Gemischte Aufgaben zur Klausurvorbereitung

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1 Gunter Ochs Wintersemester / Gemischte Aufgaben zur Klausurvorbereitung Lösungshinweise (ohne Galantie auf Fehreleiheit. Gegeben sei eine Tabelle, die bestimmten Buchstaben Zahlen von bis zuordnet. Buchstabe A B C D E H I K M N O Zahl Das folgende Geheimwort ist mit der Formel y x + b (mod verschlüsselt worden: Zahl x Klartext K E Geheimtext A B C D N H M H M O y x + b (mod (a Bestimmen Sie den Parameter b {,,..., }. Der erste Buchstabe liefert die Gleichung 7 + b b 8 5 (mod. (b Finden Sie ein multiplikatives Inverses von modulo und lösen Sie die Gleichung y x + b nach x auf. (da (mod. Somit (mit b 5 aus (a y x + 5 y + 6 x (y + 6 x x y + 6 y + 7 (mod. (c Entschlüsseln Sie den Text. Die Werte für y in die Formel aus (c eingesetzt ergeben das Wort KOCHBANANE.. (a Berechnen Sie 5 k (mod 9 für k,,..., , 5 7, 5 8, 5, 5 5 und 5 6. (b Finden Sie ein modulares Inverses von modulo 9. Das modulare Inverse 5 (mod 9 erhält man beispielsweise mit Hilfe von (a durch die Überlegung (mod 9. (c Lösen Sie, falls möglich, die folgenden Gleichungen. Falls es keine Lösung gibt, begründen Sie, warum dies der Fall ist. * (5x + 8 (mod 9 x + 8 (mod 9 x + 8 (mod 9 x 5 (mod 9 5 x 5 5 (mod 9 x 5 (mod 9 x 7 (mod 9, * x + 6 (mod 9 x 6 (mod 9 5 x 5 6 (mod 9 x (mod 9, * x (mod 9, Z. B. x, weitere Lösungen sind x und x 6 (durch probieren * x (mod 9 Nicht lösbar, da und 9 nicht teilerfremd sind.

2 . (a Prüfen Sie, ob ein multiplikatives Inverses von n modulo m existiert (d. h. gesucht ist k mit k n (mod m und bestimmen Sie dieses gegebenenfalls für (i n 5 und m 8, k 5. Man erhält das Inverse z. B. dadurch, dann man eine Zahl der Form + i 8 mit i N sucht, für die k ( + 8i/5 ganzzahling ist. Dazu betrachtet man + 8i, 9, 7, 5 und erhält k 5/5 5 (ii n 6 und m 9, Hier existiert kein multiplikatives Inverses, da m und n den gemeinsamen Teiler haben. (iii n 5 und m. k 9. Lösung wie bei (i: + i,,,, 5 mit k 5/5 9 N. Falls kein multiplikatives Inverses existiert, begründen Sie bitte, warum dies der Fall ist. (b Lösen Sie, falls möglich, die folgenden Gleichungen. Falls es keine Lösung gibt, begründen Sie bitte, warum dies der Fall ist. Mit dem Inversen 5 5 (mod 8 aus (a: (i 5(x + 6 (mod 8 5 5(x (mod 8 x (mod 8 x (mod 8, (ii 6(x + 7 (mod 9, hier ist keine Lösung möglich, da 6y mod 9 immer ein Vielfaches von ist und somit niemals 7 werden kann. (iii 5x + 6 (mod, mit 5 9 (mod aus (a erhält man (Rechnung modulo 5x + 6 5x 6 8 x 9 5x (iv x + 6(x + (mod, Lösung x 7, Rechnung wie in (iii: x + 6(x + 6x + 6x + 5x x 9 5x ( ( (. Seien P, Q und R. (a Geben Sie eine Parameterdarstellung der Gerade g durch P und Q an. {( ( } Z. B. g {P + t (Q P : t R} + t : t R (b Bestimmen Sie den Abstand des Punktes R zu g. Die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors y R P auf den Richtungsvektor v Q P von g ist y π v (y y,v v,v v v. Mit y y y von y, also y 6. ( / / / ( ist der gesuchte Abstand die Länge (c Berechnen Sie den Cosinus des Winkels zwischen g und der Gerade h durch P und R. y aus (b ist Richtungvektor von h, also ist der Winkel α gleich dem Winkel zwischen v und y mit cos α y,v y v ( α 5 o. (d Geben Sie einen Vektor an, der sowohl auf g als auch auf h senkrecht steht. ( v y

3 5. Gegeben seinen die Punkte A, B und C (a Berechnen Sie den Abstand zwischen A und B. d(a, B B A (b Geben Sie Parameterdarstellungen der Geraden g durch A und B, der Geraden h durch A und C sowie der Ebene E durch alle drei Punkte an. Als Ortsvektor kann jeweils A gewählt werden, die Richtungsvektoren sind v B A für g, w C A für h sowie v und w für E. Damit sind g E { { + t + t : t R + s }, h { : t, s R + t }. : t R (c Bestimmen Sie einen normierten Vektor, der Ebene E senkrecht steht. Einen senkrechten Vektor ñ erhält man als Kreuzprodukt der beiden in (b berechneten Richtungsvektoren: ñ v w ein normierter Normalenvektor ist dann n ñ ñ, (d Berechnen Sie den Abstand des Punktes B von der Geraden h durch A und C. Ein Verbindungsvektor ist v B A. Diesen zerlegt in eine parallele und eine senkrechte Kompontente zum Richtungsvektor w von h. Die Parallelkomponente v ist dabei die orthogonale Projektion von v auf w: v π w (v v,w w,w w 5, 5, 5 Die senkrechte Komponente ist dann v v v, 5, 5 Der gesuchte Abstand ist gleich der Norm von v und somit gleich + + 5, (a Bestimmen sie die allgemeine Lösung x R des linearen Gleichungssystems Ax b mit A und b Mit dem GauÿAlgorithmus erhält man die erweiterten Koezientenmatrizen (erste Umformung Zeile + Zeile und Zeile mal Zeile, zweite Umformung Zeilen und vertauscht und jeweils mal : Es folgt, dass das LGS eindeutig lösbar ist mit x, x x 5 und x x x. (b Berechnen Sie die Inverse der Koezientenmatrix A. A } und

4 7. (a Bestimmen sie die allgemeine Lösung x R des linearen Gleichungssystems Ax b mit A für b und b Der GauÿAlgorithmus liefert simultan für beide rechten Seiten (. Zeile minus mal. Zeile,. Zeile plus. Zeile, dann. Zeile minus. mal. Zeile und. Zeile mal / Im Fall b Für b erkennt man an der letzten Zeile, dass keine Lösung existiert., 5 wird die letzte Zeile zur Nullzeile, der. Zeile liefert x, x t R ist frei wählbar und die. Zeile liefert x x + x x x x t. x Die allgemeine Lösung ist somit x x t x mit t R beliebig. (b Bestimmen Sie Rang und Determinante der Koezientenmatrix A. Die Umformung in (a zeigt rg(a. Da rg(a < ist, muss det A gelten. (c Bilden die Spaltenvektoren von A ein Erzeugendensystem des R? Nein, dazu müsste der Rang gleich dim R sein, was nach (b nicht der Fall ist. (d Sind die Zeilenvektoren von A linear unabhängig? Nein, dazu müssste der Rang gleich der Zahl der Zeilen, also sein, was nach (b nicht der Fall ist. 8. (a Für welche Werte des Parameters p R sind die Vektoren ( ( ( p p x p p, y und z p linear unabhängig? Ist A p die Matrix mit den Vektoren als Spalten, so sind die Vektoren genau dann linear unabhängig, wenn det A p, wobei det A p p p + p + p p oder p. Folglich sind die Vektoren für alle p R \ {, } linear unabhängig. ( ( (b Stellen Sie einen der drei Vektoren x, y ( und z als Linearkombination der beiden anderen dar. Das LGS c x + c y + c z hat die allgemeine Lösung (c, c, c t (,, mit t R. Daraus folgt z. B. x + x z y z x. (c Bestimmen Sie die Dimension des von x, y und z erzeugten Unterraums U des R. Die drei Vektoren sind linear abhängig (siehe (a und (b, jedoch sind z. B. x und y linear unabhängig. Folglich ist dim U. (d Geben Sie eine Basis von U an. Z. B. bilden x und y aus (b eine Basis (siehe (c.

5 9. (a Für welche Werte des Parameters p R ist die Matrix A p p p p invertierbar? Dazu berechnet man (z. B. durch LaplaceEntwicklung nach der. Zeile det A p p + p p p p p 6p p p ( p Dieser Ausdruck wird für p und p, die Matrix ist invertierbar, wenn det A p, also für alle p R \ {, }. (b Sind die Spaltenvektoren von A (also A p mit p linear unabhängig? Aus (a folgt det A, also ist A regulär und die Spaltenvektoren sind somit linear unabhängig. (c Bestimmen Sie die Determinante des Produkts A p B mit B det(a p B det A p det B (6p p 6p p det A p (det A p wurde in (a berechnet, det B berechnet man z. B. durch Entwicklung nach der. Zeile oder mit der Regel von Sarrus (d Stellen Sie einen der drei Vektoren anderen dar. Dazu löst man das LGS, und als Linearkombination der beiden / und erhält als allgemeine Lösung x t R beliebig, x t und x t. Mit t folgt z. B. +. Sei U der von y (,, T und y (,, T erzeugte Unterraum des R. (a Bestimmen Sie mit dem Verfahren von GramSchmidt eine Orthogonalbasis von U. x y y (,,, ˆx y y, x x (,, T, x ˆx ˆx (,, T. x und x bilden die gesuchte Basis. (b Geben Sie den orthogonalen Projektor P auf U an. ( 5 P QQ T 6, 5 wobei Q die Matrix mit x und x als Spalten ist. (c Berechnen Sie einen auf U senkrechten Normalenvektor. z. B. x x 6 (,,.

6 (. Sei L : R R die lineare Abbildung mit L ( ( und L (a Geben Sie eine Matrix A mit L(x Ax an. Es muss gelten ( ( ( ( ( ( A A (Berechnung der inversen Matrix (.. z. B. mit der Cramerschen Regel ( ( ( ( (b Bestimmen Sie L und L (die Bilder der Standardeinheitsvektoren sind die Splaten von A ( ( (c Wie ändern sich Flächeninhalte unter Anwendung der linearen Abbildung L? Der Faktor ist det A (, d. h. Flächeninhalte bleiben unverändert. (d Geben Sie die Abbildungsmatrizen von L L L sowie der der Umkehrabbildung L an. ( L hat die Abbildungsmatrix A A A, 5 ( L die Abbildungsmatrix A (Berechnung z. B. mit der Cramerschen Regel..