Literatur. ISM SS 2018 Teil 3/Restklassen

Transkript

1 Literatur [3-1] Beutelspacher, A.; Schwenk, J.; Wolfenstetter, K.-D.: Moderne Verfahren der Kryptographie. 4. Auflage, Vieweg 2001 [3-2] Schmeh, Klaus: Kryptografie. dpunkt, 5. Auflage, 2013 [3-3] Hoffmann, Dirk: Einführung in die Informations- und Codierungstheorie. Springer, 2014 [3-4] Reiss, Kristina; Schmieder, Gerald: Basiswissen Zahlentheorie. Springer, 3. Auflage, 2014 [3-5] Buchmann, Johannes: Einführung in die Kryptographie. 5. Auflage, Springer, 2010 [3-6] Freiermuth, Karin; Hromkovic, Juraj; Keller, Lucia; Steffen, Björn: Einführung in die Kryptologie. Vieweg+Teubner,

2 Übersicht Etwas Modulo-Arithmetik Restklassen Der euklidische Algorithmus Der erweiterte euklidische Algorithmus 3 Definitionen und ein Satz I Z Menge der ganzen Zahlen N Menge der ganzen positiven Zahlen mit 0 N\{0 N ohne 0 Satz Für alle Zahlen a Z, b Z\{0 gibt es genau ein q Z und r N mit a = q*b+r, wobei 0 <= r < b ist. r wird Rest genannt und ist immer positiv zwischen 0 und b -1. 4

3 Definitionen und ein Satz II Ganzzahlige Division: DIV q= a DIV m, wobei a, m, q aus Z, mit m<>0 q ist die größte Ganzzahl < a/m Rest modulo: MOD r= a MOD m, wobei a, m, q aus Z, mit m<>0, r aus N, Konvention (wird meist eingehalten): q (wie Quotient) möge der ganzzahlige Quotient sein r (wie Rest) möge der Modulo-Wert sein p (wie Primzahl) möge eine Primzahl sein m (wie Modul) möge die Zahl hinter mod/mod sein n möge eine natürliche Zahl einschließlich 0 sein 5 Definitionen und ein Satz III Aus Satz (verkürzt) a = b*q+r folgt mit der Definition von DIV und MOD damit: Mit a, m aus Z, mit m<>0, r aus N gilt: a = (a DIV m)*m + a MOD m oder a MOD m = a - (a DIV m)*m Das Modul m kann auch negativ sein: In a MOD m = a - (a DIV m)*m ist das Produkt positiv. Daraus folgt a MOD m = a MOD -m In dieser Veranstaltung (und in der Kryptographie) wird fast immer mit positiven Modulen gerechnet. 6

4 Definitionen und ein Satz IV - Beispiele 0 MOD 3 = 0 1 MOD 3 = 1 2 MOD 3 = 2 3 MOD 3 = 0 4 MOD 3 = 1 0 DIV 3 = 0 1 DIV 3 = 0 2 DIV 3 = 0 3 DIV 3 = 1 4 DIV 3 = 1 Es gilt a = (a DIV m)*m + a MOD m a DIV m = (a - a MOD m)/m -1 MOD 3 = 2-2 MOD 3 = 1-3 MOD 3 = 0-4 MOD 3 = 2-5 MOD 3 = 1 22 MOD 7 = 1, denn 3*7=21-22 MOD 7 = 6, denn -4*7= Addition und Subtraktion I Wertebereich: N für das Ergebnis Addition Modulo m: Es wird wie gewöhnlich addiert, wobei anschließend solange m subtrahiert/addiert wird, bis das Ergebnis >= 0 und <m ist. Subtraktion Modulo m: Es wird wie gewöhnlich subtrahiert, wobei anschließend solange m addiert/subtrahiert wird, bis das Ergebnis >= 0 und <m ist. Beispiele: ( 3 + 5) MOD 8 = 0 (-3 + 5) MOD 8 = 2 ( 3 6) MOD 9 = 6 (-3 6) MOD 9 = 0 8

5 Teilbarkeit I Definition a Z\{0 teilt b Z, wenn es ein k Z gibt, so das b = k*a Dies wird geschrieben als a b. Oder anders: a teilt b = a b, wenn b MOD a = 0 oder wenn b = k*a gilt oder wenn b ein Vielfaches von a ist. 9 Teilbarkeit II Sätze [1] a b a c => a (b+c) [2] a b a c => a (b-c) Beweise folgen direkt aus der Definition: [2]: a b a c => a (b-c): Mit b = k 1 *a falls a b und analog c = k 2 *a a (b-c)=> a (k 1 *a-k 2 *a) = a a*(k 1 -k 2 ) analog für die umgekehrte Richtung 10

6 Kongruent modulo I a MOD m = b MOD m, falls m (a b) mit a, b Z, m N\{0, dann heißt a zu b kongruent modulo m d.h. mit m (a b) gibt es ein k mit k*m = a b d.h. die Differenz muss ein Vielfaches von m sein d.h. wenn k*m = a b gilt, dann auch a = b + k*m d.h. k*m ist dann in a = b + k*m die Differenz daraus folgt unmittelbar mit k Z: (a+k*m) MOD m = a MOD m a ist kongruent zu b modulo m wird auch geschrieben: a b (mod m) a b (mod m) bedeutet, dass die Reste bezüglich m gleich sind. "(mod m)" bezieht sich auf die Gleichheit und ist keine modulo-operation wie MOD. 11 Kongruent modulo II Da a MOD m = b MOD m mit a Z, b N und b<m gilt, kann immer im Bereich: {0, 1, 2,, m-1 bei MOD m gerechnet werden. Wenn ein Ergebnis einer Rechnung außerhalb liegt, kann es jederzeit durch Addieren von k*m in diesen Bereich gebracht werden. Das führt zur Ersparnis bei großen Zahlen. 12

7 Ein paar Sätze I Allgemein gilt (a, k aus Z, m N\{0): [S1] (a + k*m) a (mod m) (folgt aus Definition) [S2] k*m 0 (mod m) (folgt aus [S1]) [S3] a MOD m = a, falls 0<= a < m Addition (a, b aus Z, m N\{0): [S4] a + b a MOD m + b MOD m (mod m) Subtraktion (a, b aus Z, m N\{0): [S5] a - b a MOD m - b MOD m (mod m) 13 Multiplikation Multiplizieren wird auf mehrfaches Addieren zurückgeführt. Es wird wie gewöhnlich multipliziert und dann solange m abgezogen bzw. addiert bis das Ergebnis >= 0 und <m ist. Beispiele: 4 * 5 MOD 7 = 6, denn 4*5-> > 6 3 * 4 MOD 5 = 2 4 * 4 MOD 5 = 1 Dazu gibt es noch folgende Sätze: [S6] a*b b*a (mod m) (Kommutativgesetz) [S7] (a*b)*c a*(b*c) (mod m) (Assoziativgesetz) [S8] a*b a MOD m * b MOD m (mod m) 14

8 Bestimmung des inversen Elements (Division) I Bei m= 7 wieviel ist 3-1? Werte {0,1,2,3,4,5,6 Rest muss 1 sein: Bei m= 6 wieviel ist 3-1? Werte {0,1,2,3,4,5 Rest muss 1 sein: 3*0= 0 mod 7 = 0 3*1= 3 mod 7 = 3 3*2= 6 mod 7 = 6 3*3= 9 mod 7 = 2 3*4= 12 mod 7 = 5 3*5= 15 mod 7 = 1 3*6= 18 mod 7 = 4 3*0= 0 mod 6 = 0 3*1= 3 mod 6 = 3 3*2= 6 mod 6 = 0 3*3= 9 mod 6 = 3 3*4= 12 mod 6 = 0 3*5= 15 mod 6 = 3 Es gibt kein inverses Element zu 3. 16

9 Bestimmung des inversen Elements (Division) II Beispiel 1: a=5, m=7 1*5 5 (mod 7) 2*5 3 (mod 7) 3*5 1 (mod 7) 4*5 6 (mod 7) 5*5 4 (mod 7) 6*5 5 (mod 7) Beispiel 2: a=3, m=6, 1*3 3 (mod 6) 2*3 0 (mod 6) 3*3 3 (mod 6) 4*3 0 (mod 6) 5*3 3 (mod 6) Multiplikationstafeln Potenzieren I Potenzieren (Exponentiation) wird auf mehrfaches Multiplizieren zurückgeführt. a b c (mod m) Beispiel: 3 4? (mod 5) 3*3*3*3 1 (mod 5) 18

10 Potenzieren II schneller Algorithmus a q = a n+m = a n *..*a m wobei q=n+..+m, n, m 2er-Potenzen sind Die Potenz a q wird als Produkt von Faktoren a n *a m dargestellt, die wiederum Potenzen sind, wobei diese 2er-Potenzen bilden. Dazu wird die Potenz q als Binärzahl umgerechnet und diese als Polynom zur Basis 2 ausgerechnet. Die einzelnen Faktoren dieses Polynoms sind dann die Werte für n..m. Beispiel: a 23 = a 10111B = a = a * a 2 * a 4 * a 16 Statt 22 Multiplikationen: 7 Multiplikationen 19 Potenzieren III schneller Algorithmus Aufwand n-1 Quadrierungen, wobei n die Anzahl der Ziffern des Exponenten in Binärdarstellung ist Dazu wird addiert: (Für jede 1 im Binärwert eine weitere Multiplikation) - 1 Typische Zahl: = B (2**16+1) 16 Quadrierungen (17. Stelle mit 1 beginnend gezählt) 2 Einsen, d.h. eine weitere Multiplikation, also 17, statt Multiplikationen Siehe dazu: 20

11 Kleiner Satz von Fermat I Der kleine Satz von Fermat: (1)a p a (mod p), mit a>0 und p ist eine Primzahl Wenn a und p teilerfremd sind (oder: wenn a kein Vielfaches von p ist), kann die folgende zweite Form benutzt werden: (2) a p-1 1 (mod p), mit a>0, ggt(a,p)=1 und p ist eine Primzahl Um von (1) nach (2) zu kommen, muss (1) auf beiden Seiten durch a dividiert werden, was aber nur geht, wenn das multiplikative Inverse existiert; das tut es nur dann, wenn ggt(a,p)=1 ist. (2) bedeutet, dass p-1 auf den Exponenten beliebig oft addiert oder subtrahiert werden kann bzw. der Exponent mod p-1 genommen werden darf. 21 Kleiner Satz von Fermat II - Anwendung a p-1 a*a p-2 (mod p) Dann gilt laut Fermat aber auch: a*a p-2 1 (mod p), ggt(a,p)=1 und p ist eine Primzahl Das kann zur Berechnung des multiplikativen inversen Elements benutzt werden. 1 1*1*1*1*1= 1 2 2*2*2*2*2= 32 -> 4 Beispiel mod 7 3 3*3*3*3*3= 243 -> 5 4 4*4*4*4*4= > 2 5 5*5*5*5*5= > 3 6 6*6*6*6*6= > 6 Für a=7, 14 etc. kommt immer 0 heraus. 22

12 Logarithmus, Wurzel Diskreter Logarithmus (Modulo Logarithmus) a x b (mod q) Die Berechnung des diskreten Logarithmus ist sehr aufwändig, weshalb dies in der Kryptographie gerne ausgenutzt wird. Modulo Wurzel x a b (mod q) 23 Größter gemeinsamer Teiler (ggt) I Eine Zahl c heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt,gcd) zweier Ganzzahlen a und b, wenn c beide Zahlen teilt und die größte ist, die beide Zahlen teilt. Die Idee besteht nun darin, die beiden Argumente schrittweise unter Beibehaltung des Ergebnisse so zu verkleinern, dass anhand einer der beiden roten Formeln das Ergebnis bestimmt ist. Satz: Für alle Zahlen a, b, k aus N mit a>b gilt: Wenn k beide Zahlen a und b teilt, dann teilt auch k die Differenz a-b. Es lässt sich beweisen: ggt(a,b) = ggt(a-b,b) mit a>=b Oder anders formuliert: Ziehe immer wieder die kleinere von der größeren der beiden Zahlen ab bis sie gleich sind: das ist das Ergebnis. 24

13 Größter gemeinsamer Teiler (ggt) II int Euklid(int a,b) { while a!=b { if a>b { a:= a-b; else { b:= b-a; return a; ggt(a,b) = ggt(a,b-a) bzw. ggt(a,a-b) ggt(a,b) = ggt(b,a) Diese Version entspricht eher dem Original: wechselseitiges "Wegnehmen" 25 Berechnung des Modulo-Wertes Wenn von der Zahl a b solange b abgezogen wird, bis a<b erreicht wird, ist der Wert von a MOD b berechnet worden. int mod(int a 0,b>0) { while a b { a:= a-b; return a; Dies liegt an: a MOD m = a - (a DIV m)*m ggt(a,b) = ggt(a-b,b) mit a>=b.. ggt(a-b,b) = ggt(a-2*b,b) mit a-b>=b ggt(a,b) = ggt(a mod b,b) mit a>=b 26

14 Größter gemeinsamer Teiler (ggt) III int EuklidMod(int a,b) { while a!=0 { if a>b { a:= a MOD b; else { exchange(a,b); return b; ggt(a,b) = ggt(a,b mod a) ggt(a,b) = ggt(b,a) int EuklidMod(int a,b) { while b!=0 { t:= a MOD b; a:= b; b:= t; return a; Da nach einem a:= a MOD b nie a>b wahr ist, kann gleich getauscht werden. 27 Erweiterter Euklidischer Algorithmus I Seien a, b N\{0 so lässt sich der ggt(a,b) als Linearkombination von a und b darstellen: ggt(a,b)= u*a+v*b mit u,v Z. Beispiel mit a=2 und b=7 0 = 7*2 2*7 1 = -3*2 + 1*7 2 = 8*2-2*7 3 = -9*2 + 3*7 4 = -5*2 + 2*7 5 = Dazu gibt es folgenden Satz u*a+v*b=n ist genau dann ganzzahlig lösbar, wenn ggt(a,b) n gilt. Nebenbei: Wenn ggt(a,b)<>1 ist, dann lassen sich nicht alle Zahlen als Linearkombination darstellen. 28

15 Erweiterter Euklidischer Algorithmus II Linearkombination einer Zahl z ist die Summe zweier Produkte, deren Teilfaktoren vorgegeben sind: z = u*a + v*b, wobei a und b vorgeben sind. Es kann mehrere Linearkombinationen derselben Zahl geben (nicht eindeutig), z.b. 0 = 7*2 2*7 = 14*2 4*7 mit a=2 und b=7 Und auch gibt es Paare (a,b), mit denen nicht alle ganzen Zahlen als Linearkombinationen darstellen kann, z.b. lassen sich keine ungeraden Zahlen als Summe zweier gerader Zahlen darstellen. 29 Berechnung des multiplikativen Inversen a*a -1 1 (mod m) mit ggt(a,m)=1 das sind die Voraussetzungen ggt(a,b)= u*a+v*b also ggt(a,m)= u*a+v*m 1 (mod m) 0 a -1 a 30

16 Erweiterter Euklid scher Algorithmus mit Subtraktion func BigInt BigInt BigInt egcd(bigint a>=0,b>=0) { BigInt au,av,bu,bv; BigInt a,b,t; au:= 1; av:= 0; // a = au*a + av*b bu:= 0; bv:= 1; while a!= b { if a>b { a:= a-b; au:= au-bu; av:= av-bv; else { b:= b-a; bu:= bu-au; bv:= bv-av; return a,au,av; // b = bu*a + bv*b // linear // linear Grün sind die Bestandteile des ursprünglichen Algorithmus. Bitte beachten Sie, dass die u- und v-werte negativ sein können, dann muss dies durch Addition des Moduls später korrigiert werden. 31 Erweiterter Euklid scher Algorithmus mit mod func BigInt BigInt BigInt egcdmod(bigint a>=0,b>=0) { BigInt au,av,bu,bv; BigInt a,b,t; au:= 1; av:= 0; // a = au*a + av*b bu:= 0; bv:= 1; // b = bu*a + bv*b while b!= 0 { q:= a div b; t:= a mod b; bu:= au-q*bu; // linear: b:= a mod b bv:= av-q*bv; a:= b; b:= t; Grün sind die Bestandteile des ursprünglichen Algorithmus. return a,au,av; Bitte beachten Sie, dass die u- bzw. v-werte negativ sein können, dann muss dies durch Addition des Moduls korrigiert werden. 32

17 Nach dieser Anstrengung etwas Entspannung... 33