Abitur 2011 G8 Abitur Mathematik Geometrie V

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1 Seite 1 Seite 2 Abitur 211 G8 Abitur Mathematik Geometrie V In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 6 ), B( 8 6 6) und C( 8 6) gegeben. Teilaufgabe 1a (8 BE) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, die durch die Punkte A, B und C bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat E? Berechnen Sie die Größe des Winkels ϕ, unter dem E die x 1 x 2 -Ebene schneidet. (mögliche Teilergebnisse: E : x 1 + x = ; ϕ 6, 9 ) Teilaufgabe 1b (6 BE) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung O mit den Punkten A, B und C ein Rechteck O A B C festlegt. Bestätigen Sie, dass dieses Rechteck den Flächeninhalt 6 besitzt, und zeichnen Sie es in ein Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. Teilaufgabe 1d ( BE) Weisen Sie nach, dass der Hubschrauber mit einem konstanten Abstand von 2 m zum Hang fliegt. Teilaufgabe 1e (5 BE) Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt M( ) dargestellt wird. Im Mittelpunkt des Grundstücks wird ein Mast errichtet, der durch vier an seiner Spitze befestigte Seile gehalten wird. Die Verankerungspunkte der Seile im Grundstücksboden sind jeweils 15 m vom Mastfußpunkt entfernt und liegen von diesem aus genau in östlicher, nördlicher, westlicher und südlicher Richtung. Teilaufgabe 1f (5 BE) Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des östlichen und nördlichen Verankerungspunkts V O bzw. V N. Das Rechteck O A B C ist das Modell eines steilen Hanggrundstücks; die positive x 1 -Achse beschreibt die südliche, die positive x 2 -Achse die östliche Himmelsrichtung (im Koordinatensystem: 1 LE entspricht 1 m, d. h. die Länge des Grundstücks in West-Ost-Richtung beträgt 6 m.). Teilaufgabe 1c ( BE) Obwohl das Rechteck O A B C den Flächeninhalt 6 besitzt, ist das Hanggrundstück auf einer Landkarte des Grundbuchamts mit einer Größe von 8 m 2 verzeichnet. Stellen Sie ausgehend von der Zeichnung aus Aufgabe 1b eine Vermutung an, welche sinnvolle Regelung das Grundbuchamt damit bei der Festlegung der Grundstücksgröße umsetzt. Bestätigen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung. Ein Hubschrauber überfliegt das Grundstück entlang einer Linie, die im Modell durch die Gerade g : 2 X = + λ 5, λ R, beschrieben wird. Abitur Bayern 211 Geometrie V

2 Seite Seite Lösung Erläuterung: Vektorprodukt Teilaufgabe 1a (8 BE) In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 6 ), B( 8 6 6) und C( 8 6) gegeben. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, die durch die Punkte A, B und C bestimmt wird, in Normalenform. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat E? Berechnen Sie die Größe des Winkels ϕ, unter dem E die x 1 x 2 -Ebene schneidet. (mögliche Teilergebnisse: E : x 1 + x = ; ϕ 6, 9 ) Lösung zu Teilaufgabe 1a Ebene aus drei Punkte A( 6 ), B( 8 6 6), C( 8 6) Richtungsvektoren der Ebene E bestimmen: A B = B 8 8 A = 6 6 = 6 6 A C = C A = 8 6 A sei der Aufpunkt der Ebene. 6 Ebenengleichung in Normalenform = Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a b zweier Vektoren a und b ist ein Vektor n, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: a 1 a b = = A B A C = 8 6 Normalenvektor vereinfachen: Erläuterung: Vereinfachen b 1 b 2 b = b b 2 b 1 a 1 b a 1 b 2 b = 6 8 Die Länge eines Normalenvektor ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor und/oder Normierung sind erlaubt. Hier wird der Normalenvektor durch 12 geteilt. Das erleichter das Weiterrechnen wesentlich n E = = 8 Normalenform der Ebene E : Normalenvektor n E der Ebene E bestimmen: Erläuterung: Normalenform einer Ebene Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt P aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt. E N : X n E = P n E Hier (A ist Aufpunkt): Abitur Bayern 211 Geometrie V

3 Seite 5 Seite 6 E : X = 6 Besondere Lage im Koordinatensystem Die x 2 -Koordinate von n E E enthält die x 2 -Achse. Winkel zwischen zwei Ebenen x 1 x 2 -Ebene: X 1 }{{} x E : x 1 + x = ist Null und A liegt auf der x 2 -Achse. = Erläuterung: Winkel zwischen zwei Ebenen Erläuterung: Skalarprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren a und b a b = a b cos ( a, b ) α folgt für den Winkel α zwischen den beiden Vektoren: a b cos α = a b (Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren) n E x cos ϕ = n E x = 1 = ( ) ϕ = cos 1 6, 9 5 Teilaufgabe 1b (6 BE) Weisen Sie nach, dass der Koordinatenursprung O mit den Punkten A, B und C ein Rechteck O A B C festlegt. Bestätigen Sie, dass dieses Rechteck den Flächeninhalt 6 besitzt, und zeichnen Sie es in ein Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. Der Winkel α zwischen zwei Ebenen E und G ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren n E und n G. Winkel ϕ zwischen den Normalenvektoren bestimmen: Lösung zu Teilaufgabe 1b Skalarprodukt A( 6 ), B( 8 6 6), C( 8 6) Abitur Bayern 211 Geometrie V

4 Seite 7 A B = 8 6 = O C O A B C ist ein Parallelogramm. Seite 8 Erläuterung: Senkrechte Vektoren Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich Null. O A O C = O A B C ist ein Rechteck. = + + = O A O C Flächeninhalt eines Rechtecks A O A B C = O A O C = Erläuterung: Betrag eines Vektors = Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a = a 1 a a = = 1 = = 6 2 = 1 + a2 2 + a2 a 1 ist gegeben durch: Teilaufgabe 1c ( BE) Das Rechteck O A B C ist das Modell eines steilen Hanggrundstücks; die positive x 1 - Achse beschreibt die südliche, die positive x 2 -Achse die östliche Himmelsrichtung (im Koordinatensystem: 1 LE entspricht 1 m, d. h. die Länge des Grundstücks in West-Ost- Richtung beträgt 6 m.). Obwohl das Rechteck O A B C den Flächeninhalt 6 besitzt, ist das Hanggrundstück auf einer Landkarte des Grundbuchamts mit einer Größe von 8 m 2 verzeichnet. Stellen Sie ausgehend von der Zeichnung aus Aufgabe 1b eine Vermutung an, welche sinnvolle Regelung das Grundbuchamt damit bei der Festlegung der Grundstücksgröße umsetzt. Bestätigen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung. Lösung zu Teilaufgabe 1c Projektion Skizze Abitur Bayern 211 Geometrie V

5 Seite 9 Seite 1 Gegeben: g : X = 2 + λ 5 u Aus Teilaufgabe 1a: E : x 1 + x = n E = Konstanter Abstand g parallel zu E Erläuterung: Skalarprodukt, Senkrechte Vektoren senkrecht auf dem Richtungs- Ist g parallel zu E, so steht der Normalenvektor n E vektor u. Das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich Null. Vermutung: Als Grunstücksgröße wird die senkrechte Projektion auf die Horizontalebene (x 1 x 2 -Ebene) herangezogen, also das Rechteck O A B C mit B ( 8 6 ) und C ( 8 ). A = O A O C = 6 8 = 8 n E u = g ist parallel zu E. Abstand Gerade - Ebene 5 = = n E u Hesse-Normalenform der Ebene E bestimmen: Teilaufgabe 1d ( BE) Ein Hubschrauber überfliegt das Grundstück entlang einer Linie, die im Modell durch die Gerade g : 2 X = + λ 5, λ R, beschrieben wird. Weisen Sie nach, dass der Hubschrauber mit einem konstanten Abstand von 2 m zum Hang fliegt. Lösung zu Teilaufgabe 1d Lagebeziehung Gerade und Ebene Erläuterung: Hesse-Normalenform der Ebene Die Hesse-Normalenform E H N F einer Ebene E entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene E mit dem Betrag des Normalenvektors. E : X n E d = X E H N F ne d : = n E d ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus n E und dem Ortsvektor des Aufpunkts von E. n E = = = 25 = 5 Abitur Bayern 211 Geometrie V

6 Seite 11 Seite 12 E H N F : 1 5 (x 1 + x ) = Zu Zeigen: d(m, g) = 2 Abstand g zu E bestimmen: Erläuterung: Hilfsebene Erläuterung: Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Hesse-Normalenform E H N F der Ebene E, bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene. Ist P ein Punkt einer Geraden g, die parallel zur Ebene verläuft, so ist der Abstand des Punktes zur Ebene gleich dem Abstand der Geraden zur Ebene. X E H N F ne d : = n E P ne d d(g, E) = d(p, E) = n E d ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus n E und dem Ortsvektor des Aufpunkts von E. Hier wird der Aufpunkt der Geraden g in die Hesse-Normalenform eingesetzt: d(g, E) = 1 ( ( 2) + ) = 2 5 Teilaufgabe 1e (5 BE) Zeigen Sie, dass dieser Abstand mit der minimalen Entfernung des Hubschraubers vom Mittelpunkt des Grundstücks übereinstimmt, der im Modell durch den Punkt M( ) dargestellt wird. Lösung zu Teilaufgabe 1e Um den Abstand zwischen einer Geraden g und einen Punkt M bestimmen zu können, bildet man eine Hilfsebene H die den Punkt M beinhaltet und senkrecht zur Geraden g steht. Diese Ebene schneidet dann die Gerade g in einem Punkt F. Der Abstand entspricht dann der Länge der Strecke [M F ]. Hilfsebene durch M senkrecht zu g bilden: Erläuterung: Ebenengleichung Eine Ebene H ist durch einen Punkt P und einen Normalenvektor n H eindeutig bestimmt. Die Ebenengleichung (in Normalenform) lautet: H N : X n H = P n H Hier ist der Normalenvektor gleich dem Richtungsvektor (RV) der Geraden g, da die Ebene senkrecht zu ihr stehen soll: n H = R V g Abstand Punkt - Gerade Gegeben: g : X = 2 + λ 5, M( ) H : X 5 = R V g M 5 R V g H : x 1 + 5x 2 x = 1 Abitur Bayern 211 Geometrie V

7 Seite 1 Seite 1 g mit H schneiden: Erläuterung: Schnitt Ebene und Gerade Schneidet eine Gerade g : X = P + λ v eine Ebene E in einem Punkt P, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von λ (von g ) die Normalenform der Ebene E. Man setzt g in E ein und löst nach λ auf. Hier wird also g in H eingesetzt und nach λ aufgelöst. g H : ( 2 + λ) + 5( + 5λ) ( λ) = λ λ λ = 1 5λ = 1 λ = 2 λ = 2 in g: Abstand bestimmen: 2 F = 2 5 = Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a 1 a = ist gegeben durch: a a = a 1 = a 1 2 = 1 + a2 2 + a Alternativer Rechenweg g : 2 X = + λ }{{} G 5 R V g M G R V g d(m, g) = R V g = = = 2 5 = Teilaufgabe 1f (5 BE) Im Mittelpunkt des Grundstücks wird ein Mast errichtet, der durch vier an seiner Spitze befestigte Seile gehalten wird. Die Verankerungspunkte der Seile im Grundstücksboden sind jeweils 15 m vom Mastfußpunkt entfernt und liegen von diesem aus genau in östlicher, nördlicher, westlicher und südlicher Richtung. Bestimmen Sie im Modell die Koordinaten des östlichen und nördlichen Verankerungspunkts V O bzw. V N. Lösung zu Teilaufgabe 1f Lage eines Punktes d(m, g) = M F = F M 28 = 6 = = = = 2 Alternative Lösung Abitur Bayern 211 Geometrie V

8 Seite 15 Seite 16 Erläuterung: Einheitsvektor Ein Einheitsvektor (normierter Vektor) hat die Länge 1. Um den Einheitsvektor zu einem gegebenen Vektor zu bestimmen, muss durch den Betrag des Vektors geteilt werden: a = 1 a a zeigt in dieselbe Richtung wie a, hat aber die Län- Der Einheitsvektor a ge 1. O C normieren : V N = M + 15 O C V N = O C = O C O C 8 6 = = 52 9 V N ( 52 9) Gegeben: M( ) Verankerungspunkt V O bestimmen: V O = M + 15 x 2 V O = = 5 Verankerungspunkt V N bestimmen: Nördliche Hangrichtung ist gegeben durch O C = V O ( 5 ) 8 6. Abitur Bayern 211 Geometrie V