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1 iprom I NSTITUT FÜR PRODUKTIONSMESSTECHNIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG Messsignalverarbeitung im Maschinenbau SS Prof. Dr.-Ing. Rainer Tutsch Dipl.-Ing. Jan-Hinrich Eggers Version

2 Technische Universität Braunschweig Institut für Produktionsmesstechnik Schleinitzstraße 386 Braunschweig Telefon: (53) Telefax: (53) Internet:

3 Inhaltsverzeichnis Signale und ihre mathematische Beschreibung Klassifikation von Signalen Einzelne stationäre zeitdiskrete Signale Einzelnes, von einer Variablen abhängiges Signal Beschreibung deterministischer Signale im Zeitbereich: x=x(t) Beschreibung stochastischer Signale im Zeitbereich Beschreibung periodischer Signale im Frequenzbereich Beschreibung aperiodischer Signale im Frequenzbereich Beschreibung stochastischer Signale im Frequenzbereich Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung... 9 Dynamisches Verhalten von Messsystemen Lineares System. Ordnung Lineares System. Ordnung Testfunktionen Übertragungsfunktion Dynamische Messfehler Berechnung des dynamischen Messfehlers Dynamische Kenngrößen von Messsystemen Korrektur dynamischer Messfehler Dynamische Störwirkungen Bekämpfung dynamischer Störwirkungen Störunterdrückung durch Filterung Umsetzung Analog Digital Analog-Digital-Umsetzung (ADU) Grundprinzip der ADU: Abtast-Halte-Glied Parallelverfahren Kaskadenverfahren Wägeverfahren Kompensationsverfahren Single-Slope-Verfahren Dual-Slope-Verfahren Statische Kenngrößen von Analog-Digital-Umsetzern Dynamische Kenngrößen von Analog-Digital-Umsetzern Digital-Analog-Umsetzung (DAU) Parallelverfahren Wägeverfahren Zählverfahren Statische Kenngrößen von Digital-Analog-Umsetzern Dynamische Kenngrößen von Digital-Analog-Umsetzern

4 4 Analoge Filter Passive Filter Aktive Filter Realisierung von Filtern. Ordnung Realisierung von Filtern. Ordnung Programmierbare analoge Filter Digitale Filter Digitale Übertragungsfunktion digitale Filter mit verteilten Summierern digitale Filter mit einem globalen Summierer Finite-Impulse-Response-Filter (FIR) Bildverarbeitung Bildaufnahme CCD-Bildsensoren CMOS-Bildsensoren Datenübertragung Speicherformat Algorithmen zur Bildverarbeitung Punktoperationen Nachbarschaftsoperationen Morphologische Bildverarbeitung Fouriertransformation Optische Messtechnik Objekterkennung Wavelets Elektronische Datenverarbeitung Literatur

5 . Klassifikation von Signalen Signale und ihre mathematische Beschreibung Messsignale: Physikalische Größen am Ausgang eines Messsystems, die Informationen über das Messobjekt enthalten. Messsystem: Mindestens eine Messeinrichtung + Messobjekt Messeinrichtung: Mindestens ein Messgerät (+ Zusatzkomponenten) Messsignale können analog oder digital sein. Analoge Größen sind zu jedem Zeitpunkt definiert (zeitkontinuierlich) und können innerhalb eines Wertebereichs jeden Zwischenwert annehmen (wertkontinuierlich). Digitale Größen können nur jeweils einen von endlich vielen Werten annehmen (sie sind wertdiskret). Physikalische Größen sind im Allgemeinen analog. Im Rahmen dieser Vorlesung werden analoge Messsignale behandelt, wobei auch die Umsetzung in digitale Signale erläutert wird.. Klassifikation von Signalen deterministisch stochastisch Deterministische Signale sind mathematisch als Funktion der Zeit darstellbar und können vorherberechnet werden, wenn die Funktion bekannt ist. Stochastische Signale sind nicht vorherberechenbar. Sie können nur in Form von Wahrscheinlichkeitsaussagen beschrieben werden. periodisch aperiodisch (deterministische Signale) periodische Signale: Es gibt eine Periodendauer T, für die gilt: x(t+t)=x(t) stationär instationär Signale werden als stationär bezeichnet, wenn bestimmte Kenngrößen (z.b. der Mittelwert) zeitlich konstant sind. Die Signale müssen aber nicht konstant sein (dieser Spezialfall eines stationären Signals wird als Beharrung bezeichnet). einzelnes Signal mehrere Signale Diese Unterscheidung ist insbesondere bei sehr großer Anzahl parallel anfallender Signale von Bedeutung (z.b. elektronische Bildverarbeitung). Einzelne stationäre zeitdiskrete Signale Messgröße X, wahrer Wert x, Messwerte x, x,..., x n. Die Messwerte schwanken statistisch um den Erwartungswert µ. Der Erwartungswert ist im Allgemeinen nicht gleich dem wahren Wert der Messgröße, da systematische Fehler vorliegen können. Systematische Fehler sind jedoch durch Kalibrierung bestimmbar und können im Rahmen der geforderten Genauigkeit korrigiert werden: E s = µ x (.) µ kann nicht direkt gemessen werden. Bester Schätzwert ist der arithmetische Mittelwert: 5

6 x = n n x i i= Signale und ihre mathematische Beschreibung (.) Mit zunehmender Zahl von Messwerten nähert sich der Mittelwert dem Erwartungswert an: µ = lim x (.3) n Streuung S: ( x ) i x S = (.4) n Standardabweichung σ: i σ = lim S (.5) n Mittelwert ist ein Lageparameter, Standardabweichung ist ein Streuungsparameter. Weitere Kenngrößen können eingeführt werden. Weitere Information liefert die Häufigkeitsverteilung. Erläuterung zu Histogramm: Einteilung der n Messwerte in äquidistante Klassen, Zahl der Klassen etwa gleich n, Berechnung der relativen Häufigkeitsdichte h m der Messwerte im Intervall Nr. m: h m nm = (.6) n x Zeichnen des Balkendiagramms h m über x Grenzübergang Histogramm für n : Verteilungsdichtefunktion h(x) Die Wahrscheinlichkeit P(x < x x ) dafür, dass ein Messwert x im Intervall x < x x liegt, kann durch das Integral P ( x < x x ) = h( x) x n dx = lim (.7) n n x x x berechnet werden. Für alle Verteilungsdichtefunktionen gilt die Normierungsbedingung: ( x) dx = h (.8) Wahrscheinlichkeitsfunktion P(x): Stammfunktion von h(x): P ( x) h( x)dx = (.9) Erwartungswert: erstes Moment der Verteilungsdichte: µ = h ( x) x dx (.) Standardabweichung: zweites Moment der Verteilungsdichte: 6

7 .3 Einzelnes, von einer Variablen abhängiges Signal σ = h µ ( x)( x ) dx Spezielle Verteilungsdichtefunktion: Gaußsche Normalverteilung (.) ( x) x µ σ h = e Erwartungswert = µ, Standardabweichung = σ (.) πσ.3 Einzelnes, von einer Variablen abhängiges Signal Beispiel: Zeitabhängiges Signal x(t) Erwartungswert: quadratischer Mittelwert: T µ = lim x( t)dt T T (.3) T ψ = lim x ( t)dt T T (.4) T Varianz: = Ψ µ = lim ( x( t) µ ) dt Standardabweichung: σ T T (.5) σ Es ist nicht selbstverständlich, dass diese Grenzwerte überhaupt existieren. Nur für stationäre Signale existieren die Grenzwerte. Wenn einer der Grenzwerte nicht existiert, dann ist das Signal nicht stationär. Der Erwartungswert ist eine statische Komponente des zeitabhängigen Signals. Dagegen ist die Varianz ein Maß für die Variabilität des Signals..4 Beschreibung deterministischer Signale im Zeitbereich: x=x(t) Vier spezielle Funktionen: Die Impulsfunktion: ( t) auch Diracsche Delta-Funktion Die (Heavysidesche) Sprungfunktion: ( t) Die Anstiegsfunktion: ( t) es gilt: δ ( t) ε ( t) 7 für t < δ = lim für t t (.6) t t für t t für t ε = (.7) für t > für t ρ = (.8) t für t > ε = (.9) t = (.) t ( t) ρ( t)

8 Zu diesen drei Funktionen siehe auch Abbildung.5. Die harmonische Schwingung (allgemein): f ( t) = xˆ cos( ωt + φ) = ( xˆ cosφ ) cosωt ( xˆ sinφ) = Re i( ωt+ φ ) [ xe ˆ ] sinωt Signale und ihre mathematische Beschreibung (.) Die komplexe Schreibweise erlaubt elegante mathematische Umformungen. Das Symbol für den Realteil wird häufig weggelassen..5 Beschreibung stochastischer Signale im Zeitbereich Ein funktionaler Zusammenhang x=x(t) kann nicht angegeben werden. Das Signal werde aber als stationär angenommen. Analog zur Verteilungsdichte zur Charakterisierung der statistischen Fehler einer Messgröße kann die so genannte Amplitudendichtefunktion wie folgt definiert werden: Der Wertebereich, innerhalb dessen alle Werte des Signals liegen, wird in Klassen der Breite x aufgeteilt. Im Zeitintervall [;T] werden für die Klasse Nr. j alle Zeitabschnitte t i, i=,...,n j ermittelt, während derer der Wert des Signals innerhalb der betrachteten Klasse lag (siehe Abbildung.: Amplitudendichte eines Signals Abbildung.). Die relative Häufigkeit von Werten aus der Klasse Nr. j wird berechnet, indem alle diese Zeitabschnitte zusammengefasst werden: h = n i j t i xt i= 8 (.) Im Grenzübergang x, T wird daraus die im Allgemeinen stetige Amplitudendichte h(x): h lim ti (.3) xt ( x) = x T n j i=

9 .5 Beschreibung stochastischer Signale im Zeitbereich Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zu einem Zeitpunkt t ein Signalpegel im Intervall [x, x ] beobachtet wird, ist: P ( x x( t ) x ) = h( x)dx x (.4) x Aus der Amplitudendichte kann der Erwartungswert µ als erstes und die Varianz σ als zweites Moment berechnet werden: T µ = x( t) dt h( x) xdx T = (.5) T ( x( t) µ ) dt = h( x)( x µ ) dx σ = T (.6) Die Gleichungen.5 und.6 sind allgemein auch für deterministische Signale gültig. Die Amplitudendichtefunktion und die daraus abgeleiteten Lage- und Streuungskenngrößen enthalten Information über das stochastische Signal. Allerdings ist keine Information mehr über das zeitliche Verhalten vorhanden. Ein schnell veränderliches und ein langsam veränderliches Signal können dieselbe Amplitudendichte haben. Abbildung.: Zeiten, in denen die Sinusfunktion innerhalb des Intervalls [x, x+ x] liegt Beispiel: Amplitudendichtefunktion einer Sinusfunktion Die Amplitudendichtefunktion einer Sinusfunktion soll zunächst anschaulich bestimmt werden: Die Steigung der Sinusfunktion ist an den Nullstellen jeweils am größten. Der Funktionswert ändert 9

10 Signale und ihre mathematische Beschreibung sich hier also am schnellsten. Dementsprechend hat die Amplitudendichtefunktion hier ein Minimum. An den beiden Extremwerten bei - und hat die Sinusfunktion die Steigung Null. Daraus folgt, dass die Amplitudendichtefunktion hier jeweils eine Polstelle hat. Analytische Herleitung: Die Amplitudendichte ist definiert als: h ( x) Tx = lim lim x T T x (.7) Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt ein Signalpegel innerhalb eines bestimmten Intervalls beobachtet wird. Da die Sinusfunktion periodisch ist, genügt es, eine Periode zu betrachten. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt also: h ( x) Tx = lim x π x (.8) Wie aus Abbildung. ersichtlich, durchläuft die Sinusfunktion innerhalb einer Periode zweimal das Intervall [x, x+ x]. T x ist definitionsgemäß die Summe der Zeiten während derer sich die Sinusfunktion innerhalb des jeweiligen Intervalls befindet: h h h ( x) ( x) ( x) Ts = lim x π x arcsin = lim x arcsin = lim x ( x + x) arcsin( x) + arcsin( x + x) arcsin( x) ( x + x) arcsin( x) x π x Dieser Ausdruck besteht zum größten Teil aus der Definition der Ableitung: f ( x) ( x + x) f ( x) π (.9) (.3) (.3) f : = lim (.3) x x Es ergibt sich also: h ( x) = ( arcsin( x) ) (.33) π h ( x) = π x (siehe Abbildung.3) (.34)

11 .5 Beschreibung stochastischer Signale im Zeitbereich Abbildung.3: Amplitudendichtefunktion der Sinusfunktion Autokorrelationsfunktion: Maß für Erhaltungstendenz des Signals. Φ xx T lim T T (.35) ( τ ) = x( t) x( t + τ )dt T ( ) Φ ( ) x Φ τ (.36) xx xx = Das Maximum der Autokorrelationsfunktion liegt stets bei τ = ( ) ( x) x ( x) = Φ ( ) Φ ( ) Φ (.37) xx = σ (.38) = xx xx ( τ ) = Φ ( τ ) Φ xx xx (.39) Die Autokorrelationsfunktion ist stets symmetrisch

12 Signale und ihre mathematische Beschreibung Die Autokorrelationsfunktion ist deterministische Ersatzfunktion für das stochastische Signal. Periodische Anteile im Signal können in der Autokorrelationsfunktion extrahiert werden bzw. verrauschte periodische Signale können rekonstruiert werden. Die Autokorrelationsfunktion eines Rauschsignals fällt mit wachsendem τ ab und zwar umso schneller, je höher die dominierenden Frequenzanteile des Rauschens sind. Abbildung.5: Autokorrelierte eines stochastischen Signals Abbildung.6: Autokorrelierte eines niederfrequenten stochastischen Signals Abbildung.7: Autokorrelierte eines periodischen Signals Abbildung.4: Autokorrelierte eines periodischen Signals mit stochastischem Anteil

13 .6 Beschreibung periodischer Signale im Frequenzbereich.6 Beschreibung periodischer Signale im Frequenzbereich Periodisches Signal: x ( t) x( t + T ) Periodendauer: Frequenz: Winkelfrequenz: T = (.4) f = (.4) T ω = π f (.4) Fourier-Reihe als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen x a = n n (.43) ( t) x( t + T ) = + a cos( nω t) + b sin( nω t) mit n= n= π ω = T (.44) a b t T + n t ( t) cos( nω t)dt = x (.45) T t T + n t ( t) sin( nω t)dt = x (.46) T Die gesamte Information über das Signal x(t) ist in den Fourier-Koeffizienten a n und b n enthalten (Diskretes Amplitudenspektrum). Gleichanteil des Signals: a = x b (.47), = Alternative Darstellung: Fourier-Reihe als Summe von Kosinusschwingungen mit verschiedener Phasenlage x a ( t) = x( t + T ) = + c cos( n t + φ ) mit n n n n= n ω (.48) n c = a + b (.49) b n φ = n arctan (.5) an (Diskretes Amplituden- und Phasenspektrum) Fourier-Reihe in komplexer Schreibweise a = (.5) x n= inω t ( t) x( t + T ) = + c n e Mit 3

14 Signale und ihre mathematische Beschreibung c n t + T ω i( n t ( t) e ) dt = x (.5) T Es gilt t c n = a n ib n (.53) c n = an + bn = cn (.54) b n φ = n arctan =< cn (.55) an Periodische Signale haben stets diskrete Spektren. Abbildung.8: Äquivalente Darstellungsarten eines periodischen Signals nach [5].7 Beschreibung aperiodischer Signale im Frequenzbereich Zunächst wird ein Ausschnitt des Signals der Länge T betrachtet, der periodisch fortgesetzt wird. Periodisches Signal mit Periode T Diskretes Spektrum wie oben diskutiert. Wenn T vergrößert wird, wird das diskrete Spektrum dichter. π Spektrallinienabstand: ω = T (.56) 4

15 .7 Beschreibung aperiodischer Signale im Frequenzbereich Für T wird aus dem diskreten Spektrum ein kontinuierliches Spektrum. Aus der Fourier-Reihe wird dann die Fouriertransformation: iωt { x( t) } = x( ω) = x( t) e dt I (.57) x(ω) ist im Allgemeinen eine komplexe Größe ( Amplitudendichte). Darstellungsformen im Frequenzbereich mit vollständiger Information über das Signal x(t): Real- und Imaginärteil der Amplitudendichte oder Betrag und Phase der Amplitudendichte. x φ ( ω) Re [ x( ω) ] + Im [ x( ω) ] = (.58) ( ω) x( ω) [ x( ω) ] [ x( ω) ] Im =< = arctan (.59) Re Fourierrücktransformation x π i ( t) [ x( ω) ] x( ω) e ω t = I = dω (.6) Voraussetzung für die Existenz einer Fourier-Transformierten: x( t)dt existiert. Die Fourier-Transformation ermöglicht den Wechsel zwischen Zeitbereich und Frequenzbereich. Eigenschaften der Fouriertransformation im Folgenden wird eine abkürzende Schreibweise verwendet: s ( t) s( ) s( ω) = I{ s( t) } ω (.6) Superpositionssatz (Die Fouriertransformation ist ein lineares Funktional): s( t) + as ( t) s( ω) as( ω) a a + (.6) Die Fourier-Transformierte eines Produktes ist gleich der Faltung der Fourier-Transformierten: ( t) s ( t) ( ω) s ( ω) s s (.63) Die Fourier-Transformierte einer Faltung ist gleich dem Produkt der Fourier-Transformierten: ( t) s ( t) ( ω) s ( ω) s s (.64) Jede reelle Zeitfunktion kann eindeutig in eine gerade und eine ungerade Komponente zerlegt werden. Die Fouriertransformierte der geraden Komponente ist gleich dem Realteil der Fouriertransformierten der Funktion. Die Fouriertransformierte der ungeraden Komponente ist gleich dem Imaginärteil der Fouriertransformierten der Funktion. s ( t) = s ( t) + s ( t) mit s ( t) = [ s( t) + s( t) ] g u s u g ( t) = [ s( t) s( t) ] (.65) 5

16 s ( t) s ( ω) s g ( t) R { s( ω) } s ( t) { s( ω) } u Signale und ihre mathematische Beschreibung ii (.66) Die Fouriertransformierte der konjugiert Komplexen im Zeitbereich ist die konjugiert Komplexe mit negativem Argument im Frequenzbereich: s * * ( t) ( ω) s (.67) Ähnlichkeitssatz: Zeit- und Frequenzdarstellung verhalten sich reziprok. Breite Signale haben schmale Fouriertransformierte und umgekehrt. ( bt) s ω s (.68) b b Verschiebungssatz: Eine Verschiebung im Zeitbereich führt zu einer Phasenverschiebung im Frequenzbereich ( t ) i ω t s e s ( ω ) t (.69) Differentiation im Zeitbereich führt zu einer Multiplikation im Frequenzraum. Dies vereinfacht z.b. die Bearbeitung von Differentialgleichungen im Frequenzraum. d s( t) dt d dt n n s( t) Symmetrie ( t) i ω s ( ω ) (.7) s S ( ) S ( t ) ( iω ) n s ( ω ) (.7) ω ( ω) s (.7) Fourier-Transformierte von speziellen Funktionen: Rechteckfunktion s(t) = rect(t) s i ω iω ω e e sin ω iω ω iω t ( ω ) = e dt = = = si (.73) Impulsfunktion s(t) = δ(t) i ω t i ω s ( ω ) = δ ( t ) e dt = e = (.74) Daraus kann mit Hilfe der bekannten Eigenschaften der Fouriertransformation abgeleitet werden: δ ( t ) (.75) δ ( ω ) = δ ( ω ) (.76) ( t + T ) iω T δ e = cos ( ω T ) + i sin ( ω T ) (.77) Mit dieser Gleichung erhält man für harmonische Funktionen: 6

17 .7 Beschreibung aperiodischer Signale im Frequenzbereich ( Ωt) cos δ ( ω + Ω ) + δ ( ω Ω ) ( Ωt) i sin δ ( ω + Ω ) δ ( ω Ω ) i Kammfunktion (Dirac-Stoßfolge): (.78) (.79) C ( t ) = δ ( t n ) (.8) ( t) n = C + cos ( n ω ) = δ ( ω n ) = C ( ω ) (.8) Laplacetransformation n = n = Voraussetzung: kausale Signale, d.h.: x(t)= für t< x st ( s ) L { x ( t )} = x ( t ) e dt = δ wirkt als Dämpfungsparameter. Rücktransformation: mit s = δ + iω (.8) x π i δ + i st ( t ) = L { x ( s )} = x ( s ) e ds (.83) δ i Zur Berechnung der Laplacetransformation und der Rücktransformation stehen Tabellenwerke und Mathematik-Software zur Verfügung. Die Laplacefunktion ist wie die Fouriertransformation eine Transformation zwischen der Darstellung einer Funktion im Zeit- bzw. im Frequenzbereich. Auch die Laplacefunktion ist ein lineares Funktional (verallgemeinerte Funktion, deren Definitions- und Wertebereich Mengen von Funktionen sind). Viele Funktionen, für die keine Fouriertransformierte existiert, können mittels der Laplacetransformation in den Frequenzbereich transformiert werden. Wir werden im Folgenden sowohl für Fourier- als auch für Laplacetransformation das Symbol verwenden. Korrelation und Faltung Eine typische Aufgabe beim Vergleich zweier Signale s(t) und g(t) besteht darin, ein Ähnlichkeitsmaß zu definieren. Eine Möglichkeit besteht darin, zunächst die Differenz zu betrachten: (t) = s(t) - g(t). Als vorzeichenneutrales Abstandmaß kann das Integral über das quadrierte Differenzsignal benutzt werden. Dieses ist physikalisch als Energie des Differenzsignals interpretierbar: = ( s( t ) g ( t )) dt = s ( t ) dt + g ( t ) dt s( t ) g ( t ) dt = E s + E g P (.84) sg E P sg : Korrelationskoeffizient von s(t) und g(t), umso größer, je ähnlicher die beiden Funktionen sind. Der normierte Korrelationskoeffizient: P E sg = E s( t ) g ( t ) dt (.85) s E g liegt stets zwischen (keine Ähnlichkeit) und (Identität). 7

18 Signale und ihre mathematische Beschreibung Als Erweiterung dieses Ansatzes kann eine Relativverschiebung der beiden Funktionen auf der Zeitachse eingeführt werden, wobei die Korrelationsfunktion erhalten wird. P sg = = ( τ ) s( t ) g ( t + τ ) dt s( τ ) g ( τ ) (.86) Dabei werden anschaulich gesprochen die Verschiebungen gesucht, für die die beiden Signale am besten zusammenpassen (Maxima der Korrelationsfunktion). Als weitere Variation bei diesem Signalvergleich kann eines der beiden Signale in der Zeit gespiegelt werden: s(τ) s(-τ) s( τ ) g ( τ ) = s( τ ) g ( τ ) s( τ ) g( τ ) = s( τ ) ( τ ) g (.87) Damit geht die Korrelationsfunktion über in die Faltung s ( τ )* g ( τ ) s( t ) g ( τ t )dt (.88) =.8 Beschreibung stochastischer Signale im Frequenzbereich Die Autokorrelationsfunktion T φ xx( τ ) = lim x( t) x( t + τ )dt T T (.89) T beschreibt das stochastische Signal im Zeitbereich. Wird diese Gleichung durch Anwendung der Fouriertransformation in den Frequenzbereich transformiert, erhält man die Spektrale Leistungsdichte: S xx ( ω ) = I { φ ( τ )} = i ( τ ) e ω t d τ (.9) xx Φ xx Da Φ xx (t) eine gerade reelle Funktion ist, ist auch S xx (ω) eine gerade reelle Funktion. Daher gilt: S xx ( ω ) = Φ ( τ ) cos ( ωτ ) d τ (.9) xx Rücktransformation: Φ xx bzw. i ( τ ) = S ( ω ) e ωτ d ω (.9) π π xx Φ ( τ ) = ( ω ) cos ( ωτ ) d ω (.93) xx S xx S xx (ω) kann physikalisch als die auf die Frequenzen ω verteilte Leistungsdichte des Signals interpretiert werden. 8

19 .9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung x = φ xx π π ( ) = S xx ( ω ) d ω = S xx ( ω ) d ω (.94) Eine schnell abfallende Autokorrelationsfunktion steht für geringe Erhaltungstendenz des Signals. In der spektralen Leistungsdichte macht sich das dadurch bemerkbar, dass auch bei großen Frequenzen noch Beiträge der Signalleistung liegen, d.h. die spektrale Leistungsdichte breitbandig ist..9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung Abbildung.9: Abtastung eines bandbegrenzten Signals Digitalisierung einer Messgröße: Diskretisierung eines werte- und zeitkontinuierlichen Signals in ein werte- und zeitdiskretes Signal. Diskretisierung in der Zeit Abtastung kann durch Multiplikation mit einer Abtastfunktion (zunächst beliebige periodische Funktion) beschrieben werden. inω t ( t) c n e n= p = (.95) mit Tastkreisfrequenz: Signal π ω = T (.96) x(t) cn n= Getastetes Signal: * in t ( ) ( ) ω x t = x t e (.97) 9

20 Signale und ihre mathematische Beschreibung * Die Laplacetransformierte: x ( s) c x( s inω ) = n= n (.98) Ideale Abtastung: Abtastung mit regelmäßiger Folge von Dirac-Stößen Multiplikation mit einer Kammfunktion. ( s) = x( s in ) x * T n= ω (.99) Die abgetastete Funktion besteht im Frequenzbereich aus einer unendlichen Abfolge gleicher Spektralbänder im Abstand ω. Solange die Abtastfrequenz größer als die doppelte Grenzfrequenz des Signals x(t) ist, beeinflussen die Spektralbänder sich nicht gegenseitig. Dies ist der Kern des Abtasttheorems nach Shannon. Das Abtasttheorem nach Shannon Ein beliebiges bandbegrenztes Signal f(t) enthält eine maximale obere Frequenz f g. Dementsprechend ist die Fouriertransformierte des Signals F(ω) durch die zugehörige Abbildung.: Ein bandbegrenztes Signal mit seiner Fouriertransformierten Kreisfrequenz ω g begrenzt (siehe Abbildung.). Zu beachten ist, dass die Definition der Fouriertransformation einer reellen Funktion ein zur Frequenz Null symmetrisches Spektrum liefert. Entsprechend wurde hier die Fourieranalyse, im Gegensatz zu einigen Literaturstellen, mit einem symmetrischen Spektrum definiert. Die Fouriertransformierte einer Folge von Dirac-Pulsen, der sogenannten Kammfunktion ш(t), wurde schon hergeleitet: Es handelt sich ebenfalls um eine Kammfunktion (siehe Abbildung.). Ist T die Periodendauer von ш(t), so haben bei Ш(ω) die einzelnen Pulse den Abstand der Kreisfrequenz ω a, die sich aus T ergibt: π ωa = (.) T

21 .9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung Abbildung.: Die Kammfunktion und ihre Fouriertransformierte Mathematisch wird die Abtastung eines Signals im Zeitbereich durch die Bildung des Produkts aus der Signalfunktion f(t) und der Kammfunktion ш(t) beschrieben. Dieses Produkt im Zeitbereich entspricht im Frequenzbereich einer Faltung. Wegen der einzelnen Dirac-Pulse, aus denen die Kammfunktion besteht, lässt sich diese Faltung anschaulich bestimmen. Bildet man das Produkt aus einem Dirac-Puls δ(τ) und einer Funktion f(τ), und integriert über den Puls hinweg, so ist das Ergebnis dieses Integrals gerade der Funktionswert an der Stelle Null, da dieser Wert durch den Puls herausgepickt wird: ( ) δ ( τ ) dτ f () f τ = (.) Wird der Puls um eine Konstante t verschoben, so erhält man als Ergebnis dieser Integration den Funktionswert an der Stelle t: ( ) δ ( τ t) dτ f (t) f τ = (.) Der Dirac-Puls ist symmetrisch: ( t τ ) = δ ( τ t) δ (.3) ( ) δ ( t τ ) dτ f ( t) f τ = (.4) ( t) ( t) f ( t) f δ = (.5) An diesem Beispiel wird deutlich, dass zur Berechnung der Faltung zweier Funktionen zwar die Integrationsvariable τ benötigt wird, dass das Ergebnis aber wieder eine Funktion der Zeit ist. Dies gilt analog auch für eine Faltung im Frequenzbereich. ( ) δ ( t + n T τ ) dτ = f ( t + n T ) n =, ±, ±,... f τ (.6) ( t) ( t + n T ) = f ( t + n T ) f δ (.7) Faltet man also eine Funktion F(ω) mit einem Dirac-Puls δ(ω), so erhält man eine Kopie von F(ω). Wenn F(ω) nun die Fouriertransformierte einer bandbegrenzten Funktionen f(t) ist, so ist sie symmetrisch (siehe auch Abbildung.). Die Faltung von F(ω) mit dem Dirac-Puls δ(ω) ergibt also eine Kopie von F(ω). Da dies für jede beliebige Lage des Pulses gilt, ergibt die Faltung von F(ω) mit der Kammfunktion Ш(ω) eine Folge von Kopien von F(ω), wobei die einzelnen Kopien gerade den Abstand der Pulse haben (siehe Abbildung. oben).

22 Signale und ihre mathematische Beschreibung In der obersten Zeile von Abbildung. gilt ω a = ω g, sodass sich die einzelnen Kopien von F(ω) gerade nicht überschneiden. In der mittleren Zeile ist ω a > ω g, sodass zwischen den einzelnen Kopien noch Platz ist. In der untersten Zeile ist ω a < ω g, sodass sich die einzelnen Kopien überschneiden. Jede Kopie von F(ω) enthält die vollständige Information, über das Signal f(t). Die Rekonstruktion von f(t) ist nur möglich, wenn keine Überschneidungen, wie sie in der untersten Zeile dargestellt sind, auftreten. Denn solche Überschneidungen lassen sich nicht herausfiltern. Und es werden die Anteile des Signals, die die zu den Frequenzen größer als ω a gehören in den Frequenzbereich kleiner als ω a transformiert, wo sie sich dem ursprünglichen Signal überlagern und Abbildung.: Die Fouriertransformierten einer abgetasteten Funktion bei verschiedenen Abtastfrequenzen dieses verfälschen. Im Frequenzbereich müssen die einzelnen Pulse von Ш(ω) also mindestens den Abstand ω g haben, sonst überschneiden sich die Kopien von Ш(ω). Diese Forderung ist analog zu dem Abtastheorem von Shannon: Ein bandbegrenzetes Signal kann vollständig aus den abgetasteten Werten rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz mindestens doppelt so groß ist, wie die höchste in dem Signal enthaltene Frequenz. Diese Bedingung ist hinreichend aber nicht notwendig. Die doppelte Grenzfrequenz ω g wird auch als Nyquist-Frequenz bezeichnet. Zu beachten ist, dass die Abtastfrequenz größer sein muss, als die Nyquist-Frequenz. Wird. z.b. eine reiner Sinus mit genau dem doppelten seiner Frequenz abgetastet, so kann die Funktion nicht aus den abgetasteten Werten rekonstruiert werden, wenn die Abtastung jeweils genau im Nulldurchgang erfolgt. (siehe Abbildung.3)

23 .9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung Abbildung.3: Die Abtastung mit doppelter Signalfrequenz ist nicht ausreichend Abtastung mit realen Pulsen Technisch realisierbare Pulse haben eine endliche Impulsbreite b. Bei einer Impulshöhe von /b ist die Fläche unter dem Puls. Ein solcher Puls lässt sich aus der Rechteckfunkion ableiten: t p ( t) = rect (.8) b b Für die weiteren Betrachtungen sei angenommen, dass mit der Pulsfunktion p(t) abgetastet werde. Diese periodische Funktion besteht aus einer Folge von Pulsen, welche die Form von p (t) haben. Auch hier beträgt die Periodendauer T (siehe Abbildung.4). Die reale Abtastfunktion p(t) kann modelliert werden, indem man die gestreckte Rechteckfunktion p (t) mit der Kammfunktion faltet: t p t = rect t b b ( ) *Ш ( ) (.9) Analog zu der idealen Abtastung erhält man das Frequenzspektrum durch Produktbildung und Fouriertransformation: t ft t f t rect t b b F t t ( ) = ( ) Ш ( ) ( ) F ( ) ( ωb) sin ω = ω * Ш ( ω) ωb ( ) ( ) = ( )* si( ) Ш ( ) Abbildung.4: Pulsfunktion p(t) (.) (.) F ω F ω ωb ω (.) 3

24 Signale und ihre mathematische Beschreibung Die zweite Funktion, aus der die Faltung gebildet wird, ist wegen der schon besprochenen Eigenschaften von δ(ω) eine Folge von Pulsen. Dabei entspricht die Höhe eines Pulses jeweils dem Wert der si-funktion an der Stelle des Pulses siehe (Abbildung.5); die si-funktion ist die Einhüllende der Abtastpulse. In der Regel ist die Länge der Abtastpulse im Verhältnis zur gesamten Abtastdauer so kurz, dass sich der Abfall der einhüllenden si-funktion nicht unmittelbar bemerkbar macht. Es treten zwei Spezialfälle auf: Bei b T π = = (.3) ω a ist die Abtastdauer genauso lang, wie die Abtastperiode. Der si-term fällt dann schnell ab und wird bei ω = ω a zu Null, und damit auch der Anteil der Frequenz ω a. Das abgetastete Signal wird umso schwächer, je höher die Signalfrequenz ist, und verschwindet bei der Nyquist-Frequenz. Bei b = wird der si-term zu Eins und es handelt sich um eine ideale Abtastung. Abbildung.5: Von si-funktion eingehüllte Tastpulse Endliche Dauer der Abtastung Mathematisch wird die in der Realität begrenzte Dauer einer Messung durch die Multiplikation einer Rechteckfunktion rect(t) mit der abgetasteten Funktion f(t) beschrieben. Um eine Rechteckfunktion zu erhalten, die bei t= beginnt, und bei der der Funktionswert für die Dauer D Eins ist, muss die Funktion um ½ verschoben und um D gestreckt werden (siehe Abbildung.6). 4

25 .9 Beschreibung von Signalen durch Impulsreihen Abtastung Abbildung.6: Die zugehörige Fouriertransformierte erhält man dann durch die Anwendung des Verschiebungsund des Ähnlichkeitssatzes: t D D D si ωd e (.4) iωd / rect ( ) Im Frequenzbereich muss F(ω) (siehe Abbildung.) also zusätzlich noch mit der si-funktion gefaltet werden. Jeder Kopie von F(ω) (siehe Abbildung.) wird zusätzlich noch eine si- Funktion aufgeprägt (siehe Abbildung.7). Abbildung.7: Verlauf der si-funktion Da die si-funktion aber nicht Null wird, überlappen die einzelnen Faltungen in jedem Fall. Der Verlauf einer Funktion kann also nicht vollständig rekonstruiert werden, wenn nur eine endliche Zeit lang abgetastet wurde. Anschaulich kann man keine Aussage über den Verlauf eines Signals außerhalb der Zeit machen, in der man es erfasst hat. 5

26 Signale und ihre mathematische Beschreibung Mit kleinerem Zeitfenster wird die si-funktion breiter. Dies ergibt sich aus der oben angegebenen Gleichung. Bei breiteren si-funktionen ist die Überlappung an den Rändern der Faltungen im Frequenzbereich größer, und das rekonstruierte Signal wird noch schlechter. 6

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