1 Algebra Klass-Algebra. 1.2 Bruchterme und Bruchgleichungen

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1 1 Algebra Klass-Algebra 1. Vereinfachen Sie die folgenden Terme soweit wie möglich! (2x + 5y)(3x 4y) + (7x 10y)(6x 2y) (x + 4)(x 2 3x + 1) (x 2 + 6x 1)(x 2) x(2 3x) 2. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge über der Grundmenge Q! 16x 5(2x 3) = (6x + 4) (x + 1)(6x + 1) 3(3 x)(2x 1) = (4x 5)(3x + 1) (c) a 2 (x 1) = b[b (2a b)x] 1.2 Bruchterme und Bruchgleichungen 1. Vereinfachen Sie soweit wie möglich! ( ) 2p + 4q 2p 4q 3p 5q 3p + 5q p 2 4q 2 9p 2 25q 2 2. Bestimmen Sie Definitions und Lösungsmenge! 7x 15 x 1 + 4x + 2 x 2 + 2x 3 = 1 + 2x x Fassen Sie zusammen und vereinfachen Sie soweit wie möglich! 4. 3a 8 2a + 12 a 2 8a + 16 a a Fassen Sie zusammen und vereinfachen Sie! 3a 8 2a + 12 a 2 8a + 16 a a + 8 ( y 5x y + 5x + 20xy ) 5x + y y 2 25x 2 25x 2 10xy + y 2 (c) Vereinfachen Sie soweit wie möglich! ( 1 x 3y 8x x 1 ) ( 1 3y + 8x 8x 2 3xy 6x ) y 6. Bestimmen Sie Definitions und Lösungsmenge über der Grundmenge R! 4x 14 x 2 6x + 5 7x 43 = 5 x 7 2x x 1 7. Bestimmen Sie die Definitions und die Lösungsmenge! 5x x 5 2x 2 18 = 5x x

2 a 8 2a + 12 a 2 8a + 16 a a a 7a 2 7 a a a Wurzelrechnung 1. Machen Sie die Nenner rational und vereinfachen Sie soweit wie möglich! a a 3 a 6 a x3 216y 3 4. Vereinfachen Sie den folgenden Term soweit wie möglich! (1 x (1 + x 2 + 1)(1 x 2 + 1) 1.4 Potenzgesetze 1. Fassen Sie mit Hilfe der Potenzgesetze zu einer Potenz zusammen! ( ) ( ) 3 ( ) Fassen Sie soweit wie möglich zusammen! (ax) 2 by 3 (abx)2 y 3 (27x 2 y 3 ) n 1 (9xy 2 n+1 3. Vereinfachen Sie soweit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis mit positiven Exponenten! (c) (ab) 2 (xy)2 x 2 y 1 a 3 b u n+1 uw n u 2n w 2n ( ) r 2 4s 2 2r + 4s 9r 2 25s 2r 4s 2 3r 5s 3r + 5s 2

3 (d) (e) ( 4x 2 y 2 5x( y) 3 ( 10x 3 y 2 2x( y) 4 (a 2n 2 a 3n+4 ) a n 1 (a 2 n a 4 ) a 1+2n ) 3 4. Vereinfachen Sie soweit wie möglich! ( 6a 2 b 2 c n+1 d 2n ) 3 ( (cd) n (ab) cn d 2n 2 1 3ab 2 5. Vereinfachen Sie soweit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis mit positiven Exponenten! x 5 x 4 x 5 x 3 ( ) 5p n q 2 3 ( 25p n 1 q 3 3vw 2n 1 9v 2 w 3n 2 6. Fassen Sie soweit wie möglich zusammen! (c) (d) ( 4x 2 y 2 ( 10x 3 y 2 5x( y) 3 2x( y) 4 ( ) ( ) x x 5 9 x x 9 ( 4x 2 y 2 5x( y) 3 ( 10x 3 y 2 2x( y) 4 (a 2n 2 a 3n+4 ) a n 1 (a 2 n a 4 ) a 1+2n ) 3 ) 3 7. Fassen Sie mit Hilfe der Potenzgesetze zu einer Potenz zusammen! ( ) ( ) ( ) Vereinfachen Sie soweit wie möglich und schreiben Sie das Ergebnis mit positiven Exponenten! x 5 x 4 x 5 x 3 ( p n q 2 3 ( 4p n 1 q 3 3vw 2n 1 9v 2 w 3n 2 9. Vereinfachen Sie soweit wie möglich ( 2p n q 2 3vw 2n 1 ) 3 ( 4p n 1 q 3 9v 2 w 3n 2 3

4 1.5 (Bi-)Quadratische (Un-)Gleichungen 1. Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung 2x x = 11x 3! 2. Lösen Sie die Gleichungen 3x 2 42kx + 49k 2 = 0 und x 2 + 3kx 10k 2 = 0 nach x auf! (Keine Rundungen!!!) 3. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung 0,2x 2 + 1,6 = 1,14x 4. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen von x 2 + (2t 1)x + t 2 = 0 in Abhängigkeit von t. Für welches t gibt es genau eine Lösung und wie heißt diese? 5. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung 0,5x 2 + 0,15x = 0,27 6. Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen von tx 2 (2t 3)x + t = 0 in Abhängigkeit von t. Für welches t gibt es genau eine Lösung und wie heißt diese? 7. Wird das Produkt zweier Zahlen um ihre Summe vermehrt, erhält man 999. Wie groß sind die beiden Zahlen, wenn die erste um 15 größer ist? 8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge von x 2 + 8x + 48 < 0 9. Bestimmen Sie die Lösungsmenge von x 2 + 8x + 20 < Eine rechteckige Weidefläche soll so angelegt werden, dass sie von einer rechtwinkligen Mauer und einem 42 m langen Zaun begrenzt wird. Zusätzlich soll an einer Seite ein 2 m breites Tor eingefügt werden (vgl. Abbildung). Wie muss die Seitenlänge l gewählt werden, damit der Flächeninhalt maximal wird? Wie groß ist dieser? 11. Eine rechteckige Weidefläche soll so angelegt werden, dass sie von einer rechtwinkligen Mauer und einem 42 m lngen Zaun begrenzt wird. Zusätzlich soll an einer Seite ein 2 m breites Tor eingefügt werden (vgl. Abbildung). Wie muss die Seitenlänge l gewählt werden, damit der Flächeninhalt maximal wird? Wie groß ist dieser? 12. Ein rechteckiges Bild ist mit Rahmen 80 cm lang und 60 cm breit. Peter schätzt, dass der übergroße Rahmen den gleichen Flächeninhalt wie das Bild hat. Wie breit müsste dann der Rahmen sein? 13. Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Gleichungen 4

5 24x + 19 = 18x 2 0,5x 2 + 0,15x = 0, Gegeben sei die Gleichung tx 2 2tx + 3x + t = 0 Bestimmen Sie t so, dass es genau eine Lösung gibt und berechnen Sie die entsprechende Lösung. Geben Sie an, für welche Belegung des Parameters t keine Lösungen existieren. 15. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge über der Grundmenge R ohne Näherungen. 6x x 2 = 27 x x 0,625 = 0 (c) 11x 8 < 4x Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Ungleichungen über der Grundmenge R. 4x+8 2x+8 0; Bestimmen Sie zuerst die Definitionsmenge. 2x 2 2x 4 0 (c) 1 4 x x 17. Berechnen Sie k so, dass die Gleichung 3x 2 + 4kx + k = 0 genau eine Lösung keine Lösung hat. 18. Lösen Sie die Gleichungen ohne Rundungen nach x auf! 2x x + 42 = 0 3x 2 42kx + 49k 2 = Eine rechteckige Weidefläche der Länge l und der Breite b soll von einem 42 m langen Zaun und einer geraden (und genügend langen) Mauer begrenzt werden. Zeigen Sie, dass für die Größe A der Weidefläche gilt A(l) = 42l 2l 2 Bestimmen Sie l so, dass die Weidefläche möglichst groß wird. 1.6 Polynomdivision 1. Berechnen Sie! (4x 3 4x 2 x + 1) (6x 2 + 3x) (3ax 5 11,!5a 2 x 4 + 6,5a 3 x 3 + 4a 4 x 2 5a 5 x + 12) (2x 2 ax 3a 2 ) 2. Berechnen Sie ( 18x 6 21x 3 + 2x 2 + 3x 5) (6x 3 + 2x + 5)! 5

6 3. Dividieren Sie! (3x 4 + (2a 12)x 3 x 2 (5a 2 + 8a 12) + x(20a 2 + 8a) 20a 2 ) (x 2 (Hinweis Multiplizieren Sie zuerst aus) 4. (4x 3 4x 2 x + 1) (6x 2 + 3x) 5. (3ax 5 11,5a 2 x 4 + 6,5a 3 x 3 + 4a 4 x 2 5a 5 x + 12a 6 ) (2x 2 ax 3a 2 ) 6. Berechnen Sie (3ax 5 11,5a 2 x 4 + 6,5a 3 x 3 + 4a 4 x 2 5a 5 x + 12a 6 ) (2x 2 ax 3a 2 )! 1.7 Ungleichungen 1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen von (x 2 1) (x 2 16) < 0 (x 1 (x 4 > 0 x 3 + x 2 + 5x Bestimmen Sie die Lösungsmenge! 2x + 3 > x 1 (4x 1)( 1) > 0 (c/(x 3) > 0 (d) x 2 > 49 (e) x (f) x 2 < 16 (g) x 2 5 (h) (x + 2 > 8 (i) (x + 1,5 < 3,61 (j) (x 4 > 0 (k) x 2 + 2x > 8 (l) x 2 8x 20 < 0 3. Mit einem Gitter von 8 m Länge soll auf einer Wiese ein rechteckiger Laufstall für ein Meerschweinchen abgegrenzt werden. Wie sind die Rechtecksseiten zu wählen, wenn der Flächeninhalt mindestens 3,5 m 2 betragen soll? 4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung x 5 + 3x 4 + x 3 11x x 4 > 0 6

7 1.8 Lineare Gleichungssysteme 1. Bestimmen Sie die jeweils die Lösung des Gleichungssystems! z y 1 + x = 0 2x 2z = 0 y 3z 2 + x = 2 2x 3y + 4z = 7 4x + 9y + 8z = 9 x 6y 2z = 0 2. Richard Wagner wurde 57 Jahre später geboren als Wolfgang Amadeus Mozart. Im Jahre 1832 wäre Mozart, der 1791 starb, gerade viermal so alt gewesen wie Wagner. Berechnen Sie die Geburtsjahre der beiden Komponisten! 3. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem! 3x 5y + 4z = 5 4x + 3y z = 7 7x + 2y 3z = 2 4. Ein PKW fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 80 km/h. Ein zweiter PKW fährt mit 85 km/h zwei Minuten später los. Bestimmen Sie die Funktionen s 1 (t) und s 2 (t), die die zurückgelegten Strecken der beiden Wagen in Abhängigkeit von der Zeit t angeben. Berechnen Sie, nach welcher Zeit und in welcher Entfernung vom Startpunkt der zweite Wagen den ersten überholt. 5. Eine Mutter war vor 7 Jahren siebenmal so alt wie ihre Tochter damals war. In 3 Jahren wird sie dreimal so alt sein, wie ihre Tochter dann sein wird. Wie alt sind Mutter und Tochter jetzt? 6. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem 2x 4y + 2z = 8 x + 2y + 3z = 2 3x + 2y + mz = 8 mit m R Für welche m gibt es eine, unendlich viele oder keine Lösungen? 7. Bei einem Motorradrennen über 150 km kommt ein Fahrer 20 s später weg als das Feld, weil seine Maschine nicht sofort anspringt. Trotzdem überholt er alle anderen Fahrer und gewinnt das Rennen noch mit 100 m Vorsprung. Wie groß war die durchschnittliche Geschwindigkeit der beiden Erstplatzierten, wenn das Überholmanöver der beiden genau 65 Minuten nach dem Start des Feldes stattfand? Nach welcher Zeit kam der Sieger ins Ziel? 7

8 8. Untersuchen Sie das lineare Gleichungssystem 2x 4y + 2z = 8 x + 2y + 3z = 2 3x + 2y + mz = 8 mit m R auf Lösbarkeit und geben Sie an, für welche m genau eine, unendlich viele oder keine Lösungen existieren. 9. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem x + y + z = 0 x + 2y + 3z = 0 6x ay + 8z = a mit a R Für welches a R ist das System nicht lösbar? 10. Bei einem Übungsflug benötigt eine Maschine für eine 360 km lange Strecke auf dem Hinweg 50 Minuten, auf dem Rückweg 45 Minuten. Berechnen Sie die Eigengeschwindigkeit der Maschine und die Windgeschwindigkeit! 11. Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems! (1) 1,2(x + 4) 2,5(3y 2) = 2 4 (2) (3x 5) + 3 (3y 4) = Ermittlen Sie, wie viele Lösungen das folgende Gleichungssystem besitzt! (1(y 1) x 4 = 0 (2y x + 9 = 5 8