Die Funktion ist also periodisch mit der Periode 2π. Dabei sind auch Sprungstellen (Sägezahnkurve) (a k cos(kx) + b k sin(kx)) a 0.

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1 Kapitel 7 Fourier-Trasformatio 7.1 Eiführug Diet der Maipulatio vo Date, Darstellug vo Date, beste Möglichkeit. Vgl. Ortsdarstellug, Impulsdarstellug i der QM Utersuchug vo Messdate auf Periodizität, sog. Powerspektrum 7.2 Fourier-Reihe Sei f(x) stetige Fuktio mit f(x + 2π) = f(x) x R Die Fuktio ist also periodisch mit der Periode 2π. Dabei sid auch Sprugstelle (Sägezahkurve) möglich. BILDER! Approximiere f(x) durch g (x) = (a k cos(kx) + b k si(kx)) a 0 k=1 so dass { π g (x) f(x) 2 = [g (x) f(x)] 2 dx Miimal. Dies ist eie Least-Square-Approximatio vo f(x) durch trigoometrische Fuktioe. Bem.: si- ud cos-fuktioe sid orthogoale Fkt. bzgl. [, π]. Es gilt: π 0 j k cos(kx) cos(jx)dx = 2π j = k = 0 (7.1) π j = k > 0 π π si(kx) si(jx)dx = } 1/2 { 0 j k i, k > 0 π j = k > 0 (7.2) cos(kx) si(jx)dx = 0 j 0, k > 0 (7.3) 77

2 78 KAPITEL 7. FOURIER-TRANSFORMATION Diese Orthogoalitätsrelatioe gelte auch für adere Itervale (z.b. [0, 2π]). Damit: F g (x) f(x) 2 = F (a 0, a 1,..., a, b 1,..., b ) (7.4) Das Miimum ergibt sich aus: F a 0 = 0, F a i = 0, Dies sid Gleichuge ud es folgt a k = 1 π b k = 1 π π π F b i = 0, i = 1, f(x) cos(kx)dx k = 0,..., (7.5) f(x) si(kx)dx k = 1,..., (7.6) Die a k, b k heiße Fourierkoeffiziete der (2π-periodische) Fuktio f(x), ud g (x) ist das Fourier-Polyom. Für : Fourier-Reihe g(x). Bem.: Sei f eie periodische, stückweise stetige Fuktio mit stückweise stetiger Ableitug, da gilt: Dies gilt im Sie vo: g(x) f(x) falls f stetig (7.7) 1 2 [f(x+ 0 ) + f(x 0 )] falls f ustetig (7.8) g(x) f(x) 2 0 (das heißt icht, dass auch jeder eizeler Fuktioswert idetisch sei muss). BILDER Bspl.: 1) f(x) = x π x π f(x) ist gerade b k = 0 (wege (ugerade * gerade ) dx = 0). a 0 = π [ a k = 2 πk ( 1) k 1 ], k > 0 2 g (x) = 1 2π 4 [ ] cos x cos 3x cos 5x π [Vgl. g 3 (x), Fig. 4.1 aus Schwarz]. Aus f(0) = 0 g(0) = 0, ud ei Vergleich ergibt 2) Sägezah-Fuktio Es folgt (Übug) π = f(x) = x 2 0 < x < 2π [ g (x) = 4π k cos(kx) 4π ] 2 k si(kx) k=1

3 7.3. DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION (DFT) Diskrete Fourier-Trasformatio (DFT) Zu bereche ist mit eier Itervallverschiebug ach [0, 2π] a k = 1 π 2π 0 f(x) cos(kx)dx = 1 π π f(x) cos(kx)dx weil f(x) periodisch i [0, 2π] war. Approximiere die Itegrale für a 0, a k, b k durch die Trapez-Regel. Teile das Itervall [0, 2π] i N Teil-Itervalle mit de Stützstelle ud Mit f(x 0 ) = f(x N ) folgt x j = hj = 2π j j = 0, 1,..., N (7.9) N h = 2π N a k = 2 N N f(x j ) cos(kx j ) k = 0, 1,... (7.10) b k = 2 N N f(x j ) si(kx j ) k = 1, 2,... (7.11) Der Ster symbolisiert hier die Koeffiziete der diskrete Reihe. Mit de obige Stützstelle gilt N cos(kx j ) = { 0 falls k/n Z N falls k/n Z N si(kx j ) = 0 k Z Für solche äquidistate Stützstelle (7.9) gelte die diskrete Orthogoalitätsrelatioe (Siehe Schwarz) k+l N 0 Z ud k l Z N N N k+l cos(kx j ) cos(lx j ) = Z oder k l Z 2 N N N k+l Z ud k l Z N N Für die Sius-fuktio laute die Relatioe ählich k±l N 0 Z oder k±l Z N N si(kx j ) si(lx j ) = N k+l Z ud k l Z 2 N N N umgekehrt 2 Es gilt: N si(kx j ) cos(lx j ) = 0 k, l N 0

4 80 KAPITEL 7. FOURIER-TRANSFORMATION Satz 7.1 Sei N = 2, N ud g(x) a 0 + (a k cos(kx) + b k si(kx)) a cos x k=1 wobei die Koeffiziete a k, b k durch die Gleichuge (7.10, 7.11) gegebe sid. Da ist g (x) das eideutige iterpolierede Fourier-Polyom zu de Stützstelle x j mit de Stützwerte f(x j ). Die Fuktio ist periodisch, also gilt f(x 0 ) = f(x N ). Satz 7.2 Sei N = 2, N ud gm (x) 1 m 2 a 0 + (a k cos(kx) + b k si(kx)) (7.12) k=1 mit de Koeffiziete a k, b k aus de Gleichuge (7.10, 7.11), ud mit Grad m <. g m (x) approximiert f(x) mit N Stützstelle x j derart, dass F N (gm(x j ) f(x j )) 2 miimal ist. (Least-Square Polyom) (Schelle Berechug durch Schema vo Ruge, Ausutze vo Trigoometrie, siehe Schwarz). 7.4 Fast-Fourier Trasform (FFT) Die Berechug der Fourier-Koeffiziete muss für verschiedee Aweduge i der Physik (z.b. partielle DGL) sehr oft durchgeführt werde, ud ma ist auf schelle Algorithme agewiese. Wir beschräke us hier auf die trigoometrische Summe. Zu bereche sid N 1 a k = f(x j ) cos(kx j ) k = 0, 1,..., N 2 (7.13) wobei N 1 b k = f(x j ) si(kx j ) k = 1, 2,..., N 2 1 (7.14) x j = 2π N j N = 2 Aufgrud der Periodizität köe die Summe hier vo 0,..., N 1 laufe. Bilde = N/2 komplexe Größe aus je zwei aufeiaderfolgede Werte y j = f(x 2j ) + if(x 2j+1 ) j = 0, 1,..., 1 = N 2 Defiiere 1 2πj c k y j e = 1 y j w jk k = 0, 1,..., 1 (7.15)

5 7.4. FAST-FOURIER TRANSFORM (FFT) 81 Dies ist die diskrete komplexe Fourier-Trasformatio, mit w e i 2π ( ) 2π = cos i si ( ) 2π (7.16) Es gilt a k ib k = 1 2 (c k + c k ) + 1 2i (c k c k ) e π/ (7.17) a k ib k = 1 2 ( c k + c k ) + 1 2i ( c k c k ) e ikπ/ (7.18) für k = 0,..., ud für b 0 = b = 0, c = c 0. d.h. die komplexe Trasformatio ersetzt die reelle. Iverse Trasformatio: Multipliziere Gl. (7.15) mit Summeidex l mit e +i2π jk summiere über k c k e +i2π jk = y l e i 2π k(l j) Mit der Orthogoalitätsrelatio k=0 l=0 k=0 ud folgt y j = 1 1 c k e +i2π jk k=0 1 1 e i 2π k(l j) = δ lj (7.19) k=0 = 1 y j w jk k = 0, 1,..., 1 (7.20) Der Uterschied zu Gl. (7.15) ist das + Zeiche ud der Faktor 1/. Machmal wird auch eie symmetrische Defiitio mit dem Faktor 1/ gewählt. Parseval Relatio: 1 y j 2 = 1 1 c k 2 (7.21) Berechug der c k Es gilt 1 c k = y j w jk k = 0, 1,..., 1 d.h. der Vektor y j wird multipliziert mit eier Matrix ( C ), dere Elemete {jk} = w jk sid. Diese Matrix w ist uitär (UU + = I). Die Matrixmultiplikatio ist ei O( 2 ) Prozess, dazu kommt die Berechug vo w jk. Es ist aber O( log 2 ) möglich: FFT. Zur Veraschaulichug: Für = 10 6 beträgt die Rechezeit 30 sec im Vergleich zu 2 Woche bei eiem µsec Zyklus Computer. Heute wird meist der Algorithmus vo Cooley & Tukey (1965) verwedet, aber scho früher (Gauss, 1805).

6 82 KAPITEL 7. FOURIER-TRANSFORMATION Grudprizip: w ist die -te Eiheitswurzel, also liege die Werte w jk auf dem Eiheitskreis (der komplexe Ebee), ud bilde die Eckpukte eies regelmäßige -Ecks. Ei Beispiel: Betrachte u = 4. Mit w = w 4 folgt oder i Kurzform wobei c 0 c 1 c 2 c 3 = w 1 w 2 w 3 1 w 2 1 w 2 1 w 3 w 2 w 1 c = W 4 y w = w 4 = e i2π/4 = ( e i2π) 1/4 y 0 y 1 y 2 y 3 (7.22) Durch Vertauschug der zweite ud dritte Kompoete i c ud i W 4 folgt c 0 c y 0 c 1 c 2 = c 2 c 1 = 1 w 2 1 w 2 1 w 1 w 2 w 3 y 1 y 2 (7.23) c 3 c 3 1 w 3 w 2 w 1 y 3 = w w w w 1 0 w 3 y 0 y 1 y 2 y 3 (7.24) Bei eier 2 2-Betrachtug hat die erste Matrix Diagoalgestalt mit zwei idetische Matrize ud die zweite Matrix besteht aus vier Utermatize, wobei zweimal die Eiheitsmatrix auftritt. Führe FT also i zwei Schritte durch. Bereche zuächst de Vektor Z Z = Es gilt also mit w 2 = 1, w 3 = w w w 1 0 w 3 y 0 y 1 y 2 y 3 (7.25) (7.26) z 0 = y 0 + y 2 z 1 = y 1 + y 3 z 2 = y 0 + y 2 w 2 z 1 = (y 1 y 3 )w 1 = (y 0 y 2 )w 0 wobei w 0 = 1. Im zweite Schritt wird Z mit der erste Matrix multipliziert c 0 = c 0 = z 0 + z 1 c 1 = c 2 = z 0 + z 1 w 2 (7.27) c 2 = c 1 = z 2 + z 3 c 3 = c 3 = z 2 + z 3 w 2 (7.28)

7 7.4. FAST-FOURIER TRANSFORM (FFT) 83 Die Gleichuge (7.27) ud (7.28) sid gleich aufgebaut. Bei Berücksichtigug vo w4 2 = w2 1 wird deutlich, dass die Gl. (7.27) ud (7.28) zwei Fourier-Trasformatioe der Ordug 2 bilde. Also wird durch die Vorberechug (7.26) die Fourier-Trasformatio der Ordug 4 i zwei der Ordug 2 überführt. Diese allgemeie Reduzierug eier komplexe FT gerader Ordug auf zwei ugerade der halbe Ordug ist stets möglich Allgemei gilt: Es gilt (Gl. 7.15) 1 c k = 2πj y j e = 1 Dies ka i gerade ud ugerade Ateile zerlegt werde mit = /2 1 2π2j (y 2j e y j w jk k = 0, 1,..., 1 (7.29) + y 2j+1 e 2π(2j+1) ) (7.30) = c g k + cu ke 2π = c g k + cu k w k (7.31) c g k = c u k = m 1 m 1 2π2j y 2j e m (7.32) 2π2j y 2j+1 e m (7.33) wobei m = /2 ist. d.h. habe zwei Fourier-Trasformatioe mit Ordug m = /2. Falls m wiederum Potez vo 2 ist, wiederhole de Prozess, wähle also = 2 M afäglich Divide ad Coquer Algorithmus. Zur Berechug vo Asteroidebahe (Juo & Pallas) 1805 scho vo Gauß eigesetzt. Es gilt weiterhi Ablauf: ud c k = c g k + cu kw k c k+m = c g k cu k wk w = e 2πi/ d.h. brauche Trasformatio ur bis k = /2 1 = m 1 ud erhalte höhere gleichzeitig. Zerlege Fourier-Summe M mal ( = 2 M ) paarweise Summe

8 84 KAPITEL 7. FOURIER-TRANSFORMATION aber jeweils gerade-ugerade Zerlegug Date sid weit voeiader etfert, aufgrud der Vertauschuge Cooley-Tukey (1965): speichere Date-Idex als Biärzahl. Eie Bit-umgekehrte Ordug liefert zu summierede Date ebeeiader. Bspl.: 16 Pkt. y 0, y 1,.., y 15 mit Idizes 0000, 0001,..., Bit-ivertiert: f 0 f 8 f 4 f 12...f 3 f 11 f 7 f 15, addiere also f 0 + f 8, f 4 + f 12,..., f 7 + f 15 da weitere Bit-Vertauschuge zu Paare 2 l 1 auseiader. l: Level der Additio, erste = 1. a jedem Level jeweils zwei Date-Pkt. zu jedem Paar. Der zweite Wert wird mit w k verziert. 7.5 Eigeschafte der DFT Routie/Programme a) Routie i NR (FOUR1,..) b) Neue Etwicklug: FFTW: Fastest FT i the West Prizip: Nicht Azahl der floatig-pt Operatioe, soder Hardware-Optimierug wichtig (Speicher, Cache, Register, Verwaltug), siehe Homepage: ethält Code, welcher sich selbst auf die jeweilige Plattform optimiert teilweise besser als itrisische Herstellerroutie (Assembler) (hat Software-Prize erhalte, free Software, parallel, etc..) Samplig ud Aliasig Sei h(x) aufgezeichet (gesampled) zu feste diskrete Werte (Zeite) x j mit dem kostate Abstad = x j+1 x j, mit h = h( ). Def.: 1 : Samplig-Rate Kritische Frequez f c für die Aufzeichug vo Date f c = 1 2 Nyquist-Frequez NOTE: f bezeichet i diesem Abschitt die Frequez des Fourier-Sigals. D.h. Bei Sius-Kurve wird je ei Wert beim Maximum ud Miimum aufgzeichet, also zwei per Zyklus (BILD). = Kritische Samplig-Rate für Sius-Sigal Samplig-Theorem (Good News) Sei h(t) eie glatte Fkt. zu de Itervalle gesampled, die Badbreite-begrezt ist,

9 7.5. EIGENSCHAFTEN DER DFT 85 d.h. H(f) = 0 für alle f > f c. Hier ist H(f) = h(t)e+2πift dt, d.h. H(f) ist die Fourier-Trasformierte zu h(t), vgl. NR. Da gilt: + si[2πf c (t )] h(t) = h (7.34) π(t ) = Ka also kotiuierliche Fkt. h(t) vollstädig aus diskrete Date h rekostruiere Iformatiosgehalt eier Badbreite-begrezte Fuktio ist uedlich mal kleier als der eier allg. kotiuierliche Fuktio Sei z.b. Verstärkerbadbreite durch edl. Frequez f A gegebe, da ka die vollstädige Iformatio durch eie Samplig-Rate 1 = 2f A gewoe werde. (siehe z.b. CD-Spieler 1 = 44kHz doppelte aaloge Frequez. Aliasig (Bad News) Falls h(t) icht Badbreite-begrezt ist Power (Leistug) außerhalb vo f c < f < f c wird i Itervall [ f c, f c ] trasformiert (aliasig). Die Frequeze außerhalb vo [ f c, f c ] wird aliased (falsch trasformiert). [z.b. liefer e 2πif 1t ud e 2πif 2t gleiche Werte bei Samplig, falls f 1 f 2 = 1 N icht vermeidbar, falls scho gesampled falls Badbreitegreze bekat (beutze Filter mit best. Badbreite) sample da mit maximal mögl. Rate d.h. Teste, ob Fourier-trasformierte H(h) für f f c gege Null geht. Falls icht: Aliasig Gefahr. (BILDER aus N.R.) Bei Graphikkarte ati-aliasig Algorithmus, Treppestufe bei Bilder, Pixeleffekte Negative Frequeze ( f) Hatte 1 2πj c k = y j e [N.R. H k ud h j ] Bei periodische Fuktioe ist c k = c k k = 1, 2,... damit variiere j ud k über gleiche Bereich 0,..., 1. k = /2 gehört zu f = ±f c. 0 < f < f c : 1 k 2 1 f c < f < 0 : < k < 1 FT eies Pulses ist eie sic-fuktio si(2πf T ) Scharfe Kate ausgeschmiert πf Es etstehe Seite-Bäder (side-lobes) Filterug der Date.

10 86 KAPITEL 7. FOURIER-TRANSFORMATION 7.6 Frequezspektrum (Power-Spektrum, oder Power-Spectral-Desity, PSD) 1 2πj c k = y j e defiiere: N.R. Periodogramm des Power-Spektrums P (0) = P (f 0 ) = 1 2 c 0 2 P (f k ) = 1 2 ( ck 2 + c k 2) P (f c ) = P (f /2 ) = 1 2 c /2 2 f k = k = 2f k c Normalisierug: Mit Parseval: i=0 Mittlere quadratische Amplitude. i=0 k = 0,..., /2 /2 P (f i ) = 1 1 y i 2 1 T f(t) 2 dt Vergleiche P (f k ) mit P (f). P (f k ) ist Mittel vo P (f), über Itervall zetriert um f k mit Filter-Fuktio W, hier W (s) = 1 [ ] 2 si πs 2 si(πs/) oszillatorisch W (s) (πs) 2 Leakage (Verlust). Die Fuktio W (s) gibt a, wieviel Power vo eier Frequez i die adere trasferiert wird. Falls f(t) exakte Sius-Kurve mit eier Frequez f k, da kei Leakage, sost Verbreiterug. Verbesserug: Data-Widowig Wird der Erwartugswert geauer mit höherem. Nei: Stadardabweichug immer 100% des Erwartugswerts. σ = P (f k ) Höheres Samplig, oder lägeres Sigal mehr Frequezpukte, aber keie bessere Geauigkeit. Verbesserug: Aufteilug des Itervals i k-teile feiere Frequeze (Oversamplig), k mal ud Mittelug σ Reduktio um 1 k

11 7.7. DFT IN 2-DIMENSIONEN 87 Data-Widowig Die obige Filter-Fuktio ist defiiert durch W (s) = 1 [ ] 2 si πs = 1 2 si(πs/) e 2πisj/ Dies ist äquivalet zu eier quadratische Festerfuktio mit Amplitude W j = 1. Grud für Leakage: Starker Abfall des Quadratfesters FT hat hohe Frequeze. Allgemeier: Multipliziere Date-Pkt. mit Festerfkt. W j diskret Z.B. 1 c k = y j e 2πj Wj Parze/Bartlett: Dreieck Haig: (cos) Welch: Parabel (7.35) Kovolutios-Theorem: Die Fourier-Trasformatio des Produkts zweier Fkt. ist gleich dem Produkt der FT der Fuktioe. Bilder!! 7.7 DFT i 2-Dimesioe Gegegebe 2D-Fuktio a diskrete Pkt. x j1, y j2 = j 1, j 2 Suche die 2D-Trasformierte f(j 1, j 2 ) mit 0 < j 1 < < j 2 < 2 1 c(k 1, k 2 ) = 1 1 j 1 =0 [ 2 1 j 2 =0 f(j 1, j 2 )e 2πi k 2 j 2 2 e 2πi k 1 j 1 1 (7.36) ] I de eckige Klammer steht eie 1D-Fourier-Trasform, zu festem 1.te Idex j 1. Awedug: - Bildtrasformatio (Eistei-Bild) - Tiefpass / Hochpass (Tiefpass: Verwische Kate & Übergäge, verigere Rausche Hochpass: Hebe Kate hervor, Rausche verstärkt, kotrastreider) 7.8 Nicht-Äquidistate Date Z.B. Datepukte fehle (Maschiefehler, Cosmic Ray) icht gleichförmig gemesse (Photometrie vo Stere) Möglich: - Iterpolatio - Nullsetze der Zwischewerte - Paddig

12 88 KAPITEL 7. FOURIER-TRANSFORMATION Lomb-Algorithmus Gegegbe: N Datepukte Mittelwert Variaz h j = h(t j ) h = 1 N σ 2 = 1 N 1 j = 1,..., N N h j N (h j h) 2 Da ist [ P N (ω) = 1 j (h j h) 2 [ cos(ω(t j τ))] j (h j h) 2 si(ω(t j τ))] 2σ 2 j h + j cos 2 (ω(t j τ)) j h j si 2 (ω(t j τ)) (7.37) wobei τ durch j ta(2ωτ) = si(2ωt j) j cos(2ωt j) Dies τ bedeutet, dass P N (ω) idetisch ist zu eiem lieare least square fit mit h(t) = A cos ωt + B si ωt (7.38) bei gegebeer Frequez ω. Bei große Datesätze ist die Berechug vo P N kostspielig, beutze Additiostheoreme. 7.9 Wavelets Zeit-Frequez-Problem Fourier-trasformierte liefert Frequez des Sigals, aber keie Zeitiformatio Ursprügliches Sigal keierlei Frequeziformatio t f > (weil si ud cos-fkt. icht lokalisiert sid im Raum. Bsplt. (Aufgabe) Zusammegesetztes Sigal aus 4 Frequeze welche zeitlich aufeiader folge Short-Time Fourier Trasformatio, STFT (Gabor, 1946) Schiebe Fester über das Sigal. BILD Die so erhaltee Fouriertrasformierte g(ω, τ) = 1 f(t)w (t τ)e iωt dt 2π ist die STFT vom Sigal f(t) mit der Festerfuktio w(t τ). Üblicherweise: (ω = 2π f

13 7.9. WAVELETS 89 Normalisierug w 2 (t)dt = 1 Typische Festerforme sid: Dreieck, Gauß-Profil Rücktrafo Parseval f(t) = 1 2π f(t) 2 = g(ω, τ)w (τ t)e iωt dωdτ g(ω, τ)dωdτ Je ach Breite des Festers ka etweder Frequez oder Zeit besser aalysiert werde. Breite: mehr Frequeze, aber keie plötzliche Äderuge Schmaller: Äderuge, aber keie iedrige Frequeze Wavelets Welleform mit edlicher Dauer, mittlerer verschwideder Amplitude.