Fachhochschule Kiel Fachbereich Wirtschaft. Skript für den Mathematikvorkurs

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1 Fachhochschule Kiel Fachbereich Wirtschaft Skript für den Mathematikvorkurs Lena Bergweiler September 2018

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3 Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 1 Mengenlehre Mengen Verknüpfungen von Mengen Grundlegendes und elementare Rechenregeln Axiome der Addition und Multiplikation Weitere Regeln Rechnen mit Klammern Binomische Formeln Bruchrechnung Potenz- und Wurzelrechnung Summenzeichen Gleichungen Lineare Gleichungen Bruchgleichungen Quadratische Gleichungen Gleichungen höheren Grades Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen Ungleichungen 15 5 Gleichungssysteme Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Additionsverfahren Funktionen Polynome Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Polynome der Ordnung n Potenz- und Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen Umkehrfunktionen Ableitungen 21 i

4 Vorwort Liebe angehende Studentin, lieber angehender Student, Mathematik war sicher nicht das Lieblingsfach von allen an der Schule. Einmal abgehängt, war es schwer wieder aufzuholen, denn die Mathematik baut aufeinander auf. Insbesondere sich die Inhalte selbst anzueignen war und ist schwierig (aber zu lernen). Alles aufzuholen und zu wiederholen, was je im schulischen Mathematikunterricht behandelt wurde, ist utopisch und nicht das Ziel. Vielmehr sollen in diesem Vorkurs die Basics geübt werden. Jene, die du später im Studium benötigst, wenn du zum Beispiel einen Gleichgewichtspreis berechnen möchtest (oder musst). Hauptsächlich wird Mittelstufenmathematik wiederholt, einige Inhalte und Aufgaben kommen auch aus der Oberstufe. Vielleicht hat dir Mathematik auch immer gut gefallen, keine Probleme bereitet und du möchtest in diesem Vorkurs einfach nur nette Kommilitonen kennenlernen. Auch ganz wunderbar! Der Vorkurs findet an insgesamt fünf Tagen statt. Die Inhalte werden in der Reihenfolge des Inhaltsverzeichnisses besprochen und bauen teilweise aufeinander auf. Die Teilnahme ist freiwillig, du brauchst nichts vorbereiten (außer das Skript mitzubringen). Das Skript orientiert an dem Skript von Frau Dr. Kuhnigk, die diesen Vorkurs bis 2017 gegeben hat, bevor sie in Rente ging. Ebenfalls eingeflossen sind zahlreiche Aufgaben von Herrn Prof. Jensen, der die Mathematikkurse für Wirtschaftswissenschaftler an der CAU Kiel gibt. Ich freue mich sehr auf euch, Lena 1

5 1 Mengenlehre 1.1 Mengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von einzelnen unterschiedlichen Elementen. Enthält eine Menge M die z.b. die Elemente a, b und c, schreibt man M = {a, b, c}. Enthält eine Menge M kein Element, heißt diese Menge leere Menge und man schreibt M = oder M = { }. Mengen können endlich viele oder unendliche viele Elemente enthalten. Beispiele für Mengen M = {1, 2, 3} M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,... } = N (natürliche Zahlen) M = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } = Z (ganze Zahlen) M = {4, 5, 6, 7, 8, 9,... } = {x N x > 3 } Sprich: Alle x aus den natürlichen Zahlen, für die gilt: x ist größer als 3. Q = {x x = p q mit p, q Z und q 0} (rationale Zahlen) R (reelle Zahlen) Teilmenge: Menge A heißt Teilmenge von Menge B, wenn jedes Element von A auch in B ist. Man schreibt dann A B. Zum Beispiel gilt N Z. 2

6 1.2 Verknüpfungen von Mengen Die Gesamtmenge wird Grundgesamtheit Ω genannt. Alle anderen Mengen sind Teilmengen von ihr. Beispiel: Gegeben seien Ω = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {3, 4}, B = {3, 4, 5} Vereinigungsmenge: A B = { x Ω x A oder x B} Sprich: Alle Elemente, die entweder zu A oder zu B oder zu beiden gehören. Durchschnittsmenge: A B = { x Ω x A und x B} Sprich: Alle Elemente, die sowohl zu A, als auch zu B gehören. Differenzmenge: A \ B = {x Ω x A und x / B } Sprich: Alle Elemente, die nur zu A, nicht aber zu B gehören. Komplementärmenge: Ā = Ω \ A = {x Ω x / A} Sprich: Alle Elemente (aus der Grundgesamtheit), die nicht zu A gehören. Aufgabe: Gegeben seien Ω = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 }, A = {2}, B = {2, 5, 11, 13}, C = { x Ω x 6}. Bestimme a) A B b) A B c) A C d) (A B) C e) A B f) A B g) A C h) Ā B 3

7 2 Grundlegendes und elementare Rechenregeln 2.1 Axiome der Addition und Multiplikation Als Axiom bezeichnet man einen Grundsatz eines Systems oder einer Theorie, der nicht mehr bewiesen werden muss. Mehrere Axiome eines Systems müssen untereinander widerspruchsfrei sein. Axiome der Addition Kommutativgesetz: a + b = b + a Assoziativgesetz: a + (b + c) = (a + b) + c Existenz des Nullelements: a + 0 = 0 + a = a Existenz des Inversen: a + ( a) = a + a = 0 Axiome der Mulitplikation Kommutativgesetz: a b = b a Assoziativgesetz: a (b c) = (a b) c Existenz des Einselements: a 1 = 1 a = a Existenz des Inversen: a 1 a = 1 a a = 1 Distributivgesetz: a (b + c) = a b + a c 2.2 Weitere Regeln a + ( b) = a b ( a) = a a = 1 a a b = a 1 b für b 0 a : b = a b für b 0 a b = a b = a b für b 0 4

8 2.3 Rechnen mit Klammern Steht ein + vor der Klammer, können die Klammern weggelassen werden. Steht ein vor der Klammer, wird sie aufgelöst, indem man jedes Vorzeichen innerhalb der Klammer umdreht. Falls mehrere Klammern verschachtelt vorkommen, werden diese von innen nach außen aufgelöst. Ausklammern: ab + ac = a (b + c) (Distributivgesetz) Ausmultiplizieren: (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd Beispiele a) 3x + 6x 2 + 3yx b) (x + 2)(4 y) c) 2x + (3y 2) (3y 5x) + 4(x + 2) Aufgabe: Löse die Klammern auf. a) (5a 3b) (8a 5b) + (7a b) (3a 8b) b) (11x + 9y) + ( 3x 4y) (7x + 8y) ( x 2y) c) 5a (3c + 4b) + (10a (2b + a)) 2.4 Binomische Formeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 5

9 2.5 Bruchrechnung Ein Bruch beschreibt den Quotienten zweier Zahlen a und b, also a. Hierbei heißt b a Zähler und b Nenner. Ist der Zähler eines Bruches 0, so ist der Wert des Bruches 0. Der Nenner kann nicht 0 sein. Rechenoperationen bei Brüchen: Multiplikation: a b c d = a c b d = ac bd Division: a b : c d = a b c d Addition: a b + c b = a + c b Subtraktion: a b c b = a c b = a b d c = a d b c = ad bc Umformungen bei Brüchen: Kürzen: a c b c = a b Erweitern a b = a c b c = ac bc Addition beliebiger Brüche a b + c d = a d b d + b c b d = ad bd + bc bd Beispiele = ad + bc bd a) b) 1 a 1 a 2 Aufgabe: Vereinfache die Brüche soweit wie möglich. a) 2 6x 24 b) c) a2 2ab + b 2 3a 3b d) a + a+1 1 a a a 1 a a a+1 6

10 e) 9x2 16y 2 3x 4y 2.6 Potenz- und Wurzelrechnung Im Ausdruck x b heißt x Basis und b Exponent oder Potenz. Die Umkehrung der Potenzierens ist das Wurzelziehen. Im Ausdruck n x heißt n Wurzelexponent und x Radikand. Gilt n = 2, so spricht man von der Quadratwurzel und lässt die 2 auf der Wurzel häufig weg. Ist n eine gerade Zahl, so muss die Basis x eine positive Zahl oder null sein. Potenzgesetze 1. x a x b = x a+b 2. x a : x b = xa x b = xa b 3. (x a ) b = x a b 4. ( xy ) n = x n y n 5. ( ) n x = xn y y n 6. x n = 1 x n 7. x 1 b = n x 8. x a n = n x a Beispiele a) s 8 t 6 s 2 b) (x 2 ) 3 4 c) x 8 y 2 d) (a 2 b 2 ) 2 (a + b) 2 c 2 Aufgabe: Vereinfache oder forme um. a) 12x3 y 5 z 3xy 3 z 2 b) 24x 0.7 y 0.3 x 2y 0.7 x 0.3 y 0.4 7

11 c) ((x 1 ) 1 ) 1 d) n x n 3 (x 1 n ) 2n+1 (x 2n 2 ) 1 n 2.7 Summenzeichen Mithilfe des Summenzeichens können wir eine Summe kompakter schreiben, zum Beispiel: 3 a 1 + a 2 + a 3 = Beispiel Monat Jan. Feb. März April Mai Juni i Umsatz in Tsd. Euro (U i ) Gewinn in Tsd. Euro (G i ) a) 3 i=1 U i i=1 a i b) 6 i=4 U i c) 3 i=1 2U i d) 3 i=1 G i e) 3 i=1 U i 3 i=1 G i Was rechnen wir hier aus? Aufgabe: Bestimme die Ausdrücke. i x i y i z i a) 5 i=1 x i b) 4 i=2 x i 8

12 c) 5 i=1 (x i + y i ) d) 5 i=1 4x i e) 5 i=1 z i f) 5 i=1 (y i + 2) g) 5 i=1 (x iy i ) h) 5 i=1 x i 5 i=1 y i i) 5 i=1 x2 i j) ( 5 i=1 x i) 2 Regeln zum Rechnen mit dem Summenzeichen 1. n i=1 (a i + b i ) = 2. n i=1 c a i = 3. Falls alle a i gleich sind: n i=1 a i = 4. n i=1 (a i + c) = 9

13 Aufgabe: Bestimme die Ausdrücke. i=monat j=produkt a) 3 j=1 U ij für i = 1 b) 12 i=1 U ij für j = 2 c) 12 i=7 U ij für j = 3 d) 2 i=1 2 j=1 U ij e) 12 i=7 3 j=1 U ij 10

14 3 Gleichungen Eine Gleichung drückt die Gleichheit zweier Terme aus. Häufig soll eine gegebene Gleichung mit geeigneten Umformungen nach der unbekannten Variable aufgelöst werden. Diese Umformungen heißen Äquivalenzumformungen. Sie verändern die Lösungsmenge nicht. Dazu gehören: Addition / Subtraktion Multiplikation / Division ( 0) Potenzieren und Radizieren mit ungeraden Exponenten. zur gleichen Basis Potenzieren Logarithmieren 3.1 Lineare Gleichungen Gleichungen, in denen die unbekannte Variable nur mit der Potenz 1 auftaucht, nennt man lineare Gleichungen. Beispiele a) x 3 = 7 b) y + 1 = 0 c) 5 = 1x 2 d) 23x = 46 Aufgabe: Bestimme x. a) 3x + 0, 75 = 2, 5x + 2, 75 b) x = 29x c) 3x + 45 a + 1 3x 18 a 1 = 21a 27 (a + 1)(a 1) 11

15 3.2 Bruchgleichungen Falls die unbekannte Variable im Nenner steht, spricht man von einer Bruchgleichung. Beispiele a) 5 x = 2 b) 3x + 1 x 1 = 5 für x 0 Aufgabe: Bestimme x. a) b) x x + 2 = x 10 x 8 4x (2 + x) 5 = Quadratische Gleichungen Gleichungen, bei denen die unbekannte Variable mit der Potenz 2 auftaucht (und nicht höher), nennt man quadratische Gleichungen. reinquadratisch: x 2 = a x 1,2 = ± a gemischt quadratisch: x 2 + px + q = 0 x 1,2 = p 2 ± ( p 2 )2 q Beispiele a) (x 3, 5) 2 = 6, 25 b) x 2 7x + 12, 25 = 6, 25 c) (x 1)(x + 5) = 0 Aufgabe: Bestimme die unbekannte Variable. a) 2x 2 + 6x 13, 5 = 0 b) m 2 + 2m 8 = 0 c) x 2 6x = 0 d) r 2 3r + 2 = 0 12

16 3.4 Gleichungen höheren Grades Ist die Potenz der unbekannten Variable größer als 2, spricht man von einer Gleichung höheren Grades. Beispiele a) x 4 13x = 0 b) 5x 6 20x 4 = 0 Aufgabe: Bestimme x. a) (x 1) 3 = 8 b) x 5 + 2x 3 8x = 0 c) q 2 + 2q + 4 q 2 2q = Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen Als Exponentialgleichung bezeichnet man eine Gleichung, in der die unbekannte Variable im Exponenten steht, also zum Beispiel a x = b. Um an den Exponenten heranzukommen, wendet man den Logarithmus an. Es gilt a x = b x = log a b Sprich: x ist der Logarithmus von b zur Basis a. Das Ergebnis x gibt also an, mit welchem Exponenten man die Basis a potenzieren muss, um den Numerus b zu erhalten. Manche Basen kommen so häufig vor, dass der Logarithmus zu dieser Basis seinen eigenen Namen bekommt. So gilt zum Beispiel log e = ln log 10 = lg = log Man kann die Basis eines Logarithmus ändern, es gilt Beispiele a) 3 x = 25 b) 200 1, 1 x+2 = 322, 102 x = log a b = ln b ln a 13

17 Aufgabe: Bestimme x. a) 2 x = 8 b) 4 2 x = 8 c) 33 x = 1 d) 2 x = 1 e) e x = 1 Als Logarithmusgleichung bezeichnet man eine Gleichung, in der ein Logarithmus vorkommt mit der Unbekannten als dessen Numerus. Die Gleichung kann mithilfe der oben stehenden Definition des Logarithmus umgeformt werden, also log a x = b x = a b = a log a x Beispiele a) log 10 x = 2, 4 b) log 10 x = 0 c) ln(2x) = 5 Aufgabe: Bestimme x. a) ln(x) = 1 b) log 2 (x) = 4 c) log 4 (x 3 ) = 3 d) e ln(x) = 4 e) ln(e x ) = 3 14

18 4 Ungleichungen Eine Ungleichung drückt aus, dass ein Term größer bzw. kleiner ist als ein anderer. Es gelten die Regeln der Äquivalenzumformungen. Beachte: Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um. (Nicht aber bei Addition/Subtraktion einer negativen Zahl.) Beispiele I a) x 2 < 3 b) 2 x < 3 für x 0 Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge. a) 2x + 8 < 5x + 1 b) 5x + 9 > 7x 2 c) 5x + 10 > 12x 4 d) 5 x e) 5 x 20 für x 0 20 für x 0 Beispiel II a) 4 x+2 < 7 für x 2 Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge. a) x 2 x 2 für x 2 15

19 5 Gleichungssysteme Ein Gleichungssystem ist eine Sammlung von verschiedenen Gleichungen. Ziel ist es, nach den in den Gleichungen vorkommenden Variablen aufzulösen. Eine eindeutige Lösung kann es nur geben, wenn man man mindestens so viele Gleichungen hat wie Unbekannte (muss es aber nicht). Wir betrachten hier nur Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen. Die Lösungsverfahren lassen sich aber auf Gleichungssysteme mit endlich vielen Gleichungen erweitern. Beispiel Student Matti möchte gestärkt in den Mathevorkurs gehen und deckt sich für den Tag in einem nahegelegenen Café ein. Für zwei Kaffees und drei Brötchen bezahlt er 11,00 Euro. Matti hat im Vorkurs einen Freund kennengelernt und möchte ihm einen Kaffee und ein Brötchen mitbringen. Für drei Kaffees und vier Brötchen zahlt Matti 15,50 Euro. Wie viel kostet ein Brötchen und ein Kaffee? 5.1 Gleichsetzungsverfahren 1. Löse beide Gleichungen nach einer Variablen auf (z.b. nach x). 2. Setze diese beiden Ausdrücke gleich (z.b. x=x) und eliminiere so die Variable, nach der in 1. aufgelöst wurde. 3. Löse nach der anderen Variable auf (dann z.b. y). 4. Setze das Ergebnis aus 3. (z.b. für y) in einen der beiden Ausdrücke aus 1. ein und erhalte den Wert der zweiten Variable (z.b. x). Aufgabe: Löse folgende Aufgaben a) 4x + 2y = 26 7x 1, 5y = 30, 5 Wie lauten x und y? b) Mathematikstudentin Lina versteht wenig von Football, guckt aber aus Geselligkeit und wegen des häufig dazu gereichten authentisch amerikanischen Essens manchmal mit ihren Freunden mit. Team A hat nach drei Touchdowns und zwei erfolgreichen Pats insgesamt 20 Punkte, Team B nach zwei Touchdowns und zwei erfolgreichen Pats insgesamt 14 Punkte. Lina ist stolz, denn sie durch Lösen eines linearen Gleichungssystems weiß sie nun, wie viele Punkte ein Touchdown und ein Pat jeweils bringen. Tu es ihr nach! c) Zwei Zahlen haben die Summe 45. Die eine Zahl ist um 9 größer als die andere. Wie heißen die Zahlen? 16

20 5.2 Einsetzungsverfahren 1. Löse eine Gleichung nach einer Variable auf (z.b. x). 2. Setze diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein und erhalte damit eine Gleichung mit nur einer Variable (z.b. y). 3. Löse diese Gleichung (z.b. nach y) auf. 4. Erhalte die Lösung für die andere Variable (z.b. x) durch Einsetzen in die umgeformte erste Gleichung. 5.3 Additionsverfahren 1. Addiere ein geeignetes Vielfaches einer Gleichung zu der anderen, sodass sich eine Gleichung mit einer Variablen (z.b. x) ergibt. 2. Bestimme die Lösung der eben erhaltenen Gleichung. 3. Setze dieses Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und löse nach der verbleibenden unbekannten Variable (z.b. y ) auf. 17

21 6 Funktionen Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift. Sie ordnet Elementen aus einer Menge A Elemente aus einer Menge B zu. A heißt Definitionsbereich, B heißt Wertemenge. Falls A = B = R, dann heißt die Funktion f reelle Funktion. Die verschiedenen Elemente aus A heißen häufig x und die aus B heißen häufig y oder f(x). Jedem x aus A wird ein y aus B zugeordnet. 6.1 Polynome Ein Polynom ist eine reelle Funktion f, also f : R R, mit y = f(x) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x n, wobei a 0,... a n reelle Zahlen sind und n N. Aufgrund der höchsten Potenz n spricht man von einem Polynom n-ter Ordnung Lineare Funktionen Polynome mit n = 0 oder n = 1 heißen lineare Funktionen. Der Graph einer linearen Funktion heißt Gerade. n = 0 f(x) = a 0, z.b. f(x) = 2 n = 1 f(x) = a 0 + a 1 x z.b. f(x) = 2x + 1 In der Schule wird auch häufig die Form y = f(x) = mx + b verwandt. Hierbei ist b der y-achsenabschnitt, also der Punkte, an dem die lineare Funktion die y-achse schneidet. b heißt Steigung und lässt sich folgendermaßen berechnen: Beispiel b = y x = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 Finde die lineare Funktion für die Gerade, die durch die Punkte (1,2) und (2,6) geht. Aufgabe: Finde jeweils die lineare Funktion y = f(x) = mx + b mit folgenden Eigenschaften: a) Sie schneidet die Punkte (5,3) und (6,5 ; 4). b) Die Steigung ist m = 0, 5 und sie schneidet den Punkt (4,4). c) Ihr y-achsenabschnitt beträgt 2 und ihre Nullstelle liegt bei x = 2. 18

22 6.1.2 Quadratische Funktionen Eine quadratische Funktion ist ein Polynom, in der die größte Potenz die 2 ist. Der Graph der quadratischen Funktion ist eine Parabel. Gilt a 2 = 1 oder a 2 = 1 spricht man von einer (nach oben oder unten geöffneten) Normalparabel. n = 2 f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, z.b. f(x) = x 2 + 2x + 1 Die Nullstellen einer quadratischen Funktion y = f(x) = x 2 + px + q = 0 lassen sich mithilfe der pq-formel bestimmen: x 1,2 = p 2 ± ( p 2 )2 q. Aufgabe: Bestimme die Nullstellen. a) y = f(x) = x 2 + x 6 b) y = f(x) = x 2 8x + 12 c) y = f(x) = x 2 6x + 10 d) y = f(x) = x 2 + 2x Polynome der Ordnung n 3 Für Polynome höherer Ordnung ergeben sich n = 3 f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3, z.b. f(x) = 4x 3 + x n = 4 f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4... Aufgabe: Bestimme die Nullstellen. a) y = f(x) = x 3 b) y = f(x) = (x 1) 3 c) y = f(x) = (x 1)(x 2 2x + 1) d) y = f(x) = x 4 4x Potenz- und Wurzelfunktionen Eine Potenzfunktion ist eine Funktion f mit y = f(x) = a x r, wobei a R und r R. Falls r = 1 n Wurzelfunktion. mit n N, heißt die Potenzfunktion auch 19

23 Beispiel f(x) = 2x 1,5 eine Potenzfunktion (aber kein Polynom). f(x) = x 1 2 = x 0,5 = x ist eine Wurzelfunktion. 6.3 Exponentialfunktionen Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion f, bei der x im Exponenten steht, also f(x) = a x, wobei a > 0 und a 0. Gilt a = e, spricht man von einer e-funktion. Aufgabe: Bestimme die Nullstellen. a) y = f(x) = e x b) y = f(x) = e x 1 c) y = f(x) = (x 1) 2 (x 2 + 2) ln(x + 1)2 x 6.4 Umkehrfunktionen Funktionen, die die Zuordnung rückgängig machen, heißen Umkehrfunktionen. Sie ordnen jedem y wieder das x zu. Es gibt nur dann eine Umkehrfunktion, wenn jedes y aus A genau einem x zugeordnet wurde. Häufig wird die Umkehrfunktion von f mit f 1 betitelt. Beispiel y = f(x) = 2 + x x = f 1 (y) = y 2 Aufgabe: Bestimme die Umkehrfunktionen. a) y = f(x) = 6 + 4x b) y = f(x) = ax + b cx + d mit x d c, c 0 c) y = f(x) = x mit x 0 d) y = f(x) = e x e) y = f(x) = 2e 4x 20

24 7 Ableitungen Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung einer Funktion an. Heißt die Funktion f(x), heißt die Ableitung meist f (x). Diese muss nicht überall gleich sein. Genauer gesagt gibt die Ableitung der Funktion f im Punkt (x, y) die Steigung der Tangente an, die man im Punkt (x, y) an den Graph von f anlegen könnte. Manchmal wird statt Ableitung einer Funktion auch Differentialquotient einer Funktion gesagt. Die Extremstellen von Funktionen sind die Nullstellen ihrer Ableitungen. Daher dienen Ableitungen zum Minimieren und Maximieren von Funktionen. Ableitungsregeln 1. h(x) = c f(x) h (x) = c f (x) 2. h(x) = f(x) + g(x) h (x) = f (x) + g (x) (Summenregel) 3. h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) (Produktregel) 4. h(x) = f(x) g(x) h (x) = f (x) g(x) f(x) g (x) (g(x)) 2 (Quotientenregel) 5. h(x) = g(f(x)) h (x) = g ((f(x)) f (x) (Kettenregel) Spezielle Ableitungen f(x) = x n f (x) = n x n 1 f(x) = a x f (x) = a x ln(a) 1 f(x) = e x f (x) = e x f(x) = ln(x) f (x) = 1 1 x Beispiele a) f(x) = 2 + 3x b) f(x) = x 3 + ln(x) c) f(x) = x 3 ln(x) d) f(x) = x 1 3 e) f(x) = ln(4x) 21

25 Aufgabe: Bilde die Ableitungen. a) f(x) = 10x 5 + 7x b) f(x) = x 2 ln(x) c) f(x) = 1 x d) f(x) = 1 e ln(x) e) f(x) = a x x 3 f) f(x) = 3x 2 3 g) f(x) = a x h) f(x) = x 22