1 Die Fresnel-Formeln

Transkript

1 1 Die Fresnel-Formeln Im Folgenden werden die Bezeichnungen aus dem Buch Optik von Eugene Hecht 5. Auflage, Oldenburg verwendet, aus dem auch die Bilder stammen. In der Vorlesung wurden andere Bezeichnungen eingeführt. Es gilt: r = p, r = s, θ i = α, θ t = β, = n 1 und n t = n. 1.1 Amplitude und Polarisation von reflektierten und gebrochenen Wellen Wir betrachten eine einfallende, monochromatische, ebene Welle der Form E i = A i exp [ik i r ω i t] Dabei ist E orthogonal zu B und beide stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung von k. Außerdem gilt B = 1 k E ω wobei k = nk 0 der Wellenvektor im Medium ist, und k 0 den Wellenvektor im Vakuum bezeichnet. Die Amplituden A j der einfallenden, reflektierten und gebrochenen Welle können Komponeen A = {A x,a y, 0} parallel und A = {0, 0,A z } senkrecht zur Einfallsebene zerlegt werden E steht senkrecht auf der Einfallsebene Abbildung 1: Eine einfallende Welle, deren E-Feld senkrecht zur Einfallsebene steht. 1

2 Aus der Stetigkeit der Tangeialkomponeen von E in der Grenzfläche folgt A i, + A r, = A t, 1 Für die weitere Betrachtung wird noch eine Beziehung zwischen den Amplituden A j bzw. dem E-Feld und dem Wellenvektor k benötigt. Diese erhält man aus der für µ 1 earteten Stetigkeitsbedingung für die Tangeialkomponee von B: B i,x + B r,x = B t,x Da B E ist, liegt B in diesem Fall in der Einfallsebene und folglich ist die Tangeialkomponee von B parallel zur x-achse. Das Einsetzen des Kreuzproduktes liefert: Da außerdem k i E i x + k r E r x = k t E t x k E x = k y E z k z E y kz! =0 = k y E z gilt, erhält man folgende Bedingungsgleichung: k i,y A i, + k r,y A r, = k t,y A t, Beachtet man noch, daß k r,y = k i,y ist, folgt schließlich Gleichung 1 und führen auf A i, A r, = k t,y k i,y A t, A t, = A r, A i, kt,y k i,y = k i,y k t,y k i,y + k t,y A i, 4 Aus Abb. 1 kann man enehmen, dass für die Projektion der Wellenvektoren auf die y-achse gilt: k i,y k i = cos θ i und k t,y k t = cos θ t Der Betrag k = k des Wellenvektors in einem Medium mit dem Brechungsindex st k = nω/c. Damit erhält man k t,y = n t cos θ t k i,y cos θ i

3 Für die Amplitudenverhältnisse von reflektierter und gebrochener transmittierter Welle, dem Reflexionskoeffizieen r bzw. dem Transmissionskoeffizieen t, ergeben sich dann die Fresnel-Formeln: r = A r, A i, t = A t, A i, = 1.1. E ist parallel zur Einfallsebene = cos θ i n t cos θ t cos θ i + n t cosθ t 5 cos θ i cos θ i + n t cos θ t 6 Abbildung : Eine einfallende Welle, deren E-Feld in der Einfallsebene liegt. Die Herleitung ist völlig analog zum bereits behandelten Fall. Die Fresnel-Formeln für parallel zur Einfallsebene polarisiertes Licht lauten dann: r = A r, A i, t = A t, A i, = 1. Folgerungen aus den Fresnel-Formeln 1..1 Äußere Reflexion < n t = n t cos θ i cos θ t cosθ t + n t cosθ i 7 cosθ i cos θ t + n t cos θ i 8 Das Licht kommt von außen, also aus dem optisch dünneren Medium z. B. Luft und wird an der Grenzfläche zum optisch dichteren Medium z. B. Glas teilweise reflektiert. Die esprechenden Reflexionskoeffizieen für parallel bzw. senkrecht zur Einfallsebene 3

4 schwingende Komponeen von E können mit dem Brechungsgesetz umgeschrieben werden zu: cos θ i sin θ i r = 9 cos θ i + sin θ i r = cos θ i sin θ i 10 cos θ i + sin θ i Wegen < n t ist und daher n t > 1 sin θ i > 0 θ i Daraus folgt, dass es im Falle der äußeren Reflexion nicht zur Totalreflexion kommen kann. Abbildung 3: Amplituden-Reflexionskoeffizieen und Transmissionskoeffizieen als Funktion des Einfallswinkels bei äußerer Reflexion an einer Grenzfläche zwischen Luft und Glas n t = 1,5. 4

5 Wie man Abb. 3 enehmen kann, hat der Reflexionskoeffizie r E eine Nullstelle beim sogenanen Brewster Winkel θ P. An dieser Stelle findet keine Reflexion der parallelen Komponee statt. Außerdem wird r für θ i > θ P negativ, d.h. es tritt ein Phasensprung von π an der Grenzfläche auf und die Feldstärken von einfallender und reflektierter Welle zeigen egegengesetze Richtungen. Der Reflexionskoeffizie der senkrechten Komponee r E ist betragsmäßig immer kleiner Null, weshalb in diesem Fall zwischen einfallender und reflektierter Welle eine konstae Phasenverschiebung von π besteht. 1.. Innere Reflexion > n t Nun trifft das Licht aus dem Inneren des optisch dichteren Mediums auf die Grenzfläche zum optisch dünneren Medium. Der Ausdruck sin θ i wird imaginär, wenn sin θ i < 0 bzw. θ i > arcsin = θ c Abbildung 4: Amplituden-Reflexionskoeffizieen als Funktion des Einfallswinkels bei innerer Reflexion an einer Grenzfläche zwischen Glas n t = 1,5 und Luft. 5

6 Die Reflexionskoeffizieen r und r nehmen dann die Form r = a ib a + ib an und das Verhältnis von einfallender zu reflektierter Iensität wird 1. Für θ i > θ c kommt es also zur Totalreflexion. Wie man Abb. 4 enehmen kann, ist der Reflexionskoeffizie r der senkrecht zur Einfallsebene schwingenden Komponee immer positiv, so daß einfallende und reflektierte Welle in Phase sind. Im Gegensatz dazu ist der Reflexionskoeffizie r der parallel zur Einfallsebene orieierten Komponee zunächst negativ und wechselt beim Brewster Winkel θ p das Vorzeichen. Einfallende und reflektierte Welle sind daher zunächst um π phasenverschoben und für θ i > θ p phasengleich. Für θ i = θ p ist r = 0 und es wird kein parallel zur Einfallsebene polarisiertes Licht reflektiert Brewster Winkel Wie oben bereits gezeigt wurde, wird sowohl für äußere als auch für innere Reflexion die parallel zur Einfallsebene schwingende Komponee des Lichts nicht reflektiert, wenn sie uer dem Brewster Winkel θ p auf die Grenzfläche trifft. Das lässt sich ausnutzen um polarisiertes Licht zu erzeugen. Fällt unpolarisiertes, monochromatisches Licht uer dem Brewster Winkel auf eine Grenzfläche, so ist das reflektierte Licht senkrecht zur Einfallsebene polarisiert. Eine weitere Eigenschaft des Brewster Winkels findet man mit dem Brechungsgesetz und Gleichung 7, wonach für den Reflexionskoeffizieem parallelen Fall gilt: Der Term tanθ p + θ t divergiert für r = A,r = tanθ p θ t A,i tanθ p + θ t θ p + θ t = 90 und der Reflexionskoeffizie wird Null. Das kann man ausnutzen um eine Bestimmungsgleichung für θ p herzuleiten. Mit dem Brechungsgesetz erhält man und schließlich n t = sin θ p sin θ t = sin θ p sin90 θ p = sin θ p cos θ p = tanθ p θ p = arctan Die Eigenschaft θ p + θ t = 90 impliziert auch, dass reflektierter und transmittierter Strahl zueinander orthogonal sind, wenn unpolarisiertes, monochromatisches Licht uer dem Brewster Winkel auf eine Grenzfläche trifft. Daraus ergibt sich eine anschauliche Erklärung für die fehlende Reflexion der parallelen Komponee. Die im Medium erzeugten Dipole Schwingen E-Feld Richtung. Sie liegen daher für E = E in der Einfallsebene und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der transmittierten Welle. Da Dipole nicht elang ihrer Achse abstrahlen kommt es nicht zur Ausbildung einer reflektierten Welle. 6