Übungsblatt 4. Aufgabe (Mengenplanung bei einer Produktart; linearer Umsatz- und Kostenverlauf)

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1 Übungsblatt 4 Aufg. 4.1 (Mengenplanung bei einer Produktart; linearer Umsatz- und Kostenverlauf) In einem Einproduktunternehmen liegen folgende Informationen über das Erzeugnis vor: Stückpreis: 15 GE Variable Kosten: 12 GE Kapazitätsgrenze: Stück Fixe Kosten: GE a) Bestimmen Sie die Break-Even-Absatzmenge und den zugehörigen Break-Even-Umsatz! b) Nennen Sie die Absatzmenge maximalen Gewinns und ermitteln Sie den zugehörigen Umsatz, die Kosten und den Gewinn! c) Stellen Sie die Break-Even-Situation in einem Umsatz-Gesamtkostenmodell graphisch dar! Zeichnen Sie auch die Gewinnfunktion ein! Aufgabe (Mengenplanung bei einer Produktart; linearer Umsatz- und Kostenverlauf) a) An einer Universität wird von einer Gruppe von Studenten eine monatlich erscheinende Zeitung erstellt und vertrieben. Es werden 400 Stück zu einem Preis von 5 GE verkauft. Kosten fallen zum einen für die monatliche Miete des genutzten Kopiergerätes in Höhe von 500 GE und zum anderen für Papier und andere Materialien pro Exemplar in Höhe von 2,50 GE an. a 1 ) Ermitteln Sie die Kostenfunktion. a 2 ) Wie hoch ist der Gewinn der Studenten? a 3 ) Ab welcher Menge wird ein Gewinn erzielt? a 4 ) Stellen Sie die Kosten-, die Umsatz- und die Gewinnfunktion graphisch dar. a 5 ) Stellen Sie die Funktion der gesamten Stückkosten, der variablen Stückkosten und der Stückkosten aus Fixkosten graphisch dar. b) Die Studenten, die an der Zeitung mitarbeiten, möchten die Kostenstruktur ihrer Zeitung mit der der Studentenzeitung der benachbarten Fachhochschule vergleichen. Diese lässt ihre Zeitung in einer kleinen Druckerei herstellen. Folgende Angaben über die Absatzmengen (=Produktionsmengen) und die zugehörigen Gesamtkosten stellt die Fachhochschule zur Verfügung: Absatzmenge 200 ME 600 ME Kosten 800 GE GE b 1 ) Ermitteln Sie die Kostenfunktion der Studentenzeitung der Fachhochschule unter der Annahme eines linearen Kostenverlaufs. b 2 ) Welchen Gewinn erzielen die Studenten der Fachhochschule bei einem Preis von 5 GE pro Zeitung und einer Absatzmenge von 400 Stück? 1 Quelle: Götze, U.: Kostenrechnung und Kostenmanagement, 2. Auflage 2000, S. 25f.

2 b 3 ) Die Studenten der Universität überlegen, ob sie das `Produktionsverfahren der Fachhochschule übernehmen sollen. Sie planen jedoch, den Verkauf ihrer Zeitung in den nächsten Monaten auszuweiten, so dass sich die monatliche Absatzmenge auf 700 Stück erhöht. Welches Produktionsverfahren führt bei dieser monatlichen Absatzmenge zu einem höheren Gewinn? b 4 ) Ab welcher monatlichen Absatzmenge führt die Produktionsalternative der Universität zu einem höheren Gewinn als die der Fachhochschule? Aufg. 4.3 (Mengenplanung bei einer Produktart; nichtlinearer Umsatz- oder Kostenverlauf) Ein Monopolist erwartet, dass sich die Preise und Absatzmengen entsprechend der folgenden Preisabsatzfunktion einstellen: p(x) = - 0,2 x Seine Kosten verlaufen nach der Funktion K(x) = x! a) Zeichnen Sie die Preisabsatzfunktion! Welcher Absatz wird für den Preis p(x) = 50 erwartet? b) Welcher Umsatz ergibt sich bei der Absatzmenge x = 400 und wie groß ist der maximale Umsatz? Zeichnen Sie die Funktion des Umsatzes! c) Zeichnen Sie die Kostenfunktion! Wie hoch sind die Kosten für x = 400? d) Bestimmen Sie den Break-Even-Absatz und den Break-Even-Umsatz! e) Wie hoch ist der Gewinn für x = 400? Ermitteln Sie die Absatzmenge maximalen Gewinns, den zugehörigen Umsatz, die Kosten und den Gewinn! Zeichnen Sie die Gewinnfunktion! f) Die Umsatzrentabilität R U (x) wird definiert als: G(x) Gewinn R U (x) = =. U(x) Umsatz Zeichnen Sie die Kurve der Umsatzrentabilität und berechnen Sie dafür die Rentabilitäten bei den Absatzmengen: x = 70; x = 100; x = 250; x = 300; x = 400 x = 500. g) Unterstellen Sie jetzt, dass sich die Kosten nach den folgenden Kostenfunktionen entwickeln: g1) g2 ) K(x) = x x + 60x x K(x) = x x + 124x für für 0 x x Bestimmen Sie die Absatzmenge maximalen Gewinns, den zugehörigen Umsatz, die Kosten und den Gewinn! Aufgabe 4.4 (Mengenplanung bei einer Produktart; geknickte Preisabsatzfunktion) Auf einem Dyopolmarkt erwartet eine Unternehmung unter der Annahme, der Mitkonkurrent hält seine Aktionsparameter konstant, dass sich die eigenen Preise und Absatzmengen entsprechend der folgenden Preisabsatzfunktion einstellen: PAF 1 : p 1 (x) = 0,5x + 70 für 0 x 40 PAF 2 : p 2 (x) = x + 90 für 40 x 90 Seine Produktionskosten verhalten sich ersprechend der Kostenfunktion: K (x) = 40x für 0 x 90

3 a) Zeichnen Sie unter Beachtung der gültigen Bereiche die Preisabsatzfunktion! Welcher Absatz wird für den Preis p = 60 und welcher für p = 30 erwartet? b) Berechnen Sie die Umsatzfunktion sowie die Grenzumsatzfunktion. c) Welcher Umsatz bzw. Grenzumsatz ergibt sich bei der Absatzmenge x = 20 und x = 60 und wie groß ist die Menge maximalen Umsatzes und der dazugehörige Umsatz? d) Zeichnen Sie die Funktion des Grenzumsatzes in das Koordinatensystem aus Aufgabenteil a) ein. Stellen Sie in einem neuen Koordinatensystem die Umsatzfunktion graphisch dar! e) Welche Kosten ergeben sich bei einer Absatzmenge x = 20 und x = 60 sowie für die in Aufgabenteil c) ermittelte umsatzmaximale Menge? Zeichnen Sie die Kostenfunktion in das zweite Koordinatensystem ein! f) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion. Wie hoch ist der Gewinn für x = 20 und x = 60 sowie für die in Aufgabenteil c) ermittelte umsatzmaximale Menge? g) Ermitteln Sie die Absatzmenge maximalen Gewinns, den zugehörigen Umsatz, die Kosten und den Gewinn! Aufgabe 4.5 (Programmplanung bei mehreren Produktarten und einem Engpass) Ein Betrieb produziert vier verschiedene Produktarten A, B, C und D. Er verfügt über eine Fertigungskapazität von Leistungseinheiten (LE) pro Periode. Die Absatzpreise sowie die variablen Stückkosten der einzelnen Produktarten sind aus der folgenden Tabelle zu entnehmen. Diese beinhaltet außerdem Informationen über die produktartspezifischen Absatzhöchstmengen sowie darüber, inwieweit die Fertigungskapazität durch die Herstellung einer Einheit der einzelnen Produktarten jeweils beansprucht wird. Produktart A B C D Preis [GE/Stück] var. Stückkosten [GE/Stück] Absatzhöchstmenge [Stück/Periode] Kapazitätsbeanspruchungskoeffizient [LE/Stück] Es fallen fixe Kosten in Höhe von GE in der Periode an. a) Ermitteln Sie die Zusammensetzung des optimalen Produktions- und Absatzprogramms, wenn der Betrieb die Zielsetzung verfolgt, seinen Gewinn zu maximieren. Wie hoch ist der Gewinn, der bei Realisation dieses Programms erzielt wird? b) Aus absatzpolitischen Gründen ist es notwendig, von jeder Produktart mindestens ME zu fertigen und an die Abnehmer zu liefern. Ermitteln Sie das gewinnmaximale Produktions- und Absatzprogramm. c) Durch Werbemaßnahmen für das Produkt D, die zu Kosten in Höhe von GE führen, wäre es möglich, ceteris paribus die Absatzhöchstmenge für das Produkt D auf Stück zu steigern. Beurteilen Sie anhand einer geeigneten Rechnung, ob sich für die Situation unter a) die Durchführung der Werbemaßnahmen lohnt.

4 Aufg. 4.6 (Programmplanung bei mehreren Produktarten und einem Engpass) Auf einer Drehbank mit einer Kapazität von Minuten pro Periode werden 4 Produkte bearbeitet, deren Daten in der folgenden Tabelle zusammengestellt sind: Produktart maximale Absatzpreis variable Fertigungszeit Absatzmenge (GE/Stück) Stückkosten (Min./Stück) Für ein bisher mit 600 Stück pro Periode fremdbezogenes Zubehörteil hat der Lieferant den Preis von 120,- auf 160,- GE pro Stück erhöht. Dieses Zubehörteil kann ebenfalls auf der Drehbank erstellt werden: die entscheidungsrelevanten variablen Stückkosten belaufen sich auf 140,- GE. Die Bearbeitungszeit beträgt 5 Minuten pro Leistungseinheit. Auf diese 600 Stück kann keinesfalls verzichtet werden, auch nicht teilweise! Ermitteln Sie, a) welche Produkte (gegebenenfalls einschließlich des bisher fremdbezogenen Zubehörteiles, das als Produkt 5 bezeichnet werden soll) in Zukunft in welchen Mengen auf der Drehbank gefertigt werden. b) wie hoch der Deckungsbeitrag der Planperiode gemäß dem in Aufgabenteil a) festgelegten Produktionsprogramm ist. Aufg. 4.7 (Programmplanung bei mehreren Produktarten und mehreren Engpässen) Ein Betrieb hat die Produktion für ein Quartal zu planen und will zwei Produktarten berücksichtigen. Die Produktionspreise p i und die variablen Stückkosten k vi betragen: p 1 = 800; p 2 = 700; k v1 = 400; k v2 = 400. Zur Produktion stehen in der ersten Fertigungsstufe Maschinenstunden zur Verfügung. Die erste Produktart benötigt 2 (Std./Stck.), die zweite Produktart benötigt 1 (Std./Stck.). In der zweiten Fertigungsstufe benötigen beide Produktarten 2 (Std./Stck.), und es sind Stunden verfügbar. Für die dritte Stufe gilt die Beschränkung: 2x 1 + 6x a) Stellen Sie die Zielfunktion auf und formulieren Sie die Nebenbedingungen. Geben Sie auch explizit die Bedeutung der Variablen an. b) Zeichnen Sie den Beschränkungsraum im x 1 x 2 -Diagramm, und führen Sie die graphische Optimierung durch. c) Welche Mengen könnten bei Monoproduktion von den beiden Produktarten jeweils gefertigt werden, und welche Gewinne ergäben diese Pläne? d) Stellen Sie das Ausgangstableau für die Optimierung mit Hilfe der Simplexmethode auf. e) Führen Sie die Optimierung nach der Simplexmethode durch. f) Interpretieren Sie das Optimaltableau.

5 Aufgabe 4.8 (Programmplanung bei mehreren Produktarten und mehreren Engpässen) Für eine Unternehmung liegt ein lineares Optimierungsproblem mit zwei Problemvariablen x 1 und x 2 sowie drei Schlupfvariablen y 1, y 2 und y 3 vor. Die Schlupfvariablen sind den drei Problemrestriktionen zugeordnet. Das Optimierungsproblem wird mit Hilfe der Simplexmethode analysiert. Nach einem Rechenschritt ergibt sich das folgende Tableau (1. Iteration). BV x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 T x 2 0,4 1 0, y , y (k i -g i ) a) Leiten Sie aus diesem Tableau das Ausgangstableau ab. b) Nach einem weiteren Rechenschritt ergibt sich das folgende Optimaltableau: BV x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 T x ,12 0,07* 0 6* x ,1 0, y ,1 0, (k i -g i ) 0 0 0,5* 0, * Nehmen Sie eine wirtschaftliche Interpretation der mit (*) gekennzeichneten Tableauelemente vor.