11.8 Digitale Filter. Vorteile digitaler Filter

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1 Fachhochschule usbur Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen.8 Diiale Filer Nachrichenüberraunsechnik.8 Diiale Filer ls wichies Beispiel ür diiale Sinalverarbeiun sollen nun diiale Filer behandel werden. Das analoe Sinal wird diialisier und au diialer Ebene von einem PC mi Soware oder einem diialen Sinalprozessor weier verarbeie. Nach Rückwandlun des bearbeieen Diialsinals in ein analoes Sinal is das Sinal eiler. Dieser Prozeß kann in Echzei oder nach Zwischenspeicherun eines Sinalausschnis in Nich-Echzei (ledilich von der Durchührun des Proramms besimm) ablauen. ) Bandber. S&H Quanisierer D Diiale Sinalverarbeiun y( DC Rekonsr. Filer y() /2. T/ µp Hardware +Soware z.b: PC; DSP /2. DC Diial nalo Converer DC nalo Diial Converer Voreile diialer Filer Kompliziere Filercharakerisiken lassen sich mi LSI Bauseinen bei niedrien Kosen realisieren Keine Baueile Dri uch minimalphasie Filer mölich ( keine oder erine Lauzeiverzöerunen und Verzerrunen wie sie bei analoen Filern unvermeidlich sind) Filerkurven können beim FIR-Fileralorihmus (s.u.) direk voreeben und modellier werden Speziische Eienheien Quanisierunsehler Rundunsehler Rechenzei Man unerscheide zwei Typen Rekursive Filer und WS 99/ -8-bis2 Seie 33

2 Nachrichenüberraunsechnik Fachhochschule usbur.8 Diiale Filer Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen Nichrekursive Filer Rekursive Filer werden auch IIR-Filer (Ininie Impulse Response) enann. Der n-e diskree baswer des diial codieren usanssinals, y(, wird in einem rekursiven Verahren aus dem akuellen,, und voraneanenen basweren, n-),..., sowie aus voraneanenen usansweren, y(n-),..., besimm. {, n ), n 2), K, y( n ), y( 2),K} y( n (.8-) Der Sinallußplan enhäl Rückkopplunen. Das Verahren kann daher zu einem insabilen usanssinal ühren, worau beim Filerenwur zu achen is. llerdins erordern die rekursiven Verahren erheblich erineren Rechenauwand als die nich rekursiven Verahren. Nichrekursive Filer werden auch FIR-Filer (Finie Impulse Response) enann. Bei ihnen wird je eine usanswer des Sinals nur uner Verwendun von endlich vielen Einansweren (einem Sinalabschni der Läne T NT ) berechne: {, n ), n 2),, n )} y( K N (.8-2) Während die Verahren ür rekursive diiale Filer die Enwursverahren und Eienschaen analoer Filer au diialer Ebene nachbilden, wird bei nichrekursiven Filern der direke We eanen, der darin beseh, das usanssinal durch abschnisweise Falun des Einanssinals mi der ( endliche Impulsanwor des Filers zu berechnen. Im olenden werden wir die wichisen Hilsmiel zusammensellen, die den Überan vom analoen zum diskreen Sinal im Zei- und Frequenzbereich ermölichen. 34 WS 99/ -8-bis2

3 Fachhochschule usbur Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen.8 Diiale Filer Nachrichenüberraunsechnik.8. Überan vom analoen zum diskreen Sinal Periodische Zeiunkion: diskrees Spekrum, Fourierreihe (oder periodische reelle Frequenzunkion s.u.) c k (τ/t) ) /T /τ k π φ k k I. F. T. D. ) k c k e FTD ) jω k IFTD { c } k F. T. D. c k T T ) e jω k d (.8-3) diskree (abeasee) Zeiunkion: periodisches Spekrum τ T x PM () T X() n nt /2 max 2 eine diskree Zeiunkion mi Weren im bsand T ha ein koninuierliches periodisches Spekrum mi Periode WS 99/ -8-bis2 Seie 3

4 Nachrichenüberraunsechnik Fachhochschule usbur.8 Diiale Filer Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen n ) / 2 / 2 X ( ) e j2 π n j2 π n d X d ( ) n ) e n n nt (.8-4) Diskreer Sinalabschni, diskreer Spekralabschni: Diskree Fourierransormaion: N diskree Zeiabaswere, N diskree Frequenzabaswere Zur Berechnun der Spekralunkion ( des Spekrums, oder der Fourierransormaio mi einem Diialrechner. X() Basisinervall n nt n(/ ) /2 Basisinervall 3 /2 2 TNT N/ N N/T periodische periodisches diskree, diskrees, äquidisane äquidisanes Zeiunkion Spekrum D. F: T : { } I. D: F: T { X ( k) } n,,... N. k,,..., N (.8-) D. F. T. I. D. F. T. X ( k) N N k N n e X ( k) e nk j2 π N nk j2 π N k,,..., N n,,..., N 36 WS 99/ -8-bis2

5 Fachhochschule usbur Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen.8 Diiale Filer Nachrichenüberraunsechnik nichperiodische Zeiunkion endlicher Dauer (Eneriesinal): Fourierransormaion S() τ s() τ d /τ π φ() π π j2 s( ) S( ) e d F. T. j2 { S( )} S( ) s( ) e d F. T. { s( ) } (.8-6) Diskree Falun: Berechnun des diskreen usanssinals ür ein diskrees Sysem aus dem diskreen Einans-Sinalabschni und der (endlichen ) diskreen Pulsanwor des Sysems. u e ()δ() h() U e () H() U a () u e ()σ() ) x x 3 x y() y 3... x h() x h() 3 3 n WS 99/ -8-bis2 Seie 37

6 Nachrichenüberraunsechnik Fachhochschule usbur.8 Diiale Filer Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen Das Einanssinal wird durch die Diskreisierun in eine Fole von basweren ( Pulse zerle (PM-Sinal). Das usanssinal berechne sich aus der Überlaerun der Pulsanworen des Pulsmodulieren Einanssinals. Beispiel: diskreer usanswer mi Nr.3 y3 x3h + x2 h + xh2 + xh3 x ( 3 l ) h ( l ) allemeine Falunssumme: 3 l y ( n l) h( l) h( n i) i).8.2 FIR-Filer mi ransversaler Filersrukur l i (.8-7) Eine Sysem-Nachbildun des lorihmus der diskreen Falun wird durch das olende Funkionsschalbild eeben. Dabei wird das diskree Einanssinal mi einem au N Glieder beschränken bschni der Impulsanwor des Filers eale. Geakee Speicher (Schiebereiser) n-) n-2) n-n) Muliplikaoren x N- h N- N h N h h x x 2 h 2 x x Σ y( Summierer Man nenn die i (i,,..., N) die Koeizienen des Filers. Sez man i h(i), so besimm sich der usanswer zum Zeipunk nt aus der Falun eines Sinalabschnis mi der Läne NT mi der Pulsanwor der Läne NT : y( + n ) + K+ n N) h() + h() n ) + K+ h( n N) N N i 38 h( i) n i) Zur Enwicklun eines Filers muß durch Transormaion vom Frequenz- in den Zeibereich aus der Überraunsunkion (Dämpunsunkio die Pulsanwor des Filers ermiel werden. nschließend muß die Pulsanwor durch bschneiden (Fenserun) au N-Glieder beschränk werden und noch in eeineer Weise zeilich verschoben werden, so daß der Beinn der eenseren Pulsanwor nach der Erreun komm. Dami sind die Filerkoeizienen besimm und WS 99/ -8-bis2

7 Fachhochschule usbur Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen.8 Diiale Filer Nachrichenüberraunsechnik das Filer kann mi der oben aneebenen Srukur realisier werden. Die Dämpunsunkion dieses Filers ( mi der au einen Zeiabschni der Läne T NT eineschränken Pulsanwor) weich nun von der usans-dämpunsunkion ab. Insbesondere ereben sich im Überansbereich bweichunen, sowie ein Überschwinen im Durchlaß- und Sperrbereich (Gibb sches Phänome. Durch Erhöhen der Koeizienenzahl und eebenenalls nwendun von ewicheen Fenserunkionen läß sich die nnäherun verbessern. Der Enwicklunsprozeß läu daher inerakiv ab. Die Wahl des Sinalabschnis und die Koeizienenzahl werden solane opimier, bis der eundene Dämpunsverlau mi dem Toleranzschema vereinbar is. Beispiel: Man enwickle ein diiales FIR TP Filer mi N 33 Koeizienen ür eine basrequenz von 48 khz und /6 8 khz. Man berechne die Dämpun des Filers bei 24 khz. Lösun: Für kleine N (<) kann das Problem noch ohne roßen uwand von Hand elös werden. In der Praxis erorder das Toleranzschema allerdins eine höhere Koeizienenzahl. Dann lassen sich die Rechnunen nur mehr uner Zuhilenahme eines compuerunersüzen Enwicklunsproramms erledien. Wir verwenden hier das Mahemaikproramm MahCad, um den in der Praxis üblichen inerakive Enwicklunsprozeß zu demonsrieren. Zunächs zeien wir jedoch noch einmal analyisch, wie sich die Pulsanwor eines idealen abeaseen Tiepasses berechnen läß. (vl. ( ) H( ) < < < / 2 H ( + ) H ( ) 2 h d ( c( nt ) / 2 / 2 H ( ) exp( j2π nt ) d exp( j2π d 2π jn exp( j2π exp( j2π jn2π exp( j2π nπ sin( ) h 3 d ( 3 nπ ( ) 3 ls Fourierransormiere der periodischen Kasenunkion erib sich die diskree sin(x)/x Funkion mi x nπ/3. WS 99/ -8-bis2 Seie 39

8 Nachrichenüberraunsechnik Fachhochschule usbur.8 Diiale Filer Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen Nun ühren wir die esame Rechnun mi MahCad durch. Dabei wird au die obie Rechnun verziche und die Pulsanwor des idealen Tiepasses über die Inverse Fourierransormaion ermiel. 4 WS 99/ -8-bis2

9 Fachhochschule usbur Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen.8 Diiale Filer Nachrichenüberraunsechnik Enwicklun eines FIR-Tiepasses mi 48 khz, 8 khz. Verwendun von N 33 Koeizienen und Recheckenser. Wie roß is die Dämpun bei 24 khz? Berechnun der Pulsanwor ür ein ideales, abeasees TP-Filer: basrequenz 48 khz, Frequenzaulösun Hz Hz N 48 d N d s 8 k.. N H( k) wenn. < <,, 48 N k N k Die Funkion wenn(bed.,x,y) ib x oder y zurück, je nach Wer von bed. Wenn bed. wahr is, überib die Funkion x, sons y.. k d H( k) k Dami die diskree Fourierransormiere von H(k) berechne werden kann, muß H(k) in einen Vekor umewandel werden. H k H( k) h ics( H ) berechne die inverse DFT von H(k) n.. N h( h n d ( n ) n. d h( h(.. ( 4. ( Umwandeln von h( in symmerische Funkion bzl. Null N N N n.. m.. N h ( wenn( n<, h( n ), h( ) h 2 ( m) wenn m< N 2, h ( m), 2 WS 99/ -8-bis2 Seie 4

10 Nachrichenüberraunsechnik Fachhochschule usbur.8 Diiale Filer Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen h 2 ( m)..... ( m) Beschränkun au N 33 Koeizienen (Fenserun) und Verschieben um 6 (N-)/2, so daß eensere Pulsanwor bei > anän: N 33 N w( m) wenn < m< N,, 2 2 h( m ) h. 2 m N w m N 2 2 w( h( m).... (..... ( m) Fourierransormaion der Pulsanwor: Die Funkion cs() ib die Diskree Fourierransormaion (DFT) von dem Vekor zurück. m.. N h m h( m) H cs( h) k,.. N H( k) H k a( k ) 2. lo( H( k) ). H( k) k s Hz k s s. N k s 24 a k s WS 99/ -8-bis2

11 Fachhochschule usbur Fachbereich Elekroechnik Pro. Dr. C. Clemen.8 Diiale Filer Nachrichenüberraunsechnik Dämpunsverlau (verrößer) im Frequenzbereich von Null bis zur basrequenz Filerkoeizienen: m h(m) ür m,...,n- m.. N h m Dämpun / db a( k) k Frequenz / Hz FIR-Tiepaßiler, N33, Recheckenser Erhöh man die Koeizienenzahl, so kann die Dämpunszunahme im Überansbereich seiler esale werden und die Sperrdämpun erhöh werden. Zusäzlich kann durch eeinee Fenserunkionen die Wellikei im Sperrebie verriner werden und die Dämpun dor ebenalls erhöh werden ( Übunsauabe ). Man erkenn, daß diese Mehode die Mölichkei eröne, Filer zu konsruieren, ür die eine beliebie Überraunsunkion voreeben werden kann. So lassen sich nach dieser Mehode auch Enzerrer realisieren. Dies wurde in Kap 2 schon beschrieben. WS 99/ -8-bis2 Seie 43

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