Theoretische Physik: Elektrodynamik
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- Elly Lorenz
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1 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Ferienkurs Theoretische Physik: Elektrodynamik Vorlesung Technische Universität München Fakultät für Physik
2 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Inhaltsverzeichnis 3 Magnetostatik 3 3. Magnetfeld (magnetische Flußdichte, magnetische Induktion Feldgleichungen der Magnetostatik Magnetischer Dipol Technische Universität München Fakultät für Physik
3 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Magnetostatik 3. Magnetfeld (magnetische Flußdichte, magnetische Induktion Definition Strom: I = Q t Definition Stromdichte: j = I F Für einen dünnen stromdurchflossenen Draht gilt: ( ( I j = F d l } {{ dl } Volumenelement jd 3 r = Idl (3 In der Magnetostatik werden stationäre Stromdichten betrachtet: j( r, t = j( r und j t = Für eine bewegte adungsdichte ρ( r ergibt sich: j( r = ρ( r v( r (4 Kontinuitätsgleichung: Da die adung ist eine Erhaltungsgröße (innere Symmetrie ist, muss die Änderung der elektrischen adung in einem endlichen Volumen pro Zeit gleich dem Strom durch die berandete Oberfläche sein: d dt V d r ρ(r + F= V Mit dem Gauß schen Satz folgt die Kontinuitätsgleichung: ρ( r, t t d F j( r, t = (5 + div j( r, t = (6 Im statischen Fall: div j( r = (7 Biot-Savart-Gesetz: Stationäre Ströme erzeugen ein zeitunabhängiges Magnetfeld B( r, welches auf eine Testladung q eine Kraft ausübt: F = q v B (8 Betrachte: Stromdurchflossenen eiter Kraft, die auf ein Wegelement d l am Ort r wirkt: Das Magnetfeld erzeugt den stationären Strom: d F = I d l B( r wobei dq v = Idt v = Id l (9 ( ρ( r, t V d3 r + div j( r, t = t d B( r = µ r Id r r ( r r 3 Technische Universität München 3 Fakultät für Physik
4 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Für das gesamte magnetische Feld folgt dann: B( r = µ I d r r r ( r r 3 Für einen unendlich ausgedehnten eiter gilt: r(,, z, d r = e z dz und d r ( r r = dz ( y, x,. Somit folgt für das Magnetfeld mit der Substitution ξ = z z = x + y tan ψ: B( r = µ I y x dξ(x + y + ξ 3/ = µ I y x π/ dψ cos ψ ( x + y π/ Das Ergebnis: B( r = µ I π y x x + y = µ I e φ π ρ (3 Kraft zwischen zwei parallelen Drähten: F = I C d r B r ( r = µ I I π = Parallele (antiparallele Ströme ziehen sich an (stoßen sich ab. Allgemein für zwei Stromschleifen: F = µ I I dz d d = µ I I π (4 d r [d r ( r r ] r r 3 (5 3. Feldgleichungen der Magnetostatik Übergang von ( zu kontinuierlichen stationären Stromdichten: B( r = µ d 3 r j( r ( r r = µ r r 3 ( d 3 r j( r Mit rot ( F( r c = grad F( r c ergibt sich das Magnetfeld als Rotation: ( µ j( r B( r = rot d 3 r r r } {{ } A( r grad r r (6 (7 A( r heißt Vektorpotential. Wegen B( r = rot A( r folgt die 3. Maxwellgleichung: div B( r = (8 Diese besagt, dass keine magnetischen Monopole existieren. In der Coulomb Eichung div A( r = ist das Vektorpotential eine statische Stromverteilung und Technische Universität München 4 Fakultät für Physik
5 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht ist divergenzfrei. Berechnung der Rotation des Magnetfeldes, liefert die Feldgleichung der Magnetostatik: rot B( r = µ j( r (9 Amper sche Durchflutungsgesetz: Mit dem Stoke schen Satz: d r B( r = = F F d F rot B( r = µ F d F j( r = µ I F ( Beispiel: unendlich lange Spule - N Windungen pro änge (sehr dicht NI - Stromdichte: j( r = e ϕ δ(ρ R Wegen der Zylindersymmetrie gilt: A( r = A ρ (ρ e ρ +A ϕ (ϕ e ϕ = A ρ(ρ ρ x y + A y ϕ(ρ x ρ ( Aus div A( r = folgt die Einschränkung: d ( ρa ρ (ρ = A ρ (ρ = const = wg. A nicht divergent bei ρ = ( ρ Somit ergibt sich, dass A in seiner Form der Stromdichte j folgt, also: A( r = A(ρê ϕ. Aus B = rot A folgt, dass Somit folgt die Differentialgleichung: B = d ( ρa(ρ êz rot ( B(ρê z = B (ρê ϕ (3 B (ρ = dρ[ d d ( ] ρa(ρ = µ NI δ(ρ R (4 Integration: B(ρ = d ( µ NI ρa(ρ = Multiplikation mit ρ und ein weiteres mal integrieren: ρa(ρ = µ NI ( c θ(ρ R [ c (ρ R θ(ρ R + c ] Damit A( endlich c = und damit A(ρ verschwindet c = Somit ergibt sich schließlich: (5 (6 A(ρ = µ NI { ρ für ρ < R für ρ > R R ρ (7 Mit dem magnetischen Feld: B( r = µ NI θ(r ρ e z (8 Technische Universität München 5 Fakultät für Physik
6 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Magnetischer Dipol Betrachte: räumlich lokalisierte stationäre Stromverteilung j( r. Ziel: Berechnung des erzeugten Magnetfeldes B( r für große Abstände. Gegeben sei das Vektorpotential aus (7. Somit entwickle Somit folgt für das Vektorpotential: A( r = µ d ( 3 r j( r + r r 3 r r = r r (9 r r 3 d 3 r ( r r j( r +... Aufgrund der Stromerhaltung div j = verschwindet der Monopolterm. Weiterhin kann das Vektorpotential mit ( r j( r r = j( r ( r r r ( j( r r umgeschrieben werden: A( r = µ d [ 3 r ( r j( r ] r (3 Mit der Definition des magnetischen Dipolmomentes m = d 3 r r j( r (3 ergibt sich: Mit B = rot A folgt hieraus das magnetische Feld eine Dipoles: (3 A Dipol ( r = µ m j( r (33 B Dipol = µ r 3 ( 3ˆr( m ˆr m Beispiel: ebene stromdurchflossene Drahtschleife m = I r d r = I F n m = I F n (35 Bemerkung: Der Drehimpuls und das magnetische Moment sind proportional zueinander: m = Der Vorfaktor Q M wird als ayromagnetisches Verhältnis bezeichnet. Kräfte auf lokalisierte Stromverteilungen: Die Kraft, die auf eine lokalisierte Stromverteilung wirkt, ist: (34 Q M (36 F = ( m B (37 Weiterhin ist die Wechselwirkungsenergie zwischen magnetischen Moment und äußerem Magnetfeld: W = m B (38 Technische Universität München 6 Fakultät für Physik
7 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Somit wird eine Parallelstellung von m und B bevorzugt. Das Drehmoment auf einen magnetischen Dipol ist: M = m B( (39 Wechselwirkungspotential zweier magnetischer Dipole: W = m B Dipol = µ ( m m r r 3( r r m ( r r m 3 r r 5 (4 Technische Universität München 7 Fakultät für Physik
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