iprom I NSTITUT FÜR PRODUKTIONSMESSTECHNIK
|
|
- Karl Lorenz
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 iprom I NSTITUT FÜR PRODUKTIONSMESSTECHNIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG Messsignalverarbeitung im Maschinenbau SS Prof. Dr.-Ing. Rainer Tutsch Dipl.-Ing. Jan-Hinrich Eggers Version
2 Technische Universität Braunschweig Institut für Produktionsmesstechnik Schleinitzstraße 386 Braunschweig Telefon: (53) Telefax: (53) Internet:
3 Inhaltsverzeichnis Signale und ihre mathematische Beschreibung Klassifikation von Signalen Einzelne stationäre zeitdiskrete Signale Einzelnes, von einer Variablen abhängiges Signal Beschreibung deterministischer Signale im Zeitbereich: x=x(t) Beschreibung stochastischer Signale im Zeitbereich Beschreibung periodischer Signale im Frequenzbereich Beschreibung aperiodischer Signale im Frequenzbereich Beschreibung stochastischer Signale im Frequenzbereich Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung... 9 Dynamisches Verhalten von Messsystemen Lineares System. Ordnung Lineares System. Ordnung Testfunktionen Übertragungsfunktion Dynamische Messfehler Berechnung des dynamischen Messfehlers Dynamische Kenngrößen von Messsystemen Korrektur dynamischer Messfehler Dynamische Störwirkungen Bekämpfung dynamischer Störwirkungen Störunterdrückung durch Filterung Umsetzung Analog Digital Analog-Digital-Umsetzung (ADU) Grundprinzip der ADU: Abtast-Halte-Glied Parallelverfahren Kaskadenverfahren Wägeverfahren Kompensationsverfahren Single-Slope-Verfahren Dual-Slope-Verfahren Statische Kenngrößen von Analog-Digital-Umsetzern Dynamische Kenngrößen von Analog-Digital-Umsetzern Digital-Analog-Umsetzung (DAU) Parallelverfahren Wägeverfahren Zählverfahren Statische Kenngrößen von Digital-Analog-Umsetzern Dynamische Kenngrößen von Digital-Analog-Umsetzern
4 4 Analoge Filter Passive Filter Aktive Filter Realisierung von Filtern. Ordnung Realisierung von Filtern. Ordnung Programmierbare analoge Filter Digitale Filter Digitale Übertragungsfunktion digitale Filter mit verteilten Summierern digitale Filter mit einem globalen Summierer Finite-Impulse-Response-Filter (FIR) Bildverarbeitung Bildaufnahme CCD-Bildsensoren CMOS-Bildsensoren Datenübertragung Speicherformat Algorithmen zur Bildverarbeitung Punktoperationen Nachbarschaftsoperationen Morphologische Bildverarbeitung Fouriertransformation Optische Messtechnik Objekterkennung Wavelets Elektronische Datenverarbeitung Literatur
5 . Klassifikation von Signalen Signale und ihre mathematische Beschreibung Messsignale: Physikalische Größen am Ausgang eines Messsystems, die Informationen über das Messobjekt enthalten. Messsystem: Mindestens eine Messeinrichtung + Messobjekt Messeinrichtung: Mindestens ein Messgerät (+ Zusatzkomponenten) Messsignale können analog oder digital sein. Analoge Größen sind zu jedem Zeitpunkt definiert (zeitkontinuierlich) und können innerhalb eines Wertebereichs jeden Zwischenwert annehmen (wertkontinuierlich). Digitale Größen können nur jeweils einen von endlich vielen Werten annehmen (sie sind wertdiskret). Physikalische Größen sind im Allgemeinen analog. Im Rahmen dieser Vorlesung werden analoge Messsignale behandelt, wobei auch die Umsetzung in digitale Signale erläutert wird.. Klassifikation von Signalen deterministisch stochastisch Deterministische Signale sind mathematisch als Funktion der Zeit darstellbar und können vorherberechnet werden, wenn die Funktion bekannt ist. Stochastische Signale sind nicht vorherberechenbar. Sie können nur in Form von Wahrscheinlichkeitsaussagen beschrieben werden. periodisch aperiodisch (deterministische Signale) periodische Signale: Es gibt eine Periodendauer T, für die gilt: x(t+t)=x(t) stationär instationär Signale werden als stationär bezeichnet, wenn bestimmte Kenngrößen (z.b. der Mittelwert) zeitlich konstant sind. Die Signale müssen aber nicht konstant sein (dieser Spezialfall eines stationären Signals wird als Beharrung bezeichnet). einzelnes Signal mehrere Signale Diese Unterscheidung ist insbesondere bei sehr großer Anzahl parallel anfallender Signale von Bedeutung (z.b. elektronische Bildverarbeitung). Einzelne stationäre zeitdiskrete Signale Messgröße X, wahrer Wert x, Messwerte x, x,..., x n. Die Messwerte schwanken statistisch um den Erwartungswert µ. Der Erwartungswert ist im Allgemeinen nicht gleich dem wahren Wert der Messgröße, da systematische Fehler vorliegen können. Systematische Fehler sind jedoch durch Kalibrierung bestimmbar und können im Rahmen der geforderten Genauigkeit korrigiert werden: E s = µ x (.) µ kann nicht direkt gemessen werden. Bester Schätzwert ist der arithmetische Mittelwert: 5
6 x = n n x i i= Signale und ihre mathematische Beschreibung (.) Mit zunehmender Zahl von Messwerten nähert sich der Mittelwert dem Erwartungswert an: µ = lim x (.3) n Streuung S: ( x ) i x S = (.4) n Standardabweichung σ: i σ = lim S (.5) n Mittelwert ist ein Lageparameter, Standardabweichung ist ein Streuungsparameter. Weitere Kenngrößen können eingeführt werden. Weitere Information liefert die Häufigkeitsverteilung. Erläuterung zu Histogramm: Einteilung der n Messwerte in äquidistante Klassen, Zahl der Klassen etwa gleich n, Berechnung der relativen Häufigkeitsdichte h m der Messwerte im Intervall Nr. m: h m nm = (.6) n x Zeichnen des Balkendiagramms h m über x Grenzübergang Histogramm für n : Verteilungsdichtefunktion h(x) Die Wahrscheinlichkeit P(x < x x ) dafür, dass ein Messwert x im Intervall x < x x liegt, kann durch das Integral P ( x < x x ) = h( x) x n dx = lim (.7) n n x x x berechnet werden. Für alle Verteilungsdichtefunktionen gilt die Normierungsbedingung: ( x) dx = h (.8) Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x): Stammfunktion von h(x): P ( x) h( x)dx = (.9) Erwartungswert: erstes Moment der Verteilungsdichte: µ = h ( x) x dx (.) Standardabweichung: zweites Moment der Verteilungsdichte: 6
7 .3 Einzelnes, von einer Variablen abhängiges Signal σ = h µ ( x)( x ) dx Spezielle Verteilungsdichtefunktion: Gaußsche Normalverteilung (.) ( x) x µ σ h = e Erwartungswert = µ, Standardabweichung = σ (.) πσ.3 Einzelnes, von einer Variablen abhängiges Signal Beispiel: Zeitabhängiges Signal x(t) Erwartungswert: quadratischer Mittelwert: T µ = lim x( t)dt T T (.3) T ψ = lim x ( t)dt T T (.4) T Varianz: = Ψ µ = lim ( x( t) µ ) dt Standardabweichung: σ T T (.5) σ Es ist nicht selbstverständlich, dass diese Grenzwerte überhaupt existieren. Nur für stationäre Signale existieren die Grenzwerte. Wenn einer der Grenzwerte nicht existiert, dann ist das Signal nicht stationär. Der Erwartungswert ist eine statische Komponente des zeitabhängigen Signals. Dagegen ist die Varianz ein Maß für die Variabilität des Signals..4 Beschreibung deterministischer Signale im Zeitbereich: x=x(t) Vier spezielle Funktionen: Die Impulsfunktion: ( t) auch Diracsche Delta-Funktion Die (Heavysidesche) Sprungfunktion: ( t) Die Anstiegsfunktion: ( t) es gilt: δ ( t) ε ( t) 7 für t < δ = lim für t t (.6) t t für t t für t ε = (.7) für t > für t ρ = (.8) t für t > ε = (.9) t = (.) t ( t) ρ( t)
8 Zu diesen drei Funktionen siehe auch Abbildung.5. Die harmonische Schwingung (allgemein): f ( t) = xˆ cos( ωt + φ) = ( xˆ cosφ ) cosωt ( xˆ sinφ) = Re i( ωt+ φ ) [ xe ˆ ] sinωt Signale und ihre mathematische Beschreibung (.) Die komplexe Schreibweise erlaubt elegante mathematische Umformungen. Das Symbol für den Realteil wird häufig weggelassen..5 Beschreibung stochastischer Signale im Zeitbereich Ein funktionaler Zusammenhang x=x(t) kann nicht angegeben werden. Das Signal werde aber als stationär angenommen. Analog zur Verteilungsdichte zur Charakterisierung der statistischen Fehler einer Messgröße kann die so genannte Amplitudendichtefunktion wie folgt definiert werden: Der Wertebereich, innerhalb dessen alle Werte des Signals liegen, wird in Klassen der Breite x aufgeteilt. Im Zeitintervall [;T] werden für die Klasse Nr. j alle Zeitabschnitte t i, i=,...,n j ermittelt, während derer der Wert des Signals innerhalb der betrachteten Klasse lag (siehe Abbildung.: Amplitudendichte eines Signals Abbildung.). Die relative Häufigkeit von Werten aus der Klasse Nr. j wird berechnet, indem alle diese Zeitabschnitte zusammengefasst werden: h = n i j t i xt i= 8 (.) Im Grenzübergang x, T wird daraus die im Allgemeinen stetige Amplitudendichte h(x): h lim ti (.3) xt ( x) = x T n j i=
9 .5 Beschreibung stochastischer Signale im Zeitbereich Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zu einem Zeitpunkt t ein Signalpegel im Intervall [x, x ] beobachtet wird, ist: P ( x x( t ) x ) = h( x)dx x (.4) x Aus der Amplitudendichte kann der Erwartungswert µ als erstes und die Varianz σ als zweites Moment berechnet werden: T µ = x( t) dt h( x) xdx T = (.5) T ( x( t) µ ) dt = h( x)( x µ ) dx σ = T (.6) Die Gleichungen.5 und.6 sind allgemein auch für deterministische Signale gültig. Die Amplitudendichtefunktion und die daraus abgeleiteten Lage- und Streuungskenngrößen enthalten Information über das stochastische Signal. Allerdings ist keine Information mehr über das zeitliche Verhalten vorhanden. Ein schnell veränderliches und ein langsam veränderliches Signal können dieselbe Amplitudendichte haben. Abbildung.: Zeiten, in denen die Sinusfunktion innerhalb des Intervalls [x, x+ x] liegt Beispiel: Amplitudendichtefunktion einer Sinusfunktion Die Amplitudendichtefunktion einer Sinusfunktion soll zunächst anschaulich bestimmt werden: Die Steigung der Sinusfunktion ist an den Nullstellen jeweils am größten. Der Funktionswert ändert 9
10 Signale und ihre mathematische Beschreibung sich hier also am schnellsten. Dementsprechend hat die Amplitudendichtefunktion hier ein Minimum. An den beiden Extremwerten bei - und hat die Sinusfunktion die Steigung Null. Daraus folgt, dass die Amplitudendichtefunktion hier jeweils eine Polstelle hat. Analytische Herleitung: Die Amplitudendichte ist definiert als: h ( x) Tx = lim lim x T T x (.7) Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Signalpegel innerhalb eines bestimmten Intervalls beobachtet wird. Da die Sinusfunktion periodisch ist, genügt es, eine Periode zu betrachten. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt also: h ( x) Tx = lim x π x (.8) Wie aus Abbildung. ersichtlich, durchläuft die Sinusfunktion innerhalb einer Periode zweimal das Intervall [x, x+ x]. T x ist definitionsgemäß die Summe der Zeiten während derer sich die Sinusfunktion innerhalb des jeweiligen Intervalls befindet: h h h ( x) ( x) ( x) Ts = lim x π x arcsin = lim x arcsin = lim x ( x + x) arcsin( x) + arcsin( x + x) arcsin( x) ( x + x) arcsin( x) x π x Dieser Ausdruck besteht zum größten Teil aus der Definition der Ableitung: f ( x) ( x + x) f ( x) π (.9) (.3) (.3) f : = lim (.3) x x Es ergibt sich also: h ( x) = ( arcsin( x) ) (.33) π h ( x) = π x (siehe Abbildung.3) (.34)
11 .5 Beschreibung stochastischer Signale im Zeitbereich Abbildung.3: Amplitudendichtefunktion der Sinusfunktion Autokorrelationsfunktion: Maß für Erhaltungstendenz des Signals. Φ xx T lim T T (.35) ( τ ) = x( t) x( t + τ )dt T ( ) Φ ( ) x Φ τ (.36) xx xx = Das Maximum der Autokorrelationsfunktion liegt stets bei τ = ( ) ( x) x ( x) = Φ ( ) Φ ( ) Φ (.37) xx = σ (.38) = xx xx ( τ ) = Φ ( τ ) Φ xx xx (.39) Die Autokorrelationsfunktion ist stets symmetrisch
12 Signale und ihre mathematische Beschreibung Die Autokorrelationsfunktion ist deterministische Ersatzfunktion für das stochastische Signal. Periodische Anteile im Signal können in der Autokorrelationsfunktion extrahiert werden bzw. verrauschte periodische Signale können rekonstruiert werden. Die Autokorrelationsfunktion eines Rauschsignals fällt mit wachsendem τ ab und zwar umso schneller, je höher die dominierenden Frequenzanteile des Rauschens sind. Abbildung.5: Autokorrelierte eines stochastischen Signals Abbildung.6: Autokorrelierte eines niederfrequenten stochastischen Signals Abbildung.7: Autokorrelierte eines periodischen Signals Abbildung.4: Autokorrelierte eines periodischen Signals mit stochastischem Anteil
13 .6 Beschreibung periodischer Signale im Frequenzbereich.6 Beschreibung periodischer Signale im Frequenzbereich Periodisches Signal: x ( t) x( t + T ) Periodendauer: Frequenz: Winkelfrequenz: T = (.4) f = (.4) T ω = π f (.4) Fourier-Reihe als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen x a = n n (.43) ( t) x( t + T ) = + a cos( nω t) + b sin( nω t) mit n= n= π ω = T (.44) a b t T + n t ( t) cos( nω t)dt = x (.45) T t T + n t ( t) sin( nω t)dt = x (.46) T Die gesamte Information über das Signal x(t) ist in den Fourier-Koeffizienten a n und b n enthalten (Diskretes Amplitudenspektrum). Gleichanteil des Signals: a = x b (.47), = Alternative Darstellung: Fourier-Reihe als Summe von Kosinusschwingungen mit verschiedener Phasenlage x a ( t) = x( t + T ) = + c cos( n t + φ ) mit n n n n= n ω (.48) n c = a + b (.49) b n φ = n arctan (.5) an (Diskretes Amplituden- und Phasenspektrum) Fourier-Reihe in komplexer Schreibweise a = (.5) x n= inω t ( t) x( t + T ) = + c n e Mit 3
14 Signale und ihre mathematische Beschreibung c n t + T ω i( n t ( t) e ) dt = x (.5) T Es gilt t c n = a n ib n (.53) c n = an + bn = cn (.54) b n φ = n arctan =< cn (.55) an Periodische Signale haben stets diskrete Spektren. Abbildung.8: Äquivalente Darstellungsarten eines periodischen Signals nach [5].7 Beschreibung aperiodischer Signale im Frequenzbereich Zunächst wird ein Ausschnitt des Signals der Länge T betrachtet, der periodisch fortgesetzt wird. Periodisches Signal mit Periode T Diskretes Spektrum wie oben diskutiert. Wenn T vergrößert wird, wird das diskrete Spektrum dichter. π Spektrallinienabstand: ω = T (.56) 4
15 .7 Beschreibung aperiodischer Signale im Frequenzbereich Für T wird aus dem diskreten Spektrum ein kontinuierliches Spektrum. Aus der Fourier-Reihe wird dann die Fouriertransformation: iωt { x( t) } = x( ω) = x( t) e dt I (.57) x(ω) ist im Allgemeinen eine komplexe Größe ( Amplitudendichte). Darstellungsformen im Frequenzbereich mit vollständiger Information über das Signal x(t): Real- und Imaginärteil der Amplitudendichte oder Betrag und Phase der Amplitudendichte. x φ ( ω) Re [ x( ω) ] + Im [ x( ω) ] = (.58) ( ω) x( ω) [ x( ω) ] [ x( ω) ] Im =< = arctan (.59) Re Fourierrücktransformation x π i ( t) [ x( ω) ] x( ω) e ω t = I = dω (.6) Voraussetzung für die Existenz einer Fourier-Transformierten: x( t)dt existiert. Die Fourier-Transformation ermöglicht den Wechsel zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich. Eigenschaften der Fouriertransformation im Folgenden wird eine abkürzende Schreibweise verwendet: s ( t) s( ) s( ω) = I{ s( t) } ω (.6) Superpositionssatz (Die Fouriertransformation ist ein lineares Funktional): s( t) + as ( t) s( ω) as( ω) a a + (.6) Die Fourier-Transformierte eines Produktes ist gleich der Faltung der Fourier-Transformierten: ( t) s ( t) ( ω) s ( ω) s s (.63) Die Fourier-Transformierte einer Faltung ist gleich dem Produkt der Fourier-Transformierten: ( t) s ( t) ( ω) s ( ω) s s (.64) Jede reelle Zeitfunktion kann eindeutig in eine gerade und eine ungerade Komponente zerlegt werden. Die Fouriertransformierte der geraden Komponente ist gleich dem Realteil der Fouriertransformierten der Funktion. Die Fouriertransformierte der ungeraden Komponente ist gleich dem Imaginärteil der Fouriertransformierten der Funktion. s ( t) = s ( t) + s ( t) mit s ( t) = [ s( t) + s( t) ] g u s u g ( t) = [ s( t) s( t) ] (.65) 5
16 s ( t) s ( ω) s g ( t) R { s( ω) } s ( t) { s( ω) } u Signale und ihre mathematische Beschreibung ii (.66) Die Fouriertransformierte der konjugiert Komplexen im Zeitbereich ist die konjugiert Komplexe mit negativem Argument im Frequenzbereich: s * * ( t) ( ω) s (.67) Ähnlichkeitssatz: Zeit- und Frequenzdarstellung verhalten sich reziprok. Breite Signale haben schmale Fouriertransformierte und umgekehrt. ( bt) s ω s (.68) b b Verschiebungssatz: Eine Verschiebung im Zeitbereich führt zu einer Phasenverschiebung im Frequenzbereich ( t ) i ω t s e s ( ω ) t (.69) Differentiation im Zeitbereich führt zu einer Multiplikation im Frequenzraum. Dies vereinfacht z.b. die Bearbeitung von Differentialgleichungen im Frequenzraum. d s( t) dt d dt n n s( t) Symmetrie ( t) i ω s ( ω ) (.7) s S ( ) S ( t ) ( iω ) n s ( ω ) (.7) ω ( ω) s (.7) Fourier-Transformierte von speziellen Funktionen: Rechteckfunktion s(t) = rect(t) s i ω iω ω e e sin ω iω ω iω t ( ω ) = e dt = = = si (.73) Impulsfunktion s(t) = δ(t) i ω t i ω s ( ω ) = δ ( t ) e dt = e = (.74) Daraus kann mit Hilfe der bekannten Eigenschaften der Fouriertransformation abgeleitet werden: δ ( t ) (.75) δ ( ω ) = δ ( ω ) (.76) ( t + T ) iω T δ e = cos ( ω T ) + i sin ( ω T ) (.77) Mit dieser Gleichung erhält man für harmonische Funktionen: 6
17 .7 Beschreibung aperiodischer Signale im Frequenzbereich ( Ωt) cos δ ( ω + Ω ) + δ ( ω Ω ) ( Ωt) i sin δ ( ω + Ω ) δ ( ω Ω ) i Kammfunktion (Dirac-Stoßfolge): (.78) (.79) C ( t ) = δ ( t n ) (.8) ( t) n = C + cos ( n ω ) = δ ( ω n ) = C ( ω ) (.8) Laplacetransformation n = n = Voraussetzung: kausale Signale, d.h.: x(t)= für t< x st ( s ) L { x ( t )} = x ( t ) e dt = δ wirkt als Dämpfungsparameter. Rücktransformation: mit s = δ + iω (.8) x π i δ + i st ( t ) = L { x ( s )} = x ( s ) e ds (.83) δ i Zur Berechnung der Laplacetransformation und der Rücktransformation stehen Tabellenwerke und Mathematik-Software zur Verfügung. Die Laplacefunktion ist wie die Fouriertransformation eine Transformation zwischen der Darstellung einer Funktion im Zeit- bzw. im Frequenzbereich. Auch die Laplacefunktion ist ein lineares Funktional (verallgemeinerte Funktion, deren Definitions- und Wertebereich Mengen von Funktionen sind). Viele Funktionen, für die keine Fouriertransformierte existiert, können mittels der Laplacetransformation in den Frequenzbereich transformiert werden. Wir werden im Folgenden sowohl für Fourier- als auch für Laplacetransformation das Symbol verwenden. Korrelation und Faltung Eine typische Aufgabe beim Vergleich zweier Signale s(t) und g(t) besteht darin, ein Ähnlichkeitsmaß zu definieren. Eine Möglichkeit besteht darin, zunächst die Differenz zu betrachten: (t) = s(t) - g(t). Als vorzeichenneutrales Abstandmaß kann das Integral über das quadrierte Differenzsignal benutzt werden. Dieses ist physikalisch als Energie des Differenzsignals interpretierbar: = ( s( t ) g ( t )) dt = s ( t ) dt + g ( t ) dt s( t ) g ( t ) dt = E s + E g P (.84) sg E P sg : Korrelationskoeffizient von s(t) und g(t), umso größer, je ähnlicher die beiden Funktionen sind. Der normierte Korrelationskoeffizient: P E sg = E s( t ) g ( t ) dt (.85) s E g liegt stets zwischen (keine Ähnlichkeit) und (Identität). 7
18 Signale und ihre mathematische Beschreibung Als Erweiterung dieses Ansatzes kann eine Relativverschiebung der beiden Funktionen auf der Zeitachse eingeführt werden, wobei die Korrelationsfunktion erhalten wird. P sg = = ( τ ) s( t ) g ( t + τ ) dt s( τ ) g ( τ ) (.86) Dabei werden anschaulich gesprochen die Verschiebungen gesucht, für die die beiden Signale am besten zusammenpassen (Maxima der Korrelationsfunktion). Als weitere Variation bei diesem Signalvergleich kann eines der beiden Signale in der Zeit gespiegelt werden: s(τ) s(-τ) s( τ ) g ( τ ) = s( τ ) g ( τ ) s( τ ) g( τ ) = s( τ ) ( τ ) g (.87) Damit geht die Korrelationsfunktion über in die Faltung s ( τ )* g ( τ ) s( t ) g ( τ t )dt (.88) =.8 Beschreibung stochastischer Signale im Frequenzbereich Die Autokorrelationsfunktion T φ xx( τ ) = lim x( t) x( t + τ )dt T T (.89) T beschreibt das stochastische Signal im Zeitbereich. Wird diese Gleichung durch Anwendung der Fouriertransformation in den Frequenzbereich transformiert, erhält man die Spektrale Leistungsdichte: S xx ( ω ) = I { φ ( τ )} = i ( τ ) e ω t d τ (.9) xx Φ xx Da Φ xx (t) eine gerade reelle Funktion ist, ist auch S xx (ω) eine gerade reelle Funktion. Daher gilt: S xx ( ω ) = Φ ( τ ) cos ( ωτ ) d τ (.9) xx Rücktransformation: Φ xx bzw. i ( τ ) = S ( ω ) e ωτ d ω (.9) π π xx Φ ( τ ) = ( ω ) cos ( ωτ ) d ω (.93) xx S xx S xx (ω) kann physikalisch als die auf die Frequenzen ω verteilte Leistungsdichte des Signals interpretiert werden. 8
19 .9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung x = φ xx π π ( ) = S xx ( ω ) d ω = S xx ( ω ) d ω (.94) Eine schnell abfallende Autokorrelationsfunktion steht für geringe Erhaltungstendenz des Signals. In der spektralen Leistungsdichte macht sich das dadurch bemerkbar, dass auch bei großen Frequenzen noch Beiträge der Signalleistung liegen, d.h. die spektrale Leistungsdichte breitbandig ist..9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung Abbildung.9: Abtastung eines bandbegrenzten Signals Digitalisierung einer Messgröße: Diskretisierung eines werte- und zeitkontinuierlichen Signals in ein werte- und zeitdiskretes Signal. Diskretisierung in der Zeit Abtastung kann durch Multiplikation mit einer Abtastfunktion (zunächst beliebige periodische Funktion) beschrieben werden. inω t ( t) c n e n= p = (.95) mit Tastkreisfrequenz: Signal π ω = T (.96) x(t) cn n= Getastetes Signal: * in t ( ) ( ) ω x t = x t e (.97) 9
20 Signale und ihre mathematische Beschreibung * Die Laplacetransformierte: x ( s) c x( s inω ) = n= n (.98) Ideale Abtastung: Abtastung mit regelmäßiger Folge von Dirac-Stößen Multiplikation mit einer Kammfunktion. ( s) = x( s in ) x * T n= ω (.99) Die abgetastete Funktion besteht im Frequenzbereich aus einer unendlichen Abfolge gleicher Spektralbänder im Abstand ω. Solange die Abtastfrequenz größer als die doppelte Grenzfrequenz des Signals x(t) ist, beeinflussen die Spektralbänder sich nicht gegenseitig. Dies ist der Kern des Abtasttheorems nach Shannon. Das Abtasttheorem nach Shannon Ein beliebiges bandbegrenztes Signal f(t) enthält eine maximale obere Frequenz f g. Dementsprechend ist die Fouriertransformierte des Signals F(ω) durch die zugehörige Abbildung.: Ein bandbegrenztes Signal mit seiner Fouriertransformierten Kreisfrequenz ω g begrenzt (siehe Abbildung.). Zu beachten ist, dass die Definition der Fouriertransformation einer reellen Funktion ein zur Frequenz Null symmetrisches Spektrum liefert. Entsprechend wurde hier die Fourieranalyse, im Gegensatz zu einigen Literaturstellen, mit einem symmetrischen Spektrum definiert. Die Fouriertransformierte einer Folge von Dirac-Pulsen, der sogenannten Kammfunktion ш(t), wurde schon hergeleitet: Es handelt sich ebenfalls um eine Kammfunktion (siehe Abbildung.). Ist T die Periodendauer von ш(t), so haben bei Ш(ω) die einzelnen Pulse den Abstand der Kreisfrequenz ω a, die sich aus T ergibt: π ωa = (.) T
21 .9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung Abbildung.: Die Kammfunktion und ihre Fouriertransformierte Mathematisch wird die Abtastung eines Signals im Zeitbereich durch die Bildung des Produkts aus der Signalfunktion f(t) und der Kammfunktion ш(t) beschrieben. Dieses Produkt im Zeitbereich entspricht im Frequenzbereich einer Faltung. Wegen der einzelnen Dirac-Pulse, aus denen die Kammfunktion besteht, lässt sich diese Faltung anschaulich bestimmen. Bildet man das Produkt aus einem Dirac-Puls δ(τ) und einer Funktion f(τ), und integriert über den Puls hinweg, so ist das Ergebnis dieses Integrals gerade der Funktionswert an der Stelle Null, da dieser Wert durch den Puls herausgepickt wird: ( ) δ ( τ ) dτ f () f τ = (.) Wird der Puls um eine Konstante t verschoben, so erhält man als Ergebnis dieser Integration den Funktionswert an der Stelle t: ( ) δ ( τ t) dτ f (t) f τ = (.) Der Dirac-Puls ist symmetrisch: ( t τ ) = δ ( τ t) δ (.3) ( ) δ ( t τ ) dτ f ( t) f τ = (.4) ( t) ( t) f ( t) f δ = (.5) An diesem Beispiel wird deutlich, dass zur Berechnung der Faltung zweier Funktionen zwar die Integrationsvariable τ benötigt wird, dass das Ergebnis aber wieder eine Funktion der Zeit ist. Dies gilt analog auch für eine Faltung im Frequenzbereich. ( ) δ ( t + n T τ ) dτ = f ( t + n T ) n =, ±, ±,... f τ (.6) ( t) ( t + n T ) = f ( t + n T ) f δ (.7) Faltet man also eine Funktion F(ω) mit einem Dirac-Puls δ(ω), so erhält man eine Kopie von F(ω). Wenn F(ω) nun die Fouriertransformierte einer bandbegrenzten Funktionen f(t) ist, so ist sie symmetrisch (siehe auch Abbildung.). Die Faltung von F(ω) mit dem Dirac-Puls δ(ω) ergibt also eine Kopie von F(ω). Da dies für jede beliebige Lage des Pulses gilt, ergibt die Faltung von F(ω) mit der Kammfunktion Ш(ω) eine Folge von Kopien von F(ω), wobei die einzelnen Kopien gerade den Abstand der Pulse haben (siehe Abbildung. oben).
22 Signale und ihre mathematische Beschreibung In der obersten Zeile von Abbildung. gilt ω a = ω g, sodass sich die einzelnen Kopien von F(ω) gerade nicht überschneiden. In der mittleren Zeile ist ω a > ω g, sodass zwischen den einzelnen Kopien noch Platz ist. In der untersten Zeile ist ω a < ω g, sodass sich die einzelnen Kopien überschneiden. Jede Kopie von F(ω) enthält die vollständige Information, über das Signal f(t). Die Rekonstruktion von f(t) ist nur möglich, wenn keine Überschneidungen, wie sie in der untersten Zeile dargestellt sind, auftreten. Denn solche Überschneidungen lassen sich nicht herausfiltern. Und es werden die Anteile des Signals, die die zu den Frequenzen größer als ω a gehören in den Frequenzbereich kleiner als ω a transformiert, wo sie sich dem ursprünglichen Signal überlagern und Abbildung.: Die Fouriertransformierten einer abgetasteten Funktion bei verschiedenen Abtastfrequenzen dieses verfälschen. Im Frequenzbereich müssen die einzelnen Pulse von Ш(ω) also mindestens den Abstand ω g haben, sonst überschneiden sich die Kopien von Ш(ω). Diese Forderung ist analog zu dem Abtastheorem von Shannon: Ein bandbegrenzetes Signal kann vollständig aus den abgetasteten Werten rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz mindestens doppelt so groß ist, wie die höchste in dem Signal enthaltene Frequenz. Diese Bedingung ist hinreichend aber nicht notwendig. Die doppelte Grenzfrequenz ω g wird auch als Nyquist-Frequenz bezeichnet. Zu beachten ist, dass die Abtastfrequenz größer sein muss, als die Nyquist-Frequenz. Wird. z.b. eine reiner Sinus mit genau dem doppelten seiner Frequenz abgetastet, so kann die Funktion nicht aus den abgetasteten Werten rekonstruiert werden, wenn die Abtastung jeweils genau im Nulldurchgang erfolgt. (siehe Abbildung.3)
23 .9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung Abbildung.3: Die Abtastung mit doppelter Signalfrequenz ist nicht ausreichend Abtastung mit realen Pulsen Technisch realisierbare Pulse haben eine endliche Impulsbreite b. Bei einer Impulshöhe von /b ist die Fläche unter dem Puls. Ein solcher Puls lässt sich aus der Rechteckfunkion ableiten: t p ( t) = rect (.8) b b Für die weiteren Betrachtungen sei angenommen, dass mit der Pulsfunktion p(t) abgetastet werde. Diese periodische Funktion besteht aus einer Folge von Pulsen, welche die Form von p (t) haben. Auch hier beträgt die Periodendauer T (siehe Abbildung.4). Die reale Abtastfunktion p(t) kann modelliert werden, indem man die gestreckte Rechteckfunktion p (t) mit der Kammfunktion faltet: t p t = rect t b b ( ) *Ш ( ) (.9) Analog zu der idealen Abtastung erhält man das Frequenzspektrum durch Produktbildung und Fouriertransformation: t ft t f t rect t b b F t t ( ) = ( ) Ш ( ) ( ) F ( ) ( ωb) sin ω = ω * Ш ( ω) ωb ( ) ( ) = ( )* si( ) Ш ( ) Abbildung.4: Pulsfunktion p(t) (.) (.) F ω F ω ωb ω (.) 3
24 Signale und ihre mathematische Beschreibung Die zweite Funktion, aus der die Faltung gebildet wird, ist wegen der schon besprochenen Eigenschaften von δ(ω) eine Folge von Pulsen. Dabei entspricht die Höhe eines Pulses jeweils dem Wert der si-funktion an der Stelle des Pulses siehe (Abbildung.5); die si-funktion ist die Einhüllende der Abtastpulse. In der Regel ist die Länge der Abtastpulse im Verhältnis zur gesamten Abtastdauer so kurz, dass sich der Abfall der einhüllenden si-funktion nicht unmittelbar bemerkbar macht. Es treten zwei Spezialfälle auf: Bei b T π = = (.3) ω a ist die Abtastdauer genauso lang, wie die Abtastperiode. Der si-term fällt dann schnell ab und wird bei ω = ω a zu Null, und damit auch der Anteil der Frequenz ω a. Das abgetastete Signal wird umso schwächer, je höher die Signalfrequenz ist, und verschwindet bei der Nyquist-Frequenz. Bei b = wird der si-term zu Eins und es handelt sich um eine ideale Abtastung. Abbildung.5: Von si-funktion eingehüllte Tastpulse Endliche Dauer der Abtastung Mathematisch wird die in der Realität begrenzte Dauer einer Messung durch die Multiplikation einer Rechteckfunktion rect(t) mit der abgetasteten Funktion f(t) beschrieben. Um eine Rechteckfunktion zu erhalten, die bei t= beginnt, und bei der der Funktionswert für die Dauer D Eins ist, muss die Funktion um ½ verschoben und um D gestreckt werden (siehe Abbildung.6). 4
25 .9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung Abbildung.6: Die zugehörige Fouriertransformierte erhält man dann durch die Anwendung des Verschiebungsund des Ähnlichkeitssatzes: t D D D si ωd e (.4) iωd / rect ( ) Im Frequenzbereich muss F(ω) (siehe Abbildung.) also zusätzlich noch mit der si-funktion gefaltet werden. Jeder Kopie von F(ω) (siehe Abbildung.) wird zusätzlich noch eine si- Funktion aufgeprägt (siehe Abbildung.7). Abbildung.7: Verlauf der si-funktion Da die si-funktion aber nicht Null wird, überlappen die einzelnen Faltungen in jedem Fall. Der Verlauf einer Funktion kann also nicht vollständig rekonstruiert werden, wenn nur eine endliche Zeit lang abgetastet wurde. Anschaulich kann man keine Aussage über den Verlauf eines Signals außerhalb der Zeit machen, in der man es erfasst hat. 5
26 Signale und ihre mathematische Beschreibung Mit kleinerem Zeitfenster wird die si-funktion breiter. Dies ergibt sich aus der oben angegebenen Gleichung. Bei breiteren si-funktionen ist die Überlappung an den Rändern der Faltungen im Frequenzbereich größer, und das rekonstruierte Signal wird noch schlechter. 6
Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand
Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der
MehrReell. u(t) Komplex u(t), Zeitabhängig Zeitunabhängig. u(t)e jωt. Reell Û. Elektrische Größe. Spitzenwert. Komplex Û. Reell U. Effektivwert.
Aufgaben Reell u(t) Elektrische Größe Zeitabhängig Zeitunabhängig Spitzenwert Effektivwert Komplex u(t), Reell Û Komplex Û Reell U Komplex U u(t)e jωt Institut für Technische Elektronik, RWTH - Aachen
MehrMesstechnik-Praktikum. Spektrumanalyse. Silvio Fuchs & Simon Stützer. c) Berechnen Sie mit FFT (z.b. ORIGIN) das entsprechende Frequenzspektrum.
Messtechnik-Praktikum 10.06.08 Spektrumanalyse Silvio Fuchs & Simon Stützer 1 Augabenstellung 1. a) Bauen Sie die Schaltung für eine Einweggleichrichtung entsprechend Abbildung 1 auf. Benutzen Sie dazu
MehrVersuch 3. Frequenzgang eines Verstärkers
Versuch 3 Frequenzgang eines Verstärkers 1. Grundlagen Ein Verstärker ist eine aktive Schaltung, mit der die Amplitude eines Signals vergößert werden kann. Man spricht hier von Verstärkung v und definiert
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
MehrBildverarbeitung Herbstsemester 2012. Fourier-Transformation
Bildverarbeitung Herbstsemester 2012 Fourier-Transformation 1 Inhalt Fourierreihe Fouriertransformation (FT) Diskrete Fouriertransformation (DFT) DFT in 2D Fourierspektrum interpretieren 2 Lernziele Sie
MehrAufgabenstellung für den 1. Laborbeleg im Fach Messtechnik: Oszilloskopmesstechnik
Aufgabenstellung für den 1. Laborbeleg im Fach Messtechnik: Oszilloskopmesstechnik Untersuchen Sie das Übertragungsverhalten eines RC-Tiefpasses mit Hilfe der Oszilloskopmesstechnik 1.Es ist das Wechselstromverhalten
MehrInstitut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe. Übungen Regelungstechnik 2
Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielow Übungen Regelungstechnik 2 Inhalt der Übungen: 1. Grundlagen (Wiederholung RT1) 2. Störgrößenaufschaltung 3. Störgrößennachbildung
MehrTechnik der Fourier-Transformation
Was ist Fourier-Transformation? Fourier- Transformation Zeitabhängiges Signal in s Frequenzabhängiges Signal in 1/s Wozu braucht man das? Wie macht man das? k = 0 Fourier- Reihe f ( t) = Ak cos( ωkt) +
MehrProjekt 2HEA 2005/06 Formelzettel Elektrotechnik
Projekt 2HEA 2005/06 Formelzettel Elektrotechnik Teilübung: Kondensator im Wechselspannunskreis Gruppenteilnehmer: Jakic, Topka Abgabedatum: 24.02.2006 Jakic, Topka Inhaltsverzeichnis 2HEA INHALTSVERZEICHNIS
MehrProbeklausur Signale + Systeme Kurs TIT09ITA
Probeklausur Signale + Systeme Kurs TIT09ITA Dipl.-Ing. Andreas Ströder 13. Oktober 2010 Zugelassene Hilfsmittel: Alle außer Laptop/PC Die besten 4 Aufgaben werden gewertet. Dauer: 120 min 1 Aufgabe 1
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrAufgaben Wechselstromwiderstände
Aufgaben Wechselstromwiderstände 69. Eine aus Übersee mitgebrachte Glühlampe (0 V/ 50 ma) soll mithilfe einer geeignet zu wählenden Spule mit vernachlässigbarem ohmschen Widerstand an der Netzsteckdose
MehrSkalierung des Ausgangssignals
Skalierung des Ausgangssignals Definition der Messkette Zur Bestimmung einer unbekannten Messgröße, wie z.b. Kraft, Drehmoment oder Beschleunigung, werden Sensoren eingesetzt. Sensoren stehen am Anfang
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrPhysik & Musik. Stimmgabeln. 1 Auftrag
Physik & Musik 5 Stimmgabeln 1 Auftrag Physik & Musik Stimmgabeln Seite 1 Stimmgabeln Bearbeitungszeit: 30 Minuten Sozialform: Einzel- oder Partnerarbeit Voraussetzung: Posten 1: "Wie funktioniert ein
MehrQM: Prüfen -1- KN16.08.2010
QM: Prüfen -1- KN16.08.2010 2.4 Prüfen 2.4.1 Begriffe, Definitionen Ein wesentlicher Bestandteil der Qualitätssicherung ist das Prüfen. Sie wird aber nicht wie früher nach der Fertigung durch einen Prüfer,
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrAufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:
Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an
Mehr1 Wechselstromwiderstände
1 Wechselstromwiderstände Wirkwiderstand Ein Wirkwiderstand ist ein ohmscher Widerstand an einem Wechselstromkreis. Er lässt keine zeitliche Verzögerung zwischen Strom und Spannung entstehen, daher liegt
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrWechselstromwiderstände
Ausarbeitung zum Versuch Wechselstromwiderstände Versuch 9 des physikalischen Grundpraktikums Kurs I, Teil II an der Universität Würzburg Sommersemester 005 (Blockkurs) Autor: Moritz Lenz Praktikumspartner:
MehrElektrische Messtechnik, Labor
Institut für Elektrische Messtechnik und Messsignalverarbeitung Elektrische Messtechnik, Labor Messverstärker Studienassistentin/Studienassistent Gruppe Datum Note Nachname, Vorname Matrikelnummer Email
MehrTangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrHalbleiterbauelemente
Mathias Arbeiter 20. April 2006 Betreuer: Herr Bojarski Halbleiterbauelemente Statische und dynamische Eigenschaften von Dioden Untersuchung von Gleichrichterschaltungen Inhaltsverzeichnis 1 Schaltverhalten
Mehr1. Frequenzverhalten einfacher RC- und RL-Schaltungen
Prof. Dr. H. Klein Hochschule Landshut Fakultät Elektrotechnik und Wirtschaftsingenieurwesen Praktikum "Grundlagen der Elektrotechnik" Versuch 4 Wechselspannungsnetzwerke Themen zur Vorbereitung: - Darstellung
Mehr2. Eigenschaften digitaler Nachrichtensignale
FH OOW / Fachb. Technik / Studiengang Elektrotechnik u. Automatisierungstechnik Seite 2-2. Eigenschaften digitaler Nachrichtensignale 2. Abgrenzung zu analogen Signalen Bild 2.- Einteilung der Signale
MehrEM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören:
david vajda 3. Februar 2016 Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: Elektrische Stromstärke I Elektrische Spannung U Elektrischer Widerstand R Ladung Q Probeladung q Zeit t Arbeit
MehrFilter zur frequenzselektiven Messung
Messtechnik-Praktikum 29. April 2008 Filter zur frequenzselektiven Messung Silvio Fuchs & Simon Stützer Augabenstellung. a) Bauen Sie die Schaltung eines RC-Hochpass (Abbildung 3.2, Seite 3) und eines
MehrElektronik Praktikum Operationsverstärker 2 (OV2)
Elektronik Praktikum Operationsverstärker 2 (OV2) Datum: -.-.2008 Betreuer: P. Eckstein Gruppe: Praktikanten: Versuchsziele Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Schaltung eines OPV als invertierenden
MehrAktiver Bandpass. Inhalt: Einleitung
Aktiver Bandpass Inhalt: Einleitung Aufgabenstellung Aufbau der Schaltung Aktiver Bandpass Aufnahme des Frequenzgangs von 00 Hz bis 00 KHz Aufnahme deer max. Verstärkung Darstellung der gemessenen Werte
MehrPW11 Wechselstrom II. Oszilloskop Einführende Messungen, Wechselstromwiderstände, Tiefpasse (Hochpass) 17. Januar 2007
PW11 Wechselstrom II Oszilloskop Einführende Messungen, Wechselstromwiderstände, Tiefpasse (Hochpass) 17. Januar 2007 Andreas Allacher 0501793 Tobias Krieger 0447809 Mittwoch Gruppe 3 13:00 18:15 Uhr Dr.
MehrTechnische Informatik Basispraktikum Sommersemester 2001
Technische Informatik Basispraktikum Sommersemester 2001 Protokoll zum Versuchstag 1 Datum: 17.5.2001 Gruppe: David Eißler/ Autor: Verwendete Messgeräte: - Oszilloskop HM604 (OS8) - Platine (SB2) - Funktionsgenerator
MehrElektronenstrahloszilloskop
- - Axel Günther 0..00 laudius Knaak Gruppe 7 (Dienstag) Elektronenstrahloszilloskop Einleitung: In diesem Versuch werden die Ein- und Ausgangssignale verschiedener Testobjekte gemessen, auf dem Oszilloskop
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrAnhand des bereits hergeleiteten Models erstellen wir nun mit der Formel
Ausarbeitung zum Proseminar Finanzmathematische Modelle und Simulationen bei Raphael Kruse und Prof. Dr. Wolf-Jürgen Beyn zum Thema Simulation des Anlagenpreismodels von Simon Uphus im WS 09/10 Zusammenfassung
MehrKennlinienaufnahme elektronische Bauelemente
Messtechnik-Praktikum 06.05.08 Kennlinienaufnahme elektronische Bauelemente Silvio Fuchs & Simon Stützer 1 Augabenstellung 1. a) Bauen Sie eine Schaltung zur Aufnahme einer Strom-Spannungs-Kennlinie eines
Mehr1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:
Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrElektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich
Elektrische Messtechnik Protokoll - Bestimmung des Frequenzgangs durch eine Messung im Zeitbereich André Grüneberg Janko Lötzsch Mario Apitz Friedemar Blohm Versuch: 19. Dezember 2001 Protokoll: 6. Januar
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrStatistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 1
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4. März 2. Zwei Lektoren lesen ein Buch. Lektor A findet 2 Druckfehler, Lektor B nur 5. Von den gefundenen
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrMesstechnik. Gedächnisprotokoll Klausur 2012 24. März 2012. Es wurde die Kapazität von 10 Kondensatoren gleicher Bauart gemessen:
Messtechnik Gedächnisprotokoll Klausur 2012 24. März 2012 Dokument erstellt von: mailto:snooozer@gmx.de Aufgaben Es wurde die Kapazität von 10 Kondensatoren gleicher Bauart gemessen: Index k 1 2 3 4 5
MehrPraktikum Nr. 3. Fachhochschule Bielefeld Fachbereich Elektrotechnik. Versuchsbericht für das elektronische Praktikum
Fachhochschule Bielefeld Fachbereich Elektrotechnik Versuchsbericht für das elektronische Praktikum Praktikum Nr. 3 Manuel Schwarz Matrikelnr.: 207XXX Pascal Hahulla Matrikelnr.: 207XXX Thema: Transistorschaltungen
Mehr1. Theorie: Kondensator:
1. Theorie: Aufgabe des heutigen Versuchstages war es, die charakteristische Größe eines Kondensators (Kapazität C) und einer Spule (Induktivität L) zu bestimmen, indem man per Oszilloskop Spannung und
Mehr1 Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.
MehrFüllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge
2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
MehrSignale und Systeme. A1 A2 A3 Summe
Signale und Systeme - Prof. Dr.-Ing. Thomas Sikora - Name:............................... Vorname:.......................... Matr.Nr:.............................. Ergebnis im Web mit verkürzter Matr.Nr?
Mehrfile://c:\documents and Settings\kfzhans.BUERO1\Local Settings\Temp\39801700-e...
Page 1 of 5 Komponentennummer 31 Identifikation Die Funktionsweise dieser Sensoren ist normalerweise überall gleich, obwohl sie sich je nach Anwendung oder Hersteller in der Konstruktion unterscheiden
MehrApproximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)
MehrDer Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412 Patrick Christ und Daniel Biedermann 16.10.2009 1. INHALTSVERZEICHNIS 1. INHALTSVERZEICHNIS... 2 2. AUFGABE 1...
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )
MehrAbituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y
Mehr4 Kondensatoren und Widerstände
4 Kondensatoren und Widerstände 4. Ziel des Versuchs In diesem Praktikumsteil sollen die Wirkungsweise und die Frequenzabhängigkeit von Kondensatoren im Wechselstromkreis untersucht und verstanden werden.
MehrSimulation LIF5000. Abbildung 1
Simulation LIF5000 Abbildung 1 Zur Simulation von analogen Schaltungen verwende ich Ltspice/SwitcherCAD III. Dieses Programm ist sehr leistungsfähig und wenn man weis wie, dann kann man damit fast alles
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrÜbungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.
Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines
MehrUmgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
MehrOszilloskope. Fachhochschule Dortmund Informations- und Elektrotechnik. Versuch 3: Oszilloskope - Einführung
Oszilloskope Oszilloskope sind für den Elektroniker die wichtigsten und am vielseitigsten einsetzbaren Meßgeräte. Ihr besonderer Vorteil gegenüber anderen üblichen Meßgeräten liegt darin, daß der zeitliche
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrAufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung
ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph
Mehr6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
MehrWechselspannungskreis Definition Teil C: Wechselstromkreis Beschreibungsgrößen Wechselspannung:
Teil C: Wechselstromkreis Beschreibungsgrößen Ohmscher, kapazitiver, induktiver Widerstand Knoten- und Maschenregeln Passiver / Bandpass Dezibel Bode-Diagramm 6.2.3 Beschreibungsgrößen Wechselspannung:
Mehr= {} +{} = {} Widerstand Kondensator Induktivität
Bode-Diagramme Selten misst man ein vorhandenes Zweipolnetzwerk aus, um mit den Daten Amplituden- und Phasengang zu zeichnen. Das kommt meistens nur vor wenn Filter abgeglichen werden müssen oder man die
MehrSeite 2 E 1. sin t, 2 T. Abb. 1 U R U L. 1 C P Idt 1C # I 0 cos t X C I 0 cos t (1) cos t X L
Versuch E 1: PHASENVERSCHIEBUNG IM WECHSELSTROMKREIS Stichworte: Elektronenstrahloszillograph Komplexer Widerstand einer Spule und eines Kondensators Kirchhoffsche Gesetze Gleichungen für induktiven und
MehrGrundlagen der Videotechnik. Redundanz
Grundlagen der Videotechnik Redundanz Redundanz beruht auf: - statistischen Abhängigkeiten im Signal, - Information, die vorher schon gesendet wurde - generell eine Art Gedächtnis im Signal Beispiel: Ein
Mehr3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an
MehrA2.3: Sinusförmige Kennlinie
A2.3: Sinusförmige Kennlinie Wie betrachten ein System mit Eingang x(t) und Ausgang y(t). Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet. Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal
MehrVersuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT)
Versuch 3: Anwendungen der schnellen Fourier-Transformation (FFT) Ziele In diesem Versuch lernen Sie zwei Anwendungen der Diskreten Fourier-Transformation in der Realisierung als recheneffiziente schnelle
MehrÜbertragungsglieder mit Sprung- oder Impulserregung
Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Fachbereich Physik Elektronikpraktikum Protokoll-Nr.: 4 Übertragungsglieder mit Sprung- oder Impulserregung Protokollant: Jens Bernheiden Gruppe: Aufgabe durchgeführt:
MehrLösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)
Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen
MehrP = U eff I eff. I eff = = 1 kw 120 V = 1000 W
Sie haben für diesen 50 Minuten Zeit. Die zu vergebenen Punkte sind an den Aufgaben angemerkt. Die Gesamtzahl beträgt 20 P + 1 Formpunkt. Bei einer Rechnung wird auf die korrekte Verwendung der Einheiten
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
MehrName:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest
MehrGeneboost Best.- Nr. 2004011. 1. Aufbau Der Stromverstärker ist in ein Isoliergehäuse eingebaut. Er wird vom Netz (230 V/50 Hz, ohne Erdung) gespeist.
Geneboost Best.- Nr. 2004011 1. Aufbau Der Stromverstärker ist in ein Isoliergehäuse eingebaut. Er wird vom Netz (230 V/50 Hz, ohne Erdung) gespeist. An den BNC-Ausgangsbuchsen lässt sich mit einem störungsfreien
Mehr7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik
262 7. Differenzialrechnung 7.3 7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 7.3.1 Kinematik Bewegungsabläufe lassen sich durch das Weg-Zeit-Gesetz s = s (t) beschreiben. Die Momentangeschwindigkeit
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
Mehrgeben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen
geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde
MehrProjektdokumentation
Thema: Bildschärfung durch inverse Filterung von: Thorsten Küster 11027641 Lutz Kirberg 11023468 Gruppe: Ibv-team-5 Problemstellung: Bei der Übertragung von Kamerabildern über ein Video-Kabel kommt es
MehrUniversität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW
Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6
MehrBeispiel 48. 4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen
4.3.2 Zusammengesetzte Zufallsvariablen Beispiel 48 Ein Würfel werde zweimal geworfen. X bzw. Y bezeichne die Augenzahl im ersten bzw. zweiten Wurf. Sei Z := X + Y die Summe der gewürfelten Augenzahlen.
MehrExtrema von Funktionen in zwei Variablen
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
MehrElektrischer Widerstand
In diesem Versuch sollen Sie die Grundbegriffe und Grundlagen der Elektrizitätslehre wiederholen und anwenden. Sie werden unterschiedlichen Verfahren zur Messung ohmscher Widerstände kennen lernen, ihren
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrDas große ElterngeldPlus 1x1. Alles über das ElterngeldPlus. Wer kann ElterngeldPlus beantragen? ElterngeldPlus verstehen ein paar einleitende Fakten
Das große x -4 Alles über das Wer kann beantragen? Generell kann jeder beantragen! Eltern (Mütter UND Väter), die schon während ihrer Elternzeit wieder in Teilzeit arbeiten möchten. Eltern, die während
MehrRepetitionsaufgaben Wurzelgleichungen
Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen
MehrR C2 R B2 R C1 C 2. u A U B T 1 T 2 = 15 V. u E R R B1
Fachhochschule Gießen-Friedberg,Fachbereich Elektrotechnik 1 Elektronik-Praktikum Versuch 24: Astabile, monostabile und bistabile Kippschaltungen mit diskreten Bauelementen 1 Allgemeines Alle in diesem
MehrWechselstromwiderstände - Formeln
Wechselstromwiderstände - Formeln Y eitwert jω Induktiver Widerstand jω j ω Kapazitiver Widerstand X ω Induktiver Blindwiderstand X ω Kapazitiver Blindwiderstand U U U I di dt Idt Teilspannungen an Widerstand,
MehrPOGGENDORFSCHE KOMPENSATIONSMETHODE
Grundpraktikum der Physik Versuch Nr. 23 POGGENDORFSCHE KOMPENSATIONSMETHODE UND WHEATSTONE SCHE BRÜCKENSCHALTUNG Versuchsziel: Stromlose Messung ohmscher Widerstände und kapazitiver Blindwiderstände 1
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
Mehr