1.1 Das Prinzip von No Arbitrage

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1 Fnanzmärkte H 2006 Tr V Dang Unverstät Mannhem. Das Prnzp von No Arbtrage..A..B..C..D..E..F..G..H Das Framework Bespele Das Fundamental Theorem of Fnance Interpretaton des Theorems und Zustandsprese No Arbtrage (NA) und de Exstenz enes lnearen Presoperators Egenschaften des Presoperators und Egenschaften von Märkten Das Repräsentatons-Theorem Optonspresbewertung als NA-Prcng

2 ..A Das Framework Annahme A. Annahme A.2 Es gbt Umweltzustände n t= ={s, s 2,..., s }, de mt folgenden Wahrschenlchketen auftreten π={π, π 2,..., π }. Bemerkung A. Annahme A.3 Es gbt N Wertpapere. In t=0 beträgt der Pres des Wertpapers p. Wertpaper generert m Zustand s m Zetpunkt t= ene Auszahlung von x s. Annahme A.4 Es gbt en Konsumgut n der Ökonome n t=0 und t=. (Verenfachung) De Auszahlung x s erfolgt n Enheten des Konsumguts. 2

3 Bemerkung A.2 Notaton A. e der (N-) Vektor der N-Wertpaperpresen : p=(p, p 2,..., p N ) e der (-) Vektor der Auszahnlungen von Wertpaper : x =(x, x 2,..., x ) e X de Auszahlungsmatrx der N Wertpaperen n den Umweltzuständen: Umweltzustände x X = M x [ ] N L O L x x M N Wertpaper Wertpaper N 3

4 ..B Bespele Was kann man zu folgenden Wertpaperen (WP) und deren Presen sagen? (a) =2, N=2 WP : x =(, 2) p =2 WP 2: x 2 =(3, 4) p 2 = (b) =2, N=2 WP : x =(, 2) p =3 WP 2: x 2 =(6, 8) p 2 =4 (c) =2, N=2 WP : x =(, 0) p =0 WP 2: x 2 =(0, 00) p 2 = (d) =3, N=3 WP: x =(, 2, 3) p =.4 WP2: x 2 =(2,, 4) p 2 =.8 WP3: x 3 =(, 3, ) p 3 =2. Zu (a) 2 2 X = und p = 3 4 4

5 Ene proftable Handelsstratege t= : verzchtet auf Auszahlung=(,2) bekommt dafür Auszahlung=(6,8) Implkaton Zu (b) 2 3 X = und p =

6 Zu (c) 0 0 X = und p = 0 00 Kann es sen, dass WP2 wenger kostet als WP? CAPM : WP, de ene postve Korrelaton (Beta gross) zum Marktportfolo aufwesen, haben ene hohe erwartet Rendte und enen nedrgeren Pres. Zu (d) : Aufgabe 6

7 ..C Das Fundamental Theorem of Fnance Defnton C. Es gbt N Wertpapere. een α und p N-Vektoren. En Portfolo α heßt selbstfnanzerend (self-fnancng), wenn glt α p 0. Bemerkung C. Um Notaton zu sparen, werden Vektoren be der Multplkaton ncht n transponerter Form geschreben. Bemerkung C.2 Der Pres (Kosten) von Portfolo α beträgt α p = ( α )...α N p M p N =reele Zahl. Defnton C.2 Es gbt N Wertpapere. een α und p N-Vektoren und X ene (N ) Matrx. En Arbtrage oder ene arbtrage Möglchket st en N-Vektor α, so dass gelten und α p 0 α X>0 (ncht-postve Kosten) (strkt größer Null für mndestens en Element) mt α X= ( α... α N ) x M xn L O L x x M N = Zelenvektor. 7

8 Bemerkung C.3 Theorem (The Fundamental Theorem of Fnance) een q en -Vektor, p der N-Vektor der Werpaperpresen und X de (N )- Matrx der Auszahlungen der N Wertpapere n den Umweltzuständen. NA { q>>0 : Xq=p}. Verbal Bewes (The Fundamental Theorem of Fnance) " " Annahme Es glt { q>>0 : Xq=p}. Es gebe en Arbtrage mt oder () αp 0 and αx>0 (2) αp<0 and αx=0. 8

9 Zu () Falls αx>0, dann folgt für q>>0 was αp 0 wdersprcht. Zu (2) Falls αx=0, dann folgt für q>>0 was αp<0 wdersprcht. " " Benötgt en Trennsatz-Argument und wrd her ncht bewesen. 9

10 ..D Interpretaton des Theorems und Zustandsprese Bemerkung D. Wenn alle Elemente von q strkt größer als Null snd, dann gbt es ken Arbtrage. Wenn en Element von q Null oder klener als Null st, dann gbt es Arbtrage. Bemerkung D.2 Im Bespel..B glt (a) 2 2 X = und p = 3 4 Xq=p 3 2 q 4 q 2 = p p 2 q 3q + 2q + 4q 2 2 = 2 = Das Glechungssytem hat als enzge Lösung Da q = 3 0, gbt es Arbtrage. (b) 2 3 X = und p =

11 (c) 0 0 X = und p = 0 00 Bemerkung D.3 Defnton D. Folgende Wertpapere werden Zustands-Wertpapere (pure contngent clams, Arrow- Debreu securtes) gennant: WP : e =(,0,0,...,0) WP 2 : e 2 =(0,,0,...,0) : WP : e =(0,0,0,...,). WP generert nur n Umweltzustand ene Zahlung von und sonst null. Defnton D.2 Gegeben q=(q,...,q ). Aus NA P Z = qz = = q z folgt, dass der Pres p von Zustands-WP genau q beträgt. Daher wrd der Vektor q als Vektor der Zustandsprese (state prces, Arrow-Debreu-Prese) genannt und q der state prce von dem contngent clam genannt.

12 ..E NA und de Exstenz enes lnearen Presoperators Korollar (The Fundamental Theorem of Fnance) NA { en postve lnearer Operator L( ) : p z =L(z), z=(z,...,z )}. Verbal Als Umkehrung folgt: Wenn der beobachteter Pres P Z L(z) st, dann gbt es Arbtrage. Bewes Korollar Theorem besagt, dass für den Pres von WP j glt: j p = X q = q x. j = j Für den Pres enes WP z mt Auszahlung (z,...,z ) folgt P = qz = q z. Z =. Defnere de Menge Z als Defnere de Abbldung L als L : Z R defnert als L(z)=z q. 2

13 Dann st L( ) lnear, wel L(αz)=αL(z) für alle z Z and α R. Bemerkung E. z st en belebger Auszahlungsvektor, den man als Lnearkombnaton aus den vorhandenen N Wertpaperen genereren kann. 3

14 ..F Egenschaften des Presoperators und Egenschaften von Märkten Defnton F. Es gebe Umweltzuständen. Ene Menge von Wertpaperen heßt aufspannende Menge, wenn jeder möglche Auszahlungsvektor n (dem Vektorraum) R als Lnearkombnaton der vorhandenen Wertpaperen erzeugt werden kann. Defnton F.2 En ystem von Wertpapermärkten st (oder kurz Wertpapermärkte snd) vollständg, wenn es ene aufspannende Menge von Wertpaperen gbt. Defnton F.3 En Wertpaper heßt redundant, wenn sen Auszahlungsvektor als Lnearkombnaton der anderen Wertpaperen erzeugbar st. Bespel een =2, WP mt x = (,0 ) und WP2 mt (0,00) 0 x = (d.h. X = ) Jeder Vektor h=(h,h 2 ) st erzeugbar, und zwar als Lnearkombnaton von x und x 2 : Z.B. gegeben WP und WP2, WP3 mt = ( 6,7) st en redundantes WP. x 3 Lemma Wenn Märkte vollständg snd, dann st der Presoperator (bzw. der Vektor q von Zustandspresen) endeutg. Wenn Märkte ncht vollständg snd, dann st der Presoperator ncht endeutg. (Es gbt vele Vektoren q, de mt NA verenbar snd.) 4

15 Bewes (Lemma) Es gbt Umweltzustände. Fall Es gebe N= Wertpapere. e X de Auszahlungsmatrx der N Wertpapere. chrtt (Vollständge Märkte) Märkte snd genau dann vollständg, wenn für alle y R glt y=αx. En elementares Ergebns der Lnearen Algebra besagt: Wenn der Rank(X)= st, dann st jedes y=hx als Lnearkombnaton der N WP erzeugbar. Bemerkung F. chrtt 2 (Endeutgket) Endeutgket von q folgt aus enem weteren Ergebns der Lnearen Algebra. p=xq q=x p 5

16 Fall 2 Es gebe N> Wertpapere. Falls Rank(X(n))=, dann glt Fall. Fall 3 Falls Rank(X)<, dann snd Märkte unvollständg. q st ncht endeutg. En Ergebns der Lnearen Algebra besagt: Bemerkung F.2 >N bedeutet, dass es mehr Unbekannten (Varablen) als Glechungen gbt. De Menge Q der zulässgen Vektoren von Zustandspresen st de chnttmenge ener N (affnen) dmensonalen Telmenge mt dem postven Orthanten. Bemerkung F.3 ehe Aufgabe und Aufgabe 2. 6

17 ..G Das Repräsentatons-Theorem Bemerkung G. Der postve lneare Presoperator n dem Fundamental Theorem bestzt wchtge (äquvalente) Repräsentatonen. Defnton G. Rskoneutrale Wahrschenlchketen st ene Menge von Wahrschenlchketen π*=(π *,...,π *) so dass der Wert (Pres) V(z) jedes Wertpapers z mt Auszahlung z=(z,...,z ) we folgt gegeben st: * * V (z) = E [z] = π z, + r + r = wobe r der rskolose Znssatz st und E* der Erwartungsoperator bezüglch der rskolosen Wahrschenlchketen darstellt. Defnton G.2 Der stochastc dscount factor (state prce densty,, prcng kernel, deflator) st en Vektor ρ=(ρ,ρ 2,...,ρ ), so dass der Wert V(z) jedes Wertpaper mt Auszahlung z=(z,...,z ) we folgt gegeben st: V(z) = E[ ρ z] = π ρ z, = wobe π der Vektor der (tatsächlchen) Wahrschenlchketen st und der Erwatungswert bezüglch deser Wahrschenlchketen gebldet wrd. Das Repräsentatons-Theorem De folgenden Aussagen snd äquvalent: () De Exstenz enes postven lnearen Presoperators. (2) De Exstenz postver rskoneutraler Wahrschenlchketen und der dazugehörge rskoloser Zns. (Martngal Egenschaft) (3) De Exstenz enes stochastc dscount factor 7

18 Bewes () (2) chrtt e e=(,,,...,) das schere Wertpaper. Betrachte de umme der q Für den rskolosen Znssatz r glt r + = V(e) V(e) = + r V(e) = qe qe = = q = + r + r = q = Bemerkung G.2 8

19 chrtt 2 Defnere π * > 0 da q > 0 für alle * π = = Aus Aussage () folgt V(z) = ( q ) = q q z V(z) = + r V(z) = + r q = q = V(z) = E + r * * π z [z] z (2) () 9

20 Defnere. Dann folgt V(z) = V(z) = = = * π z + r q z () (3) Defnere den stochastc dscount factor als Daraus folgt V(z) q = π = π z 20

21 V(z) = π ρ z = V(z) = E[ρ z] (3) () Defnere Daraus folgt V(z) = = q z QED. Aufgabe 3. 2

22 ..H Optonspresbewertung als NA-Prcng Bemerkung H. Defnton H. Ene Call-Opton (oder Call) st en Wertpaper, das en Recht und kene Verpflchtung benhaltet, m Zetpunkt T (Ausübungszetpunkt) en anderes Wertpaper/Objekt (Underlyng) zum Pres E (Ausübungspres) kaufen zu können. Ene Put-Opton (oder Put) st en Wertpaper, das en Recht und kene Verpflchtung benhaltet, m Zetpunkt T (Ausübungszetpunkt) en anderes Wertpaper/Objekt (Underlyng) zum Pres E (Ausübungspres) verkaufen zu können. Auszahlung der Opton m Zetpunkt T e t der Marktpres des Objekts zum Zetpunkt t Für de Auszahlung m Zetpunkt T glt: Ausübung des Calls, falls E T. Falls E> T, dann st es bllger das Objekt am Markt zu kaufen Ausübung des Puts, falls E T. Falls E< T, dann kann man das Objekt am Markt zu enem höheren Pres verkaufen. 22

23 Graphk Auszahlung Call n T E T Auszahlung Put n T E E T 23

24 Das Zwe-Zetpunkt-Bnomal-Modell Annahme H. Es gebe nur 2 Zetpunkt : t=0 und T=. kann nur zwe Realsatonen annehmen (2 Umweltzustände n T=) =a 0 mt Wahrschenlcht π =b 0 mt Wahrschenlcht π Annahme H.2 Es werden zwe (lnear unabhängge) Wertpapere gehandelt. Das Underlyng (tock) Pres t=0: 0 Pres t=: {a 0, b 0 } Rskoloses Wertpaper (Bond) Pres t=0: B 0 Pres t=: B =(+r) B 0 (r : rskoloser Znssatz) Bemerkung H.2 24

25 We hoch st der Pres P 0 enes Calls mt Ausübungspres E? Methode : Zustandsprese chrtt tock = q a a + q b b Bond + r = q a + q b (ehe auch Bewes n chrtt () (2) n..g.) Lösung des Glechungssystems (mt den Unbekannten q A und q B ) a b = q a + q b () + r = q a + q b (2) Aus () folgt q = ( ) + r a q b 25

26 Ensetzen von ( ) n (2) folgt, + r q b a + q b b = a q b (b a) = + r q b q b a = + r b a ( + r) a = ( + r)(b a) Ensetzen n () folgt q a q a q a (+ r) a = + r (+ r)(b a) (b a) (+ r) + a = (+ r)(b a) b ( + r) = ( + r)(b a) chrtt 2 PC = q a max[a 0 E,0] + q b [b 0 E,0] b (+ r) (+ r) a PC = max[a 0 E,0] + max[b 0 (+ r)(b a) (+ r)(b a) E,0] Bemerkung H.3 b (+ r) (+ r) a = max[a 0 E,0] + max[b E,0] (+ r) (b a) (b a) PC 0 Da glt a>+r>b, folgt (+ r) b a (+ r) = max[a 0 E,0] + max[b E,0] + r a b a b PC 0 26

27 Bemerkung H.4 (+ r) b a b st de rskoneutrale Wharschenlchket π A *. a (+ r) a b st de rskoneutrale Wharschenlchket π B *. Bemerkung H.5 P C = A 0 B 0 + r ( π max[a E,0] + π max[b E,0] ) * E (x C ) Bemerkung H.6 Warum verlangt NA, dass a>+r>b? () Falls max[a,b]<+r Bond domnert tock (2) Falls mn[a,b]>+r tock domnert Bond 27

28 Bespel Was st der Pres P C enes Call Optons auf tock mt E=2? NA: qx=p q A =0.5 q B =0.5 P C = q a max[ E,0] + q b [3 E,0] P C = = 0.5. Formel : b (+ r) (+ r) a PC = max[a 0 E,0] + max[b 0 (+ r)(b a) (+ r)(b a) mt a= 0.5, b=.5, r=0, 0 =2 und E=2, folgt E,0] P C = 0. 5 Aufgabe 4. 28