Wechselspannung. Zeitlich veränderliche Spannung mit periodischer Wiederholung

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1 Elekrische Schwingungen und Wellen. Wechselsröme i. Wechselsromgrößen ii.wechselsromwidersand iii.verhalen von LC Kombinaionen. Elekrischer Schwingkreis 3. Elekromagneische Wellen Wechselspannung Zeilich veränderliche Spannung mi periodischer Wiederholung U u() U Periodendauer Zei zwischen zwei Maxima Wer der Spannung zur Zei Scheielwer oder Ampliude

2 +U Sinusförmige Schwingung -U U sin (ω + ϕ) U Ampliude ω Kreisfrequenz [ω] /s ν Frequenz [ν] /s Hz (Herz) Periodendauer [] s ϕ Phasenverschiebung ω + ϕ Phase ω πν π Phase U () U () ϕ U () U sin (ω + ϕ ) U () U sin (ω + ϕ ) ϕ ϕ ϕ Phasenverschiebung

3 Ampliudenverhälnisse Verhälnis von zwei Ampliuden V A /A Logarihmisches Maß v log (V) log (A /A ) Of verwendee Definiion in Elekroechnik logarihmieres Verhälnis in Dezibel, db a: log (P /P ) a[db] Logarihmus des Verhälnisses von zwei Leisungen Leisung P proporional zu Spannung U a log (P /P ) log (U /U ) log (U /U ) a[db] Logarihmus des Verhälnisses von zwei Spannungen bzw. Srömen Beispiel: U U a db U > U a > db U V U V a 4dB U < U a < db U V U V a -db db s A log (U ou /U in ) Versärker A> Abschwächer A < U in U ou Wichige Wer: -3dB ensprich halber Leisung U ou : U in : +3dB ensprich doppeler Leisung U ou : U in : 3

4 Wechselsromwidersand Gleichsromwidersand : Spannung/Srom Wie groß is der Widersand in Abhängigkei der Frequenz für Ohmschen Widersand, Kondensaor bzw Spule? Srom- und Spannungsverlauf an einem Ohmschen Widersand Beobachung: Es fließ ein Srom Srom is unabhängig von Frequenz 4

5 Widersand: Srom und Spannung U sin (ω ) / U sin (ω ) Wechselspannung erzeug Wechselsrom durch Widersand Srom und Spannung sind in Phase Der ideale ohmsche Widersand is frequenzunabhängig Elekrische Leisung in einem Widersand Definiion P U x Ohmscher Verbraucher: Srom und Spannung in Phase U sin(ω ) sin(ω ) p() U U sin(ω ) sin(ω ) U sin (ω ) sin (w ) Momenanleisung p() Leisung oszillier Wie groß is der Mielwer P? P p( ) d sin ( ω) d 5

6 Effekivwer Wie kömm man zu dem Wurzel Fakor, oder wann gil er? Definiion Effekivwer: eff rms roo mean square Periodische Signale negraion über eine Periode () ( ' ) eff d' ( ' ) d' Erzeug eine Wechselsrom an einem ohmschen Verbraucher eine besimme milere Leisung, so is sein Effekivwer diejenige Sromsärke, die ein Gleichsrom haben müsse, um am selben Verbraucher die gleiche milere Leisung zu erbringen Zusammenhang eff und Spizenwer f. ausgew. Kurven Sinus WS Dreieck echeck eff eff eff / / 3 Effekivwer Nezspannung Das elekrische Nez liefer Wechselspannung mi einer Frequenz von 5 Hz und einer Spannung von 3V Was is das eigenlich für eine Spannung? Gemessen Spizenwer ~ 3V Nennwer 3 V 3/3 ~.4 ~ Bei Spannungen wird of der Effekivwer angegeben das is jener Wer der die gleiche Leisung ergib wie eine Gleichspannung U eff / U.77 U für sinusförmige Spannung Spannung und Srommessgeräe zeigen normalerweise den Effekivwer an! Bei nichsinusförmigen Signalen Vorsich angebrach! 6

7 Srom und Spannungsverlauf Kondensaor Beobachung: Es fließ ein Srom Srom wird mi zunehmender Frequenz mehr Srom wird mi zunehmender Kapaziä mehr C Zur Erinnerung Srom is Änderung der Ladung pro Zei ( Q/ ) Ladung in einem Kondensaor is Kapaziä mal Spannung (Q C U) C du/d Kondensaor: Srom und Spannung U sin (ω ) ω C U cos (ω ) ω C U sin (ω + π/) Wechselspannung erzeug Wechselsrom durch Kondensaor Der Srom eil der Spannung um 9 voraus Für Gleichspannung (ω ) is der Srom 7

8 U Wechselsromwidersand Kondensaor iω ( ) U cos( ω ) ( Ue ) i ω + π / i ( ω + π / ) sin ω + π / ( e ) ωcu e () ( ) ( ) X c U () () Ue ωcu e i ( ω ) i ( ω + π / ) e ωc komplexe Schreibweise i ( π / ) i ωc i e e ϕ cosϕ + i sinϕ iπ / i i X c ωc X c ωc Komplexer Wechselsromwidersand Berag des Wechselsromwidersandes Komplexer Widersand beschreib Frequenzabhängigkei des Berags sowie die 9 Phasenverschiebung zwischen Srom und Spannung ndukiver Widersand L Beobachung: Es fließ ein Srom Srom wird mi zunehmender Frequenz weniger Srom wird mi zunehmender ndukiviä weniger Wechselspannung U E wird angeleg dadurch fließ ein sich zeilich änderner Srom dadurch in der Spule eine Spannung induzier U ind L d/d Nach Kirchoff U E U ind 8

9 Srom und Spannungsverlauf an ndukiviä U sin (ω ) / (ω L) U (- cos (ω )) / (ω L) U sin (ω - π/) Wechselspannung erzeug Wechselsrom durch Spule Der Srom läuf der Spannung um 9 hinerher Der indukive Wechselsromwidersand X L ω L er nimm mi zunehmender Frequenz und ndukiviä zu Für Gleichspannung (ω ) is eine Spule ein Kurzschluss Widersandsberag und Phase Berag ϕ Phase X C ωc XL ωl π + L ω ω π C 9

10 Zusammenfassen von Widersänden Wechselsromwidersände haben einen Berag und eine Phase Wie groß is der U C () Gesamwidersand Z ges? U c () Z ges und Xc können nich einfach addier werden, weil Srom durch beide gleich aber Spannung am Kondensaor 9 nacheilend Spannung am Widersand in Phase U C () U () Zusammenfassen von Widersänden Widersände werden als Zeiger (Vekoren in komplexer Ebene) aufgefass Berag ensprich der Länge ichung der Phasenverschiebung zwischen Srom und Spannung Ohmscher Widersand x-achse kapaziiver Widersand X C -9 verschoben X dami berücksichig U/ nich in Phase L U Srom in und C gleich U c ϕ U U und in Phase U C X C U C 9 nacheilend zu X C Z Z ges Z Z e Z ges + X Z an ( Z) + ( Z) ( Z) ϕ ( Z) iϕ c i ωc Komplexer Widersand Berag des Widersands mpedanz Phase des Widersands Polardarsellung

11 Zusammenfassen von Widersänden Geg:,L,C U e U sin(ω) e U exp(iω) Ges: Z + iωl i ωc Z + ωl ωc U e ωl ωc anϕ L C () Ue Z iω ( ) U e U i ( ω ϕ ) Z e iϕ e Z U Z Berag des Sromes ϕ Phasenverschiebung des Sromes gegenüber der Spannung Leisung bei Wechselsrom p() U eff eff cos(ϕ) Negaive Leisung Energie von Verbraucher in Quelle zurückgeliefer P Ueff cos( ϕ) Wirkleisung:asächlich verbrauche Leisung eff S Ueff Scheinleisung eff B Ueffeff sin( ϕ) Blindleisung: pendel zwischen Quelle und Verbraucher cos( ϕ) Leisungsfakor

12 Spannungseiler U E () U A ()? Wie häng die Ausgangsspannung von der Eingangsspannung ab? Verhälnis V U A /U E Maschenregel : U E + Maschenregel : U A U A V U + + E Wenn << dann is U A ~ und V Wenn >> dann is U A ~ U E und V C iefpass Wenn ein Widersand und ein Kondensaor in Serie geschalen sind, wie verhäl sich die Eingangs U E zur Ausgangsspannung U A? U E () C U A ()? A () V V ( ω) ( ω) U U A E () () + iωc + iωc ( ωc) + iωc anϕ ωc

13 Frequenzgang eines iefpasses V (ω ) C ωc Das Verhälnis von Ausgangs zu Eingangsspannung als Funkion der Frequenz heiß Frequenzgang. Werden die iefen Frequenzen ohne Abschwächung (V ) überragen so sprich man von einem iefpass iefe Frequenzen X C /ωc >> V ~ Hohe Frequenzen X C /ωc << V~ ω iefpass Frequenzgang Näherung V (db) τ /C Grenzfrequenz ω g /τ Exak ω < ω g : V(dB) ω ω g : V(dB) -3dB ω > ω g : V(dB) < Abfall -db pro Dekade Normiere Frequenz Frequenz ω/ω g 3

14 iefpass als negraor U E echeckspannung an C iefpass angeleg U A Fourierzerlegung Berechnung der Ampliuden und Phasen am Ausgang Addiion der Schwingungen (Fouriersynhese) Näherung UE U A UC d d UEd C C C Ausgangsspannung (ungefähr) gleich zeiliches negral der Eingangsspannung: iefpass is negraor C Hochpass C U E () U A ()? A () V V ( ω) ( ω) ( ) () UA iωc U E + + iωc iωc ωc anϕ + ( ωc) ωc 4

15 V (ω ) Frequenzgang eines Hochpasses ωc C ω Werden die hohen Frequenzen ohne Abschwächung (V ) überragen so sprich man von einem Hochpass Hochpass Frequenzgang Näherung τ /C Exak ω > ω g : V(dB) ω ω g : V(dB) -3dB ω < ω g : V(dB) < -4-5 Grenzfrequenz ω g /τ Abfall -db pro Dekade -6.. Normiere Frequenz ω/ω g 5

16 Hochpass als Differenzierglied U E echeckspannung an C Hochpass angeleg U A Fourierzerlegung Berechnung der Ampliuden und Phasen am Ausgang Addiion der Schwingungen (Fouriersynhese) Näherung dq U A U d du C d Ausgangsspannung (ungefähr) gleich zeiliches Differenzial der Eingangsspannung: Hochpass is Differnziaor E L Hoch und iefpass U E () L U A () U E () L U A () L iefpass ω X L keine Spannung an L: U A U E ω >> X L sehr groß ganze Spannung an L: U A ~ L Hochpass ω X L kein Spannung an L: U A ~ ω >> X L sehr groß ganze Spannung an L: U A U E 6

17 Schalvorgänge Achung: Bei der Beschreibung ransiener Vorgänge (Ein- Ausschalen usw.) is die Verwendung des Wechselsromwidersandes Z unzulässig Z gil nur für Anregung mi sinusförmiger Wechselspannung!!! Schalen: Gleichspannung wird eingeschale, einmaliger Sprung, Verlauf Allerdings Maschenregel darf angewende werden (aber richig) 7

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