Protokoll zum Versuch E7: Elektrische Schwingkreise. Abgabedatum: 24. April 2007

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1 Protokoll zum Versuch E7: Elektrische Schwingkreise Sven E Tobias F Abgabedatum: 24. April 2007

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Physikalischer Zusammenhang Wechselstromwiderstände (Impedanz) Kondensator im Wechselstrom Spule im Wechselstrom Berechnung des Gesamtwiderstandes Der elektrische Schwingkreis Die Güte Q des elektrischen Schwingkreises Der elektrische Schwingkreis in der Reihenschaltung Der elektrische Schwingkreis in der Parallelschaltung Versuchsbeschreibung 7 4 Versuchsdurchführung Reihenschwingkreis RSK Messung Messung Messung Messung Messung Parallelschwingkreis P SK Messung Messung Messung Auswertung Messergebnis Berechnung von L Berechnung der Güten Q Bestimmung des Innenwiderstandes R i Begrenzte Spannungsfestigkeit von Bauelementen Anhang Diagramme in Din A

3 1 Einleitung Elektrische Schwingkreise sind Schaltungen, in denen Kondensator und Spule verknüpft sind. Das bewirkt, dass die Spannung zwischen Kondensator und Spule hin und her schwingt, wenn sich der Kondensator periodisch entlädt. In diesem Versuch wird untersucht, bei welcher Resonanzfrequenz durch unseren Schwingkreis der maximale Strom fließt. Weiterhin soll die Güte des Schwingkreises abhängig vom Widerstand ermittelt werden und die Induktivität der Spule wird aus der Kapazität des Kondensators und der Resonanzfrequenz berechnet. 2 Physikalischer Zusammenhang 2.1 Wechselstromwiderstände (Impedanz) Jedes reale elektrische Bauteil stellt einen Widerstand gegenüber dem Strom dar, allerdings muss man zwischen drei Arten unterscheiden. Zum einen gibt es den ohmschen Widerstand, wie er in den meisten Geräten zu finden ist, zum anderen den kapazitiven Widerstand, wie er bei Kondensatoren vorkommt, und weiterhin den induktiven Widerstand, wie ihn Spulen besitzen. Kondensatoren und Spulen verhalten sich im Wechselstrom jedoch anders als beim Gleichstrom Kondensator im Wechselstrom Da sich zwischen den Kondensatorplatten ein Dielektrikum befindet, leitet er im Gleichstrom nur so lange Strom bis seine Platten vollständig geladen sind. Im Wechselstrom dagegen stellt sich ein kontinuierlicher Stromfluss ein, infolge des ständigen Umladens der Platten. Somit lässt sich der Kondensator als kapazitiver Widerstand mit X C = 1 (ω C) darstellen, wobei C die Kapazität und ω = 2 π f die Kreisfrequenz der angelegten Spannung beschreibt. Da die Spannung am Kondensator erst aufgebaut wird, nach dem er vom Strom aufgeladen wurde, ergibt sich eine Phasenverschiebung ϕ von 90. Somit ist der Strom der Spannung immer um eine Viertelperiode voraus Spule im Wechselstrom Bedingt durch die Selbstinduktion einer Spule (Lenzsche Regel) wird der Stromaufbau gehemmt. Durch den ständigen Wechsel der Polung entsteht ebenfalls eine Phasenverschiebung ϕ von 90, allerdings ist diesmal die Spannung dem Strom voraus. Somit ergibt sich ein induktiver Widerstand mit X L = ω L, wobei L die Induktivität der Spule ist Berechnung des Gesamtwiderstandes Zur Berechnung des Gesamtwiderstandes einer Wechselstromschaltung ist es empfehlenswert, komplexe Zahlen zu verwenden. So erhält man beispielsweise 3

4 für die Impedanz einer einfachen Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand R, einem kapazitiven Widerstand X C und einem induktiven Widerstand X L die Formel: Z = R + i (X L X C ) (1) ( Z = R + i ω L 1 ) (2) (ω C) ( Z = R 2 + ω L 1 ) 2 (3) (ω C) Für die Phasenverschiebung ϕ ergibt sich: tan ϕ = X L X C R (4) 2.2 Der elektrische Schwingkreis Abb. 1: Schematische Darstellung eines elektrischen Schwingkreises bestehend aus einem Kondensators und einer Spule Der elektrische Schwingkreis ist eine Schaltung aus Spule und Kondensator, bei der die Energie zwischen den beiden Bauteilen periodisch ausgetauscht wird. 4

5 Der voll geladene Kondensator enthält die Energie E el = 1 2 C U 2 (5) mit einer maximalen Spannung U. Nun beginnt dieser sich zu entladen und baut somit einen Strom I auf. Der Strom fließt durch die Spule, wodurch ein magnetisches Feld in der Spule aufgebaut wird. Die Energie geht so in das Magnetfeld der Spule über: E mag = 1 2 L I2 (6) Durch den Stromfluss wird nun der Kondensator entgegengesetzt gepolt und aufgeladen. Der Vorgang wiederholt sich. Eine Schwingung in der Energie kommt zu Stande. Für die Eigenfrequenz f 0, mit der dieser Schwingkreis schwingt, erhält man: 1 f 0 = 2 π L (7) C Diese elektrische Schwingung ist vollkommen analog zur mechanischen Schwingung. Somit lässt sich aus der Schwingungsgleichung der Mechanik die elektrische Schwingung herleiten: D x + k ẋ + m ẍ = 0 (8) Q C + R Q + L Q = 0 (9) mit Q als Ladung auf dem Kondensator, und R als Widerstand der Schaltung. So sind folgende Größen analog zu einander: x Q, m L, k R, D 1 C (10) 2.3 Die Güte Q des elektrischen Schwingkreises Im realen Schwingkreis treten neben Spule und Kondensator noch ohmsche Widerstände auf, welche die Schwingung dämpfen. Wie lange der Schwingkreis eine Frequenz aufrecht erhalten kann wird bestimmt durch seine Güte Q, sie ist definiert durch den Quotient aus der Eigenfrequenz f 0 und Bandbreite B des Systems. Q = f 0 (11) B Die Bandbreite wird beschränkt durch die Frequenzen f 1 und f 2. Dies sind die 1 Grenzfrequenzen an denen die Spannung bzw. die Stromstärke auf das fache des jeweiligen Maximalwertes sinken. B = f 2 f 1 (12) 5

6 Abb. 2: Schematische Darstellung einer Reihenschwingkreisschaltung 2.4 Der elektrische Schwingkreis in der Reihenschaltung Schaltet man einen Kondensator der Kapazität C und eine Spule der Induktivität L in Reihe an eine Wechselstromquelle, so erhält man einen Reihenschwingkreis. Dieser wird verwendet um bestimmte Frequenzen zu filtern, deswegen wird er auch als «Siebkette» bezeichnet. Da in einer realen Schaltung der ohmsche Widerstand der Bauteile die Effizienz der Schaltung beeinträchtigt, wird dieser in der Schaltung als R V dargestellt. Wie schon im vorhergehenden Abschnitt erklärt wurde, erhält man für die Schaltung folgende Impedanz Z: Z = R 2 V + (ω L 1 (ω C) )2 (13) Wie man in der Formel erkennt, hängt der Gesamtwiderstand ab von der angelegten Frequenz f bzw. der dazugehörigen Winkelgeschwindigkeit ω. Somit wird die Impedanz am kleinsten, wenn gilt ω L = 1 ω C und man erhält so die Resonanzfrequenz des Schwingkreises (14) 1 f 0 = 2 π L C (15) Unschwer ist zu erkennen, das es sich dabei genau um die Eigenfrequenz des Schwingkreises handelt. Hieraus folgt, dass der Strom, der durchgelassen wird, umso größer ist, je näher die angelegte Frequenz der Resonanzfrequenz kommt. So entstehen auch die typischen Resonanzdiagramme, wenn man den Strom über die angelegte Frequenz aufträgt. 6

7 Abb. 3: Schematische Darstellung einer Parallelschwingkreisschaltung 2.5 Der elektrische Schwingkreis in der Parallelschaltung Schaltet man eine Spule und einen Kondensator parallel hinter eine Wechselstromquelle, so liegt an jedem Bauteil jeweils die selbe Spannung an, allerdings sind die Ströme verschieden. Auch hier wird die Effizienz der Schaltung durch die ohmschen Widerstände der Bauteile beeinflusst, darum wird auch hier ein Ersatzwiderstand R V parallel geschaltet. Allerdings muss die Impedanz anders als bei der Reihenschaltung berechnet werden. Man erhält nun: 1 Z = 1 1 Z = R V + i ( 1 R V Auch hier erhält man für die Resonanzfrequenz ( ω C 1 ) ω L (16) ) 2 ( + ω C 1 ) 2 ω L (17) 1 f 0 = 2 π L C (18) Allerdings wird in diesem Fall der Gesamtwiderstand nicht kleinstmöglich, sondern größtmöglich. Aus diesem Grund wird diese Schaltung auch «Sperrkreis» genannt. 3 Versuchsbeschreibung Der Versuchsaufbau ist in Abb. 4 auf der nächsten Seite zu sehen. An der Spannungsquelle kann die Höhe der Spannung festgelegt werden; außerdem kann man hier die Frequenz einstellen. Man muss beachten, dass der Innenwiderstand R i die Resonanzeigenschaften des Schwingkreises beeinflusst. Durch Vorschaltung eines 220kΩ - Widerstandes im Schaltkasten wird eine annähernd konstante Stromeinspeisung erreicht. Spule, Kondensator und Widerstände können über (möglichst kurze) Kabel zu den benötigten Schaltkreisen zusammengeschaltet werden. Hochfrequente Ströme sind schwer zu messen, darum werden hier effektive Resonanzspannungen gemessen und später in Stromstärken umgerechnet. Die Messung erfolgt über 7

8 Abb. 4: Versuchsaufbau: An die Spannungsquelle mit Frequenzgenerator ist der Schaltkasten angeschlossen. Rechts oben ist das Digitalmultimeter zu sehen. Am PC werden die digitalen Messungen initiiert. [PPB06] 8

9 ein rechnergestütztes Multimeter. Die verbindenden Kabel müssen kurz sein, da durch ihren Widerstand die Resonanzmaxima geringfügig verschoben wird, was zu einem Fehler führt. Ein möglicher auftretender Fehler ist die mangelnde Konstanz des Stroms, auch wenn dessen Einspeisung schon durch den vorgeschalteten Widerstand reguliert wird. Durch Eigenwiderstände aller Komponenten können die Spannungsmaxima verschoben werden. Außerdem können die Angaben auf einzelnen Bauteilen mit Ungenauigkeiten behaftet sein. 4 Versuchsdurchführung Abb. 5: Schaltung mit Reihenschwingkreis [PPB06] Abb. 6: Schaltung mit Parallelschwingkreis [PPB06] 4.1 Reihenschwingkreis RSK Zuerst wird ein Reihenschwingkreis wie in Abb. 5 gesteckt. Bei der ersten Messung wird ein Zusatzwiderstand von 100Ω benutzt. Außerdem wird Wechselspannung am Multimeter eingestellt. Am Frequenzgenerator wird für 10kHz eine Leerlaufspannung von 10V eingestellt. Die Messungen werden am Rechner ausgelöst Messung 1 Die Spannung wird bei einem Widerstand R v = 100Ω über Frequenzänderungen von 7kHz bis 26kHz in Schritten von 1kHz gemessen, um das Intervall grob zu ermitteln, in dem die Resonanzfrequenz liegt Messung 2 Die Spannung wird im bereits bestimmten Intervall erneut gemessen, dieses Mal in Schritten von 0.1kHz. So wird die Resonanzfrequenz genauer ermittelt Messung 3 Nun wird ein Widerstand R v = 1kΩ eingesetzt. Die Messung findet Analog zu Messung 2 statt. 9

10 4.1.4 Messung 4 Ganz analog findet nun noch eine Messung ohne zusätzlichen Widerstand, also R v = 0Ω, statt Messung 5 Nun wird bei gleicher Leerlaufspannung in Schritten von 1kHz von 7kHz bis 26kHz die Spannung am Kondensator gemessen. 4.2 Parallelschwingkreis P SK Jetzt wird ein Parallelschwingkreis wie in Abb.?? auf Seite?? gesteckt. Es wird eine Leerlaufspannung von 10V bei 10kHz und einem Widerstand R 1 = 220kΩ angelegt Messung 6 Der Resonanzfrequenzbereich wird leicht nach unten angepasst. Nun wird eine Messung mit R v = 47kΩ in 0.1kHz - Schritten durchgeführt Messung 7 Eine erneute Messung erfolgt analog mit einem Widerstand R v = 220kΩ Messung 8 Analog findet nun noch eine Messung ganz ohne zusätzlichen Widerstand, also R v = 0Ω, statt. 5 Auswertung 5.1 Messergebnis Die Diagramme (Abb. 7 auf Seite 16 bis Abb. 14 auf Seite 23) finden sich im Anhang. Die Messtabellen mit den Originaldaten sind Tab. 1 auf der nächsten Seite und Tab. 2 auf Seite 12. Die Resonanzfrequenz des RSK f 0RSK lässt sich aus Abb. 8 und Abb. 10 sehr deutlich mit f 0RSK 16.6kHz ablesen; folglich ist die Kreisfrequenz ω 0RSK = 2 π f 0RSK 104kHz. In Abb. 9 ist die Resonanzfrequenz wegen des hohen Widerstandes R v verschoben. Die Resonanzfrequenz des P SK liegt bei f 0P SK 16.3kHz, hierin stimmen alle Messreihen überein. Es folgt ω 0P SK = 2 π f 0P SK 102kHz. 10

11 Messung 1 Messung 5 Messung 2 Messung 3 Messung 4 f/khz U/V U/V f/khz U/V U/V U/V Tab. 1: Messungen 1 und 5; Messungen 2, 3 und 4; gemessene Spannung gegen Frequenz am RSK 11

12 Messung 6 Messung 7 Messung 8 f/khz U/V U/V U/V Tab. 2: Messungen 6, 7 und 8; gemessene Spannung gegen Frequenz am P SK 12

13 5.2 Berechnung von L Die Induktivität der Spule L lässt sich mit der umgestellten Schwingungsgleichung berechnen. Diese ist 1 L = 8π 2 f 2 C π 4 f 4 C 2 R2 16π 2 f 2 (19) Sinnvoll lässt sich diese Formel nur auf den RSK anwenden. Die Berechnung findet sich in Tabelle 3. f 0 /khz R v /Ω C/pF L/H Tab. 3: Aus den Messwerten für den RSK berechnete Induktivität L der Spule Mit Hilfe der Streuungsformel S = x2 x 2 berechnet man die Streuung. Als Ergebnis bekommt man für die Induktivität 5.3 Berechnung der Güten Q L = ( ± )H Die Effektivgüten lassen sich nur grob im Diagramm nachmessen, es kann ein großer Fehler entstehen. Mit den Formeln aus dem Skript, Q RSK = ω 0L R v (20) Q P SK = R v ω 0 L (21) lassen sich die restlichen Güten berechnen. Die berechneten Werte finden sich in Tab. 4. RSK P SK Widerstand R v /Ω Q eff Q RSK Widerstand R v /Ω Q eff Q P SK Tab. 4: Abgelesene Güten Q eff und berechnete Güten Q RSK und Q P SK 13

14 5.4 Bestimmung des Innenwiderstandes R i Aus den berechneten Güten kann man den Innenwiderstand für den Reihenschwingskreis berechnen. Die geschieht anhand der Formel R i = ω 0L Q eff R v (22) Hier macht sich die mangelnde Genauigkeit der Güten bemerkbar. Für den Innenwiderstand R i erhält man keine einheitlichen Werte, wie in Tabelle 5 zu sehen ist. Innenwiderstand R i /Ω Widerstand R v /Ω 173, , , Tab. 5: Die Berechnung der Innenwiderstände R i liefert kein brauchbares Ergebnis 5.5 Begrenzte Spannungsfestigkeit von Bauelementen Es hat sich in diesem Versuch gezeigt, dass im Bereich der Resonanzfrequenz zeitweise sehr hohe Spannungen auftreten können. Bauelemente, die nur eine geringe Spannungsfestigkeit haben, können sehr schnell beschädigt werden. Um das zu vermeiden, kann man den Stromkreis durch Ohmsche Widerstände dämpfen. Diese sorgen dafür, dass die Resonanzkurve flacher verläuft. Auf diese Weise werden die maximal auftretenden Spannungen herabgesenkt. 6 Anhang Tab. 6: Literaturverzeichnis Ge93 Gerthsen/Vogel: Physik, Springer Lehrbuch 1993 Pa95 Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen, Hanser 1995 PPB06 TM04 Tipler/Mosca: Physics for Scientists and Engineers, EV, Freeman 2004 W06 Abbildungsverzeichnis 1 Schematische Darstellung eines elektrischen Schwingkreises bestehend aus einem Kondensators und einer Spule Schematische Darstellung einer Reihenschwingkreisschaltung

15 3 Schematische Darstellung einer Parallelschwingkreisschaltung Versuchsaufbau Schaltung mit Reihenschwingkreis [PPB06] Schaltung mit Parallelschwingkreis [PPB06] Messung Messung Messung Messung Messung Messung Messung Messung Tabellenverzeichnis 1 Messungen 1 und 5; Messungen 2, 3 und 4; gemessene Spannung gegen Frequenz am RSK Messungen 6, 7 und 8; gemessene Spannung gegen Frequenz am P SK Aus den Messwerten für den RSK berechnete Induktivität L der Spule Abgelesene Güten Q eff und berechnete Güten Q RSK und Q P SK 13 5 Die Berechnung der Innenwiderstände R i liefert kein brauchbares Ergebnis Literaturverzeichnis Diagramme in Din A4 15

16 16 Abb. 7: Messung 1

17 17 Abb. 8: Messung 2

18 18 Abb. 9: Messung 3

19 19 Abb. 10: Messung 4

20 20 Abb. 11: Messung 5

21 21 Abb. 12: Messung 6

22 22 Abb. 13: Messung 7

23 23 Abb. 14: Messung 8