2 Diode. 2.1 Formelsammlung. Diffusionsspannung Φ i = kt q ln N AN D n 2 i (2.1) Überschussladungsträgerdichten an den Rändern der Raumladungszone

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1 2 Diode 2.1 Formelsammlung Diffusionsspannung Φ i = kt q ln N AN D n 2 i (2.1) Überschussladungsträgerdichten an den Rändern der Raumladungszone ( q ) ] p n( n )=p n0 [ep kt U pn 1 bzw. (2.2) ( q ) ] n p ( p)=n p0 [ep kt U pn 1 (2.3) Diodengleichung ( q ) ] I D = I S [ep kt U pn 1 (2.4) Sättigungsstrom [ I S = qan 2 Dp i + D ] n (lange Abmessungen) (2.5) L p N D L n N A [ I S = qan 2 Dp i + D ] n (kurze Abmessungen) (2.6) w n N D w p N A Weite der Raumladungszone (abrupter pn-übergang) [ 2ε 0 ε r 1 w = + 1 ] (Φ i U pn ) (2.7) q N A N D Ausdehnung der Raumladungszone in das n- bzw. p-gebiet N A n = w (2.8) N A + N D N D p = w (2.9) N A + N D H. Göbel, H. Siemund, Übungsaufgaben zur Halbleiter-Schaltungstechnik, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014

2 18 2 Diode Sperrschichtkapazität Diffusionskapazität Diffusionsladung Speicherzeit Diodenleitwert C d = τ T C j = Aε 0ε r w q ( q ) kt I S ep kt U pn (2.10) (2.11) Q d = τ T I D (2.12) t S = I F I R τ T (2.13) g D = q kt I D,A (2.14) 2.2 Verständnisfragen zur Diode Aufgabenstellung a. Erklären Sie den Begriff Diffusionsspannung. Beschreiben Sie am Beispiel des abrupten pn-übergangs die Vorgänge im Halbleiter, die zum Aufbau der Diffusionsspannung führen. b. Warum führt die Diffusionsspannung nicht zu einem Stromfluss, wenn die beiden Anschlüsse einer Diode über einen metallenen Leiter miteinander kurzgeschlossen werden? c. An eine pn-diode werde eine äußere Spannung U pn angelegt und der Strom I D gemessen (Abb. 2.1). Beschreiben Sie die für den Stromfluss relevanten physikalischen Effekte bei positiver bzw. negativer Spannung U pn. I D p-gebiet n-gebiet U pn Abb pn-diode mit angelegter äußerer Spannung U pn

3 ü ü ü 2.2 Verständnisfragen zur Diode 19 Lösung zu: a. Diffusionsspannung Die Diffusionsspannung ist die Potenzialdifferenz, die als Folge der Ladungsträgerdiffusion zwischen unterschiedlich dotierten Gebieten eines Halbleiters auftritt. Im Falle eines pn-übergangs entsteht wegen der unterschiedlichen Ladungsträgerkonzentrationen im p- und im n-gebiet und den damit verbundenen Konzentrationsgradienten zunächst eine Diffusionsbewegung von Elektronen in Richtung des p-gebietes und von Löchern in Richtung des n-gebietes (Abb. 2.2) neutrales p-gebiet Raumladungszone neutrales n-gebiet ü ý ü ý ü ý Diffusion Drift Diffusion Drift r qn D -qn A _ + E F F i - p 0 n Abb pn-übergang mit den sich einstellenden Verläufen der Raumladung ρ, des elektrischen Feldes E und der Spannung Φ Durch das Abwandern der Elektronen entsteht daher am linksseitigen Rand des n-gebietes ein Bereich, in dem die Ladung der ortsfesten, positiv ionisierten Donatoratome (in Abb. 2.2 nicht dargestellt) nicht mehr durch Elektronen kompensiert wird, so dass der Halbleiter dort positiv geladen ist. Entsprechendes gilt am rechtsseitigen Rand des p-gebietes, wo durch das Abwandern der Löcher wegen der ortsfesten, negativ ionisierten Akzeptoratome ein negativ geladener Bereich entsteht. Die Ladungsdichte ρ in diesem als Raumladungszone bezeichneten Bereich ( p << n )bestimmtsich aus der jeweiligen Dichte der Dotieratome zu qn D bzw. qn A. Die Integration über die Raumladungsdichte ρ führt auf die elektrische Feldstärke E,

4 20 2 Diode nochmalige Integration ergibt die über der Raumladungszone liegende Diffusionsspannung Φ i. Das elektrische Feld E führt nun zu einer Driftbewegung der Ladungsträger, die der beschriebenen Diffusionsbewegung entgegengesetzt ist. Dadurch stellt sich ein Gleichgewichtszustand ein, der dadurch gekennzeichnet ist, dass sich die Drift- und Diffusionsströme jeweils gegenseitig kompensieren. S.m.i.L.E: 2.1 pn-übergang Lösung zu: b. Kurzgeschlossene Diode In Abb. 2.3 ist eine Diode gezeigt, bei der das p- und das n-gebiet über einen metallenen Leiter miteinander kurzgeschlossen sind. Die Diffusionsspannung Φ i führt nicht zu einem Stromfluss, weil sich an den beiden Metall-Halbleiter Übergängen, ähnlich wie beim pn-übergang, so genannte Kontaktspannungen Φ K aufbauen und die Summe aller Spannungen gleich null sein muss, d.h. Φ K1 + Φ K2 Φ i = 0. Die Kontaktspannungen und die Diffusionsspannung heben sich also gerade auf. F K1 F i F K2 I D =0 p-gebiet n-gebiet Abb Diode mit kurzgeschlossenem p- und n-gebiet. Die Kontaktspannungen und die Diffusionsspannung heben sich gerade auf. Lösung zu: c. Diode bei Anlegen einer äußeren Spannung Das Anlegen einer äußeren Spannung an die Diode führt dazu, dass sich die Spannung Φ i über dem pn-übergang ändert. Dabei kann davon ausgegangen werden, dass die neutralen Bahngebiete und die Metall-Halbleiter-Kontakte sehr niederohmig sind, so dass das Anlegen einer äußeren Spannung U pn eine gleich große Änderung der Spannung über dem Übergang von Φ i auf Φ i U pn bewirkt. Wird also eine negative Spannung U pn an die Diode gelegt, erhöht sich die effektive Spannung Φ i U pn über der Raumladungszone und damit auch betragsmäßig das elektrische Feld. Es kommt daher zu einer verstärkten Driftbewegung der Minoritätsträger durch die Raumladungszone, die jedoch wegen der geringen Dichte der Minoritätsträger zu einem nur sehr geringen Strom, dem so genannten Sperrstrom, führt. Die Diode wird in diesem Fall in Sperrpolung betrieben.

5 2.2 Verständnisfragen zur Diode 21 Durch Anlegen einer positiven Spannung U pn an die Diode verringert sich die effektive Spannung Φ i U pn über der Raumladungszone und damit betragsmäßig das elektrische Feld. Die Driftbewegung der Ladungsträger wird damit schwächer und kann demnach die Diffusion der Majoritätsträger nicht mehr kompensieren. Es gelangen also Elektronen durch die Raumladungszone bis in das neutrale p-gebiet und entsprechend Löcher ins neutrale n-gebiet, wo sie jeweils mit den dortigen Majoritätsträgern rekombinieren. Diese werden aus den neutralen Gebieten nachgeliefert, was einem Stromfluss I D entspricht. Je größer die Spannung U pn, um so mehr Ladungsträger diffundieren durch den Übergang und um so größer wird gemäß (2.4) der Strom I D. Die Diode wird in diesem Fall in Durchlasspolung betrieben. Sehr anschaulich lässt sich das Verhalten der Diode bei Anlegen einer äußeren Spannung auch anhand des Bänderdiagramms erklären. Nach Anwendung der im Lehrbuch, Abschn beschriebenen Konstruktionsregeln erhält man das in Abb. 2.4 gezeigte Bänderdiagramm für U pn < 0V (links) bzw. U pn > 0V (rechts). In der Abbildung sind zusätzlich die jeweiligen 2.4 W U pn < 0V W U pn > 0V -q U pn W C W F W C -q U pn W F W V W V p-gebiet n-gebiet p-gebiet n-gebiet Abb Bänderdiagramm der Diode für U pn < 0V(links) und U pn > 0V(rechts) Majoritätsträger in den Gebieten eingezeichnet. Da die Ladungsträger stets versuchen, den Zustand niedrigster Energie einzunehmen, streben Elektronen im Bänderdiagramm nach unten und Löcher nach oben. Wird eine Spannung U pn an die Diode gelegt, so wird das Ferminiveau W F im p-gebiet gegenüber dem Ferminiveau im n-gebiet energiemäßig um qu pn verschoben. Ist U pn also negativ, liegt das Ferminiveau im p-gebiet oberhalb des Ferminiveaus im n-gebiet. Dadurch entsteht eine große Energiebarriere zwischen den beiden Gebieten, so dass die Majoritätsträger nicht über den Übergang gelangen können. Die Diode wird in Sperrpolung betrieben. Ist U pn hingegen positiv, liegt das Ferminiveau im p-gebiet unterhalb des Ferminiveaus im n-gebiet. Dadurch verringert sich die Höhe der Barriere, so dass Elektronen ins p-gebiet und Löcher ins n-gebiet gelangen können; die Diode wird also in Durchlasspolung betrieben. S.m.i.L.E: 2.1 Diode u. 2.4 pn-übergang

6 22 2 Diode 2.3 pn-übergang Aufgabenstellung Gegeben sei eine Siliziumdiode mit abruptem pn-übergang, bei der das p- Gebiet mit Boratomen und das n-gebiet mit Arsenatomen pro Kubikzentimeter dotiert wurde. Die effektive Querschnittsfläche der Diode betrage 0, 1mm 2, die Bahngebiete seien lang gegenüber der Diffusionslänge der jeweiligen Minoritätsträger. Die Lebensdauer der Elektronen und der Löcher betrage jeweils 30μs. Die Diode soll bei Raumtemperatur in drei verschiedenen Arbeitspunkten betrieben werden: In Sperrpolung (U pn = 10 V), ohne Vorspannung (U pn = 0 V) sowie in Durchlasspolung mit eingeprägtem Strom I D = 100 μa. Für jeden dieser Arbeitspunkte sind zu bestimmen: a. Der Diodenstrom I D (bzw. die Spannung U pn bei gegebenem Strom), b. die Diffusions- und die Sperrschichtkapazität, c. die maimal in der Diode auftretende elektrische Feldstärke, d. der Verlauf der Ladungsträgerdichten n und p über dem Ort (Skizze). Hinweise: Zur Vereinfachung kann die Transitzeit τ T durch die Lebensdauer der Elektronen bzw. der Löcher abgeschätzt werden, d.h. τ T = τ p = τ n = 30μs. Weiterhin kann schwache Injektion vorausgesetzt und die Generation bzw. Rekombination von Ladungsträgern in der Raumladungszone vernachlässigt werden. Ebenso kann der ohmsche Spannungsabfall über den Kontakten und den neutralen Bahngebieten vernachlässigt werden (dies bedeutet, dass eine von außen an die Diode angelegte Spannung U pn zu einer entsprechenden Änderung der Spannung über dem pn-übergang führt). Lösung zu a. Gleichstromverhalten Aus der Aufgabenstellung ergibt sich: N A =10 15 cm 3 =10 21 m 3, N D =10 17 cm 3 =10 23 m 3, A =0, 1mm 2 =10 7 m 2, τ T = τ n = τ p =30μs, T = 300 K kt/q =26mV. Geometrie: lange Abmessungen (da die Bahngebiete der Diode lang gegenüber der Diffusionslänge der Minoritätsträger sind). Die Berechnung des Diodenstromes I D bzw. der Diodenspannung U pn erfolgt mittels der Diodengleichung (2.4)

7 ( q ) ] I D = I S [ep kt U pn pn-übergang 23 mit dem Sättigungsstrom I S,derfür lange Abmessungen durch (2.5) [ I S = qan 2 Dp i + D ] n L p N D L n N A (2.15) (2.16) gegeben ist. Wir bestimmen zunächst die Diffusionskoeffizienten D n und D p mit Hilfe der Einstein-Beziehung (1.11) sowie den gegebenen Werten für die Ladungsträgerbeweglichkeiten μ n bzw. μ p (vgl. Seite XVI) und erhalten D n = kt q μ n =26mV 0, 135 m 2 V 1 s 1 =3, m 2 s 1, D p = kt q μ p =26mV 0, 048 m 2 V 1 s 1 =1, m 2 s 1. (2.17) Die Diffusionslängen L n und L p berechnen sich nach (1.12) mit τ p = τ n = 30 μs zu L n = D n τ n = 324, 5 μm, Damit ergibt sich ein Sättigungsstrom von L p = D p τ p = 193, 5 μm. (2.18) I S =39, 2fA. (2.19) Für U pn = 10 V erhalten wir mit Hilfe der Diodengleichung Für U pn = 0 V ergibt sich I D I S = 39, 2fA. (2.20) I D = 0 (2.21) und für I D = 100 μa erhält man durch Umstellen der Diodengleichung U pn = kt ( q ln 1+ I ) ( ) D 100 μa =26mV ln 1+ I S 39, 2fA =0, 563 V. (2.22) Man erkennt, dass bei U pn 0 kein bzw. nur ein vernachlässigbar kleiner Strom, der Sperrstrom, durch die Diode fließt (Sperrpolung). Beim Anlegen einer positiven Spannung steigt der Strom dann eponentiell an und erreicht ab etwa 0, 5 bis 0, 6 V bereits sehr große Werte (Durchlasspolung). S.m.i.L.E: 2.2 Diodenkennlinie

8 24 2 Diode Lösung zu b. Diffusions- und Sperrschichtkapazität Die Sperrschichtkapazität hat ihre physikalische Ursache darin, dass sich bei einer Änderung der Diodenspannung auch die Weite der Raumladungszone und damit die Menge der dort vorhandenen Raumladung ändert. Da die Ladungsänderung an den Rändern der Raumladungszone erfolgt, ergibt sich bei der Berechnung der Kapazität die gleiche Beziehung wie bei einem Plattenkondensator, wobei die Weite der Raumladungszone dem Plattenabstand entspricht. Es gilt somit (2.10) C j = Aε 0ε r w. (2.23) Da die Weite w der Raumladungszone nach (2.7) [ 2ε 0 ε r 1 w = + 1 ] (Φ i U pn ) (2.24) q N A N D mit zunehmender Sperrspannung größer wird, nimmt die Sperrschichtkapazität entsprechend ab. Mit der Dielektrizitätszahl ɛ r =11, 9für Silizium und der Diffusionsspannung (2.1) Φ i = kt q ln N AN D n 2 i =26mV ln 1015 cm cm 3 (1, cm 3 ) 2 = 697 mv (2.25) erhalten wir durch Einsetzen der Zahlenwerte in (2.24) bzw. (2.23) die Beziehungen w(u pn )= 1, m 2 V 1 (697 mv U pn ) bzw. (2.26) C j (U pn )= 1, Fm. (2.27) w(u pn ) Die sich damit ergebenden Werte von w und C j sind für die drei in der Aufgabenstellung angegebenen Arbeitspunkte in Tabelle 2.1 zusammengestellt. Tabelle 2.1. Zusammenstellung der Ergebnisse von Aufgabenteil b. und c. U pn = 10 V U pn =0V U pn =0, 563 V w 3, 772 μm 0, 963 μm 0, 422 μm C j 2, 79 pf 10, 9pF 25, 0pF C d 0F 0, 045 ff 115 nf E ma 5, 67 MVm 1 1, 45 MVm 1 0, 63 MVm 1 Die physikalische Ursache der Diffusionskapazität ist, dass sich bei einer in Durchlassrichtung betriebenen Diode mit Änderung der Diodenspannung

9 2.3 pn-übergang 25 auch die Menge der in den neutralen Gebieten gespeicherten Ladung ändert. Diese wächst mit zunehmender Spannung und berechnet sich gemäß (2.11) zu q ( q ) C d = τ T kt I S ep kt U pn. (2.28) Mit τ T =30μs, kt/q = 26 mv und I S =39, 2 fa erhalten wir die ebenfalls in Tabelle 2.1 angegebenen Werte für die Diffusionskapazität, abhängig vom Arbeitspunkt. Es ist zu erkennen, dass sowohl Sperrschichtkapazität als auch Diffusionskapazität mit steigender Diodenspannung U pn ansteigen. Im Sperrbereich dominiert jedoch die Sperrschichtkapazität, im Durchlassbereich hingegen überwiegt die Diffusionskapazität. Lösung zu c. Maimale Feldstärke Zur Veranschaulichung werden zunächst die ortsabhängigen Verläufe der Raumladungsdichte ρ und der elektrischen Feldstärke E bei einem abrupten pn-übergang mit N D >N A skizziert (Abb. 2.5). Die zugrunde liegenden physikalischen Effekte sind im Lehrbuch, Abschn. 2.1 und 2.2 beschrieben U pn F i -U pn -Q +Q r qn D -qn A E - p 0 n - + p _ n - p 0 n E ma Abb Verlauf von Raumladungsdichte ρ und elektrischer Feldstärke E bei einem abrupten pn-übergang mit N D >N A Wie in Abb. 2.5 zu sehen ist, ist die Raumladungsdichte in den neutralen Gebieten gleich null, da dort die Ladung der ionisierten Dotieratome durch die

10 26 2 Diode freien Ladungsträger kompensiert wird. Innerhalb der Raumladungszone, wo sich praktisch keine freien Ladungsträger befinden, ist die Raumladungsdichte näherungsweise durch die Dichte der ionisierten Dotieratome gegeben, also ρ = qn A für p <0, ρ =+qn D für 0 n. (2.29) Da aus Neutralitätsgründen die Ladung Q in dem n- und dem p-gebiet betragsmäßig gleich groß ist, gilt Daraus folgt unmittelbar Q = q n AN D = q p AN A. (2.30) N D n = N A p, (2.31) d.h. die Raumladungszone dehnt sich um so weiter in das n- bzw. p-gebiet aus, je geringer die Dotierung dort ist. Die elektrische Feldstärke E erhalten wir durch Integration der Raumladungsdichte ρ über dem Ort, also E() = 1 ε 0 ε r ρd. (2.32) Der betragsmäßig größte Wert E ma der Feldstärke wird bei = 0 erreicht. Auswerten des Integrals führt damit auf 0 E ma = E(0) = 1 qn A ( qn A ) d= p. (2.33) ε 0 ε r ε 0 ε r = p Dabei beschreibt p die Ausdehnung der Raumladungszone in das p-gebiet. Diese können wir gemäß (2.9) ausdrücken durch und erhalten somit aus (2.33) N D p = w (2.34) N A + N D E ma (U pn )= q N A N D w(u pn ) ε 0 ε r N A + N D = Vm 2 w(u pn ). (2.35) Die sich für die drei Arbeitspunkte ergebenden maimalen Feldstärken sind in Tabelle 2.1 zusammengestellt. Es ist deutlich zu erkennen, dass mit zunehmender Sperrspannung über dem pn-übergang sich auch die Weite der Raumladungszone und damit die Menge der in der Raumladungszone gespeicherten Ladung vergrößert. Damit steigt schließlich auch die maimale Feldstärke betragsmäßig an. S.m.i.L.E: 2.1 pn-übergang u. 2.1 Raumladungszone

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