Lineare Algebra und Computer Grafik

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1 Lineare Algebra und Computer Grafik Kurze Zusammenfassung (Stand: 3 Juli 2) Prof Dr V Stahl Copyright 28 by Volker Stahl All rights reserved

2 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 2 4ptpt Vektoren Ein n-stelliger Vektor ist ein n-tupel reeler Zahlen, dh ein Element von R n Vektoren werden mit Pfeil gekennzeichnet um sie von reellen Zahlen (Skalaren) zu unterscheiden Funktionen auf Vektoren Vektor Addition + R n R n R n y + y 2 = x n y n + y + y 2 x n + y n Der Pfeil vom Anfang von x zum Ende von y wenn x und y hintereinander gesetzt werden Vektor Subtraktion R n R n R n y y 2 = x n y n y y 2 x n y n Der Pfeil vom Ende von y zum Ende von x wenn x und y den selben Anfang haben Skalare Multiplikation R R n R n a x n = a a ax n Den Pfeil x um Faktor a strecken Wenn a negativ ist, kehrt sich dabei die Richtung um Skalarprodukt R n R n R y y 2 = y + y x n y n x n y n Länge (Euklidische Norm): R n R x = + x x2 n = x x

3 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 3 Normierter Richtungsvektor e = x x Vektor mit gleicher Richtung wie x aber Länge Winkel zwischen Vektoren cos(α) = x y x y Die arccos-funktion liefert den inneren Winkel Kreuzprodukt R 3 R 3 R 3 y y 2 y 3 = Vektor orthogonal zu x und y Rechengesetze für Vektoren Rechengesetze für Skalare Multiplikation Rechengesetze für Skalarprodukt x y a( x + y) = a x + a y (a + b) x = a x + b x (ab) x = a(b x) a x = a x = y x ( x + y) z = ( x z) + ( y z) a( x y) = (a x) y x x Rechengesetze für Kreuzprodukt Relationen auf Vektoren y 3 y 2 y y 3 y 2 y x x = genau dann wenn x = x ( x y) = y ( x y) = x y = y x x y = x y sin(α) x und y heißen kollinear wenn x, y R n \ { } und y = a x für ein a R In diesem Fall haben sie gleiche (a > ) oder entgegengesetzte (a < ) Richtung und y ist a mal so lang wie x Kollinear ist reflexiv auf R n \{ }, symmetrisch und transitiv x und y heißen orthogonal genau dann wenn x y = In diesem Fall stehen die Pfeile x und y senkrecht zueinander

4 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 4 2 Geraden Definitionen Eine Menge G heißt Ursprungsgerade wenn r R n \ { } G = {a r a R} Eine Menge G heißt (affine) Gerade wenn r R n \ { } p R n G = { p + a r a R} Orts- und Richtungsvektor In og Darstellung heißt r Richtungsvektor und p Ortsvektor der Geraden Eine Gerade lässt sich durch unterschiedliche Orts- und Richtungsvektoren darstellen: Sei G = { p + a r a R} Dann ist falls q G und s kollinear zu r Zwei Punkte Form G = { q + a s a R} Durch zwei Punkte x, y R n mit x y gibt es genau eine affine Gerade G = { x + a( y x) a R} 3 Ebenen Definitionen Eine Menge E heißt Ursprungsebene wenn r, s R 3 \ { } kollinear( r, s) E = {a r + b s a,b R} Eine Menge E heißt (affine) Ebene wenn r, s R 3 \ { } p R 3 kollinear( r, s) E = { p + a r + b s a,b R} Orts- und Richtungsvektor In og Darstellung heißen r und s Richtungsvektoren und p Ortsvektor der Ebene Eine Ebene lässt sich durch unterschiedliche Orts- und Richtungsvektoren darstellen: Sei E = { p + a r + b s a,b R} Dann ist falls q E und L( r, s) = L( u, v) E = { q + a u + b v a,b R}

5 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 5 Drei Punkte Form Durch drei Punkte x, y, z, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, gibt es genau eine Ebene Normalenvektor einer Ebene E = { x + a( y x) + b( z x) a,b R} Ein Vektor n R 3 \ { }, der senkrecht zu einer Ebene E steht, heißt Normalenvektor von E: x, y E n ( x y) = n ist Normalenvektor von E = { p + a r + b s a,b R} genau dann wenn n orthogonal zu r und s ist Damit lässt sich ein Normalenvektor durch n = r s berechnen Ist n ein Normalenvektor, dann auch alle Vektoren, die kollinear zu n sind Zu jeder Ebene gibt es genau zwei normierte Normalenvektoren mit entgegengesetzter Richtung Hessesche Normalform Ist p E und n Normalenvektor zu E dann ist E = { x ( x p) n = } Diese Darstellung von E heißt Hessesche Normalform, wobei zusätzlich gefordert wird, dass n normiert ist Umrechnung von parametrischer in Hessesche Normalform: Den Ortsvektor p kann man übernehmen Den Normalenvektor berechnet man durch Kreuzprodukt der Richtungsvektoren mit anschließender Normierung Umrechnung von Hessescher Normalform in parametrische Form: Zwei nicht kollineare Vektoren r, s wählen, die orthogonal zu n sind Hier gibt s viele Möglichkeiten, da man jeweils nur eine Gleichung mit drei Unbekannten hat Der Ortsvektor p kann übernommen werden Implizite Form Zu jeder Ebene E gibt es a,b,c,d R wobei a,b,c nicht gleichzeitig Null sind so dass E = { x a + b + c = d} Diese Darstellung von E heißt implizite Form Mit impliziter und Hessescher Normalform ist der Test x E besonders einfach Umrechnen von Hessescher Normalform in implizite Form: Hier muss man nur ( x p) n = umformen, wobei x =

6 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 6 Umrechnen von impliziter in Hessesche Normalform: Einen Normalenvektor erhält man durch a n = b, c den man noch normieren muss Um einen Punkt p auf der Ebene zu finden, muss man nur eine Lösung der Gleichung a + b + c = d wählen 4 Spannräume Definitionen Eine Linearkombination von a, a 2,, a n R m ist eine gewichtete Summe dieser Vektoren, dh a + a x n a n für beliebige Gewichte,,,x n Die Menge aller Linearkombinationen von a, a 2,, a n heißt Spannraum von a, a 2,, a n : L( a, a 2,, a n ) = { a + a x n a n,,,x n R} Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen sind Spannräume, die von einem bzw zwei Vektoren erzeugt werden Ein besonders einfacher Spannraum ist R n, der von den n kanonischen Basisvektoren erzeugt wird e =, e 2 =,, e = Spannräume sind abgeschlossen unter Addition und skalarer Multiplikation Ist M ein Spannraum, dann gilt für alle x, y M und für alle a R, dass x + y M und a x M Ein Vektor b heißt linear abhängig von a, a 2,, a n wenn In diesem Fall gilt b L( a, a 2,, a n ) L( a, a 2,, a n ) = L( b, a, a 2,, a n ), dh wenn man b zu den erzeugenden Vektoren dazunimmt, wird der Spannraum nicht größer Die Vektoren a, a 2,, a n heißen linear unabhängig, wenn keiner von ihnen Linearkombination der anderen ist

7 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 7 Eigenschaften von Spannräumen Folgende Aussagen sind äquivalent: a, a 2,, a n sind linear unabhängig Wenn man einen erzeugenden Vektor weglässt, wird der Spannraum echt kleiner, dh L( a, a 2, a l, a n ) L( a, a 2, a l, a n ) für alle l n Der Nullvektor hat eine eindeutige Darstellung: Aus a + a x n a n = folgt = = = x n = Die Funktion f R n L( a, a 2, a n ), f(,,,x n ) = a + a x n a n ist bijektiv, dh für jeden Vektor b L( a, a 2, a n ) existiert genau ein Satz von Koeffizienten,,x n R so dass a + a x n a n = b Austauschsatz Ist b = a + a 2 ++x n a n mit x l, dann kann man a l durch b ersetzen, dh L( a, a 2,, a l,, a n ) = L( a, a 2,, b,, a n ) Dimension und Basis Eine Basis für einen Spannraum M ist ein linear unabhängiges Tupel ( a, a 2,, a n ) von Vektoren so dass M = L( a, a 2,, a n ) Durch wiederholte Anwendung des Austauschsatzes kann man zeigen, dass jede Basis von M gleich viele Vektoren hat Die Anzahl von Basisvektoren eines Spannraums heißt Dimension des Spannraums Ursprungsgeraden haben Dimension eins, Ursprungsebenen Dimension zwei, der Spannraum R n hat Dimension n Ist M ein Spannraum der Dimension n, dann bildet jedes n-tupel von linear unabhängigen Vektoren aus M eine Basis von M 5 Lineare Funktionen Definitionen Eine Funktion f R n R m heißt linear wenn für alle x, y R n und alle a R gilt f( x + y) = f( x) + f( y) f(a x) = af( x)

8 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 8 Eigenschaften lineare Funktionen Jede lineare Funktion lässt sich in der Form f( x) = a + a x n a n für bestimmte Vektoren a, a 2,, a n darstellen Umgekehrt ist auch jede Funktion in dieser Form linear Die Vektoren a, a 2,, a n sind dabei die Bilder der kanonischen Basisvektoren: a = f( e ), a 2 = f( e 2 ),, a n = f( e n ) Die Menge der linearen Funktionen ist abgeschlossen unter Summe, skalarem Vielfachen, Komposition und Inversion 6 Matrizen Jede lineare Funktion f R n R m kann durch Vektoren a, a 2,, a n R m mit f( x) = a + a x n a n dargestellt werden Diese Vektoren kann man zu einer m n Matrix a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = ( a a 2 a n ) = Rm n a m a m2 a mn zusammenfassen Zu jeder linearen Funktion f R n R m existiert somit genau eine Matrix A R m n, deren Spalten a i = f( e i ) die Bilder der kanonischen Basisvektoren von f sind R m n ist die Menge aller Matrizen mit m Zeilen und n Spalten Bei den Einträgen in der Matrix steht der erste Index für die Zeile und der zweite Index für die Spalte Matrix Vektor Multiplikation Ist A R m n und x R n, dann ist A x R m und kann auf zwei Weisen berechnet werden: Zeile mal Spalte Regel (Skalarprodukte) a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn x n = a + a a n x n a 2 + a a 2n x n a m + a m2 + + a mn x n

9 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 9 Linearkombination der Spalten a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn a a 2 + a m a 2 a 22 a m2 x n = + + x n a n a 2n a mn Ist A R m n Matrix der linearen Funktion f R n R m, dann gilt für alle x R n f( x) = A x Matrix Addition und skalare Multiplikation Die Addition und skalare Multiplikation von Matrizen ist komponentenweise definiert Ist A Matrix von f und B Matrix von g, dann ist A + B Matrix von f + g und ca Matrix von cf, dh Matrix Matrix Multiplikation (f + g)( x) = (A + B) x (cf)( x) = (ca) x Ist A R m k und B R k n, dann ist AB R m n Dabei ist (AB) ij das Skalarprodukt aus der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B, dh (AB) ij = a i b j + a i2 b 2j + + a ik b kj Die Matrix Multiplikation ist assoziativ aber nicht kommutativ Sie ist distributiv über der Matrix Addition und der skalaren Multiplikation Ist A Matrix von f und B Matrix von g, dann ist AB Matrix von f g, dh f(g( x)) = (AB) x Jeder Vektor x R n kann als n Matrix interpretiert werden Die Matrix Vektor Multiplikation ist somit ein Spezialfall der Matrix Matrix Multiplikation Inverse Matrix Eine Matrix B R n n heißt inverse Matrix von A R n n wenn AB = E (Einheitsmatrix) Die Matrix B = ( b b2 b n ) kann spaltenweise berechnet werden durch Lösen der n linearen Gleichungssysteme A b = e, A b 2 = e 2,, A b n = e n

10 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite Da alle Gleichungssysteme die selbe Koeffizientenmatrix A haben, kann Rechenaufwand gespart werden Zu jeder Matrix A R n n existiert höchstens eine inverse Matrix, die mit A bezeichnet wird Invertierbare Matrizen heißen regulär, nicht invertierbare heißen singulär A ist genau dann invertierbar wenn die Spalten von A linear unabhängig sind, was wiederum genau dann der Fall ist wenn die Zeilen von A linear unabhängig sind Ist f R n R n eine bijektive lineare Funktion mit Matrix A, dann ist A regulär und A ist die Matrix von f, dh f ( x) = A x Transponierte Matrix Für A R m n ist die transponierte Matrix A T R n m definiert durch A T ij = A ji Bei der Transposition werden also lediglich Zeilen und Spalten vertauscht Orthogonale Matrizen (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (ca) T = ca T (AB) T = B T A T (A ) T = (A T ) Eine Matrix A R n n heißt orghogonal wenn die Spalten von A paarweise orthogonal und normiert sind Der Witz bei orthogonalen Matrizen ist, dass die Inversion einfach ist Ist A eine orthogonale Matrix, dann ist A regulär und A = A T Weitere Eigenschaften orthogonaler Matrizen sind A x = x (A x, A y) = ( x, y) 7 Geometrische Transformationen Streckung mit Streckfaktor a: f( x) = a x Linear, bijektiv für a Punktspiegelung am Koordinatenursprung: f( x) = x Linear, bijektiv

11 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite Translation (Verschiebung) um Vektor a: Nicht linear für a, bijektiv f( x) = x + a Orthogonalprojektion auf xy-ebene: x f y = z Linear, nicht bijektiv Perspektivische Projektion auf Ebene z = d, Pupille im Ursprung: x f y = d x y z z z Nicht linear, nicht bijektiv Rotation um konstanten Winkel α im Sinne einer Rechtsschraube im rechtshändigen Koordinatensystem umd die x-, y- und z-achse (Matrix Darstellung): cos α sin α sinα cos α Linear, bijektiv, x y cos α sin α sin α cos α, cos α sin α sinα cos α 8 Homogene Koordinaten Die Translation und die perspektivische Projektion sind nicht linear und daher nicht durch Matrizen darstellbar Dies macht viele Berechnungen umständlich Homogene Koordinaten bieten hier einen Ausweg Definitionen Sei Dann ist für alle w R \ {} x = x y z x = w R 3 x y z

12 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 2 eine Darstellung von x in homogenen Koordinaten Die Menge aller homogener Darstellungen eines Vektors x ist eine Ursprungsgerade mit Richtungsvektor x ohne den Nullvektor Die einfachste Darstellung erhält man für w = mit Ist x = x = a b c w x y z, w eine Darstellung eines Vektors in homogenen Koordinaten, dann ist a/w x = b/w c/w der zugehörige Vektor in normalen Koordinaten Der homogene Vektor a x = b c kann als Punkt im Unendlichen in Richtung a r = b c interpretiert werden In der Computer Grafik werden Lichtquellen oft im Unendlichen positioniert, da dann ihre Lichtstrahlen parallel eintreffen Homogene Matrizen Jede Matrix A = kann zu einer homogenen Matrix A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 erweitert werden Multipliziert man eine beliebige homogene Darstellung eines Vektors x mit A und enthomogenisiert das Ergebnis, kommt A x heraus Alle linearen Funktionen lassen sich daher durch homogene Matrizen realisieren

13 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 3 Translation in homogenen Koordinaten Auch die (nicht lineare) Translation lässt sich durch die homogene Matrix A = f( x) = x + b b b 2 b 3 realisieren Es gilt A x = = w b b 2 b 3 + b + b 2 + b 3 w Enthomogenisieren liefert x + b Perspektivische Projektion in homogenen Koordinaten Weiterhin kann man auch die (nicht lineare) perspektivische Projektion durch die homogene Matrix berechnen Es gilt A x = A = f( x) = d /d /d = w /d w

14 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 4 Um diesen Vektor zu enthomogenisieren muss man die ersten drei Komponenten (w,w,w )durch die letzte (w /d) dividieren und erhält die perspektivische Projektion x d 9 Koordinatensysteme Umrechnung ins Weltkoordinatensystem Ein Koordinatensystem im Raum ist gegeben durch drei Vektoren, deren Richtungen und Längen die Achsen und deren Einheiten festlegen, sowie durch einen Punkt für den Ursprung Wir gehen davon aus, dass ein festes Koordinatensystem gegeben ist, in dem alle Berechnungen durchgeführt werden Dieses Koordinatensystem hat den pathetischen Namen Weltkoordinatensystem In der Computer Grafik müssen häufig komplexe Objekte im Raum positioniert und ausgerichtet werden Da es mühsam ist, jeden einzelnen Punkt des Objekts zu verarzten, befestigt man ein Koordinatensystem K am Objekt und gibt die Koordinaten der Objekt Punkte bzgl K an (Objektkoordinaten) Wenn man nun K durch die Gegend schiebt, wandert das Objekt mit und die Objektkoordinaten der Punkte bleiben daher immer gleich Kennt man die Position und Orientierung von K sowie die Objektkoordinaten eines Punktes, kann man dessen Koordinaten bzgl des Weltkoordinatensystems berechnen und den Punkt zeichnen Angenommen das Koordinatensystem K habe die Achsen a, a 2, a 3 und seinen Ursprung bei b Betrachten wir einen Punkt x des Objektes, dessen Objektkoordinaten x K seien Um zu dem Punkt x zu gelangen, muss man daher von b ausgehend x K Einheiten auf der a Achse, x K 2 Einheiten auf der a 2 Achse und x K 3 Einheiten auf der a 3 Achse laufen Anders ausgedrückt sind die Weltkoordinaten des Punkes gegeben durch x = b + x K a + x K 2 a 2 + x K 3 a 3 Fasst man nun a, a 2, a 3 und b zu einer homogenen Matrix a a 2 a 3 b K = a 2 a 22 a 23 b 2 a 3 a 32 a 33 b 3 zusammen, erhält man die einfache Umrechnungsvorschrift x = K x K Umrechnung zwischen Koordinatensystemen Genauso wie man von einem Koordinatensystem K ins Weltkoordinatensystem umrechnen kann, kann man auch die Koordinaten zwischen zwei Koordinatensystemen K und K 2 ineinander umrechnen Gehen wir also von Koordinatensystem K aus und zeichnen darin K 2 ein Die Achsen und der Ursprung von

15 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Zusammenfassung Seite 5 K 2 sind bzgl K gegeben durch a K, ak 2, ak 3 und b K Das Koordinatensystem K 2 lässt sich bzgl K mit einer homogenen Matrix darstellen: T = a K a K 2 a K 3 b K a K 2 a K 22 a K 23 b K 2 a K 3 a K 32 a K 33 b K 3 Sei x ein Punkt mit K 2 Koordinaten x K2 und K Koordinaten x K, dh x = K x K = K 2 x K2 Wenn man die K 2 Koordinaten von x kennt, kann man die K Koordinaten erhalten, indem man von b K ausgehend x K2 Einheiten auf der a K Achse, x K2 2 Einheiten auf der a K 2 Achse und x K2 3 Einheiten auf der a K 3 Achse läuft, dh Aus folgt damit x K = T x K2 K x K = K 2 x K2 K T x K2 = K 2 x K2 Da dies für alle Vektoren x K2 gilt, folgt K T = K 2 Wenn man also in der Computer Grafik ausgehend vom Weltkoordinatensystem K die Transformationen T,T 2,,T n nacheinander bzgl des jeweils aktuellen Koordinatensystems ausführt, gilt Das heißt, dass man mit der Matrix K T = K K T T 2 = K 2 K T T 2 T n = K n T T 2 T n von Objektkoordinaten auf Weltkoordinaten umrechnen kann Diese Matrix heißt in OpenGL Model View Matrix So bewirkt der Befehl lediglich, dass die Matrix gltranslatef(x, y, z) x y z rechts an die aktuelle Model View Matrix multipliziert wird