Versuchsplan: Zahlen' sortieren

Transkript

1 Versuchsplan: Zahlen' srtieren HANS RIEDWYL UND MANUELA SCHALLER, BERN Zusammenfassung: Chris du Feu [1] berichtet vn einem Versuch, bei dem verschieden lange Flgen vn Zufallszahlen durch Persnen in aufsteigende Reihenflgen srtiert werden. Wir haben diesen Versuch wiederhlt. Die Auswertung sllte jedch in einem erweiterten Rahmen stattfinden, daher bereiteten wir den Versuch mit Hi/fe der Therie der Versuchsplanung vr. Zudem haben wir bei der Auswertung mehrere Faktren zugelassen und eine mögliche Kvariable knstruiert. Im Versuch sind zuerst VOn 5 Einzelpersnen 25 Zufallsflgen der Länge 5,, 12, 2 und 3 srtiert wrden. Im Flgenden stellen wir einen Versuchsplan im sgenannten lateinischen Quadrat vr und interpretieren die Ergebnisse. Die dppelt lgarithmisch transfrmierten Daten erfllen die einfach lineare Regressinsbeziehung gut, dies zeigt auch ein Test "Mangel an Anpassung H. Wir prüfen den Einfluss einer Kvariablen, der Serien und der Umfange deren Bl6cke, swie den Effekt der 5 Versuchspersnen. Die Daten können im Weiteren auf Nichtadditivitat geprüft werden. Alle Mdelle werden als Spezia/falle der multiplen Regressin betrachtet. 1. Ausgangslage, Ziel Es besteht die Vennutung, dass zwischen dem Umfang einer Menge vn Zufallszahlen und der Zeit, welche man benötigt um diese Zahlen in aufsteigender Flge zu rdnen, eine gewisse Abhängigkeit besteht. Mittels des hier vrgestellten Versuchsplanes versuchen wir die Fnn dieser Abhängigkeit zu eruieren. 2. Versuchsanlage 2.1 Untersuchungsmerkmal Es sll die Zeit gemessen werden, weiche eine Persn benötigt um eine bestimmte Anzahl runfstelliger Zufallszahlen in aufsteigender Flge zu rdnen. 2.2 Versuchsplan Man lässt 5 verschiedene Serien vn Zufallszahlen rdnen. Diese 5 Serien bestehen je aus 5 Blöcken mit verschiedenen Zahlenumfangen; wir nehmen Blöcke a 5,, 12, 2 und 3 Zufallszahlen. Diese Blöcke lassen wir vn 5 verschiedenen Persnen flgendennassen rdnen. Jede Persn muss vn jeder Serie einen Blck rdnen, s dass sie schlussendlich je einen Blck a 5,, 12, 2 und 3 Zufallszahlen gerdnet hat. Dies wird erreicht, indem die Persnen gemäss einem lateinischen Quadrat (Tabelle 1) zufiillig auf die Serien und Blöcke zugeteilt werden, wbei die 5 Persnen mit a, b, c, d und e bezeichnet werden. Anz. Zahlen Serie 1 a b c d e Serie 2 e a b c d Serie 3 d e a b c Serie 4 c d e a b Serie 5 b c d e a Tabelle 1: lateinisches Quadrat Interessiert man sich rur die Abhängigkeit einer Zielgrösse Y vn drei Faktren A, B und C, s kann durch die Anwendung eines lateinischen Quadrates die Anzahl der ntwendigen Versuchseinheiten gering gehalten werden. Die Versuchsanrdnung ist derart, dass jede Stufenkmbinatin vn A und B genau einmal auftritt. Ebens verhält es sich mit den Stufenkmbinatinen vn A und C respektive vn B und C. Es kmmen jedch nicht alle Stufenkmbinatinen aller drei Faktren vr, denn dazu wären nch mehr Versuchseinheiten ntwendig. Vraussetzung rur die Anwendung dieses Versuchsplanes ist, dass alle Faktren die gleiche Anzahl Stufen besitzen. Im Weiteren wird angenmmen, zwischen den drei Faktren gebe es keine Wechselwirkungen. 2.3 Einflussgrössen Ein Faktr, weicher bestimmt einen Einfluss auf die Zeit hat, ist eine Art Vrgerdnetheit der Zahlen. Eventuell könnte auch die Grösse der Zahlen einen Einfluss haben, denn fiinfstellige Zufallszahlen beinhalten auch Zahlen mit weniger als funf Ziffern, z. B. drei- der vierstellige. Es lässt sich annehmen, dass der Einfluss der Grösse einer Zahl bereits in SiS 2 (2) Heft 3 23

2 der Vrgerdnetheit enthalten ist. Eine Kvariable fur die Vrgerdnetheit lässt sich wie flgt entwikkein: In der zufälligen Anrdnung wird ausgezählt, wieviele Zahlenpaare sich in falscher relativer Ordnung befinden. Beispiel: Serie 1, Blck a 5 Zahlen drei der flgenden Zahlen sind < ~ zwei der flgenden Zahlen sind < ~ zwei der flgenden Zahlen sind < ~ die flgende Zahl ist < 244 ~ ~ Die Summe davn ergibt unsere Kvariable ~ Daraus resultiert die in Tabelle 2 aufgefuhrte Kvariable. Anz. Zahlen Serie Serie Serie Serie Serie r Tabelle 2: Kvariable 2.4 Randmisierung Bei der Durchfiihrung eines Versuches sllte darauf geachtet werden, dass systematische Abhängigkeiten s gut wie möglich eliminiert werden. Dies erreicht man durch Randmisierung, d. h. die Serien, die Blöcke und die Persnen müssen zufallig zugerdnet werden. Dies wird nun flgendermassen bewerkstelligt: In diesem lateinischen Quadrat möchte man zuerst ~ie Zeilen, welche die Serien beschreiben, permutieren. Dazu weist man jeder Zeile eine feste Zufallszahl zu. Diese Zufallszahlen werden in aufsteigender Flge gerdnet. Smit erhalten wir bereits eine Permutatin der Zeilen, welche der Tabelle 3 entnmmen werden kann. Serie gerdnet: Serie 2 Serie Serie 5 Serie Serie 3 Serie Serie 4 Serie Serie 1 Das gleiche Verfahren wird auf die Blöcke und die Persnen angewandt. Smit erhält man eine Möglichkeit vn einem randmisierten lateinischen Quadrat, wbei die Persnen wie nachflgend aufgelistet, zugeteilt werden: b Persn 1 a Persn 2 c Persn 3 d Persn 4 e Persn 5 Tabelle 4 stellt nun das endgültige randmisierte lateinische Quadrat dar. Anz. Zahlen Serie 2 c b d a e Serie 5 e d a c b Serie 3 b a c e d Serie 4 a e b d c Serie 1 d c e b a Tabelle 4: randrnisiertes lateinisches Quadrat 2.5 Mdell In diesem Versuch interessiert man sich fur die benötigte Zeit, welche eingesetzt werden muss, um Zufallszahlen zu rdnen, in Abhängigkeit des Umfangs (Faktr A) der Menge der Zufallszahlen. Dabei werden die Serien (Faktr B) und die Persnen (Faktr C) als Blckfaktren mitberücksichtigt. Durch die Anwendung des lateinischen Quadrates und mit der vrgenmmenen Randmisierung wird allerdings schn versucht diese Faktren möglichst auszuschalten. Damit sll festgehalten werden, dass aufgrund der zufälligen Zuweisung der zu rdnenden Serien und Blöcke Einflüsse, wie z.b. der Anlemfaktr in jeder Serie der in jedem Blck in allen Ausprägungen vrhanden sind und deshalb keinen systematischen Fehler mehr darstellen. Aus diesem Grund ist zu erwarten, dass die beiden Faktren Serie und Persn keinen stark signifikanten Einfluss aufweisen. Die genannten Faktren werden deshalb aber nicht gleich aus der Auswertung ausgeschlssen, denn unter deren Berücksichtigung wird die Präzisin des Mdelles höher ausfallen, d.h., die Varianzen der zu schätzenden Parameter können kleiner gehalten werden. Man betrachtet das vlle Mdell Tabelle 3: Permutatin der Zeilen 24 SiS 2 (2) Heft 3

3 rur gewisse 1:S; i, j, k:s; 5. Diese gewissen Indexkmbinatinen. sind im vrher bestimmten lateinischen Quadrat festgehalten. Für die Residuen gilt die Verteilungsannahme E jjk - N(O,cr 2 ). Die letzte Faktrstufe wird jeweils als Referenzstufe gewählt, d. h. rur die Parameter gilt: ß~ =ß~ =ß; =. Mit einer geeigneten Kdierung mit Dummy Variablen kann man dieses Mdell als Regressinsmdell ausdrücken. Das bedeutet, wir rdnen jeder Messung eine Variable zu, welche die Werte der I annimmt. Diese sgenannte Dummy Variable besitzt die flgende Gestalt, A 1 ZI = rur die Bebachtungen auf der l-ten Stufe vn Faktr A { rur alle anderen Bebachtungen Wir setzen die Zeit (bzw. In(Zeit» als Zielgrösse und die Dummy-Variablen als Einflussgrössen. Die Variable zt steht als fiir die erste Serie (erste Stufe des Faktrs Serie) und ßt bezeichnet den zugehörigen Keffizienten. Im Weiteren geht es darum zu überprüfen., b die verschiedenen Faktren signifikante Einflüsse aufweisen. Dies wird durch eine Varianzanalyse bestimmt. Man möchte die Nullhypthese, dass der Faktr A keinen Einfluss hat, überprüfen. H: ßt =ß~ =ß~ =ß~ = Das entsprechende Nullmdelllautet: 3. Durchführung Die Zahlen werden der Versuchspersn in der zufa.iiigen Reihenflge, welche vm Cmputer geliefert wurde, untereinander aufgelegt und verdeckt. Die Persn., welche die Zeit misst, gibt der Versuchspersn ein Startzeichen. Die Versuchspersn deckt die Zahlen auf, rdnet sie und gibt dem Zeitmessenden ein Zeichen, wenn die Zahlen untereinander in aufsteigender Flge gerdnet sind. 4. Datenerfassung Fünf Bilgiestudenten stellten sich freiwillig als Versuchspersnen zur VerfUgung. Die Tabelle 5 enthält die Ergebnisse des Versuchs. Zeit [sec] Serie Serie l Serie l l. Serie Serie Tabelle 5: gemessene Zeiten gemäss dem lateinischen Quadrat vn Tabelle 4 5. Resultate Aus der Abbildung 1 ist gut ersichtlich, dass die Rhdaten ntwendige Vraussetzungen, um eine brauchbare Auswertung durchfuhren zu können, nicht erfiillen. Eine dppelte lgarithmische Transfrmatin stabilisiert die Varianz und bewirkt eine gewisse Linearität des Zusammenhangs der Daten. Aus den Fehlersummenquadraten des vllen Mdells und des Nullmdells wird nun die F-Teststatistik berechnet. Der resultierende F-Wert wird mit dem (1-.) -Quantil der F-Verteilung mit entsprechenden Freiheitsgraden verglichen. Der Vergleich entscheidet nun, b die Nullhypthese verwrfen der angenmmen wird, bzw. b der Faktr A Einfluss hat der nicht. Die Faktren B und C werden analg beurteilt. Ausruhrlichere Angaben zu Versuchsplänen und den ben genannten Mdellen und Methden können im Buch vn Ambühl und Riedwyl [2] eingesehen werden '! N «l. 2.. e 1 B 2 Umfang 3 «l SiS 2 (2) Heft 3 25

4 i5. 4.:5 e 4. CI 3.:5 e p CD N 3. Z -l U : : :5 3D 3.:5 4. LN (Umfang) Abbildung 1: Rhdaten und transfnnierte Daten Das lateinische Quadrat wird mittels Regressin und Varianzanalyse ausgewertet. Daraus ergeben sich die flgenden Resultate. Zuerst wird untersucht, b die Kvariable eine erklärende Grösse darstellt. Dazu wird das vlle Mdell mit der Kvariablen gegen das vlle Mdell hne Kvariable getestet. Das Ergebnis kann der Tabelle 6 entnmmen werden. Mdell mit Kvariable Mdell hne Kvariable Tabelle 6: Varianzanalyse: vlles Mdell mit Kvariable versus vlles Mdell hne Kvariable Die Kvariable stellt sich als nicht signifikant heraus und wird daher eliminiert. Im Weiteren wird der Einfluss der übrigen bekannten Grössen bezüglich des Mdells hne Kvariable mit einer Varianzanalyse überprüft (fabelle 7). Persnen Serien Umfange Rest l3 12 Gesamt 2l Tabelle 7: Varianzanalyse Es stellt sich heraus, dass der Einfluss vn Persnen und Serien mit Hilfe des angewandten Versuchsplanes tatsächlich sehr gering ausfallt. Die Umfänge jedch haben einen sehr grssen F-Wert, zeigen sich als als stark signifikant. Man berechnet daher ein neues Mdell mit In(Zeit) als Zielgrösse und In(Umfang) als einzige Einflussgrösse. ln(zeit) = ct + ß ln(umfang) Man fuhrt einen "Mangel an Anpassung"-Test (Tabelle ) durch, um sich davn zu überzeugen, dass dieses Mdell genügend erklärt. Die Idee dieses Tests ist, dass man überprüft, b die Gruppenmittelwerte genügend genau auf der Regressinsgeraden liegen, d.h. die Abweichung der Gruppenmittelwerte vn der Regressinsgeraden darf nicht zu grss sein im Verhältnis zur Abweichung der Werte einer Gruppe vn ihrem jeweiligen Mittelwert. Man vergleicht als das Mdell Y ji = ~j + E ji (j = l,...,k; i = l,...,n) (I) wbei E ji - N (, er 2 ), mit dem Mdell Y ji =ct+ß X ji +E ji (j=l,...,k;i = l,...,n) (2) wiederum mit E ji - N(,er 2 ). Hier bezeichnet k die Anzahl Gruppen, n j die Anzahl Bebachtungen der j-ten Gruppe und x ji, Y ji und E ji die entsprechenden Bebachtungen und Fehlerterme. Der gewünschte Entscheid zur Nullhypthese, dass kein Unterschied zwischen den beiden Mdellen besteht, wird aus dem Vergleich der minimalen Summenquadrate S~ aus Mdell (I) und SMin aus Mdell (2) getallt. Regressin Mittelwerts vergleich Reduktin Tabelle : Mangel an Anpassung Das in Tabelle vrliegende Ergebnis zeigt, dass die gemessenen Bebachtungen hinreichend gut durch das angenmmene Mdell ln(zeit) = ct + ß ln(umfang) beschrieben werden. 26 SiS 2 (2) Heft 3

5 ANaVA Freiheitsgrade Quadratsummen F-Wert P-Wert Regressin E-17 Residuen Gesamt Keffizienten Standardfehler t-statistik P-Wert Schnittpunkt LN(Umfang) E-17 Tabelle 9: Regressin und Varianzanalyse des endgültigen Mdells 6. Zusammenfassung Literatur Aus den gewnnenen Resultaten ist ersichtlich, dass nur der Umfang der Zahlenflgen einen stark signifikanten Einfluss aufweist. Die Persnen und Serien sind nur schwach an der Erklärung der gemessenen Zeiten beteiligt, was wir durch Anwenden des randmisierten lateinischen Quadrates erreichen wllten. Vn der Kvariable kann man behaupten, dass sie nicht das geringste zur Rechtfertigung der Werte beiträgt. Das Mdell wird nun als einzig und allein auf dem Einfluss der Anzahl Zufallszahlen aufgebaut. Dazu wird die Regressin vn Tabelle 9 berechnet, wmit sich auch die ben aufgeruhrte Testgrösse berechnen lässt, welche Auskunft gibt über die Anpassung. Aus dieser Testgrösse kann geschlssen werden, dass die gemessenen Werte durch die in Tabelle 9 angegebene Regressin gut erklärt sind. Daraus lässt sich nun die flgende Relatin mit zugehörigen Standardabweichungen der Keffizienten ablesen: ln(zeit) = ln(umfang) (.163) (.63) Es resultiert die flgende Frmel rur die Zeit In Abhängigkeit des Umfangs: Zeit =.624 (Umfang) [1] du Feu, C. (1999): A Srt f Statistics Lessn. In: Teaching Statistics 21(H.l), S. -1 [2] Ambühl, M.; Riedwyl, H. (2): Statistische Auswertungen mit Regressinsprgrammen. München: Oldenburg Adresse der Autren Prf Dr. Hans Riedwyl Universität Bem Institut rur Mathematische Statistik und Versicherungslehre Sidlerstrasse 5 CH-312 Bem hans.riedwyl@stat.unibe.ch Manuela Schaller Universität Bem Institut rur Mathematische Statistik und Versicherungs lehre Sidlerstrasse 5 CH-312 Bem manuela.schaller@stat.unibe.ch SiS 2 (2) Heft 3 27