Elektrizitätslehre. Bestimmung des Wechselstromwiderstandes in Stromkreisen mit Spulen und ohmschen Widerständen. LD Handblätter Physik P3.6.3.

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1 Elektrizitätslehre Gleich- und Wechselstromkreise Wechselstromwiderstände LD Handblätter Physik P Bestimmung des Wechselstromwiderstandes in Stromkreisen mit Spulen und ohmschen Widerständen Versuchsziele g Bestimmung des Gesamtwiderstandes und der Phasenverschiebung bei Reihenschaltung von Spule und Widerstand. g Bestimmung des Gesamtwiderstandes und der Phasenverschiebung bei Parallelschaltung von Spule und Widerstand. 014-Sel Grundlagen Liegt an einer idealen Spule mit der Induktivität L eine Wechselspannung U = U cos( 0 ω t) mit ω= π f (I), so fließt der Strom U0 π I = cos ω t ω L (II) durch die Spule. Man weist daher der Spule einen induktiven Wechselstromwiderstand =ω L (III) zu und sagt, dass die Spannung gegenüber dem Strom um 90 phasenverschoben sei (siehe Fig. 1). Die Phasenverschiebung wird häufig in einem Zeigerdiagramm dargestellt. Reihenschaltung Ist die Spule in Reihe mit einem ohmschen Widerstand geschaltet, so fließt durch beide der gleiche Strom. Dieser lässt sich in der Form ( ) I = I0 cos ω t ϕ S (IV) darstellen, wobei ϕ S zunächst noch unbekannt ist. Am ohmschen Widerstand fällt demnach die Spannung ( ) UR = R I0 cos ω t ϕ S (V) und an der Spule die Spannung π UL = I0 cos ω t ϕ S + (VI) ab. Die Summe dieser beiden Spannungen ist U S = R + X L I 0 cos ( ω t ) (VII) wenn ϕ S die Bedingung tan ϕ S = (VIII) R erfüllt. U S stimmt mit der angelegten Spannung U überein, folglich ist U0 = R + I0 (IX), d.h. der Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und Spule lässt sich der Wechselstromwiderstand Fig. 1 Wechselstromkreis mit einer Spule (Schaltbild, Zeigerdiagramm und U(t),I(t)-Diagramm) 1

2 P LD Handblätter Physik Geräte 1 Rastersteckplatte, DIN A STE Widerstand 1 Ω, W STE Widerstand 100 Ω, W Spule mit 500 Windungen Spule mit 1000 Windungen Funktionsgenerator S Zweikanal-Oszilloskop Messkabel BNC/4 mm Experimentierkabel Z S = R + X L (X) zuweisen. Die Spannung ist in dieser Anordnung um ϕ S gegenüber dem Strom phasenverschoben (siehe Fig. ). Parallelschaltung Ist die Spule parallel zum ohmschen Widerstand geschaltet, liegt an beiden die gleiche Spannung. Sie hat z.b. die in (I) angegebene Form. Durch den ohmschen Widerstand fließt jetzt der Strom U0 IR = cos( ω t) (XI) R und durch die Spule der Strom U0 π IL = cos t X ω L (XII) Die Summe der beiden Ströme ist IP = U0 cos( ω t ϕ P) R X L (XIII) mit R tanϕ P = (XIV). Sie entspricht dem gesamten der Spannungsquelle entnommenen Strom. Also lässt sich der Parallelschaltung aus ohmschem Widerstand und Spule ein Wechselstromwiderstand Z P zuweisen, für den die Beziehung = + (XV). Z P R gilt. Die Spannung ist in dieser Anordnung um ϕ P gegenüber dem Strom phasenverschoben (siehe Fig. 3). Im Versuch werden der Strom I(t) und die Spannung U(t) in einem Wechselstromkreis als zeitabhängige Größen mit einem Zweikanal-Oszilloskop gemessen. Ein Funktionsgenerator dient als Spannungsquelle mit variabler Amplitude U 0 und variabler Frequenz f. Aus den gemessenen Größen wird der Betrag des Gesamtwiderstandes Z und die Phasenverschiebung ϕ zwischen Spannung und Strom bestimmt. Fig. Wechselstromkreis mit Spule und ohmschem Widerstand in Reihenschaltung (Schaltbild, Zeigerdiagramm und U(t),I(t)- Diagramm) Fig. 3 Wechselstromkreis mit Spule und ohmschem Widerstand in Parallelschaltung (Schaltbild, Zeigerdiagramm und U(t),I(t)- Diagramm)

3 LD Handblätter Physik P Aufbau Der Versuchsaufbau ist in Fig. 4 dargestellt. Funktionsgenerator als Wechselspannungsquelle anschließen und Kurvenform einstellen. Kanal I des Oszilloskops mit Ausgang des Funktionsgenerators verbinden und in Kanal II den Spannungsabfall am Messwiderstand 1 Ω einspeisen. Am Oszilloskop Taste DUAL drücken und Kopplung sowie Trigger auf AC stellen. Fig. 4 Versuchsaufbau zur Bestimmung des Wechselstromwiderstandes in Stromkreisen mit Spulen und ohmschen Widerständen in Reihenschaltung (oben), in Parallelschaltung (unten) Durchführung Spule mit 1000 Windungen als Induktivität L in Reihe zum 100-Ω-Widerstand einsetzen. Funktionsgenerator durch Anschluss des Steckernetzgerätes einschalten und Frequenz Hz (T = 0,1 ms) einstellen. Hierzu passende Zeitablenkung am Oszilloskop wählen. Amplitude des Ausgangssignals auf 5 V einstellen. Im Kanal II des Oszilloskops Amplitude U m des Signals Um ablesen und als Strom I 0 = in die Tabelle eintragen. 1 Ω Zeitabstand t der Nulldurchgänge der beiden Signale ablesen. Spule durch Spule mit 500 Windungen ersetzen und Messung wiederholen. Nacheinander beide Spule parallel zum 100-Ω- Widerstand schalten und Messung wiederholen. Weitere Frequenzen gemäß Tab. 1 einstellen und Messungen wiederholen. Messbeispiel U 0 = 5,0 V, R m = 1 Ω, R = 100 Ω Tab. 1: Messdaten zu Frequenz f, Schwingungsdauer T, Windungszahl N, Zeitabstand t und Stromamplitude I 0 Reihen schaltung Parallelschaltung f Hz T ms N I0 ma t I0 ms ma t ms , , 000 0, , , ,5 0, , , , , , , , , , ,1 70 0, , , , , , , ,0 10 0, , , ,0 60 0, , ,5 3

4 P LD Handblätter Physik Auswertung Die Messdaten der Tab. 1 werden wie folgt ausgewertet: Aus dem Zeitabstand t zwischen Spannung und Strom und der Schwingungsdauer T berechnet man die Phasenverschiebung ϕ gemäß t ϕ= 360 T und aus den Amplituden U 0 und I 0 den Betrag des Gesamtwiderstandes gemäß U 0 Z = I 0 Die Ergebnisse sind in Tab. eingetragen. Dort ist auch der gemäß (III) berechnete induktive Widerstand der jeweils eingesetzten Spulen angegeben. Gerechnet wurde mit den Werten L = 4,5 mh für N = 500 und L = 17 mh für N = Fig. 5 Gesamtwiderstand Z S der Reihenschaltung einer Spule mit einem 100-Ω-Widerstand Messwerte für die Spule mit 1000 Windungen Messwerte für die Spule mit 500 Windungen Tab. : Aus den Messdaten der Tab. 1 berechnete Werte für den Gesamtwiderstand Z und die Phasenverschiebung ϕ zwischen Spannung und Strom Reihen schaltung Parallelschaltung f Hz N X L Ω Z Ω ϕ Z Ω ϕ , , Fig. 6 Phasenverschiebung ϕ S zwischen Spannung und Strom für die Reihenschaltung einer Spule mit einem 100-Ω-Widerstand , , Messwerte für die Spule mit 1000 Windungen Messwerte für die Spule mit 500 Windungen , , , , , , , , , ,7 9 Für die Reihenschaltung ist in Fig. 5 der Wechselstromwiderstand Z S und in Fig. 6 die Phasenverschiebung ϕ S zwischen Spannung und Strom in Abhängigkeit vom induktiven Widerstand X L dargestellt. Die durchgezogenen Kurven wurden nach Gl. (X) bzw. nach Gl. (VIII) berechnet. 4

5 LD Handblätter Physik P Die entsprechenden Darstellungen für die Parallelschaltung zeigen Fig. 6 und 7. Hier ergeben sich die durchgezogenen Kurven aus den Gln. (XIV) und (XV). Sie weichen allerdings deutlich von den Messergebnissen ab, da der ohmsche Widerstand der beiden Spulen vernachlässigt blieb. Setzt man für die Spule mit 500 Windungen einen ohmschen Widerstand von R L = 4 Ω und für die Spule mit 1000 Windungen einen ohmschen Widerstand von R L = 18 Ω an, ergeben sich die gestrichelten Kurven. Fig. 7 Gesamtwiderstand Z S der Parallelschaltung einer Spule mit einem 100-Ω-Widerstand Messwerte für die Spule mit 1000 Windungen Messwerte für die Spule mit 500 Windungen gerechnet für ideale Spulen gerechnet für eine reale Spule mit R L = 18 Ω gerechnet für eine reale Spule mit R L = 4 Ω Zusatzinformation Mathematisch eleganter ist die Beschreibung der Reihenbzw. Parallelschaltung aus ohmschem und induktivem Widerstand mit komplexen Größen: Liegt eine Spannung i U U 0 e ω = t an einer Spule, so hat diese den induktiven Widerstand = i ω L. Der Widerstand Z S einer Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand R und induktivem Widerstand ist dann ZS = R+ i ω L. Bei einer Parallelschaltung gilt für den Gesamtwiderstand Z P Z = P R + i ω L. Fig. 8 Phasenverschiebung ϕ P zwischen Spannung und Strom für die Parallelschaltung einer Spule mit einem 100-Ω-Widerstand Messwerte für Spule mit 1000 Windungen Messwerte für Spule mit 500 Windungen gerechnet für ideale Spulen gerechnet für eine reale Spule mit R L = 18 Ω gerechnet für eine reale Spule mit R L = 4 Ω LEYBOLD DIDACTIC GMBH Leyboldstrasse 1 D Hürth Phone: (033) Fax: (033) by Leybold Didactic GmbH Printed in the Federal Republic of Germany Technical alterations reserved

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