drittel der effektiven Masse von Löchern im Maximum des Valenzbandes. Wo liegt das Fermi-Niveau im Falle der Eigenleitung bei Raumtemperatur? Die Boltzmann-Näherung sei gültig. 32. n oder p? (Ü) Sie müssen die Dotierung in einem unbekannten Halbleiterplättchen bestimmen. (a) Ihnen steht die Anordnung nach Abbildung 1 dazu zur Verfügung. Das Messgerät besteht aus zwei Messspitzen und einem Amperemeter, das zwischen die beiden Messspitzen geschaltet werden kann. Eine der beiden Messspitzen kann erhitzt werden. Erläutern Sie, wie mit Hilfe dieser Apparatur bestimmt werden kann, wie die Halbleiterprobe dotiert ist. ( ) (b) Zum gleichen Zweck kann eine Hall-Messung durchgeführt werden. Hierbei werden vier Kontakte an das Halbleiterplättchen angebracht (Abbildung 2). Durch die Kontaktierung an den Stirnflächen lässt man einen Strom fließen, senkrecht dazu kann die

2 Abbildung 1 Spannung gemessen werden. Zu guter letzt wird noch ein Magnetfeld angelegt. Wie funktioniert die Bestimmung der Dotierung mit dieser Methode? ( ) Abbildung 2 (c) Es fließe ein Strom durch die Stirnflächen und Magnetfeld sei angelegt. Leiten Sie einen Ausdruck für den Widerstand der Halbleiterprobe senkrecht zu Magnetfeld und Strom (zwischen Anschlüssen o und u) her. ( ) 33. Halbleiter-Thermometer (Ü) Sie müssen einen Halbleiter-Temperatursensor entwickeln. Das Gerät soll in Karlsruhe (- 30 Grad C < T < 40 Grad C) funktionieren und auf der Widerstandsänderung eines Halbleiterkristalls beruhen. Sie beschließen, n-dotiertes Silizium zu verwenden. (a) Als Dotiermaterial haben Sie Phosphor vorgesehen. Die Dotierstoffkonzentration können Sie zwischen cm 3 und cm 3 einstellen. Bestimmen Sie zunächst, wie sich die Ionisierungs-Wahrscheinlichkeit der Dotieratome im interessanten Temperaturbereich ändert. Den Verlauf der Fermi-Energie entnehmen Sie Abbildung 3, die Lage des Donatorniveaus der Abbildung 4. ( ) (b) Die Temperaturabängigkeit der Beweglichkeit ist recht kompliziert und wird mit einer empirischen Formel abgeschätzt:

3 Abbildung 3 Abbildung 4 µ = µ min + µ (n/n ref ) α Die Temperaturabängigkeit der einzelnen Modellierungsgrößen (µ 0, µ min, n ref und α) in der letzten Gleichung ergeben sich zu: ( ) T η A = A 300, 300 wobei die A 300 die Werte bei 300 K sind, die Sie in der Tabelle finden. Bestimmen Sie den Verlauf der Beweglichkeiten im angegebenen Temperatur- und Dotierbereich. Wenn möglich, erstellen Sie eine Wertetabelle mit Hilfe entsprechender Software (Matlab, Excel...). Ansonsten beschränken Sie sich auf die beiden Randpunkte der Temperaturskala und die Dotier-Konzentrationen 10 12, 10 14, und ; gehen Sie im weiteren von einem linearen Verlauf der Beweglichkeit aus. ( )

4 P arameter W ert(a 300 ) Exponent (η) n ref / cm µ min / cm 2 V 1 s µ 0 / cm 2 V 1 s alpha (c) Die Widerstands-Werte ihres Sensors sollen mit einem Handmultimeter gemessen werden können, also etwa im Bereich zwischen 1 Ω und 1000 Ω liegen. Gehen Sie von Störstellenerschöpfung aus! Geben Sie sinnvolle Dimensionen für ihren Sensor an, der wie in Abbildung 5 gezeigt aussehen soll (Kontaktierung der gesamten Stirnfläche). ( ) Abbildung 5 (d) Leiten Sie einen Ausdruck für die Empfindlichkeit (dr/dt ) ihres Sensors her. Ist es mit Blick auf die Empfindlichkeit besser, den Halbleiter hoch oder niedrig zu dotieren? ( ) (e) Was begrenzt den Temperaturbereich, in dem der Sensor betrieben werden kann? Schätzen Sie diesen Temperaturbereich ab. ( ) 34. Photodioden (Ü) Sie beleuchten einen Galliumarsenid-Kristall (direkter Halbleiter mit W g = 1.43 ev bei Raumtemperatur) mit Licht. (a) Können Sie infrarotes Licht mit einem solchen Kristall detektieren? ( ) (b) Welchen Einfluß hat die Temperatur auf die Absorptions-Kurve? ( ) (c) Sie bestrahlen den Kristall 100 fs lang mit rotem Licht der Wellenlänge 780 nm und der Pulsenergie 10 nj. Wieviele Elektronen werden durch diesen Lichtpuls in das Leitungsband angeregt. Wegen der Kürze des Pulses können Diffusionsprozesse vernachlässigt werden.( ) (d) Sie wollen nun einen Detektor bauen, der 90 Prozent des einfallenden Lichts mit der Wellenlänge 618 nm auffängt. Wie dick muss der Detektor sein? Benutzen Sie Abbildung 6, um die Absorptionsdaten von GaAs zu ermitteln. ( ) (e) Wie dick muss ein entsprechender Silizium-Detektor sein? ( )

5 Abbildung Diffusion (Ü) ( ) Ein Halbleiter-Stab vom p-typ wird beleuchtet. Im ganzen Volumen des Halbleiters werden gleichmäßig mit der Rate g L Ladungsträgerpaare erzeugt. Gleichzeitig werden an der Stelle x = 0, am Anfang des Stabes, Ladungsträger entzogen, was zu n p = 0 bei x = 0 führt. In die positive x-richtung kann der Stab als unendlich ausgedehnt angenommen werden. Bestimmen Sie n p (x) unter der Annahme, dass n p (x) << p 0 und stationäre Bedingungen gelten. 36. Diffusionslänge (T) ( ) In einem stark n-dotierten Halbleiter wird bei T=300 K an der Stelle x=0 eine Überschußladungsträgerdichte p 0 aufrecht erhalten. Die Lebensdauer der überschüssigen Ladungsträger betrage τ p. Die Ladungsträger seien entsprechend ( p(x) = p 0 exp x ) L D verteilt. Bestimmen Sie mittels der Kontinuitätsgleichung den Zusammenhang zwischen der Diffusionslänge L D und der Diffusionskonstante D p. Warum muß p(x) die angegebene Form haben? Berechnen Sie die Diffusionslänge L D bei einer Beweglichkeit µ = 10 3 cm 2 V 1 s 1 und einer Lebensdauer τ p = 10 6 s.