12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/ ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

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1 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/ estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem: sn ( α ) = 1 cos( α ) P t Be P(t) handelt es sch m ene m nach oben verschobene, snsförmge Fnkton Der zetlche Mttelwert von P(t) über ene Perodendaer T wrd als sogenannte elektrsche Wrklestng defnert De Wrkng deser elektrschen Wrklestng besteht n der Erwärmng des Wderstands De gesamte elektrsche estng am Wderstand wrd n Wärmelestng mgesetzt Da de beden schrafferten Flächen glech groß snd, beträgt der zetlche Mttelwert der estng: De Wrklestng an enem ohmschen Wderstand m elektrschen Wechselstromkres beträgt also PW = Da en Wechselspannngsmessgerät (bzw en Wechselstrommessgerät) ncht den Schetelwert û (bzw î ) msst, sondern den sogenannten Effektvwert U eff der Spannng (bzw I eff des Stroms), st es nützlch z wssen, welchen Zsammenhang es zwschen dem Effektv- nd dem Schetelwert ener Wechselspannng (bzw enes Wechselstroms) gbt

2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres / De Effektvwerte für Spannng nd Strom werden so defnert, dass hr Prodkt Ueff Ieff dem zetlchen Mttelwert der estng P(t) entsprcht Es glt also: = Ueff Ieff Nach dem ohmschen Gesetz, welches ach für den Fall des ohmschen Wderstands m Wechselstromkres gültg st (expermentell bestätgt), glt: U = I nd û = ˆ Zsammen mt = Ueff Ieff ergeben sch de folgenden Bezehngen: û î Ueff = nd Ieff = De Wrklestng an enem ohmschen Wderstand m elektrschen Wechselstromkres beträgt also PW = = Ueff Ieff b) Indktvtät (Sple) Betrachtet wrd znächst ene deale Sple (ohne ohmschen Wderstand) Da de Spannng m Fall der Sple dem Strom voraselt, ergeben sch folgende Bezehngen für den Spannngs- nd den Stromverlaf = ˆ ( ω ) ˆ t sn t π t = sn ω t + Da de Spannng dem Strom voraselt, mss de Spannng nach lnks verschoben sen De momentane (zetabhängge) estng beträgt dann: ˆ π P t = sn ( ωt) sn t ˆ ω + = sn ( ωt) cos( ω t) Mt dem Addtonstheorem sn α = sn α cos α ergbt sch: P( t) = sn ( ω t) Der zetlche Mttelwert deser estng st Nll, da de Flächen zwschen ener Snskrve nd der Zetachse, über ene Perodendaer T gesehen, sch z Nll adderen (Im Gegensatz zm ohmschen Wderstand, be dem z jedem Zetpnkt de momentane estng P(t) mmer en postves Vorzechen hat, können be der Sple ach negatve Werte aftreten An ener dealen Sple wrd also kene Wrklestng mgesetzt, dh de Sple gbt kene elektrsche Energe n Form von Wärme nach aßen ab Stattdessen nmmt de Sple zwar Energe zm Afba des Magnetfeldes af (postve Momentanlestng), gbt dese aber ach weder an den Stromkres ab, während das Magnetfeld abgebat wrd (negatve Momentanlestng) Das Prodkt as U eff nd I eff kann dementsprechend ncht für de Wrklestng stehen Stattdessen wrd deses Prodkt als sogenannte Blndlestng Q defnert: Q = Ueff Ieff

3 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 3/ c) Kapaztät (Kondensator) Für den dealen Kondensator (ohne ohmschen Wderstand) ergbt sch ene ähnlche echnng Der enzge Untersched besteht darn, dass de Spannng her dem Strom nachelt: π ( t) = sn ωt De Spannng st her also nach rechts verschoben Ach der deale Kondensator gbt we de deale Sple kene Energe nach aßen ab Für den Afba des elektrschen Feldes nmmt er Energe vom Stromkres af, de er aber bem Abba des Feldes ach weder an den Stromkres abgbt Das Prodkt as U eff nd I eff kann steht also ach her für de Blndlestng : Q = Ueff Ieff d) Zsammenfassng: Ohmscher Wderstand, deale Sple, dealer Kondensator Ohmscher Ideale Idealer Wderstand Sple Kondensator Wrklestng P = U I 0 0 Blndlestng 0 Q = U I Q = U I Phasenverschebng zwschen Strom nd ϕ = 0 Spannng π ϕ = + π ϕ = Phasendagramm e) ehenschaltng as Sple nd Wderstand In desem Fall wrd de Phasenverschebng zwschen nd ncht π betragen, sondern klener sen (sehe Bespel-Zegerdagramm an der Tafel) Allgemen glt dann: ( t) = ˆ sn ( ω t) ( t) = sn ( ω t + ϕ ) Für de momentane estng ergbt sch dann: P t = = ˆ sn ωt sn ω t + ϕ

4 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 4/ Mt Hlfe enes weteren Addtonstheorems sn ( α + β ) = sn α cosβ + cos αsnβ folgt: P( t) = ˆ sn ( ωt) ( sn ( ωt) cos ϕ + cos( ωt) sn ϕ) P( t) = ˆ sn ( ωt) cosϕ + ˆ sn ( ωt) cos ( ωt) snϕ Weder wrd der zetlche Mttelwert über ene Perodendaer T gebldet Für den ersten Smmanden st das zetlche Mttel von Nll verscheden (sehe sn Fnkton für den ohmschen Wderstand) Deser Smmand mss somt den Wrkantel der estng enthalten Für den zweten Smmanden st das zetlche Mttel glech Nll Deser Smmand mss somt den Blndantel der estng enthalten As dem ersten Smmanden ergbt sch mt den Effektvwerten U nd I nd dem Faktor cos ϕ dann de Wrklestng P für enen Wechselstromwderstand für belebge Phasenverschebng zwschen Strom nd Spannng: P = U I cos ϕ As dem zweten Smmanden ergbt sch mt den Effektvwerten U nd I nd dem Faktor sn ϕ dann de Blndlestng Q für enen Wechselstromwderstand für belebge Phasenverschebng zwschen Strom nd Spannng: Q = U I cos ϕ Mltplzert man dennoch de Effektvwerte U nd I mtenander, ohne de Phasenverschebng ϕ z beachten (des tn de Messgeräte nämlch ncht), so erhält man de sogenannte Schenlestng S: S = U I Zwschen den estngen gbt es zdem folgenden Zsammenhang: S = P + Q Wechselstromwderstände In enem Wechselstromkres können neben ohmschen ach ndktve Wderstände (Splen) nd kapaztve Wderstände (Kondensatoren) enthalten sen Es wrd somt n der egel ene Phasenverschebng zwschen Strom nd Spannng vorhanden sen, de gemessen oder mt Hlfe enes Zegerdagrammes ermttelt werden kann gegeben: Stromflss = ˆ sn ( ω t) gemessen: Spannng = sn ( ω t + ϕ ) Wechselstromwderstände werden allgemen mt dem Bchstaben Z abgekürzt Für konstante Freqenzen kann folgende Bezehng defnert werden: û U Z = = = const ( wenn f = const ) î I De Sple nd der Kondensator zegen allerdngs en freqenzabhängges Wderstandsverhalten Her wrd von sogenannten ndktven bzw kapaztven Wderständen gesprochen

5 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 5/ Dese können lecht we folgt berechnet werden: kapaztver Wderstand Q = C U = sn ω t dq = = ω C cos ω t dt ˆ = ω C 1 = C î = ωc = ωc ndktver Wderstand d = dt = ˆ sn ω t = ω ˆ cos ω t û = ω ˆ û ωˆ = = = ω î î

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