Lösungsskizzen zur Präsenzübung 01

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1 Lösungsskizzen zur Präsenzübung 01 Hilfestellung zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016 Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Veröffentlicht am 02. November 2015 von: Mirko Getzin Homepage: Tutor zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik im Wintersemester 2015/2016. Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung beim Verständnis der Vorlesungsinhalte darzustellen und Lösungsideen für die Aufgaben möglichst vollständig (bis auf Ausnahmen) zu skizzieren. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokuments erlaubt. Angehängt befindet sich das Aufgabenblatt, sowie der pdf-ausdruck von verwendeten Tabellenblättern. Die Tabellenblätter sind im ods-format auf der unten angegebenen Homepage zu finden. 1

2 Lösungsskizzen Lösung zur Aufgabe 1. Es folgt der Auszug aus dem Tabellenblatt zur Präsenzübung 01. Für verwendete Formeln oder Befehle betrachte das Tabellenblatt zur Präsenzübung 01. Lösung zur Aufgabe 2. Es folgt der Auszug aus dem Tabellenblatt zur Präsenzübung 01. Für verwendete Formeln oder Befehle betrachte das Tabellenblatt zur Präsenzübung 01. Aus den Aufgaben 1 und 2 können wir beispielhaft erkennen, dass die berechneten Mittelwerte einer Ordnung unterliegen. Man kann sogar zeigen, dass im Allgemeinen gilt x harmonisch x geometrisch x arithmetisch. (0.1) 2

3 Lösung zur Aufgabe 3. Für die erste Summe erhalten wir 10 k=1 k 2 = = 385. Fakt am Rande: Man kann per vollständiger Induktion auch zeigen, dass n k=1 k 2 = n(n+1)(2n+1) 6 für alle n N gilt. Mit dieser Formel müssen wir nicht mehr mühsam alle Summanden einzeln berechnen, sondern für n = 10 erhalten wir sofort das Ergebnis. Für die zweite Summe erhalten wir (vorausgesetzt 0 N) i N,i 5 (i(i 1) 1) = 5 (i(i 1) 1) i=1 = 1 (1 1) (2 1) (3 1) (4 1) (5 1) 1 = = 35. Für die dritte Summe erhalten wir 3 2 k = k= 3 = = = = 15, 875. Hierbei ist zu beachten, dass für alle k Z und für alle a R das Potenzgesetz gilt. a k = 1 a k 3

4 Relevante Sachzusammenhänge Bei der Bearbeitung dieses Aufgabenblattes sind folgende Definitionen, Sätze und Formeln relevant. Einige der folgenden Inhalte müssen nicht bei der Bearbeitung der Aufgaben verwendet werden, jedoch erleichtern sie das Bearbeiten unter Umständen. Definition 0.1 (Lagemaße). Wir betrachten eine Stichprobe mit Stichprobenumfang N. Es bezeichnen x 1, x 2..., x N die Ausprägungen eines erhobenen Merkmals für jede erhobene Stichprobe, also ist x 1, x 2..., x N die Urliste der Stichprobe. Dann definieren wir die folgenden Lagemaße: Arithmetisches Mittel: Geometrisches Mittel: Harmonisches Mittel: Median (Zentralwert): Modus (Modalwert): Satz 0.2 (Invarianz unter affin-linearen Transformationen). Der Median und das arithmetische Mittel sind invariant unter affin-linearen Transformationen der Daten. Der Median ist sogar invariant unter beliebigen streng monoton (steigenden) Transformationen. Der folgende Satz ermöglicht das Auseinanderziehen von Summen, so dass beispielsweise in Aufgabe 3 einzelne Teilsummen erst berechnet werden könnten. Satz 0.3 (Linearität des Summenzeichens). Summenzeichen ist für endliche Summen linear. 4

5 Universität Bielefeld Wintersemester 2015/16 G. Elsner Präsenzübungen zur Vorlesung Anwendungen der Mathematik Blatt 1 Aufgabe 1 Gegeben sei die Datenreihe 3, 8, 3, 6, 33, 4, 4, 5, 2. Bestimmen Sie einen Modalwert und einen Median sowie das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel der Datenreihe. Aufgabe 2 Ein Statistikkurs besteht aus 7 Studierenden. Am Ende des Kurses wird eine Klausur geschrieben bei der man maximal 120 Punkte erreichen kann. Hiervon erreichten die Studierenden jeweils die folgenden Punktzahlen: Berechnen Sie: Studierende(r) A B C D E F G Punkte (a) das arithmetische Mittel der erreichten Punkte, (b) den Median der erreichten Punkte, (c) den Modus der erreichten Punkte, Angenommen jeder der Studierenden hätte 3 Punkte mehr erreicht. Wie hoch wäre dann (g) das arithmetische Mittel der erreichten Punkte? (h) den Median der erreichten Punkte? Berechnen Sie die Werte (g) und (h) über die betreffenden Werte (a) und (b). Aufgabe 3 Schreiben Sie die folgenden Summen (als einzelne Summanden) aus und berechnen Sie sie! 10 k 2 k=1 i N,i 5 (i(i 1) 1) 3 k= 3 2 k 5

6 Aufgabe 1 Nr. Urliste Sortiert (aufsteigend) Merkmalsausprägung (Wert) Häufigkeit (abs.) Häufigkeit (rel.) , , , , , , , Name des Mittelwertes Wert Alternativwert (falls nicht eindeutig) Bemerkung N 9 Stichprobenumfang Modus (Modalwert) 3 4 Häufigste Werte (nicht immer eindeutig) Median (Zentralwert) 4 Mitte der aufsteigend sortierten Werte Arithmetisches Mittel 7,56 Summe von Werten interpretierbar Geometrisches Mittel 5,09 Produkt von Werten interpretierbar Harmonisches Mittel 4,11 Harmonisch < Geometrisch < Arithmetisch Seite 1 Aufgabe 2 Nr. Urliste Sortiert (aufsteigend) Merkmalsausprägung (Wert) Häufigkeit (abs.) Häufigkeit (rel.) A ,143 B ,143 C ,143 D ,143 E ,286 F ,143 G N 7 Stichprobenumfang Name des Mittelwertes Modus (Modalwert) Wert 80 Median (Zentralwert) 68 Arithmetisches Mittel 60,00 Geometrisches Mittel 50,78 Harmonisches Mittel 40,03 Wenn alle 3 Punkte mehr hätten: Arithmetisches Mittel neu 63 (altes arith. Mittel +3) Median neu 71 (alter Median +3) Seite 2 6