Transformator. Technische Universität Dresden Fachrichtung Physik. Inhaltsverzeichnis. Physikalisches Praktikum. 1 Aufgabenstellung 2

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1 Technische Universität Dresden Fachrichtung Physik Transformator Inhatsverzeichnis Physikaisches Praktikum L. Jahn 03/ 1996 Versuch: TR bearbeitet 04/ Aufgabensteung Stromdurchossene Spue.1 Spue mit Eisenkreis Spue im Wechsestromkreis Mode des ideaen Trafos Ideaer Trafo im Leerauf Ideaer Trafo mit Ohmscher Last Streu-Trafo mit Ohmscher Last Ströme und Phasenwinke Leerauf und Kuzschuÿ Leeraufspannung Kurzschuÿstrom Primärer Leeraufstrom Ortskurve Experimente Leerauf-und Kurzschuÿ-Versuche Bestimmung des Phasenwinkes Aufnahme des Heyandkreises Bestimmung der Permeabiität Anhang Gegeninduktivität, Leistung, Widerstandstransformation Zur Gegeninduktivität Leistung des beasteten Streu-Trafos Widerstandstransformation beim ideaen Trafo Zum Heyandkreis des Streu-Trafos Zum Primärstrom des Streu-Trafos Reaer Trafo Leerauf-Veruste des reaen Trafos Wirbestromveruste Hysterese-Veruste Eisen-Veruste und Verustwinke Verust-Winke und kompexe Permeabiität Abschätzung des Eisenquerschnittes Fragen 1

2 STROMDURCHFLOSSENE SPULE 1 Aufgabensteung 1. Aus Leerauf- und Kurzschuÿ-Versuchen werden die Induktivitäten und der Streufaktor für verschiedene Luftspate bestimmt.. Für eine veränderiche Ohmsche Last R im Sekundärkreis ist für den Primärstrom der Heyandkreis aufzunehmen und mit dem berechneten zu vergeichen. 3. Bestimmung der Permeabiität µ r des Trafo-Bechs. Stromdurchossene Spue.1 Spue mit Eisenkreis Eine Spue mit der Windungszah n sei nach Abb. 1 auf ein ringförmiges Ferromagnetikum mit dem Querschnitt A und der Länge gewicket. Die Hysteresescheife sei nur so weit ausgesteuert (Abb. 1 c(i)), dass git: µ r = B µ 0 H konstant. Wir unterscheiden: Fa 1: Der Eisenkreis ist geschossen. Fa : Im Eisenkreis ist ein Luftspat d = s. Durch die Spue nach Fa 1 bzw. Fa ieÿt der (Geich-oder Wechse-) Strom I. Aus dem Durchutungsgesetz H s ds = ni fogt für Fa 1 die Beziehung H F e = ni. Die Fedstärke im Eisen berechnet sich für die beiden Fäe aus: Abb. 1: Spue mit Eisenkreis für die Fäe 1. und. (a,b); (c) mögiche Aussteuerungen (i; j; k) einer Hysteresescheife. N: Neukurve H F e = ni (Fa 1) bzw. H F e + H L d = n I (Fa ). (1) Die zweite Geichung von (1) enthät zwei Unbekannte (die Fedstärke im Eisen H F e und die in Luft H L ). Die notwendige zweite Beziehung iefert die Qeenfreiheit von B, Bn da = 0. Die Induktion (und der Fuss; Näherung für groÿen Querschnitt A und geringen Luftspat d) in Luft und Eisen sind geich: µ r µ 0 H F e = B F e = B L = µ 0 H L. Damit fogt für die magnetische Fedstärke H F e bzw. den Fuss Φ für Fa : H F e = ni + µ r d = ni (1 + µrd ) (a); Φ L = Φ F e = µ 0 µ r AH F e = µ 0 A ni µ r (1 + µrd ) (b). () Aus () wird ersichtich, dass die Fedstärke im Eisen (und damit die Aussteuerung der Hysteresescheife) sowie der Fuss und die eektive Permeabiität µ eff bei geichem Strom I mit zunehmenden Luftspat d abnehmen: µ eff = µ r (1 + d µ r). (3)

3 STROMDURCHFLOSSENE SPULE. Spue im Wechsestromkreis. Spue im Wechsestromkreis Legt man eine harmonische Wechsespannung U = Û ejωt an die Reihenschatung der Spue mit einem Widerstand R (z. B. Wickungswiderstand), so autet der Maschensatz U L di = I R. (4) Mit dem Ansatz I = Îej(ωt ϕ) ergibt sich für die Ampitude des Stromes bzw. den Phasenwinke zwischen U und I im eingeschwungenen Zustand Î = Û (a); bzw. tanϕ = ωl R + ω L R (b) mit L = µ n A oµ eff (c) (5) as Induktivität. Für R ωl wird ϕ π/ und es ieÿt nur der Bindstrom I = I m (Magnetisierungsstrom). Sein Betrag kann bei sehr groÿem µ r (s. ideaer Trafo) beiebig kein sein (Abb. b). Er hät aber phasengeich den endichen harmonisch wechsenden magnetischen Fuss Φ aufrecht (s. Abb. 1 c). As Foge dieses Wechseusses wird in der Spue die Gegenspannung U = U i = n d Φ = µ 0µ eff n A di m = L di m = jωli m (6) induziert, die schon im Maschensatz (4) berücksichtigt wurde. Bei konstanter Spannung U steigt der Bindstrom I m in dem Maÿe an, wie L mit µ eff, z. B. bei Verbreiterung des Luftspates, abnimmt. 3 Mode des ideaen Trafos Wird eine zweite Spue auf den Eisen-Ring gewicket und damit von dem geichen magnetischen Fuss durchsetzt, so hat man einen Transformator (Abb. ). Transformatoren werden vor aem groÿtechnisch genutzt für den im Mitte 6 ma benötigten Wechse der Spannungsstufen bei der Energieversorgung im Leistungsbereich von einigen Watt bis zu vieen hundert Megawatt, die die meiste Zeit (ca. 75%) nahezu im Leerauf arbeiten. In der Meÿtechnik wird z. B. die Mögichkeit der Potentiatrennung oder die Widerstandsanpassung (Impedanzwander) ausgenutzt. Im Zeigerdiagramm (Abb. b) zeigt wie in aen fogenden Zeigerdiagrammen U 1 stets (wikürich) vertika (reee Achse). Abb. : Ideaer Transformator: (a) im Leerauf bzw. mit mit Ohmscher Last; (b) Zeigerdiagramm für Primärspannung U 1, Magnetisierungsstrom I 1,m und magnet. Fuss Φ. Unter einem ideaen Trafo [6, 9, 1] so fogendes Mode verstanden werden: 1. Die konstante Permeabiität µ r des Trafo-Kerns ist sehr groÿ ( ), wodurch die Induktivitäten ebenfas sehr groÿ und die Bindströme sehr kein werden (ωl R; im Betrieb wird dann nahezu im Kurzschuÿ gearbeitet). Es gibt keine Hysterese und damit verbundene Veruste und Nichtinearitäten.. Das Ferromagnetikum sei eektrisch ein Isoator (λ = 0). Damit entfaen Wirbestromveruste. 3. Die Koppung zwischen beiden Spuen, ausgedrückt durch die Gegeninduktivität M (s. Anhang), sei idea. Es entfät die Streuung des magnetischen Fusses. Für die Gegeninduktivität git: M = L 1 L. Damit wird der Streufaktor σ = 1 M L 1 L = 0 und der Koppungsfaktor k = M L 1 L = 1 σ = 1. 3

4 3.1 Ideaer Trafo im Leerauf 3 MODELL DES IDEALEN TRAFOS 4. Die Wickungswiderstände sind zu vernachässigen (keine Kupferveruste). Bei streuarmen Netz-Leistungs-Trafos iegen die Wickungen übereinander. In der Starkstromtechnik wird bezügich der Kupfer- und Eisen- Verusteistungen auf ein ausgewogenes Verhätnis von etwa P Cu/P F e 5 : 1 geachtet, da die Trafos die meiste Zeit im Leerauf arbeiten. 3.1 Ideaer Trafo im Leerauf An die Primär-Wickung wird im fogenden stets die bezügich Ampitude und Phase unveränderiche harmonische Wechse-Spannung U 1 = Û1 e jωt angeegt. Nach G. (5 a) ieÿt durch die Primärspue der um π/ nacheiende Magnetisierungs-Strom I 1,m = U 1 /jωl 1 und baut die phasengeichen Gröÿen auf: Fedstärke H F e = n 1 I 1,m /, Induktion B = µ 0 µ eff H F e und der Wechse-Fuss Φ = B A. Infoge der zeitichen Fussänderung (jωφ) werden nach G. (6) in beiden Spuen die phasengeichen Spannungen (U i,1 ; und U i, ) induziert (U 1 = U i,1 ; U = +U i, ). Ihre Beträge sind den Windungszahen proportiona: Mit dem Übersetzungsverhätnis ü = n /n 1 git aso Û i,1 = L 1 di 1,m ; Û i, = L di 1,m bzw. U i, U i,1 3. Ideaer Trafo mit Ohmscher Last Verbindet man die Kemmen der Spue mit dem Beastungswiderstand R b (Abb. b), so ieÿt durch den Ohmschen Widerstand der zu U phasengeiche Wirk-Strom I = U /R b = Î e j(ωt ψ ). Wegen µ r git bei endichem Wechseuss Φ = µ 0 µ r (A/)(n 1 I 1 + n I ): HF e ds = 0 = (H 1 + H ) = n 1 I 1 + n I. Es entsteht durch die Beastung beim ideaen Trafo keine Zusatzdurchutung und kein Zusatzuss. Für das Verhätnis von Primär-und Sekundär- Strom ndet man Abb. 3: Beasteter ideaer Trafo: Phasenage der Spannungen und Ströme I 1 und I. = Û = L L 1 = n n 1 = ü. (7) (H 1 + H ) = I 1 n 1 + I n = 0 d. h. I I = Î = n 1 1 Î1 n = Û1 = 1 Û ü. (8) Beim ideaen Trafo ist das Strom-Verhätnis der Kehrwert des Spannungsverhätnisses. 4

5 4 STREU-TRAFO MIT OHMSCHER LAST 4 Streu-Trafo mit Ohmscher Last Läÿt man beim Übergang zur Reaität endiche Induktivitäten und Streuung zu, so hat man einen Streu-Trafo. Ohmsche und Eisen-Veruste werden nicht betrachtet. Der ideae Trafo fogt dann für σ = 0. Transformatoren mit groÿer Streuung werden, wie z. B. beim Kingetrafo, zur Verhinderung von Schäden im Kurzschuÿfa eingesetzt. Bei der Signaübertragung mit höheren Frequenzen oder beim Netztrafo mit gröÿeren Luftspaten ist die Koppung der Spuen oft gering. Nur noch der Hauptuss Φ h, nicht aber der Streuuss Φ σ, erreicht die andere Spue. 4.1 Ströme und Phasenwinke An die Sekundärspue wird der Beastungswiderstand R b angeschossen. Der Strom I ieÿt auch durch die Spue und baut einen Fuss auf, der teiweise die Spue 1 durchsetzt. Abb. 4: Nutz-und Streuuss beim reaen Trafo (a); Ersatzschatbid für Streu-Veruste (b). Dabei wird eine Spannung induziert, die U 1 entgegenwirkt. Der damit verbundene Primärstrom I 1 hat eine geringere Wirkkomponente mit 0 < ψ 1 < π/; im Vergeich zum ideaen Trafo. Die (nicht ideae) Koppung wird durch die Gegeninduktivität (s. Anhang) L 1 = L 1 = M = k L 1 L mit (k < 1) ausgedrückt. Die Ampituden und Phasen der gekoppeten harmonischen Gröÿen berechnen sich aus dem Maschensatz, angewan auf beide Spuen und den Sekundär-Kreis: di U 1 = L M di (a) di 0 = U + L + M di 1 (b) ; U = R b I (c). (9) Setzt man die Gn.(9 b,c) in Gn.(9 a) ein, so fogt mit U 1 = Û1 e jωt und dem Ansatz I 1 = Î1e j(ωt ψ 1) (R b + jωl ) = [ jωl 1 R b ω L 1 L + ω M ] Î 1 e jψ 1. (10) Daraus ergibt sich mit dem Streufaktor σ = (1 M L 1 L ) = (1 k ) [ e jψ jωl1 1 R b ω L 1 L σ ] ωl 1 [ = = Î 1 (R b + jωl ) (Rb + ω L ) Rb ωl (1 σ) + j(rb + ω L σ) ] (11) schieÿich die Ampitude (s. Anhang) bzw. der Phasenwinke des Primärstromes Û1 Î 1 = ωl 1 R b + ω L R b + ω L σ (a) bzw. tanψ 1 = R b + ω L σ R b ωl (1 σ) Die entsprechenden Gröÿen auf der Sekundärseite sind mit I = Î e j(ωt ψ ) : (b). (1) Î = MÛ1 (a) ; tan ψ = (ωl σ) (b) U = R b I (c). (13) L 1 Rb + ω L σ R b (ψ bezieht sich auf U 1. I und U sind in Phase (13 c). 5

6 4. Leerauf und Kuzschuÿ 4 STREU-TRAFO MIT OHMSCHER LAST 4. Leerauf und Kuzschuÿ Fogende Speziafäe sind besonders geeignet, die Induktivitäten und den Streu- bzw. Koppefaktor zu messen: 4..1 Leeraufspannung Aus G.(13 a,c) ergibt sich die Leeraufspannung für R b : Û = M Û 1 L ω L σ Rb U,Leer = MÛ1 L 1 = M L1 L L L 1 = küû1. (14) 4.. Kurzschuÿstrom Primärer Kurzschuÿstrom: Mit G.(1 a) wird für R b = 0 Î 1,kurz = Û1 ω L 1 σ. (15) Sekundärer Kurzschuÿstrom: Er fogt aus G.(13) für R b = 0: Î,kurz = M Û1 L 1 ω L σ. (16) Die Kurzschuÿströme werden durch den Streufaktor begrenzt und würden in der Grenze σ 0 (ideaer Trafo) zu Primärer Leeraufstrom Î 1,eer = Û1 ω L 1. (17) Der Leeraufstrom I 1,eer ist eine Foge der endichen Induktivität L 1. Er baut as Bindstrom das Magnetfed auf (und wird beiebig kein beim ideaen Trafo; dort I 1,m). Durch die hier nicht betrachteten Eisen-(=Leerauf-) Veruste erhät I 1 eine Wirk-Komponente (cosψ 1 > 0). 4.3 Ortskurve Sowoh Leeraufstrom I 1,eer as auch Kurzschuÿstrom I 1,kurz sind beim reinen Streutrafo Bindströme (ψ 1 = π/; verg. (1 b)). Erhöht man aber, z. B. beginnend mit dem Kurzschuÿstrom, schrittweise den Ohmschen Widerstand R b, so veringert sich ψ 1 auf ein Minimum bei R ψ,1,min = ωl σ. Die Ampitude und Phase des primären Stromes I 1 in Abhängigkeit von 0 R b durchäuft beim reinen Streutrafo as Ortskurve den Heyandkreis (Abb. 5; s. Anhang). Abb. 5: Heyandkreis für den Streutrafo. 6

7 5 EXPERIMENTE 5 Experimente 5.1 Leerauf-und Kurzschuÿ-Versuche Der Luftspat d wird durch Past-Beiagen der Dicke s = d/ im Eisenjoch variiert. Die Abnahme der Induktivitäten (und eektiven Permeabiität) sowie die Zunahme von σ (bzw. Abnahme von k) können durch Messung der Ampituden (bzw. der Eektivwerte) von Strom und Spannung anhand der Gn.(14;15;16;17) bestimmt werden. Durch Vertauschung von Primär-und Sekundärseite können sowoh ü as auch k ermittet werden. 5. Bestimmung des Phasenwinkes Strom und Spannung werden primärseitig mit nebenstehender Schatung bestimmt (Abb. 6). Der Phasenwinke ψ 1 kann 1. nach der Drei-Instrumenten-Methode (Abb. 6 a) ermittet werden: Es werden die drei Spannungen: Gesamtspannung U res ; Spannung an der Primärspue U L sowie der Spannungsabfa am Vorwiderstand R v : U Rv gemessen. Es git: cos ψ 1 = U L / UR v + UL ;. mit einem Zweistrah-Osziographen, dessen y- Buchsen einma am Ohmschen Vorwiderstand (Strom- Signa) und zum anderen an L 1 (Spannungs-Signa) iegen, bestimmt werden. Man vergeicht die Nudurchgänge der Schwingungen, nachdem diese am Osziographen auf geiche Ampituden abgegichen wurden; 3. mit einem Wirkeistungsmesser P 1 bestimmt und berechnet werden: cos ψ 1 = P 1 Î 1 = P 1 U 1,eff I 1,eff. 5.3 Aufnahme des Heyandkreises Abb. 6: Bestimmung von ψ 1 nach Drei-Instrumenten- Methode (a) und mittes Zweistrahosziograph (b). Den Beastungswiderstand R b reget man, ausgehend vom Kurzschuÿ (Maximawerte einsteen), in ca. 1 geeigneten nichtinearen Stufen bis zum Leerauf. Für jede Einsteung bei konstanter (bzw. nachgeregeter) Primär-Spannung wird der Primärstrom und der Phasenwinke nach Einsteung geicher Ampituden am Osziographen durch Auszähen der Abszissen-Abstände der Nudurchgänge ermittet. 5.4 Bestimmung der Permeabiität Im Leerauf ergibt sich nach Umformung der G. (6) für d = 0 aus dem Verhätnis von Primär-Strom und -Spannung die (im agemeinen kompexe, s. Anhang) Permeabiität (µ r ): µ r =,eer ω µ 0, n. (18) A Î 1,eer Dazu muÿ die Geometrie des Eisenjochs (Querschnitt und mittere Eisenänge), die Windungszah und die Frequenz bekannt sein. Es empet sich eine Meÿreihe für verschiedene Aussteuerungen, d. h. verschiedene Primärspannungen, anzufertigen. 7

8 6 ANHANG 6 Anhang 6.1 Gegeninduktivität, Leistung, Widerstandstransformation Zur Gegeninduktivität Man betrachte zwei beiebige, auch von der Geometrie unterschiediche Spuen (1;) ohne Ohmsche Widerstände, die von den Wechseströmen I 1 und I durchossen werden und dabei in beiden Spuen Spannungen induzieren. Es wird zunächst L 1 L 1 angenommen: di 1 U 1 = L 1 + L di 1 di 1 ; U = L + L di 1 1 Geht man zur Leistung über und addiert die beiden Anteie, so fogt. (19) U 1 I 1 = L 1 di 1 I 1 + L 1 di I 1 ; U I = L di I + L 1 di 1 I ; ΣUI = U 1 I 1 + U I = L 1 di 1 I 1 + L 1 di I 1 + L di I + L 1 di 1 I. (0) Diese Leistung muÿ der zeitichen Änderung der magnetischen Fedenergie entsprechen: d W magn = d [ 1 L 1 Î ] L Î + M Î1 Î. (1) Das ist nur mögich, wenn M = L 1 = L 1 ist, wie man sich durch Vergeich von (0 und 1) überzeugt Leistung des beasteten Streu-Trafos Beim reinen Streutrafo geht keine Energie veroren. Die Wirkeistung wird voständig übertragen. 1 Mit G. (1 a,b) und wegen arc tan x = arc cos 1+x ist zunächst cosψ 1 = R b ωl (1 σ) (R. () b + ω L σ )(R b + ω L ) Damit fogen die beiden Leistungen: P 1 = 1 Û1Î1cos(ψ 1 ) = 1 Û1 Rb + ω L R b ωl (1 σ) ωl Rb + ω L σ (Rb + ω L σ )(Rb + ω L ) P 1 = Û 1 ωl R b ωl (1 σ) (R b + ω L σ ) ; P = 1 RbÎ = 1 R M Û1 b L 1 (R b + ω L σ ). (3) Beide Leistungen sind identisch wegen L 1 L (1 σ) = M Widerstandstransformation beim ideaen Trafo Aus der Wirk-Leistung P 1 des Primärstromes P 1 = 1 Û1Î1cos ψ 1 = 1 Û 1 L = 1 Û1 ü = 1 Û. (4) L 1 R b R b R b fogt die Übersetzung der Impedanzen; Widerstandsanpassung; Impedanzwander. Der Primärseite wird ein übersetzter Widerstand R 1 zugeordnet, für den git R 1 R b = Z 1 Z b = n 1 n = L 1 L = 1 ü. (5) 8

9 7 REALER TRAFO Zum Heyandkreis des Streu-Trafos Es so gezeigt werden, dass der Radius ρ der Ortskurve unabhängig von R b und nur eine durch f(u 1, ωl 1, σ) bestimmte Konstante ist. Die Ortskurve muÿ daher ein Kreis sein: Enstprechend der Abb. (6) sind I 1,kurz ; I 1,eer und deren Mittewert I 0 = Û1 (σ+1) ωl 1 σ gegeben. Der cos-satz in dem durch ρ ; I 0 und I 1 aufgespannten Dreieck autet unter Verwendung von G. (1 a,b) und arctan x = arc sin x : 1+x = Û 1 ω L 1 ρ = I0 + I1 I 0 I 1 cos(π/ ψ 1 ) = I0 + I1 I 0 I 1 sin ψ 1 (σ + 1) 4σ + R b + ω L Rb + ω L σ σ + 1 Rb + ω L σ Rb + ω L σ und nach Auösen der Binome unter der Wurze ρ = [ (σ + 1) ω L 1 4σ + R b + ω L Rb + ω L σ σ + 1 σ Rb + ] ω L σ Rb + ω L σ R b +ω L σ R b ωl (1 σ) 1 + (R b +ω L σ) R b ω L (1 σ) = [ (σ + 1) ω L 1 4σ 1 ] σ Der Beastungswiderstand R b ist in der G. (7) für ρ aso nicht mehr enthaten. (6). (7) Zum Primärstrom des Streu-Trafos Aus G.(11) fogt die Beziehung (1 b) für den Phasenwinke. Zur Berechnung des Ampituden- Quadrats führt man die Abkürzung Z ein und ndet: Î1 = ω L (R b + ω L ) 1 Z (8) Z = [ R b + ω L σ ] + R b ω L (1 σ) und (9) Z = R 4 b + ω4 L 4 σ + R ω L (1 + σ ) = R b (R b + ω L ) + ω L σ (ω L + R b ) ; (30) und nach Zusammenfassung die G. (1 a). 7 Reaer Trafo Beim reaen Trafo wären noch 1. die Ohmschen Veruste an den Wickungs-Widerständen von Primär-und Sekundärspue (R 1 und R ; forma im G.-System (9) durch I 1 R 1 sowie I R ) und. die Leerauf-Veruste zu berücksichtigen. 7.1 Leerauf-Veruste des reaen Trafos Bei niedrigen Frequenzen haben die Leerauf- oder magnetischen Veruste zwei Ursachen: 1. die Wirbeströme und. die Hysterese. Durch beides wird das Eisenjoch erwärmt, was einer unerwünschten Wirkeistung entspricht. Im Ersatzschatbid werden die mit der Frequenz ansteigenden Veruste zweckmäÿig mit einem zur Primärspue parae iegenden Ohmschen Widerstand R F e erfaÿt, dessen Einuss mit steigender Frequenz gröÿer wird (Abb. 7 a). 9

10 7.1 Leerauf-Veruste des reaen Trafos 7 REALER TRAFO Wirbestromveruste In Abb. 7 ist der Querschnitt eines Eektrobeches skizziert mit der Fussrichtung, dem Querschnitt A = a b und einer ktiven Richtung eines Wirbestromes I wb. I wb so im fogenden Mode in einer Richtung den haben Querschnitt einnehmen. Für die induzierte Spannung im Bech git U wb λa/ = U wb λ a b/ b. Der Ohmsche Widerstand der angenommenen Strombahn nimmt bei gegebener (sehr groÿer) Bechbreite mit der Bechdicke b ab. Der Wirbestrom nimmt demzufoge mit b zu. demzufoge git P wb b. Abb. 7: Eektrobech mit Wirbeströmen Zur Verringerung der Wirbeströme werden Netz-Trafos aus Eektrobechen (b 0, 35 mm) hergestet. Für die verbeibende Verusteistung git [6, 8] 7.1. Hysterese-Veruste P wb Ûwb I wb A λ ω b B. (31) Die bei einem Zykus im Eisen umgesetzte Hysteresearbeit berechnet sich zu V HdB = V BdH, wobei BdH die von der Hysteresescheife eingeschossene Fäche darstet. Diese Fäche steigt nach Abb. 1 c stark mit der Aussteuerung anfangs proportiona zu H und zu B, d. h. B, an. Daher git P hy A ω Φ. (3) Bei konstanter Frequenz und Bechdicke sind daher die beiden Anteie P wb und P hy nicht zu trennen, so dass nur die gesamten Eisen-Veruste P F e = P wb + P hy bestimmt werden können Eisen-Veruste und Verustwinke P F e wird durch eine Paraeschatung von Primärinduktivität und dem Eisen-Widerstand R F e berücksichtigt. Nach Anegen von U 1 = Û1e jωt ieÿt der Strom I 1,eer = Î1e j(ωt ϕ 1) ; I 1,eer = U 1 R F e + U 1 jωl 1 d. h. Î1,eer = Û1 ωl 1 (1+j ωl 1 R F e ). (33) Abb. 8: Eisenwiderstand RF e (a); Zeiger für den primären Leeraufstrom (b) Für Ampitude bzw. Phasenwinke (s. Abb. 8) fogt aus (33) Î 1,eer = Û1 1 + ω L ωl 1 RF (a) bzw. tan( π e ϕ 1) = ωl 1 1 (b). (34) R F e Der meistens sehr keine Wert tan( π ϕ 1) = tan δ δ wird Verustwinke genannt. Er ist proportiona den (in unserem Fa Leerauf-) Verusten. Damit ergibt sich für die Leeraueistung (=Eisenverust-Leistung) P F e = 1 Î1,eerÛ1cosϕ 1 = U 1 R F e 1 Î1,eerÛ1tan δ. (35) P F e steigt mit der Aussteuerung (Ĥ Îm Û1) und wird im Leerauf mit einem Wattmeter oder durch Ampituden- und Phasen-Messung bestimmt. 10

11 7 REALER TRAFO 7. Abschätzung des Eisenquerschnittes Verust-Winke und kompexe Permeabiität Durch Umsteung von G. (33) und G. (39) ergeben sich R F e und L 1 über ihre Kehrwerte: Î 1,eer Û 1 = 1 RF + 1 e ω L 1 (a); 1 R F e = Î1,eer sin δ (b) 1 ω L 1 = Î1,eer cos δ (c). (36) Mit (36 b,c) und anhand der Gn. (40) können Rea- und Imaginärtei der Permeabiität berechnet werden. Man kann die G. (33) unter Beachtung von Û1 = n 1 ω ˆΦ 1 so umsteen, dass inks der Kehrwert der Permeabiität steht und man erkennt, dass infoge der Veruste (d. h. R F e ) auch die Permeabiität kompex wird (µ r µ). Aus fogt Î 1,eer j ω R F e L 1 e jϕ 1 = Î1,eer ω R F e L 1 n 1 ω ˆΦ 1 e (π/ jϕ 1) = R F e + jωl 1 (37) 1 µµ 0 n 1 A e jδ = 1 L 1 + j ω R F e oder 1 µ ejδ = µ 0n 1 A [ 1 + j ω ] L 1 R F e. (38) Damit ergeben sich (in unserem Fae des parae angesetzten Verustwiderstands; Index p ) die Kehrwerte von Rea-und Imaginärtei der kompexen Permeabiität sowie der Verustwinke δ: 1 µ ejδ = 1 µ p + j 1 µ p bzw tan ( π ϕ 1) = tan δ = 1/µ p 1/µ p = µ p µ p = ωl R F e. (39) Stet man G. (39) um, so fogt aus den durch Messungen bestimmten Gröÿen (ωl 1 ; R F e ) der Rea (µ p)- und Imaginär-Tei (µ p) der Permeabiität: µ p = µ 0 n 1 A L 1 ; µ p = µ 0 n 1 A RF e ω. (40) Der Reatei ist proportiona zur Induktivität L 1 entsprechend (18). Ein groÿer Paraewiderstand R F e bedeutet einen groÿen Imaginärtei der Permeabiität und geringe Veruste. 7. Abschätzung des Eisenquerschnittes Da µ r B µ 0 H endich ist und die maximae Fedstärke bzw. Induktion den zum Erreichen von etwa 80% der Sättigungsinduktion notwendigen Wert nicht übersteigen sote, wird auf die für eine Dimensionierung eines Trafos wichtige Beziehung hingewiesen: = n 1 ω ˆΦ = n 1 A ω ˆB bzw. ˆB = n 1 A ω oder A min n 1 ω ˆB max. (41) Anhand der G. (41) kann man mit ˆB max 1, 5 T für Eektrobeche bei gegebener Primärspannung, Windungszah und Frequenz den notwendigen Eisenquerschnitt A abschätzen. 11

12 LITERATUR 8 Fragen 1. Wie erkären Sie die Wirkung eines ideaen Trafos anhand des Induktions- und Durchutungs- Gesetzes?. Wie berechnen sich Ohmscher, induktiver und kapazitiver Widerstand im Wechsestromkreis? 3. Wie berechnet man den Eektivwert und Leistung von Wechse-Strömen? 4. Was versteht man unter dem magnetischen Widerstand? 5. Wie berechnet sich beim ideaen Trafo mit Ohmscher Last das Spannungs- und Strom-Verhätnis? 6. Was besagt der Maschensatz? Wie autet er für die Primär-und Sekundär- Spannungen (- Ströme) beim ideaen Trafo? 7. Wie transformieren sich beim ideaen Trafo Spannungen, Ströme, Widerstände und Leistungen? 8. Wie berechnen sich die Induktivitäten und die Gegeninduktivität beim ideaen Trafo? 9. Wie ändern sich beim ideaen Trafo Ampitude und Phase im Sekündarkreis bei induktiver Last? 10. Berechnen Sie in der Vorbereitung einen Heyandkreis für die Werte: f = 50 Hz; L 1 = 0,3 H; σ = 0, 8; U 1 = 50 V. 11. Wie kann man experimente den Streufaktor bestimmen? 1. Wie wirkt sich ein Luftspat im magnetischen Kreis aus? 13. Weche Veruste treten beim reaen Trafo auf? 14. Was versteht man unter Hysteresescheife? Wechen prinzipieen Verauf zeigt die Fedabhängigkeit der Permeabiität? 15. Was sind Wirbeströme? 16. Wie kann man Wechsespannungen, Wechseströme, Phasenverschiebungen und Wechsestrom- Leistungen messen? Literatur [1] Gerthsen, Physik (H. Voge), Springer Berin 1995 [] A. Recknage, Physik, III, E.-Lehre [3] E.-H. Lämmerhirt, E. Maschinen.., V. Hanser, 1989 [4] H. Fekeer, Spuen und Übertrager, 1949 [5] K. Lunze, Berechnung eektrischer Stromkreise, V.Techn.,Bn.1979 [6] G. Müer, Eektrische Maschinen, V. Technik, Bn [7] H.-O. Seinsch, Grundagen eektrischer Masch. u. Antriebe, V.Teubner 1988 [8] K. Simony, Theoretische Eektrotechnik, Berin, 1956 [9] H.-J. Paus, Physik in Experimenten und Beispieen, V. C.-Hanser München