KAPITEL 3. Zahlenreihen. 3.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen... 80

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1 KAPITEL 3 Zahlereihe 3. Geometrische Reihe Kovergezkriterie Absolut kovergete Reihe Lerziele 3 Eigeschafte der geometrische Reihe, Begriffe: Reihe, Folge, Partialsumme, Kovergez der Reihe, Recheregel für kovergete Reihe, geometrische Reihe, Vergleichskriterium, otwediges Kovergezkriterium, Divergez-Test für Reihe, Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe, absolute Kovergez, bedigte Kovergez, Quotiete- ud Wurzelkriterium 68

2 Defiitio 3. Die aus der Zahlefolge {a k } Ø0 gebildete Folge {S N } NØ0 mit S := a k = a + a a, Ø 0, heißt uedliche Reihe, sie wird mit q Œ a k bezeichet. Die Zahle a k heiße Glieder der Reihe ud die Summe S := q a k -te Partialsumme der Reihe. Ma sagt, dass die Reihe kovergiert bzw. divergiert, we die Folge der Partialsumme kovergiert bzw. divergiert. Im Fall lim S = S œ R fi {Œ} fi { Œ} et ma S de Wert oder q die Summe der uedliche Reihe ud schreibt Œ a k = S. Bemerkug 3.2 Die Kovergezsätze für Zahlefolge übertrage sich auf Reihe, da die Kovergez eier Reihe, die Kovergez der Folge der Partialsumme ist. Beispiel 3.3 Die Reihe + 0, + 0, 0 + 0, , = 2 k 0 69

3 hat die Partialsumme S = 2 k 0 Diese köe wir güstig ausreche: S 0 S = 2 S = 0 = S = S =! " + Damit erhält ma für de Grezwert der Folge der Partialsumme lim S = lim A! " B = 0 = Damit ist! " k 0 = 0. 9 Allgemei gilt für die 70

4 3.. Geometrische Reihe 3. Geometrische Reihe Satz 3.4 Die Reihe q k mit dem allgemeie Glied a k := q k, k œ N 0 heißt geometrische Reihe. Für die Summe der Reihe gilt S = q k = Y ] [ Œ, falls q Ø,, falls q <, q diverget, falls q Æ. Beweis: Für die Folge der Partialsumme gilt S = qs = q Deshalb ist q k =+q + q 2 + q q q (q = 0), q k = q + q 2 + q 3 + q q + S qs = ( q)s = q N+ S = q+ q (q = 0, q = ). Das Verhalte der Folge der Partialsumme ergibt sich u aus der Kovergez/Divergez vo lim q + (siehe Beispiel 2.8 auf Seite 42). Für q = 0 kovergiert die Reihe offesichtlich gege ud für q = ist die Reihe diverget. # 7

5 3.2. Kovergezkriterie Beispiel 3.5 Die geometrische Reihe mit q = 2 3 hat die Reihesumme lim 2 2 k = lim 3! " = 3. Beispiel 3.6 Die uedliche Reihe = hat die Folge der Partialsumme S = = 9 0 ud die Reihesumme ist deshalb 0, = lim Kovergezkriterie = 9 =. 0 0 A der geometrische Reihe sehe wir, dass die Reihe ur da kovergiert, we die Partialsumme i jedem Schritt immer weiger wächst. Würde die Zuwächse irgewa kostat bleibe, da würde die Reihe (bestimmt) divergiere. Geauer gilt das folgede otwedige Kovergezkriterium. Notwediges Kovergezkriterium Satz 3.7 (Notwediges Kovergezkriterium) Die Glieder eier kovergete Reihe bilde eie Nullfolge. 72

6 3.2. Kovergezkriterie Beweis: Kovergez, d.h. a k = lim S = lim S = L ud damit ist lim a = lim (S S ) = lim S lim S = L L = 0.# Die Folge {S } Ø0 ud {S + } Ø0 habe de gleiche Grezwert, da sie ab S idetisch sid. Bemerkug 3.8 Es hadelt sich um ei otwediges Kovergezkriterium, d.h. auch we dieses Kriterium erfüllt ist, muss die Reihe icht kovergiere, ist es aber icht erfüllt, so divergiert die Reihe. Satz 3.9 (Divergez-Test für Reihe) Gilt lim a = 0, da divergiert die Reihe =0 a. Beweis: Das otwedige Kovergezkriterium ist icht erfüllt. # Beispiel 3.0 Die Reihe =0! divergiert, da a =! keie Nullfolge ist:! = 2 3 Ø = æ 0. Beispiel 3. Eie hilfreiche Reihe zum Vergleiche ist = ; = p koverget, falls p >, diverget, falls 0 < p Æ. 73

7 3.2. Kovergezkriterie Vergleichskriterium Satz 3.2 (Vergleichskriterium) Besteht für die Reiheglieder die Abschätzug da gilt Ist die Reihe koverget. Divergiert die Reihe b k = Œ. 0 Æ a k Æ b k für k Ø k 0, b k koverget, so ist auch die Reihe a k a k = Œ, so divergiert auch die Reihe Die Folge der Partialsumme ist mooto wachsed, ist sie zusätzlich beschräkt, da kovergiert die Reihe, ist die Folge der Partialsumme bestimmt diverget, da divergiert die Reihe. # Beispiel 3.3 Die Reihe k= si(k 3 +3) 2k 3 +2k+ - ist koverget, da - - si(k 3 + 3) 2k 3 +2k +- Æ 2k, für k Ø 3 74

8 3.2. Kovergezkriterie (da 2k 3 +2k +> 2k 3 ) ist ud die Reihe wege Æ 2k 3 2k 3 k 2 koverget ist. Beispiel 3.4 Die Reihe Wie ma leicht sieht gilt k! =+! + 2! + 3! ! = 2, 3! = 2 3 Æ 2,..., 2! = Æ 2, d.h. 0 < a k = k! Æ b k = 2 k für k Ø 2. Weil die Reihe k= b k = k= 2 k = 2 k =2 kovergiert, kovergiert auch die Reihe q Œ k!. Beispiel 3.5 Wir utersuche die Reihe = + Ô. Alle Glieder der Reihe sid positiv, wir köe deshalb versuche das Vergleichskriterium azuwede. Offesichtlich gilt + Ô < Ô Das Vergleichskriterium liefert keie Aussage, da mit eier divergete Reihe ach obe abgeschätzt wurde. Wir habe mit der falsche Reihe abgeschätzt bzw. vergliche! Damit das Vergleichskriterium hier fuktioiert müsse wir etweder mit eier kovergete Reihe ach obe oder mit eier divergete Reihe ach 75

9 3.2. Kovergezkriterie ute abschätze. Wege 2 = + > + Ô Ô > 2 schätze wir mit eier divergete Reihe ach ute ab, 2 = < = + Ô, so dass auch die Reihe Folglich habe die Reihe d.h. da die Reihe q = = + Ô divergiert. q + Ô ud das gleiche Kovergezverhalte, divergiert, divergiert auch die Reihe Als Schlussfolgerug aus dem Beispiel ergibt sich: = + Ô. Bemerkug 3.6 Vergleichskriterie ermögliche sowohl Aussage über Kovergez als auch Divergez. Eie sivolle Awedug des Vergleichskriteriums besteht dari, etweder mit eier kovergete Reihe ach obe oder mit eier divergete Reihe ach ute abzuschätze. 76

10 3.2. Kovergezkriterie Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe Satz 3.7 (Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe) Für jede mooto fallede Nullfolge a 0 Ø a Ø a 2 Ø... Ø 0 kovergiert die alterierede Reihe ( ) a = a 0 a + a 2 a 3 ±.... =0 Beweis: Wir betrachte die Teilfolge der Folge der Partialsumme {s 2l } ud {s 2l+ }. Da gilt s 2l+ = 2l ( ) a =(a 0 a )+(a 2 a 3 ) (a 2l a 2l+ ), =0 da a Ø a + ist die Folge {s 2l } mooto wachsed. Adererseits gilt s 2l+ = 2l ( ) a = a 0 (a a 2 ) (a 3 a 4 )... (a 2l a 2l ) a 2l+ Æ a 0 a 2l+ Æ a 0 =0 ud die Folge s 2l+ ist ach obe durch a 0 beschräkt ud kovergiert folglich gege eie Grezwert C. Weiterhi ist s 2l = 2l ( ) k a k = s 2l+ a 2l+. Deshalb kovergiert auch die Teilfolge s 2l gege C. Isgesamt kovergiert deshalb die Folge der Partialsumme gege C. # 77

11 3.2. Kovergezkriterie Beispiel 3.8 q Die alterierede harmoische q Œ Reihe = ( )+ Œ Leibiz-Kriterium ud es ist = ( )+ = l 2. Beispiel 3.9 Auf die alterierede Reihe kovergiert ach dem ±... = = ( ) + ( + ) ist das Leibiz-Kriterium icht awedbar, da lim a = lim ( + ) = lim! + " =! " lim + = e =0 ist. D.h. das otwedige Kovergezkriterium ist icht erfüllt ud die Reihe ist folglich diverget. Beispiel 3.20 Auf die alterierede Reihe ± ±... = mit a 2k = k 3 ud a 2k = = ( ) + a, k =, 2,..., k + ist das Leibiz-Kriterium icht awedbar, da wege < k 3 k+ Folge der Glieder (a ) Ø icht mooto falled ist. Beispiel 3.2 Die alterierede Reihe für k Ø 2 die l 2 l 3 + l 4 ±... = = ( ) + l( + ) ist koverget ach dem Leibiz-Kriterium, da die Folge der Glieder (a ) Ø mit a = eie mooto fallede Nullfolge ist. l(+) 78

12 3.2. Kovergezkriterie Recheregel für kovergete Reihe Satz 3.22 (Recheregel für kovergete Reihe) Für alle c œ R ud kovergete Reihe q Œ a k = a ud q Œ b k = b, a, b œ R, gilt (a k ± b k )=a ± b ud (c a k )=ca. Welche Umformuge sid i.allg. icht erlaubt? Elemetare Umformuge, die bei edliche Summe de Summewert icht veräder, sid bei uedliche Reihe ( uedliche Summe ) icht ugeschräkt erlaubt!. Es ist i. Allg. icht erlaubt q Klammer wegzulasse. Œ Beispiel: Die Reihe a k mit a k = ( ) = 0 ist koverget. Lässt ma aber die Klammer weg, so divergiert die Reihe + + q Œ... = b k mit b k =( ) k. 2. Ma darf i. Allg. aber auch keie Klammer setze. Im vorige Beispiel ka ma dadurch aus eier divergete Reihe durch Klammerug eies kovergete Reihe. 3. Eie Umordug der Reiheglieder ist ohe Zusatzvoraussetzuge icht erlaubt. Beispiel 3.23 Wir betrachte das folgede Beispiel: + l 2 = l 2 = l 2 = Umord = l 2 79

13 3.3. Absolut kovergete Reihe Aber: Satz 3.24 I eier kovergete Reihe darf ma beliebig Klammer setze: s = a 0 + a + a = (a a k )+(a k a k2 ) Beweis: Die Partialsumme s Õ =(a a k ) (a k a k ) der geklammerte Reihe bilde eie Teilfolge der kovergete Folge der Partialsumme s ud kovergiere deshalb gege deselbe Grezwert. # 3.3 Absolut kovergete Reihe Defiitio 3.25 Die Reihe a k heißt absolut koverget, we die Reihe der Beträge a k = a 0 + a + a kovergiert. Reihe, die zwar kovergiere, aber icht absolut kovergiere, et ma bedigt koverget. 80

14 3.3. Absolut kovergete Reihe Beispiel 3.26 Die alterierede harmoische Reihe ( ) k+ k k= ist eie bedigt kovergete Reihe, da die Reihe selbst ach dem Leibiz-Kriterium kovergiert, die Reihe der Beträge, d.h. die harmoische Reihe, ist aber diverget. Satz 3.27 (Eigeschafte absolut kovergeter Reihe). Jede absolut kovergete Reihe ist koverget, d.h. kovergiert die Reihe 2. Die Reihe a k so kovergiert auch die Reihe q Œ a k. der Partialsumme beschräkt ist. a k ist geau da absolut koverget, we die Folge S := a k = a 0 + a + a a Der Beweis zu. folgt aus dem Cauchysche Kovergezkriterium (siehe Satz??). 2. ergibt sich daraus, dass die Folge der Partialsumme eie mooto wachsede Folge ist. # Die u folgede Kriterie sid die i der Praxis am häufigste agewadte zur Utersuchug vo Reihe. Sie basiere auf der geometrische Reihe. Quotietekriterium Ei besoderes ützliches Kriterium ist das 8

15 3.3. Absolut kovergete Reihe Satz 3.28 (Quotietekriterium) Ist a k = 0 für alle k Ø k 0 ud kovergiert die Folge der Quotiete - - a k+ a k - -, da gilt: Ist lim - - a k+ a k Ist dagege lim - - <, da ist die Reihe - - a k+ a k - - >, da ist die Reihe a k absolut koverget. a k diverget. Bemerkug-3.29 Im Fall lim - a k+ a k - - = ka ma keie Aussage treffe, die Reihe ka (bedigt) koverget oder auch diverget sei. Dies ka leicht mit der alterierede harmoische bzw. der harmoische Reihe belegt werde. De es ist lim k k + =. Wobei wie bereits gezeigt, die alterierde harmoische Reihe kovergiert, die harmoische Reihe selbst aber divergiert. Beweis: Wir weise die Kovergez ach. Gilt lim reelle Zahl q mit 0 < q <, so dass - - a k+ a k ma aber abschätze: - - a k+ a k - - <, so gibt es eie - - < q für alle k Ø 0 œ N. Da ka a 0 +k Æ q a 0 +k Æ q 2 a 0 +k 2 Æ... Æ q k a 0 ud die Reihe mit dem allgemeie Glied b 0 +k = q k a 0 ist eie kovergete Majorate, da l=0 b l = 0 l=0 b l + a 0 l= 0 q l 0 = 0 l=0 b l + a 0 l=0 q l = 0 l=0 b l + a 0 q. 82

16 3.3. Absolut kovergete Reihe Nachweis der Divergez: Uter de obige Aahme ist (a ) Ø0 keie Nullfolge.# Bemerkug 3.30 Aus a 0 +k Æ q k a 0 mit 0 < q < folgt automatisch, dass das otwedige Kovergezkriterium erfüllt ist, da lim a 0 +k Æ lim q k a 0 = a 0 lim q k = 0. Beispiel 3.3 Die Reihe = + (+)! ist ach dem Quotietekriterium diverget, da lim (+) +2 (+2)! + (+)! ( + ) +2 ( + )! = lim = lim ( + 2)! + +2 = e >. Beispiel 3.32 Die Reihe + 2 2! + 4 3! + 8 4! + 6 5! +... = =0 2 ( + )! ist ach dem Quotietekriterium koverget, da lim 2 + (+2)! 2 (+)! 2 + ( + )! = lim = lim ( + 2)! = 0. Wurzelkriterium Aalog ka ma das Wurzelkriterium achweise: Satz 3.33 (Wurzelkriterium) Ist lim kapple ak <, da ist die Reihe a k absolut koverget. 83

17 3.3. Absolut kovergete Reihe Ist dagege lim kapple ak >, da ist die Reihe a k diverget. Bemerkug 3.34 Wie beim Quotietekriterium ka der Fall lim kapple ak =, sowohl für kovergete als auch für divergete Reihe erfüllt sei. I diesem Fall ist also kei Aussage über das Kovergezverhalte möglich. kapple ak <, so gibt es eie reelle Beweis: Nachweis der Kovergez: Gilt lim apple Zahl q mit 0 < q <, so dass k ak < q a k < q k für alle k Ø 0 œ N ud damit ist a k Æ a k Æ 0 = a k + 0 k= 0 q k = a k + q 0 0 q k = a k + q 0 0 k= 0 q k 0 a k + q 0 q. Nachweis der Divergez: Uter de obige Aahme ist (a ) Ø0 keie Nullfolge.# Bemerkug 3.35 Aus a k < q k,0< q <, folgt automatisch, dass (a k ) Œ eie Nullfolge ist ud damit das otwedige Kovergezkriterium erfüllt ist. Beispiel 3.36 Die Reihe = 9 =

18 3.3. Absolut kovergete Reihe ist ach dem Wurzelkriterium koverget, da Beispiel 3.37 Die Reihe k=! 2 3 lim Ú = lim 2 + = 2 <. " k! + k " (k2 ) ist ach dem Wurzelkriterium diverget, da lim 2 kú 2 k + 2 (k 2 ) 3 k = lim k = 2 3 k 3 e, 8 >. Cauchy-Produkt ud Umordugssatz Ohe Beweis zwei ur für absolut kovergete Reihe gültige Recheregel: Satz 3.38 (Cauchy-Produkt) q q Œ Für absolut kovergete Reihe a Œ k ud b k gilt die Produktformel A Œ a k BA Œ b k B = A =0 a k b k B = a 0 b 0 +(a 2 b 0 + a 0 b )+(a 2 b 0 + a b + a 0 b 2 ) Satz 3.39 (Umordugssatz) q Œ Ist die Reihe a k q absolut koverget mit dem Summewert s, da Œ kovergiert jede aus a k durch Umordug der Glieder etstadee Reihe ebefalls gege s. 85

19 3.3. Absolut kovergete Reihe Bemerkug 3.40 Vorgehe bei der Kovergezutersuchug vo Zahlereihe =0 a :. Ist lim a =0? We dem icht so ist, da divergiert die Reihe ach dem Divergez-Test (siehe Satz 3.9 auf Seite 73). 2. Ist die Reihe eie spezielle Reihe: geometrische Reihe (siehe Satz 3.4 auf Seite 7), vom Typ = p (siehe Beispiel 3. auf Seite 73) oder alteriered (siehe Satz 3.7 auf Seite 77)? 3. Ka das Quotietekriterium (siehe Satz 3.28 auf Seite 82), das Wurzelkriterium (siehe Satz 3.33 auf Seite 83) güstig agewadt werde? 4. Ka die Reihe mit eier spezielle Reihe vergliche werde? (Siehe Vergleichkriterium, Satz 3.2 auf Seite 74 sowie das Beispiel 3.5 auf Seite 75.) 86

20 3.3. Absolut kovergete Reihe Beispiel 3.4 Reihe Kriterium Ergebis + 3+ Divergez-Test Reihe divergiert " geometrische Reihe q = fi 6 =! fi 6 = = = = = 3+ Vergleichskriterium Vergleich mit 3 < Reihe koverget =. Reihe sid diverget.! ( ) 3 4+" Leibiz-Kriterium alterierede Reihe, Reihe kovergiert.! Quotietekriterium Für! ist diese Kriterium vorteilhaft. 0 Reihe ist koverget.! 2+" Wurzelkriterium Reihe ist koverget. 87

21 3.3. Absolut kovergete Reihe Kriterium bzw. Name der Reihe Reihe Bedigug(e) für die Kovergez Bedigug(e) für die Divergez Bemerkuge otwediges Kriterium a lim a =0 Nicht zum Nachweis der Kovergez verwedbar = geometrische Reihe Œ aq q < q Ø Reihesumme =0 =0 aq = a q p = p > p Æ Nützlich beim Vergleichskriterium Leibiz-Kriterium für 0 < a + Æ a Nicht gültig für adere alterierede Reihe = ( ) a ud lim a =0 Reihe Wurzelkriterium Œ a = lim apple a < lim apple a > Keie Aussage für lim apple a = Quotietekriterium Œ a = lim - - a + -- < lim a - - a + a - -- > Keie Aussage für lim - - a + -- = a Vergleichskriterium Œ a 0 < a Æ b ud 0 < b Æ a ud = b kovergiert b divergiert = = 88