Seminar Quantum Computation - Finite Quanten-Automaten und Quanten-Turingmaschinen

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1 Seminr Quntum Computtion - Finite Qunten-Automten und Qunten-Turingmschinen Sebstin Scholz Dezember 3. Einleitung Aus der klssischen Berechenbrkeitstheorie sind die odelle der deterministischen und nichtdeterministischen finiten Automten beknnt, uch FA gennnt, d sie einen Input nur einml sequentiell von links nch rechts lesen können. Eine Erweiterung dieses odells bietet die öglichkeit, den Inputkopf uch zurückbewegen zu können: ds odell des FA. Es konnte gezeigt werden, dss selbst diese Ttsche die ächtigkeit dieses Automtentyps nicht erhöht - lle diese odelle erkennen genu die Sprchklsse REG der regulären Sprchen. In den folgenden beiden Abschnitten werden nun die odelle des FA und FA in die Quntenwelt übertrgen und ihre ächtigkeit untereinnder sowie gegenüber den klssischen odellen verglichen. Im letzten Abschnitt wird schliesslich ds odell der Qunten- Turingmschine (QT) eingeführt, welche in der Quntenwelt eine ähnlich große Bedeutung ht wie die Turingmschine in der klssischen Komplexitätstheorie.. One-Wy QFAs One-Wy-QFAs (QFA) sind der einfchste Typ von finiten Qunten-Automten: der Input wird sequentiell in eine Richtung ( one-wy ) gelesen und für jedes gelesene Zeichen ein entsprechender Qunten-Opertor ngewndt, der den QFA in einen neuen Zustnd überführt. Ein QFA A = ( Σ, Q, Q, Qr, q, δ ) wird dbei ähnlich wie ein klssischer FA definiert: Er besteht us einem endlichen Input-Alphbet Σ, einer endlichen enge von Zuständen Q, dem Anfngszustnd q, den engen Q Q von kzeptierenden und Q r Q von verwerfenden Zuständen mit Q Q r =, sowie der Trnsitionsfunktion δ : Q Γ Q C [, ], die jedem Übergng von einem Zustnd in einen nderen eine bestimmte (komplexe) Whrscheinlichkeit zuordnet. Γ umfsst dbei neben dem Input-Alphbet Σ uch die Zeichen # und $, die ds linke bzw. rechte Ende des Input-Wortes mrkieren. Eine Berechnung des QFA findet uf dem Vektorrum l ( Q) zur Bsis { q q Q } sttt. Dzu wird ein Opertor V verwendet, der ngewendet uf einen Zustnd q Q für lle Γ einen neuen Zustnd ψ liefert, der ls Superposition von nderen Zuständen drstellbr ist:

2 V ( q ) = δ ( q,, q') q'. q' Q Der QFA befindet sich lso nch Anwendung von V in mehreren Zuständen gleichzeitig. V muss unitär sein, usserdem müssen die Bedingungen q Q ' δ ( q,, q') = und, flls q = q δ ( q,, q') ( q,, q') = (Orthogonlität) sonst q ' Q, für lle q q Q, Γ erfüllt sein. Weiterhin wird während der Berechnung des QFA ein Observble O benötigt, ds nch jedem Schritt des QFA eine essung durchführt und den durch Anwendung des Opertors V entstndenen Zustnd ψ in einen Zustnd ψ ' der Unterräume E = spn { q q Q }, Er = spn { q q Q r }, oder E n (orthogonles Komplement von E Er ) bbildet, und zwr mit der Whrscheinlichkeit ψ '. Der QFA rbeitet uf einem Input w =... $ nun folgendermßen: # n Anwendung des Opertors V # : V# q ψ essung von ψ mit dem Observble ergibt einen Zustnd ψ ' Flls ψ ' E : Input kzeptieren Flls ψ ' Er : Input verwerfen Flls ψ ' E : Normierung von ψ ' zu ψ '' und: n Fortfhren mit der Anwendung des Opertors V uf den normierten Zustnd Schließlich erhält mn dmit einen Zustnd V ' V '... V ' V ' q ' i i # (wobei V die Abbildung von V in den Unterrum E n symbolisiert), solnge bis kzeptiert bzw. verworfen wurde oder ds Ende des Inputs erreicht ist. Um nun die Whrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der ein QFA A einen Input kzeptiert bzw. verwirft, definiert mn eine enge von erweiterten Zuständen: A befindet sich zu einem gewissen Zeitpunkt im Zustnd ( ψ, p, pr ), flls A den bis dhin gelesenen Input mit einer Whrscheinlichkeit p kzeptiert, mit Whrscheinlichkeit p r verwirft, und mit Whrscheinlichkeit p pr = ψ weiterrbeitet. Der Übergng zwischen zwei erweiterten Zuständen uf einem Inputzeichen erfolgt mithilfe des Opertors T : ( ψ, p, pr n r + ) ( P V ψ, p + P V ψ, p P V ψ ), wobei P i die Abbildung eines Zustnds in den Unterrum E i bezeichnet. Wenn der QFA A lso usgehend vom Anfngszustnd ( q,, ) nch Lesen eines Inputs w den Zustnd ( ψ, p, pr ) erreicht, so geben p und p r die Whrscheinlichkeiten n, mit denen A w kzeptiert bzw. verwirft. Ausgehend von diesem odell knn mn nun den Akzeptnzbegriff für QFAs festlegen: Ein QFA A kzeptiert eine Sprche L mit Whrscheinlichkeit + ε ( ε > ), wenn lle x L bzw. x L mit Whrscheinlichkeit + ε kzeptiert bzw. verworfen werden. n spricht dnn uch von beschränkter Fehlerwhrscheinlichkeit. r ψ ''

3 i j So knn z.b. die Sprche L = { i, j } von einem QFA mit beschränkter Fehlerwhrscheinlichkeit, genuer gesgt mit einer Whrscheinlichkeit von p, 68, erknnt werden. Eine grundlegende Frge ist nun, ob mn mit QFAs mehr erkennen knn ls mit klssischen FAs. Dem ist nicht so: Jede Sprche, die von einem QFA mit beschränkter Fehlerwhrscheinlichkeit kzeptiert wird, ist regulär. Der Beweis zu diesem Stz benutzt für eine beliebige von einem QFA erknnte Sprche L ' ds bereits beknnte Konzept der Rechtskongruenzreltion R L (zwei Worte w, w Σ stehen dbei in Reltion, wenn für lle y Σ : wy L w ' y L gilt), und zeigt über die Akzeptnzwhrscheinlichkeit des QFA, dss es für diese Reltion nur endlich viele Äquivlenzklssen geben knn, worus beknntermßen sofort folgt, dss L regulär ist. ٱ Nchdem QFA REG gezeigt wurde, stellt sich die Frge, ob mn mit QFAs uch wirklich lle regulären Sprchen erkennen knn. Hierzu betrchtet mn die Sprche L = {,} REG. Es fällt nicht schwer, einen FA zu konstruieren, der diese Sprche kzeptiert. Die Zustände und Trnsitionen des FA nun einfch nlog uf einen QFA zu übertrgen ist llerdings nicht möglich, d in diesem Fll die Unitär- und Orthogonlitätsbedingungen verletzt werden würden. Ttsächlich ist es überhupt nicht möglich, einen QFA für diese Sprche zu konstruieren: L knn von keinem QFA mit beschränkter Fehlerwhrscheinlichkeit erknnt werden. Als Beweis hierfür knn mn den Zustnd ψ #w eines beliebigen QFA nch Lesen eines Wortes w mit w {,} betrchten und zeigen, dss uch eine weitere k-fche Anwendung des Opertors V ' uf ψ #w (dies entspricht gerde dem Lesen von k weiteren en) nur geringe Auswirkung uf die Norm des resultierenden Zustnds ψ ht, sich die k # w erweiterten Zustände T und #w$ T k lso nicht genügend unterscheiden, um sicherzustellen, # w $ dss die Worte w L und w k L uch wirklich mit der Whrscheinlichkeit + ε kzeptiert bzw. verworfen werden. ٱ Als Konsequenz us diesem Stz erhält mn lso die echte Inklusion QFA REG. QFAs können demnch weniger erkennen ls klssische FAs. Eine weitere Vergleichsmöglichkeit zwischen FAs und QFAs bietet ihre Komplexität, in diesem Fll lso die Anzhl der Zustände die benötigt werden, um bestimmte Sprchen zu erkennen. Hier konnte gezeigt werden, dss es sowohl Sprchen gibt, für die ein FA exponentiell mehr Zustände benötigt ls ein QFA, ber uch Sprchen, bei denen genu ds Gegenteil der Fll ist. Als letzter Punkt zu den Eigenschften von QFAs seien noch die Abschlusseigenschften gennnt. Es konnte gezeigt werden, dss die Sprchklsse, die von QFA kzeptiert wird, unter Komplement, inversem Homomorphismus und Wortquotienten bgeschlossen ist, ber nicht unter Homomorphismus. 3

4 Eine eingeschränkte Art von QFAs ist ds odell des O-QFA ( mesurement one ), bei dem nicht nch jedem Schritt eine essung mit dem Observble durchgeführt wird, sondern nur eine einzige essung gnz m Ende stttfindet. Dies ist eine echte Einschränkung bzgl. der ächtigkeit, d.h. es gibt Sprchen us der Sprchklsse des QFA, die von einem O- QFA nicht erknnt werden können. 3. Two-Wy QFAs Ein Two-Wy-QFA (QFA) ist ds Qunten-Anlogon zum klssischen FA und wird gnz ähnlich definiert wie ein QFA. Lediglich die Trnsitionsfunktion umfsst wie bei herkömmlichen FAs neben den Zustndsübergängen zusätzlich noch die Richtung, in die sich der Inputkopf nschliessend bewegen soll: δ : Q Γ Q {,,} C[, ]. Auch die Berechnung uf einem Input x erfolgt ähnlich wie beim QFA, wobei diesml neben dem Zustnd q uch die ktuelle Position k des Kopfes uf dem Input bechtet wird: Auf dieses Tupel q, k wird ein unitärer Opertor U x (wiederum muss δ gewisse Bedingungen erfüllen, um zu gewährleisten, dss U x unitär ist) ngewendet, der einen neuen Zustnd ψ, k' ls Superposition verschiedener nderer Zustände liefert. Auf diesem Zustnd erfolgt dnn mittels eines Observbles O wieder eine essung in einen Zustnd ψ ' in einen der Unterräume E, Er oder E n, die bestimmen, ob der Input kzeptiert, verworfen oder weitergerbeitet werden soll. Der Akzeptnzbegriff für QFAs für eine Sprche L knn demnch nlog vom QFA übernommen werden. Die ächtigkeit eines QFA ergibt sich nun us der Ttsche, dss sich der Automt nicht mehr nur gleichzeitig in verschiedenen Zuständen, sondern drüberhinus uch noch uf verschiedenen Positionen des Inputs befinden knn. Dmit knn gezeigt werden, dss QFAs im Gegenstz zu QFAs wirklich lle regulären Sprchen erkennen. ehr noch, es knn sogr gezeigt werden, dss uch nicht-reguläre Sprchen von einem QFA erknnt werden können. i i Ein Beispiel hierfür wäre die Sprche L = { i > } REG. Um L zu erkennen, definiert mn sich einen QFA A, dessen Zustände und Trnsitionen vom Prmeter n bhängen. A geht nun in 3 Phsen vor: Phse : Hier testet A zunächst nur, ob der Input die Form ht, indem er ihn einfch von links nch rechts brbeitet, und m Ende uf der rechten Endmrkierung $ stehenbleibt. Phse : Nun erzeugt der Opertor V $ eine Superposition von n verschiedenen Zuständen. Auf diese Weise teilt sich die Berechnung lso in n prllele Pfde. Auf jedem dieser Pfde bewegt sich der Kopf nun wieder zurück zum Input-Anfng, bleibt dbei ber uf jedem Symbol immer eine bestimmte, vom Pfd bhängige, Schrittzhl lng stehen, bevor er weiter nch links läuft. Diese Schrittzhl wird durch die Whl der Zustände vorher so festgelegt, dss uf einem Input der Form u v die Köpfe ller n Pfde die linke Endmrkierung gleichzeitig erreichen, wenn u = v gilt. 4

5 Phse 3: Am linken Ende ngekommen wird uf jedem Pfd eine QFT durchgeführt, die für jeden Pfd erneut eine Superposition erzeugt. Flls nun lle Köpfe gleichzeitig den Anfng erreicht hben (lso im Flle u = v ), entsteht us der Superposition ein kzeptierender Zustnd, der nschliessend mit Whrscheinlichkeit gemessen wird. Flls die Köpfe nicht gleichzeitig ds linke Ende erreichen (lso u v gilt), so entsteht us der Superposition ein verwerfender Zustnd, der mit Whrscheinlichkeit gemessen wird. n A kzeptiert lso lle x L mit Whrscheinlichkeit und verwirft lle x L mit. ٱ n Als Konsequenz us diesem Stz erhält mn lso die Inklusion REG QFA. QFAs sind demnch mächtiger ls herkömmliche FAs. Auf ähnliche Weise wie oben lssen sich sogr QFAs konstruieren, die bestimmte nicht-kontextfreie Sprchen erkennen können! 4. Qunten-Turing-schinen Eine QT = ( Σ, Q, q, q f, δ ) wird ähnlich wie eine klssische probbilistische T definiert, d.h. mit einem Anfngszustnd q, einem Endzustnd q f, und einer Trnsitionsfunktion δ : Q Σ Σ Q {,, } C[, ], die jedem Zustndsübergng eine bestimmte Whrscheinlichkeit zuordnet. Um zu gewährleisten, dss die Berechnung von unitär ist, muss δ dbei gewisse Bedingungen erfüllen: - δ ( q,, b, q, d) = für lle ( q, ) Q Σ - δ ( q,, b, q, d) ( q,, b, q, d) = für lle ( q, ) ( q, ) - δ ( q,, b d) ( q,, b, q, d ) = für lle ( b d) ( b, q, d ) - δ ( q,, b d) ( q,, b d ) = für lle d d Eine Berechnung von findet uf dem Vektorrum l ( C ) sttt, wobei C die enge ller Konfigurtionen von (bestimmt durch den ktuellen Bndinhlt, den Zustnd, und die ktuelle Kopfposition von ) ist. Einen Berechnungsschritt von einer Konfigurtion in eine ndere knn mn definieren durch einen Opertor U c = c' C m 5 ( c, c' ) c'. Dbei gibt ( c, c' ) die durch δ bestimmte Amplitude des Übergngs von der Konfigurtion c in die Konfigurtion c ' n. Nch Anwendung des Opertors U wird uf der entstndenen Konfigurtion φ = α c c, die eine Superposition von verschiedenen Konfigurtionen ist, eine essung durchgeführt und ddurch die Konfigurtion c mit der Whrscheinlichkeit α c gebildet. Eine Berechnung von ist dmit eine Folge von Konfigurtionen c, c, c,..., wobei c die Strtkonfigurtion ist und c i durch U ( c i ) entsteht. Die Berechnung endet, wenn den Endzustnd q f erreicht. Ds Ergebnis ist die Zeichenkette, die zu diesem Zeitpunkt uf dem Bnd steht. Jedes mögliche Ergebnis eines Inputs knn dmit mit einer bestimmten Whrscheinlichkeit berechnet werden. Ähnlich wie bei QFAs unterscheidet mn zwischen QTs, die eine essung nch jedem Schritt durchführen, und solchen, die nur eine einzige essung nch Erreichen des Endzustndes vollziehen. Hier konnte gezeigt werden,

6 dss letzterer Typ usreicht, solnge mn nur den Zeit-Aufwnd einer QT betrchtet, ber bei Bechtung des Pltz-Aufwndes eine essung nch jedem Schritt günstiger ist. Aufgrund der Unitär-Bedingungen ist es im Gegenstz zu klssischen Ts schwierig, uch nur einfche odifiktionen n den Trnsitionen (wie z.b. ds Hinzufügen oder Austuschen) vorzunehmen. Aus diesem Grund wurden verschiedene, leichter hndhbbre Vritionen des oben vorgestellten odells entwickelt, deren ächtigkeit ber dem ursprünglichen odell in nichts nchsteht. Ein solches odell ist der Typ der unidirektionlen QT (uqt), bei der nur noch die ersten beiden der obigen Bedingungen n δ erfüllt sein müssen. Bei einer solchen uqt ist die Bewegung des Kopfes ber eindeutig durch den Zustnd festgelegt, in den nschliessend übergeht. Genuer: flls δ ( q,, b d) δ ( q,, b d ) ist, so muss d = d gelten. Eine solche Einschränkung ht kum Auswirkung uf die Effizienz der Berechnung. Ttsächlich konnte bewiesen werden, dss jede QT durch eine uqt simuliert werden knn, und dbei nur ein liner grösserer Zeitufwnd entsteht. Simultion bedeutet im Fll von QTs, dss sich die Whrscheinlichkeitsverteilung ller möglichen Ergebnisse zu einem festen Input zwischen simulierter und simulierender QT nur um einen kleinen Wert unterscheidet. Auch die Verwendung von ehrbnd-qts bringt, wie bei herkömmlichen Ts, keine grössere ächtigkeit: jede ehrbnd-qt knn von einer Einbnd-QT mit polynomiell mehr Zeitufwnd simuliert werden. Eine ndere Frge ist, welcher Wertebereich der Amplituden nötig ist, um die volle Leistungsfähigkeit einer QT zu erhlten, sowie die Frge, wie genu die Amplituden ngegeben werden müssen, um noch ein hinreichend genues Ergebnis zu bekommen. Zunächst konnte gezeigt werden, dss reellwertige Amplituden genügen, um die volle Leistungsfähigkeit zu erhlten, solnge mn einen konstnten ehrufwnd n Zeit zulässt. Später wurde dieses Resultt dhingehend verschärft, dss bereits rtionle Amplituden usreichend sind. Bei der Frge nch der Genuigkeit konnte bewiesen werden, dss für zwei QTs, deren Amplituden sich jeweils um höchstens ε unterscheiden, sich ds Ergebnis uch nur um höchstens c ε für eine Konstnte c unterscheidet. Änderungen in den Amplituden wirken sich lso nur dditiv, und nicht etw exponentiell, uf ds Ergebnis us. Die Progrmmierung von QTs ist, wie oben schon ngedeutet, ufgrund der Forderung nch einer unitären Berechnung wesentlich schwieriger ls bei klssischen Ts. Bereits die im klssischen Fll einfch zu relisierenden Funktionen wie Verknüpfung oder prlleles Ausführen zweier Ts, sind bei QTs nur sehr ufwändig zu implementieren. Eine besondere Schwierigkeit dbei ist, die verschiedenen Berechnungspfde zeitlich genu bzustimmen. Denn der Opertor U knn nur ngewendet werden, wenn lle dfür benötigten Konfigurtionen zu diesem Zeitpunkt uch vorliegen. Um solche Probleme für zukünftige Betrchtungen zu vereinfchen, ht mn sich verschiedene Stndrdisierungen für QTs überlegt: n bezeichnet eine QT ls wohlverhltend, wenn uf llen Inputs in einem Zustnd hält, bei dem sich lle Konfigurtionen im Endzustnd und lle Köpfe uf derselben Bndposition befinden. Desweiteren befindet sich eine QT in Normlform, wenn lle Trnsitionen us dem Endzustnd (und nur diese!) zurück in den Anfngszustnd führen. 6

7 Auf Grundlge dieser Vereinbrungen können nun die klssischen odifizierungstechniken Verknüpfung, lterntives Ausführen ( Verzweigen ) zweier Turingmschinen, sowie der Einbu von Schleifen recht einfch uf QTs übertrgen werden: Composition Lemm: Für zwei wohlverhltende QTs in Normlform gibt es eine QT in Normlform, die zuerst die Berechnung von und nschliessend (nchdem ihren Endzustnd erreicht ht) die Berechnung von usführt. giert dmit ls Verknüpfung von. Brnching Lemm: Sind zwei wohlverhltende QTs in Normlform, dnn gibt es eine wohlverhltende QT in Normlform, die uf Spuren ihres Arbeitsbndes lterntiv die Berechnung von oder die von usführt. Looping Lemm: Es gibt eine QT mit einem usgezeichneten Zustnd q, der während einer Berechnung von genu k-ml (bhängig vom Input) erreicht wird. Bei jedem l befindet sich der Arbeitskopf dbei uf der Anfngsposition des Inputs. Die QT lässt sich dbei jeweils ähnlich wie im Fll von klssischen Ts konstruieren, indem einfch die Trnsitionen von n den Anfngs- und Endzuständen entsprechend modifiziert werden. Dies ist nun problemlos möglich, d jeweils in Normlform vorliegen, und dmit keine weiteren Zustände von diesen Änderungen betroffen werden. ٱ 5. Litertur - Jozef Grusk: Quntum Computing, cgrw-hill Publishing Compny Skript zur Vorlesung Quntencomputer im SS 3 der Universität Ulm: 7

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