Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung BW-WMT-P Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum

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1 Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung Datum.6.6 BW-WMT-P 66 Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich: Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden. Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite / ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht. Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet. Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist. Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet. Hilfsmittel : Bearbeitungszeit: Minuten HFH-Taschenrechner Anzahl Aufgaben: 6 Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: Vorläufiges Bewertungsschema: Viel Erfolg! Punktzahl von bis einschl. Note 95, sehr gut 9 9,5, sehr gut 85 89,5,7 gut 8 8,5, gut 75 79,5, gut 7 7,5,7 befriedigend 65 69,5, befriedigend 6 6,5, befriedigend 55 59,5,7 ausreichend 5 5,5, ausreichend 9,5 5, nicht ausreichend Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P 66

2 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe insg. Punkte Ein Unternehmen kennt für ein wichtiges Produkt die Absatz-Preisfunktion (Nachfragefunktion) p p( ), und die Gesamtkostenfunktion K( ), 75 ( p > Preis; > abgesetzte Menge).. Bestimmen Sie diejenige Stückzahl, bei der minimale Stückkosten k () entstehen. 7. Bestimmen Sie diejenige Stückzahl, bei der ein maimaler Gewinn G () entsteht. 7 Aufgabe insg. 8 Punkte Gegeben ist die reelle Funktion f ( ). Mit Hilfe einer Kurvendiskussion sollen wesentliche Eigenschaften dieser Funktion ermittelt werden.. Geben Sie den Definitionsbereich von f () an.. Untersuchen Sie f () hinsichtlich Nullstellen und ggf. Polen. 7. Untersuchen Sie f () hinsichtlich Symmetrie und Monotonie. 6. Bestimmen Sie (falls vorhanden) lokale Etrema und Wendepunkte von f (). 6.5 Untersuchen Sie das Verhalten von f () im Unendlichen..6 Skizzieren Sie den Verlauf von () f in Intervall [ ; ]. Aufgabe insg. Punkte Lösen Sie mit Hilfe des GAUßschen Algorithmus das folgende lineare Gleichungssystem (LGS): 5. BW-WMT-P 66 Seite /

3 Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Aufgabe insg. 7 Punkte Mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens lässt sich näherungsweise eine Nullstelle der Gleichung f ( ) ln, bestimmen.. Zeigen Sie, dass, 5 ein geeigneter Startwert für die Iterationen des NEWTON-Verfahrens ist.. Führen Sie mit dem Startwert, 5 zwei Iterationen des Newton-Verfahrens durch und vergleichen Sie die erhaltenen Ergebnisse. 9 8 Hinweis: f ( ) f ( ) Als Startwert ist in der Regel ein geeignet, für das < gilt. f ( ) Es st zweckmäßig, die Berechnungen mit Nachkommastellen durchzuführen. Aufgabe 5 insg. Punkte Gegeben sind die Funktionen f ( ) ( ) und g ( ) 6 mit ( f ) D( g) R D. Berechnen Sie die Fläche, die zwischen den Schnittpunkten der Graphen beider Funktionen liegt. Aufgabe 6 insg. Punkte Gegeben ist die Funktion f (, von unabhängigen Variablen y f (,, mit D( f ) {(, R, > und y R, y > }. Ermitteln Sie die Etremwerte der Funktion f (, unter der Nebenbedingung y c ( c R, konst. ). Hinweis: Wenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe die LAGRANGE-Methode an. BW-WMT-P 66 Seite /

4 Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am.6.6 Betriebswirtschaft BW-WMT-P 66 Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich: Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet. Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen. Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor. Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug. Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor. Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular Klausurergebnis (Ergebnisliste) ein. Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen: Punktzahl Note von bis einschl. 95, sehr gut 9 9,5, sehr gut 85 89,5,7 gut 8 8,5, gut 75 79,5, gut 7 7,5,7 befriedigend 65 69,5, befriedigend 6 6,5, befriedigend 55 59,5,7 ausreichend 5 5,5, ausreichend 9,5 5, nicht ausreichend Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 8. Juni 6 in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. /59- bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de). Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P 66

5 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Lösung vgl. SB, Kap. und SB 5, Kap.. insg. Punkte. Stückkostenfunktion (Formelsammlung 6.): K( ) k( ), k( ), Bedingungen für die Minima dieser Funktion sind k ( ) und k ( ) >. 75 k ( ), 75,, Stck. 5 k ( ) 5 k (5) > Minimum 5. Die Gewinnfunktion G () bestimmt sich (vgl. Formelsammlung 6.) zu G( ) E( ) K( ), mit der Erlösfunktion E( ) p( ). Damit ist E( ) (,),. (, 75),5 75 G( ) E( ) K( ), Gewinnmaimum: Bedingungen für die Maima von G () sind G ( ) und G ( ) <. G( ),5 75 G ( ) Stck. G ( ) G () < Maimum BW-WMT-P 66 Seite /7

6 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Lösung vgl. SB, Kap. und SB 5, Kap..5 insg. 8 Punkte. Definitionsbereich: D R \{ }. Nullstellen: Für folgt Pole: ; Bei hat f () eine Definitionslücke. Es sind die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle zu betrachten f ( ) (für ) lim f ( ) lim lim lim f ( ) lim lim Bei eistieren der links- und rechtsseitige Grenzwert, damit hat f () an dieser Stelle einen Pol.. Symmetrie: ( ) f ( ) f ( ) ( ) Die Funktion f () ist eine gerade Funktion (aialsymmetrisch zur y-achse). Monotonie: f ( ) (für ) f ( ) 8 ( ) <, monoton fallend auf dem Intervall I (, ) f für ( ) ( ) >, monoton wachsend auf dem Intervall I (, ) f für ( ) BW-WMT-P 66 Seite /7

7 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft. Etrema: Bedingungen für die Etrema von f () sind f ( ) und f ( ). 8 f ( ) f ( ) für alle D es eistieren keine Etrema Wendepunkte: Bedingungen für die Wendepunkte von f () sind f ( ) und f ( ). f ( ) f ( ) für alle D es eistieren keine Wendepunkte.5 Verhalten im Unendlichen: f ( ) (für ) lim f ( ) lim f ( ).6 Funktionsverlauf: lim lim lim lim Wertetabelle (ausgewählte Werte aus dem Intervall [ ; ] ):, 5,5 f (),75,56 5 5,56,75 Skizze: BW-WMT-P 66 Seite /7

8 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P 66 Seite /7 Lösung vgl. SB 6, Kap. insg. Punkte Bilden der erweiterten Matri ), ( b v A : 5. Umformung in eine obere Dreiecksmatri: I IV I III 5 II IV II III : III IV - 5 (obere Dreiecksmatri ist erreicht!) Rückrechnung liefert: 5

9 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft 5 5 Als Lösungsvektor ergibt sich: 5 v Hinweis: Zur Bildung der oberen Dreiecksmatri sind unterschiedliche Alternativen möglich. Die Punkte sind entsprechend zu verteilen. Lösung vgl. SB 5, Kap..7 insg. 7 Punkte. Überprüfung, ob Startbedingung für das NEWTON-Verfahren (vgl. Formelsammlung 9.) gilt: f ( ) f ( ) f ( ) <. Bestimmung der Ableitungen: f ( ) ln, f '( ), f ( ),, Einsetzen von, 5 : f (,5) ln,5,5,,5, f (,5),,5,,5 f (,5),,,5 (,) (,) (,),565 < Damit ist, 5 ein geeigneter Startwert.. Iterationen des NEWTON-Verfahrens: f ( ) (,),5,6 f ( ), BW-WMT-P 66 Seite 5/7

10 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft f ( ) f ( ) f ( ) ln,6,6, (,6), f ( ),,6,855,6 (,),6,65,855 Die zweite Näherung kann bereits als eine Lösung der Gleichung angesehen werden (keine Änderung mehr in den ersten beiden Nachkommastellen). Lösung 5 vgl. SB 7, Kap... insg. Punkte Schnittpunkte der Funktionen durch Gleichsetzen: ( ) ( ) Schnittpunkte der Funktionen sind und. Flächeninhalt (Formelsammlung.5): A [ f ( ) g( ) ] d [ 8 6) ( 6) ] A ( d [ 8] A d A A A 6 6 Der Flächeninhalt zwischen beiden Funktionen beträgt FE. BW-WMT-P 66 Seite 6/7

11 Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 6/6, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft Lösung 6 vgl. SB 9, Kap.... insg. Punkte Die Etremwerte der Funktion f (, unter der gegebenen Nebenbedingung können unter Verwendung der LAGRANGE-Methode (Formelsammlung 6.9) ermittelt werden. y Mit der Funktion f (, und der Nebenbedingung g(, y c lautet die LAGRANGE-Funktion L(, y, λ ) f (, λg(, y L(, y, λ ) λ( y c ). Zur Bestimmung der Etremwerte werden die partiellen Ableitungen gebildet und Null gesetzt: y L (, y, λ ) λ (I) L y (, y, λ ) λy (II) Lλ (, y, λ) ( y c ) (III) Aus (I) folgt: y λ (IV) Einsetzen in (II) ergibt: y λy y y (V) Einsetzen in (III) ergibt ( y c ) ( c ) c c c Mit (V) folgt: c c y y Damit ergibt sich ein Etremwert bei c c P (,,. BW-WMT-P 66 Seite 7/7