1 k k konvergent? und

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1 28 Reihen Reihen Aufgabe: Sind die Reihen ( + und onvergent? 28. Komplexe Reihen. a Für eine Folge (a in C heißt die Reihe a onvergent, falls die Folge der Partialsummen (s n := n a onvergiert. In diesem Fall heißt a := s := lim s n die Summe der Reihe. Nicht onvergente Reihen heißen n divergent. b Wegen 27.b ist eine Reihe a genau dann onvergent, wenn dies auf Rea und Ima zutrifft. c Ist die Reihe a onvergent, so folgt lim a = 0 und lim n r n = 0, wobei (r n := a die Folge der Reihenreste bezeichnet. =n+ d Für z C ist die geometrische Reihe z genau für z < onvergent. Nach (2.5 gilt ja n z = zn+ für n N, also z =0 z = für z <. ( z =0 Für z ist (z eine Nullfolge und somit z divergent Reihen mit positiven Summanden. Gilt a 0 für N, so ist a genau dann onvergent, wenn die Folge (s n der Partialsummen beschränt ist. Dies folgt sofort aus Theorem 4.4. Für die Konvergenz einer Reihe a positiver Summanden a 0 schreibt man urz a <. (2 Analog zu Satz 25.5 hat man: 28.3 Vergleichsriterium. a Es seien a, b 0 für N, und es gelte C > 0, 0 N 0 : a C b. (3 Istdann b onvergent, soauch a ; istdagegen a divergent, soauch b. b In der Situation von (3 heißt b eine Majorante von a, und a eine Minorante von b. Die folgenden beiden spezielleren Konvergenzriterien beruhen auf Vergleichen mit geometrischen Reihen. Beweise findet man in [K], Abschnitt Satz (Wurzelriterium. Es sei a 0 für N. Existiert w := limsup a (4 und ist w <, so ist a onvergent. Gilt aber a für unendlich viele Indizes, so ist a divergent.

2 28 IV. Taylor-Formel und Reihenentwiclungen 28.5 Satz (Quotientenriterium. Es sei a > 0 für N. Existiert v := limsup a + a (5 und ist v <, so ist a onvergent. Gilt aber a + a ab einem 0 N, so ist a divergent Beispiele und Bemerungen. a Bei Reihen a önnen ohne Änderung des Konvergenzverhaltens eventuelle Summanden a = 0 weggelassen werden. Somit ist das Quotientenriterium auch auf Reihen a mit Summanden a 0 anwendbar. b Für x > 0 wird die Reihe! x untersucht. Wegen a + = ( +!x+ ( + = x a ( + +!x ( + = x + ( = + x ( x + e onvergiert die Reihe für x < e und divergiert für x > e. Für x = e gilt a + a, d. h. die Reihe divergiert. c Hinreichend für die Divergenz von a sind auch w = limsup a > oder liminf a + >, nicht aber limsup a + >. a a d FürdieReihen mit α > 0 gilt lim a α a = lim + a =. Daauch a < und a + a < gilt, sind Wurzel- und Quotientenriterium nicht anwendbar. Nach 4.5e und f ist für α 2 onvergent und für α divergent, allerdings α jeweilslangsameralseinegeometrischereihe.diefälle < α < 2 önnenwegender Monotonie der Folge bequem mit Hilfe der Integralrechnung behandelt werden: α 28.7 Satz (Integralriterium. Es sei f C[, monoton fallend mit f 0. Dann onvergiert die Reihe f( genau dann, wenn das uneigentliche Integral f(x dx onvergiert. Beweis. Wegen der Monotonie folgt die Behauptung aus m =2 f( m f(xdx m = Beispiele. Nach Beispiel 25.4 c gilt also f(. (6 < α >, (7 α und nach Beispiel 25.6b hat man =2 < γ >. (8 (log γ Diese Aussagen lassen sich auch ohne Integralrechnung mit Hilfe des Verdichtungsriteriums beweisen, vgl. [K], 3.6*.

3 28 Reihen 29 Das Cauchy-Kriterium 27.8 lautet wegen s m s n = m =n+ a für Reihen so: 28.9 Feststellung (Cauchy-Kriterium. Eine Reihe a onvergiertgenaudann, wenn folgendes gilt: ε > 0 n 0 N m > n n 0 : m =n+ a < ε. ( Satz (Leibniz-Kriterium. Ist (a eine monoton fallende Nullfolge in [0,, so ist die alternierende Reihe ( a onvergent. Ohne die Monotonie-Bedingung ist dieses Resultat nicht richtig. Eine Verallgemeinerung des Leibniz-Kriteriums findet man in [K], 38.3*. 28. Beispiele. a Im Beweis von Satz 28.0 wird die Abschätzung m ( a a n für n m N (0 =n gezeigt. Daraus ergibt sich für s = ( a sofort die Fehlerabschätzung s n ( a a n für n N. ( b Die Leibnizsche Reihe ( + und auch die alternierende harmonische Reihe 2+ ( + sind onvergent; ihre Summen werden später bestimmt Zum Assoziativgesetz. a Ist a eine onvergente Reihe, so önnen in der Summe s = a = a + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + beliebig Klammern gesetzt werden, da dies nur den Übergang zu einer Teilfolge von (s n = n a bedeutet. b Dagegen önnen Klammern in einer onvergenten unendlichen Reihe i.a. nicht weggelassen werden. So ist etwa die Reihe ( +( + offenbar onvergent; durch Weglassen der Klammern aber entsteht die divergente Reihe ( +. Zum Kommutativgesetz hat man das folgende 28.3 Beispiel. Nach 28.b existiert s = Für die umgeordnete Reihe ergibt sich durch geeignete Klammerung = ( 2 + ( = = ( ( ( = 2 s!

4 30 IV. Taylor-Formel und Reihenentwiclungen 28.4 Definition. Eine omplexe Reihe a heißt absolut onvergent, falls a onvergiert. Das in Beispiel 28.3 auftretende Phänomen hängt eng mit der Tatsache zusammen, daß ( + zwar onvergiert, aber nicht absolut onvergiert (vgl. Theorem Umgeehrt gilt: 28.5 Feststellung. Absolut onvergente Reihen sind onvergent. Beweise findet man in [K], Abschnitt Beispiele und Bemerungen. a Die Reihe cos ist absolut onvergent. 2 b Wegen a 0 lassen sich die Kriterien 28.3, 28.4 und 28.5, bei monoton fallenden ( a auch 28.7 für Untersuchungen auf absolute Konvergenz verwenden Theorem. Eine omplexe Reihe a ist genau dann absolut onvergent, wenn für alle Bijetionen ϕ : N N die umgeordneten Reihen la ϕ(l onvergieren. In diesem Fall gilt a ϕ(l = a für alle Bijetionen ϕ : N N. l= 28.8 Bemerung. Konvergente, aber nicht absolut onvergente Reihen heißen wegen Theorem 28.7 auch bedingt onvergent, da die Konvergenz durch Umordnung zerstört werden ann. Im reellen Fall läßt sich zu jeder gegebenen Zahl α R auch eine Umordnung ψ : N N onstruieren, für die a ψ(l = α gilt Feststellung. Es seien a und b onvergente Reihen. Für c C sind auch die Reihen (a +b und ca onvergent, und es gilt l= (a +b = a + b sowie ca = c a Zum Distributivgesetz. a Für endliche Summen gilt ( m a ( n b l = m =0 l=0 =0 n a b l. (2 l=0 b Multipliziert man ein Produt unendlicher Summen entsprechend aus, so erhält man eine Summe über N 0 N 0. Im Hinblic auf Potenzreihen möchte man diese diagonal aufsummieren, d. h. es sollte gelten: ( a ( b l = c n =0 l=0 c n := +l=n mit a b l = n a j b n j, n N 0. (3 j= Satz (Multipliationssatz. Es seien 0a und 0b absolut onvergente Reihen omplexer Zahlen. Mit den (c n aus (3 ist auch die Reihe n 0c n absolut onvergent, und es gilt ( ( c n = a b. (4 =0 =0

5 28 Reihen Beispiele und Bemerungen.aManhat =0 z = z für z <, wobei die Reihe absolut onvergiert. Aus Satz 28.2 ergibt sich daraus = c ( z 2 n mit c n = n z j z n j = (n+z n. Somit gilt j=0 (n+z n = ( z 2, z <. (5 b Die Multipliationsformel (4 gilt nicht, wenn die beiden Reihen 0a und 0b nur bedingt onvergieren. Sie ist allerdings bereits dann richtig, wenn die Reihe n 0c n onvergent ist (eine Folgerung aus dem Abelschen Grenzwertsatz, vgl. [K], 38.2* oder wenn eine der Reihen absolut onvergiert (Satz von Mertens, vgl. [K], 32.3*.