Beugung an Spalt und Gitter, Auflösungsvermögen des Mikroskops

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1 22-1 Beugung an Spalt und Gitter, Auflösungsvermögen des Mikroskops 1. Vorbereitung : Wellennatur des Lichtes, Interferenz, Kohärenz, Huygenssches Prinzip, Beugung, Fresnelsche und Fraunhofersche Beobachtungsart, Intensitätsverteilung bei Spalt und Gitter, Gitterspektralapparat, Auflösungsvermögen des Gitters, Abbesche Theorie zur Auflösung des Mikroskops. 2. Versuch : Trifft eine Welle auf einen Spalt oder auf ein Gitter, dann beobachtet man hinter dem Spalt bzw. Gitter Beugungserscheinungen der Welle. Die Beugung einer Welle kann mit Hilfe des Huygensschen Prinzips gedeutet werden: jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle angesehen werden. Durch Interferenz der von der Spaltöffnung bzw. den Gitteröffnungen ausgehenden Wellenzügen erhält man hinter dem Spalt bzw. Gitter eine räumliche anisotrope Amplituden- bzw. Intensitätsverteilung. Beugung am Spalt Abb. 1a+b : Strahlengang zur Beobachtung der Beugung am Spalt Es wird der Fall betrachtet, daß ebene Wellen (Parallellicht) auf einen Spalt einfallen. Experimentell läßt sich dies durch die Anordnung in Abb. 1a erreichen (jedenfalls in der einen Ebene, die für die Beugung benutzt wird; senkrecht dazu ist das Licht natürlich weiterhin divergent). Eine spaltförmige Lichtquelle wird mit zwei Linsen auf einem Schirm abgebildet. Wird nun zwischen die beiden Linsen (Parallellicht) ein Spalt gebracht, so erscheint auf dem Schirm kein scharfes Bild der Lichtquelle mehr, sondern man beobachtet über die scharfen Grenzen der geometrischen Abbildung hinaus Intensitätsminima und -maxima, wie in Abb. 3.

2 22-2 Näherungsweise kann die Anordnung in Abb. 1a durch 1b ersetzt werden. Um eine gute Näherung zu erzielen, muß die Bildweite groß gewählt werden. Zur Klärung der Beugungserscheinungen denken wir uns die Spaltbreite in eine große Anzahl gleicher Teile zerlegt. Von ihnen breiten sich nach allen Richtungen Wellenzüge aus. Beobachten wir in einer bestimmten Richtung (unter dem Winkel α, Abb. 2), so ist der Gangunterschied zwischen einem Wellenzug vom Spaltrand und einem von der Spaltmitte gleich = (d/2) sin α. Der gleiche Gangunterschied besteht zwischen allen Wellenzügen, die von um d/2 voneinander entfernten Teilen des Spaltes kommen. Wenn dieser Gangunterschied λ/2 beträgt, ergibt die Überlagerung aller Wellenzüge Auslöschung. Ähnliche Überlegungen liefern Auslöschung für alle Richtungen α m, bei denen sich ein Gangunterschied λ/2 bereits zwischen Wellenzügen vom Spaltrand und einem Punkt im Abstand d/2m ergibt (m Z). Abb. 2 : Beugung am Spalt, Bedingung für 1. Minimum Für die m-te Auslöschungsrichtung gilt : wobei m λ=d sin α m m Z (1) m = Nummer der Beugungsordnung λ = Wellenlänge des Lichtes d = Spaltbreite Zwischen zwei Auslöschungsrichtungen liegt jeweils ein Maximum. Die Intensitätsverteilung des Beugungsbildes am Spalt zeigt Abb. 3. Abb. 3 : Beugungsbild des Spaltes

3 22-3 Beugung am Gitter Stellt man mehrere Einzelspalte der Spaltbreite d mit dem Mittelpunktabstand g nebeneinander auf (g = Gitterkonstante), so überlagern sich die Wellenerregungen sämtlicher Spalte. Aufgrund des Abstandes g der Spalte erhält man scharfe Intensitätsmaxima in allen Richtungen, für die gilt (siehe Abb. 4) : m λ=g sin α m m Z (2) Abb. 4 : Beugung am Gitter Infolge der endlichen Breite d jedes einzelnen Spaltes erhält man neben den breiten Minima des Gitters zusätzlich Auslöschung in allen Richtungen, für die gilt : m' λ=d sin α' m' m'= 1, 2, 3 (3) Da normalerweise die Spaltbreite d klein gegenüber dem Gitterabstand g ist (d<<g), gilt somit α m << α m' für vergleichbare m und m'. Man erhält eine Intensitätsverteilung mit regelmäßigen, schmalen Maxima und breiten Minima. Die Maxima werden der Reihenfolge nach numeriert, nämlich Maximum 0.Ordnung, 1.Ordnung, 2.Ordnung, usw. Ihre Intensität nimmt mit steigender Ordnung entsprechend der Intensitätsverteilung eines einzelnen Spaltes ab (Abb. 3). Für den Spezialfall d = 1/5 g und nur 4 Gitterstriche (statt über 1000) ist die Intensitätsverteilung in Abb. 5 dargestellt. Abb. 5 : Intensitätsverteilung eines Gitters, ( ') Gangunterschied der Beugung am Gitter (an den Spalten)

4 22-4 Da der Abstand der Maxima von der Wellenlänge des verwendeten Lichtes abhängt, ist ein Gitter mit vielen Gitterstrichen (besonders schmale Maxima) gut geeignet zur Untersuchung der spektralen Zusammensetzung von Licht. Auflösungsvermögen des Mikroskops Die Versuchsanordnung ist schematisch in Abb. 6a dargestellt. Als Objekt wird der Einfachheit halber ein Gitter G verwendet. Es wird durch eine spaltförmige Lichtquelle S beleuchtet, die mit einem Kondensor L 1 auf die Ebene E abgebildet wird. Das Objektiv L 2 entwirft nach den Gesetzen der geometrischen Optik ein vergrößertes Bild G' des Gitters, das zur weiteren Vergrößerung mit einer Lupe, dem Okular L 3, betrachtet wird. Durch Beugung am Gitter G entstehen in der Ebene die Bilder S 0, S ±1, S ±2,... der spaltförmigen Lichtquelle S. Nach dem Huygensschen Prinzip kann man diese Beugungsbilder als neue Lichtquellen auffassen. Die von ihnen ausgehenden köhärenten Wellenzüge überlagern sich und interferieren. Abb. 6a : Strahlengang zur Beobachtung des Gitters 6b : Strahlengang zur Begrenzung der Beugungsordnungen Man kann zeigen, daß diese Interferenz in der Ebene G' ein mit dem Objekt übereinstimmendes Bild ergeben. Nach Abbe stimmen Bild und Objekt nur dann überein, wenn alle Beugungsordnungen in das Mikroskop gelangen, d.h. von L 2 erfaßt werden. Ein Spalt in der Ebene E gestattet Beugungsordnungen auszublenden. Je enger das Gitter wird, desto weiter liegen die Beugungsbilder S 0... S n auseinander. Es gibt einen kleinsten Abstand a der Gitterstriche, bei dem gerade noch zwei Beugungsbilder ins Mikroskop, d.h. den Bereich der Linse L 2, der von der Blende nicht abgedeckt wird, gelangen. Die Gitterstruktur ist dann gerade noch erkennbar und die Auflösungsgrenze des Mikroskops erreicht.

5 22-5 Der reziproke Wert dieses kleinsten Abstandes a heißt Auflösungsvermögen des Mikroskops. Im Fall der Verwendung von Spaltblenden gilt für a : wobei a= λ n sin u (4) a = kleinster Abstand zweier Objektpunkte P und Q, deren Bilder P' und Q' noch getrennt erscheinen (hier Gitterkonstante) λ = Wellenlänge des zur Abbildung benutzten Lichtes im Vakuum λ/n = Wellenlänge des Lichtes im benutzten Medium (z.b. Immersionsöl) n = Brechzahl im Raum zwischen Objekt und Objektiv 2u = Winkel, unter dem ein Gitterpunkt die Objektfassung sieht (u = Öffnungswinkel) n sin u = numerische Apertur Bei Verwendung von kreisförmigen Blenden tritt zusätzlich ein Faktor 1.22 auf. Zur Begründung der Formel (4) Die erste Beugungsordnung des Gegenstandes (Gitter mit Konstante a) erscheint gegenüber der nullten Ordnung unter einem Winkel α, für den gilt : a sinα= λ n (Beugung am Gitter). Diese erste Ordnung muß vom Objektiv erfaßt werden, wenn noch eine "auflösbare" Abbildung erreicht werden soll, d.h. es muß α u gelten, also : a= λ n sin α λ n sin u (5) Bei der Betrachtung selbstleuchtender Gegenstände (ohne Lichtquelle S und Kondensor L 1 ) gilt dieselbe Beziehung für das Auflösungsvermögen. Die Begrenzung der Beugungsordnungen geschieht dann an der Objektivfassung. 3. Aufgaben : 3.1 Zum Verständnis Erklären Sie kurz Beugung und Interferenz. Was ist kohärentes Licht?

6 Beugungsbild eines Spaltes Man betrachte durch einen Spalt einen beleuchteten Schlitz (Abb. 7). Wie verändert sich der Abstand der einzelnen Beugungsordnungen mit der Spaltbreite? Welche Bedingung muß die Schlitzbreite erfüllen, damit man eine Beugungsfigur bekommt? Abb. 7 : Beobachtung der Spaltbeugung mit dem Auge 3.3 Bestimmung der Gitterkonstanten des Beugungsgitters Man bilde die Quecksilberdampflampe mit einer geeigneten Linse auf die Öffnung des Mikroskops ab. Dann bilde man die Millimetereinteilung (zwischen Linse und Mikroskop) auf die Wand ab und bestimme die Vergrößerung der Abbildung. Bringt man nun das Gitter an die Stelle der Teilung, so folgt aus der Abmessung des Gitterbildes und der bekannten, gleichgebliebenen Vergrößerung die Gitterkonstante g. 3.4 Vergrößerte Spaltabbildung Man bilde einen beleuchteten Spalt mit der gegebenen Linse vergrößert auf einen Schirm ab. Lichtquelle Hg-Lampe. 3.5 Bestimmung der Wellenlängen des Hg-Spektrums Man bringe in den Strahlengang direkt hinter die Linse ein Gitter (Abb. 8) und bestimme die Wellenlänge des gelben, grünen und blauen Hg-Dampflichtes nach Formel (2) unter Benutzung der Beziehung : wobei tanα m = s m b s m = Abstand der m-ten von der nullten Beugungsordnung b = Abstand Gitter - Schirm

7 22-7 Abb. 8 : Anordnung zur Messung der Hg-Linien Die Messung ist für 5 Beugungsordnungen durchzuführen. Es ist zweckmäßig, 2s m zu messen. Das Protokoll ist in eine Tabelle mit folgenden Größen einzutragen : Ordnung m, 2s m in mm, s m in mm, tan α m und λ in mm. Jede einzelne Beugungsordnung ist ein Bild des Spaltes. Die für paralleles Licht streng gültige Beziehung ist auch für das hier bei dieser Abbildung verwendete schwach konvergente Licht hinreichend genau. Wie äußert sich eine Verschiebung des Gitters entlang der optischen Achse? Welche Bedingung muß der Kollimatorspalt erfüllen? 3.6 Relativer Fehler Man bestimme den relativen Fehler λ/λ einer Messung aus Aufgabe Justierung der Apparatur Man justiere die Apparatur nach Abb. 6 folgendermaßen : a) Die Lichtquelle (Einfadenlampe max. 4 V) ist auf die Spaltebene E scharf abzubilden. Dann ist der Spalt ganz zu öffnen und das Mikroskop solange zu verschieben, bis die Kanten des Spaltes durch das Mikroskop auf dem Schirm scharf sichtbar sind (Abbildungsstrahlengang im Mikroskop wie in Abb. 6b). Nun ist die Lichtquelle zu verschieben, bis der Glühfaden ebenfalls scharf zu sehen ist. Es ist außerdem zu beachten, daß der Spalt parallel zum Glühfaden steht. b) Wenn nun das Gitter eingefügt wird, erscheinen in der Spaltebene die Beugungsordnungen des Gitters. c) Das Mikroskop ist nun solange in Richtung der Lichtquelle zu verschieben, bis man das Gitter scharf sieht (Strahlengang wie in Abb. 6a).

8 Sichtbarkeit der Gitterstruktur Man überzeuge sich durch Herumprobieren (Öffnen und Schließen des Spaltes, seitliches Verschieben der Lichtquelle), daß die Struktur erst sichtbar wird, wenn mindestens zwei Beugungsordnungen (z.b. 0. und 1. Beugungsordnung) ins Mikroskop gelangen. 00.Word 97