Algorithmen II Vorlesung am

Transkript

1 Algorithmen II Vorlesung am Algorithmische Geometrie: Schnitte von Strecken Sweep-Line INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum II Wintersemester 2013/2014 in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Grundlagen

3 Strecken Definition: Konvexkombination (Definition 6.1) Für zwei Punkte p 1 und p 2 (in der Ebene) und α [0, 1] ist der Punkt p = αp 1 + (1 α)p 2 eine Konvexkombination von p 1 und p 2. α = 1 4 α = 1 2 p 1 p 2 Definition: Strecke (Definition 6.2) Die Menge aller Konvexkombinationen zweier Punkte p 1, p 2 ist die Strecke p 1 p 2 zwischen p 1 und p 2. Ist die Reihenfolge von p 1 und p 2 von Bedeutung, so sprechen wir von der gerichteten Strecke p 1 p 2. p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2

4 Strecken Definition: Konvexkombination (Definition 6.1) Für zwei Punkte p 1 und p 2 (in der Ebene) und α [0, 1] ist der Punkt p = αp 1 + (1 α)p 2 eine Konvexkombination von p 1 und p 2. α = 1 4 α = 1 2 p 1 p 2 Definition: Strecke (Definition 6.2) Die Menge aller Konvexkombinationen zweier Punkte p 1, p 2 ist die Strecke p 1 p 2 zwischen p 1 und p 2. Ist die Reihenfolge von p 1 und p 2 von Bedeutung, so sprechen wir von der gerichteten Strecke p 1 p 2. p 1 p 2 p 1 p 2 p 2 p 1 p 1 p 2 Grundlegende Fragestellungen: 1. Gegeben drei Punkte p 0, p 1, p 2 in der Ebene. Liegt p 0 p 1 rechts oder links von p 0, p 2? 2. Bilden die beiden Strecken p 0, p 1 und p 1, p 2 bei p 1 einen Rechts- oder einen Linksknick? 3. Schneiden sich zwei gegebene Strecken p 0 p 1 und p 2 p 3? p 2 links p 0 p 1 p 0 Linksknick p 3 p 2 p 1 rechts p 1 p 2 p 0 p 0 p 1 p 2 Rechtsknick

5 Rechts oder Links? Definition: Kreuzprodukt Für Strecken p 0 p 1 und p 0 p 2 mit p 0 = (0, 0), p 1 = (x 1, y 1 ) und p 2 = (x 2, y 2 ) ist das Kreuzprodukt p 1 p 2 definiert als ( ) x1 x p 1 p 2 = det 2 = x y 1 y 1 y 2 x 2 y 1 = (p 2 p 1 ) 2 Behauptung: Fläche eines Parallelprogramms (Siehe Lineare Algebra) p 1 p 2 ist die Fläche P des Parallelogramms mit Ecken (0, 0), p 1, p 2 und p 1 + p 2. p 1 + p 2 y 2 y 1 p 2 P p 1 p 0 x 2 x 1

6 Rechts oder Links? Definition: Kreuzprodukt Für Strecken p 0 p 1 und p 0 p 2 mit p 0 = (0, 0), p 1 = (x 1, y 1 ) und p 2 = (x 2, y 2 ) ist das Kreuzprodukt p 1 p 2 definiert als ( ) x1 x p 1 p 2 = det 2 = x y 1 y 1 y 2 x 2 y 1 = (p 2 p 1 ) 2 Behauptung: Fläche eines Parallelprogramms (Siehe Lineare Algebra) p 1 p 2 ist die Fläche P des Parallelogramms mit Ecken (0, 0), p 1, p 2 und p 1 + p 2. p 1 + p 2 p 1 + p 2 y 2 y 1 p 2 P p 1 y 2 y 1 p 2 p 1 y 2 y 1 p 2 y 2 y 1 R p 0 x 2 x 1 p 0 x 2 x 1 t p 0 x 2 x 1 x 2 t p 0 t x 1 Lemma Für p 0 = (0, 0), p 1 und p 2 liegt p 0 p 1 rechts von p 0 p 2 genau dann wenn p 1 p 2 > 0.

7 Rechts oder Links? Lemma Für p 0 = (0, 0), p 1 und p 2 liegt p 0 p 1 rechts von p 0 p 2 genau dann wenn p 1 p 2 > 0. Um nun zu entscheiden, ob p 0 p 1 für beliebiges p 0 rechts von p 0 p 2 liegt, muss getestet werden ob (p 1 p 0 ) (p 2 p 0 ) > 0 gilt. Die Strecken p 0 p 1 und p 1 p 2 bilden einen Rechtsknick genau dann wenn p 0 p 2 rechts von p 0 p 1 liegt.

8 Rechts oder Links? Lemma Für p 0 = (0, 0), p 1 und p 2 liegt p 0 p 1 rechts von p 0 p 2 genau dann wenn p 1 p 2 > 0. Um nun zu entscheiden, ob p 0 p 1 für beliebiges p 0 rechts von p 0 p 2 liegt, muss getestet werden ob (p 1 p 0 ) (p 2 p 0 ) > 0 gilt. Die Strecken p 0 p 1 und p 1 p 2 bilden einen Rechtsknick genau dann wenn p 0 p 2 rechts von p 0 p 1 liegt. Vorteile dieser Methode: Es müssen Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Vergleiche durchgeführt werden (insbesondere keine Divisionen, Wurzeln, etc.) Bei Ganzzahligen Koordinaten ist das Ergebnis und alle Zwischenschritte Ganzzahlig. Keine Fehler durch Ungenauigkeiten bei Gleitkommaarithmetik.

9 Schneiden sich zwei Strecken? Definition: Umschließendes Rechteck (bounding box) (Definition 6.4) Das Umschließende Rechteck (bounding box) eines geometrischen Objekts ist das kleinste achsenparallele Rechteck, das diese Objekt enthält. Notwendige Bedingung: Zwei Strecken können sich nur schneiden, wenn sich auch ihre umschließenden Rechtecke schneiden.

10 Schneiden sich zwei Strecken? Definition: Umschließendes Rechteck (bounding box) (Definition 6.4) Das Umschließende Rechteck (bounding box) eines geometrischen Objekts ist das kleinste achsenparallele Rechteck, das diese Objekt enthält. Notwendige Bedingung: Zwei Strecken können sich nur schneiden, wenn sich auch ihre umschließenden Rechtecke schneiden. Das umschließende Rechteck ( p 1, p 2 ) zu p 1 p 2 ist beschrieben durch den linken unteren Punkt p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) und den rechten oberen Punkte p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) mit: p 2 = (x 2, y 2 ) p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) x 1 = min(x 1, x 2 ) ŷ 1 = min(y 1, y 2 ) x 2 = max(x 1, x 2 ) ŷ 2 = max(y 1, y 2 ) p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) p 1 = (x 1, y 1 )

11 Schneiden sich zwei Strecken? Definition: Umschließendes Rechteck (bounding box) (Definition 6.4) Das Umschließende Rechteck (bounding box) eines geometrischen Objekts ist das kleinste achsenparallele Rechteck, das diese Objekt enthält. Notwendige Bedingung: Zwei Strecken können sich nur schneiden, wenn sich auch ihre umschließenden Rechtecke schneiden. Das umschließende Rechteck ( p 1, p 2 ) zu p 1 p 2 ist beschrieben durch den linken unteren Punkt p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) und den rechten oberen Punkte p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) mit: p 2 = (x 2, y 2 ) p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) x 1 = min(x 1, x 2 ) ŷ 1 = min(y 1, y 2 ) x 2 = max(x 1, x 2 ) ŷ 2 = max(y 1, y 2 ) p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) p 1 = (x 1, y 1 ) ŷ 2 ŷ 4 Zwei Rechtecke ( p 1, p 2 ) und ( p 3, p 4 ) schneiden sich genau dann, wenn x 2 x 3 x 4 x 1 ŷ 2 ŷ 3 ŷ 4 ŷ 1. ŷ 1 ŷ 3 x 1 x 3 x 2 x 4

12 Schneiden sich zwei Strecken? Definition (Definition 6.5) p 1 p 2 berührt die Gerade durch p 3 p 4 falls p 1 und p 2 auf unterschiedlichen Seiten von p 3 p 4 liegen oder einer von ihnen auf der Gerade liegt. Ob eine Strecke die Gerade durch zwei Punkte berührt kann wieder mithilfe des Kreuzprodukts getestet werden.

13 Schneiden sich zwei Strecken? Definition (Definition 6.5) p 1 p 2 berührt die Gerade durch p 3 p 4 falls p 1 und p 2 auf unterschiedlichen Seiten von p 3 p 4 liegen oder einer von ihnen auf der Gerade liegt. Ob eine Strecke die Gerade durch zwei Punkte berührt kann wieder mithilfe des Kreuzprodukts getestet werden. Lemma Zwei Strecken schneiden sich genau dann, wenn ihre umschließenden Rechtecke sich schneiden und jede der beiden Strecken die Gerade durch die jeweils andere Strecke berührt. Vorteile dieser Methode: Wie zuvor müssen Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Vergleiche durchgeführt werden (insbesondere keine Divisionen, Wurzeln, etc.) Bei Ganzzahligen Koordinaten ist das Ergebnis und alle Zwischenschritte Ganzzahlig. Keine Fehler durch Ungenauigkeiten bei Gleitkommaarithmetik.

14 Schnitte von Strecken Sweep-Line

15 Schnitte von Strecken Problem: Schnitte von Strecken Gegeben seien n Strecken. Schneiden sich zwei dieser Strecken? Einfache Lösung: Teste für jedes Streckenpaar ob sie sich schneiden. ( n 2) O(n 2 ) Paare.

16 Schnitte von Strecken Problem: Schnitte von Strecken Gegeben seien n Strecken. Schneiden sich zwei dieser Strecken? Einfache Lösung: Teste für jedes Streckenpaar ob sie sich schneiden. ( n 2) O(n 2 ) Paare. Heute: Sweep-Line-Algorithmus mit Laufzeit O(n log n). Definition: Sweep-Line (Definition 6.6) Eine Sweep-Line ist eine imaginäre vertikale Linie, die eine Menge geometrischer Objekte von links nach rechts passiert. Eine Sweep-Line ist durch ihre x-koordinate eindeutig bestimmt.

17 Vergleichbare Strecken Wir machen folgende Annahmen: Keine der Strecken ist vertikal. In jedem Punkt schneiden sich höchstens zwei Strecken.

18 Vergleichbare Strecken Wir machen folgende Annahmen: Keine der Strecken ist vertikal. In jedem Punkt schneiden sich höchstens zwei Strecken. Definition: Vergleichbare Strecken Zwei Strecken s 1 und s 2 sind bezüglich Sweep-Line x vergleichbar, falls beide x schneiden und sich nicht gegenseitig an der Stelle x schneiden. Es gilt dann: s 1 < x s 2 (s 2 < x s 1 ) falls s 1 in x unterhalb (oberhalb) von s 2 liegt. a b d c < x1 b < x1 a c b < x2 d < x2 c x 1 x 2 Für jedes x ist < x eine totale Ordnung auf den Strecken, die x schneiden und sich nicht bei x gegenseitig schneiden.

19 Sich schneidende Strecken Beobachtung: Sich schneidende Strecken Für zwei Strecken s 1, s 2 die sich schneiden gibt es Sweep-Lines x 1 und x 2, sodass s 1 < x1 s 2 und s 2 < x2 s 1. x 1 und x 2 können sogar so gewählt werden, dass s 1 und s 2 bezgl. < x1 und < x2 direkt aufeinanderfolgen. a b d c < x1 b < x1 a c b < x2 c < x2 a x 1 x 2 Folgerung Es ist ausreichend, alle Streckenpaare auf Schnitt zu prüfen, die bezüglich < x irgendeiner Sweep-Line x direkt aufeinanderfolgen.

20 Sweep-Line Algorithmus Sweep-Line Algorithmen verwenden typischerweise zwei Datenmengen: 1. Sweep-Line Zustand: Objekte (und ggf. Beziehungen zwischen ihnen), die von der aktuellen Sweep-Line geschnitten werden. 2. Event-Point Schedule: Folge sortierter x-koordinaten; die Haltepunkte (Event-Points) der Sweep-Line. Der Sweep-Line Zustand ändert sich nur an solchen Event-Points.

21 Sweep-Line Algorithmus Sweep-Line Algorithmen verwenden typischerweise zwei Datenmengen: 1. Sweep-Line Zustand: Objekte (und ggf. Beziehungen zwischen ihnen), die von der aktuellen Sweep-Line geschnitten werden. 2. Event-Point Schedule: Folge sortierter x-koordinaten; die Haltepunkte (Event-Points) der Sweep-Line. Der Sweep-Line Zustand ändert sich nur an solchen Event-Points. Für unser Problem: 1. Sweep-Line Zustand: Alle Strecken, die die aktuelle Sweep-Line schneiden, von unten nach oben sortiert. 2. Event-Point Schedule: Die Endpunkte aller Strecken, von links nach rechts sortiert. Events: An jedem Event-Point taucht eine neue Strecke auf oder eine schon vorhandene verschwindet. Folgendes muss getan werden: Neue Strecke in den Sweep-Line Zustand einfügen bzw. alte herauslöschen. Überprüfen ob sich neuerdings benachbarte Streckenpaare schneiden.

22 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Strecken von links nach rechts if zwei Endpunkte sind gleich then gib TRUE zurück foreach Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Strecke s then INSERT(T, s) if s schneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurück if s schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück Event-Point Schedule if p rechter Endpunkt von Strecke s then if ABOVE(T, s) schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück DELETE(T, s) gib FALSE zurück Sweep-Line Zustand (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Strecke unmittelbar über (unter) s in T )

23 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Strecken von links nach rechts if zwei Endpunkte sind gleich then gib TRUE zurück foreach Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Strecke s then INSERT(T, s) if s schneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurück if s schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück Event-Point Schedule if p rechter Endpunkt von Strecke s then if ABOVE(T, s) schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück DELETE(T, s) gib FALSE zurück Sweep-Line Zustand O(1) O(n log n) O(n) (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Strecke unmittelbar über (unter) s in T )

24 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Strecken von links nach rechts if zwei Endpunkte sind gleich then gib TRUE zurück foreach Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Strecke s then INSERT(T, s) if s schneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurück if s schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück Event-Point Schedule if p rechter Endpunkt von Strecke s then if ABOVE(T, s) schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück DELETE(T, s) gib FALSE zurück Sweep-Line Zustand O(1) O(n log n) O(n) (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Strecke unmittelbar über (unter) s in T ) Benutze für T einen AVL-Baum (oder ähnliches): Operationen INSERT(T, s), DELETE(T, s), ABOVE(T, s) und BELOW(T, s) benötigen O(log n) Zeit.

25 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Strecken von links nach rechts if zwei Endpunkte sind gleich then gib TRUE zurück foreach Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Strecke s then INSERT(T, s) if s schneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurück if s schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück Event-Point Schedule if p rechter Endpunkt von Strecke s then if ABOVE(T, s) schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück DELETE(T, s) gib FALSE zurück Sweep-Line Zustand Benutze für T einen AVL-Baum (oder ähnliches): Operationen INSERT(T, s), DELETE(T, s), ABOVE(T, s) und BELOW(T, s) benötigen O(log n) Zeit. O(1) O(n log n) O(n) O(log n) O(log n) (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Strecke unmittelbar über (unter) s in T )

26 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Strecken von links nach rechts if zwei Endpunkte sind gleich then gib TRUE zurück foreach Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Strecke s then INSERT(T, s) if s schneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurück if s schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück Event-Point Schedule if p rechter Endpunkt von Strecke s then if ABOVE(T, s) schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück DELETE(T, s) gib FALSE zurück Sweep-Line Zustand Benutze für T einen AVL-Baum (oder ähnliches): Operationen INSERT(T, s), DELETE(T, s), ABOVE(T, s) und BELOW(T, s) benötigen O(log n) Zeit. O(1) O(n log n) O(n) O(n log n) O(log n) O(log n) O(1) (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Strecke unmittelbar über (unter) s in T )

27 Sweep-Line Algorithmus INTERSECT(S) T Sortiere Endpunkte der Strecken von links nach rechts if zwei Endpunkte sind gleich then gib TRUE zurück foreach Endpunkt p in der sortierten Liste do if p linker Endpunkt von Strecke s then INSERT(T, s) Sweep-Line Zustand Event-Point Schedule O(n log n) O(1) O(n log n) O(n) O(n log n) O(log n) if s schneidet ABOVE(T, s) then gib TRUE zurück if s schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück if p rechter Endpunkt von Strecke s then if ABOVE(T, s) schneidet BELOW(T, s) then gib TRUE zurück O(log n) DELETE(T, s) gib FALSE zurück O(1) Benutze für T einen AVL-Baum (oder ähnliches): Operationen INSERT(T, s), DELETE(T, s), ABOVE(T, s) und BELOW(T, s) benötigen O(log n) Zeit. Gesamtlaufzeit von O(n log n) (ABOVE(T, s) (BELOW(T, s)) ist die Strecke unmittelbar über (unter) s in T )

28 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c g b d e f a Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1

29 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c c g b d e f a Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1

30 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c c g b d e f a a Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1 a schneidet c nicht

31 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c c g b b d e f a a Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1 b schneidet weder a noch c

32 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c c g b b d e f a a Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1 a schneidet c nicht

33 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c d b c d e f g a a Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1 d schneidet weder a noch c

34 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c d e a b c d a e f g Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1 e schneidet weder d noch a

35 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c d f e a b c d a e f g Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1 f schneidet weder d noch e

36 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c d f e a b c d a e f g Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1 f schneidet c nicht

37 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c g c g f e a b d a e f Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1 g schneidet weder f noch c

38 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand c g c g f e a b d a e f Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1

39 Sweep-Line Algorithmus Beispiel Sweep-Line Zustand g c g f e a b d a e f Event-Point Schedule c 1 a 1 b 2 d 1 e 1 f1 d2 g 1 c 2 e 2 g 2 f2 a 2 b 1 f schneidet a! gib TRUE zurück

40 Anmerkungen Der vorgestellte Algorithmus prüft nur, ob es mindestens eine Kreuzungen gibt und kann die erste gefundene Kreuzung ausgeben. Man kann den Algorithmus leicht anpassen um alle Kreuzungen zu finden. Man benötigt dann O(n log n + k log n) Zeit, wobei k die Anzahl an Kreuzungen ist. Beachte: k O(n 2 ). Es gibt auch einen Algorithmus mit Laufzeit O(n log n + k), der alle Kreuzungen findet.

41 Eine geometrische Datenstruktur Quadtree

42 Motivation Szenario: großer Straßengraph zeige nur einen kleinen Ausschnitt Problem: Bereichsanfrage Gegeben eine Punktmenge P (z.b. die Knoten in einem Straßengraph) sowie ein Rechteck R, finde alle Punkte aus P, die in R liegen.

43 Motivation Szenario: großer Straßengraph zeige nur einen kleinen Ausschnitt Problem: Bereichsanfrage Gegeben eine Punktmenge P (z.b. die Knoten in einem Straßengraph) sowie ein Rechteck R, finde alle Punkte aus P, die in R liegen. Einfache Lösung: Teste für jeden Punkt p P, ob p in R liegt. Laufzeit O( P ), dabei werden ggf. sehr viel weniger Punkte angezeigt. Ziel im Folgenden: Nutze aus, dass nur ein sehr kleiner Anteil der P Punkte angezeigt werden muss.

44 Hierarchische Unterteilung: Quadtree Betrachte Punktmenge P in einem Quadrat Q. Q

45 Hierarchische Unterteilung: Quadtree Betrachte Punktmenge P in einem Quadrat Q. Q Q NW Q NO P NW P NO P SW P SO Q SW Q SO Wenn P > 1: Unterteile Q in vier Quadrate Q NW, Q NO, Q SW, Q SO. Zerlege P entsprechend in P NW, P NO, P SW, P SO, sodass P i komplett in Q i liegt (für i {NW, NO, SW, SO}). Fahre rekursiv mit P i und Q i fort (für i {NW, NO, SW, SO}).

46 Hierarchische Unterteilung: Quadtree Betrachte Punktmenge P in einem Quadrat Q. Interpretiere die Quadrate als Knoten eines Q Baums: Q NW Q NO Q P NW P NO Q NW Q NO Q SW Q SO P SW P SO Q SW Q SO Wenn P > 1: Unterteile Q in vier Quadrate Q NW, Q NO, Q SW, Q SO. Zerlege P entsprechend in P NW, P NO, P SW, P SO, sodass P i komplett in Q i liegt (für i {NW, NO, SW, SO}). Fahre rekursiv mit P i und Q i fort (für i {NW, NO, SW, SO}).

47 Hierarchische Unterteilung: Quadtree Betrachte Punktmenge P in einem Quadrat Q. Interpretiere die Quadrate als Knoten eines Q Baums: Q NW Q NO Q P NW P NO Q NW Q NO Q SW Q SO P SW P SO Q SW Q SO Wenn P > 1: Unterteile Q in vier Quadrate Q NW, Q NO, Q SW, Q SO. Zerlege P entsprechend in P NW, P NO, P SW, P SO, sodass P i komplett in Q i liegt (für i {NW, NO, SW, SO}). Fahre rekursiv mit P i und Q i fort (für i {NW, NO, SW, SO}).

48 Hierarchische Unterteilung: Quadtree Betrachte Punktmenge P in einem Quadrat Q. Interpretiere die Quadrate als Knoten eines Q Baums: Q NW Q NO Q P NW P NO Q NW Q NO Q SW Q SO P SW P SO Q SW Q SO Wenn P > 1: Unterteile Q in vier Quadrate Q NW, Q NO, Q SW, Q SO. Zerlege P entsprechend in P NW, P NO, P SW, P SO, sodass P i komplett in Q i liegt (für i {NW, NO, SW, SO}). Fahre rekursiv mit P i und Q i fort (für i {NW, NO, SW, SO}).

49 Hierarchische Unterteilung: Quadtree Betrachte Punktmenge P in einem Quadrat Q. Interpretiere die Quadrate als Knoten eines Q Baums: Q NW Q NO Q P NW P NO Q NW Q NO Q SW Q SO P SW P SO Q SW Q SO Quadtree T (P) bezüglich Quadrat Q Speichere zusätzlich für jedes Blatt in T (P) den eventuell enthaltenen Knoten.

50 Aufbau des Quadtrees QUADTREE(P, Q) (Rückgabe: Wurzel von T (P) bezüglich Q) v Q neuer Knoten, der Q repräsentiert if P > 1 then foreach Q i mit i {NW, NO, SW, SO} do P i Punkte aus P, die in Q i liegen v Qi QUADTREE(P i, Q i ) Füge v Qi else points(v Q ) P return v Q als Kind von v Q ein

51 Aufbau des Quadtrees QUADTREE(P, Q) (Rückgabe: Wurzel von T (P) bezüglich Q) v Q neuer Knoten, der Q repräsentiert if P > 1 then foreach Q i mit i {NW, NO, SW, SO} do P i Punkte aus P, die in Q i liegen v Qi QUADTREE(P i, Q i ) Füge v Qi else points(v Q ) P als Kind von v Q ein O(1) O( P ) Rekursion O(1) O(1) return v Q

52 Aufbau des Quadtrees QUADTREE(P, Q) (Rückgabe: Wurzel von T (P) bezüglich Q) v Q neuer Knoten, der Q repräsentiert if P > 1 then foreach Q i mit i {NW, NO, SW, SO} do P i Punkte aus P, die in Q i liegen v Qi QUADTREE(P i, Q i ) Füge v Qi else points(v Q ) P als Kind von v Q ein O(1) O( P ) Rekursion O(1) O(1) return v Q sei d die Tiefe des Quadtrees T (P) d + 1 Lagen Satz: Berechnung des Quadtrees Der Quadtree T (P) einer Punktmenge P enthält O((d + 1) P ) Knoten und kann in O((d + 1) P ) Zeit berechnet werden. Beweis: nächste Folie

53 Aufbau des Quadtrees d + 1 Lagen sei d die Tiefe des Quadtrees T (P) Satz: Berechnung des Quadtrees Der Quadtree T (P) einer Punktmenge P enthält O((d + 1) P ) Knoten und kann in O((d + 1) P ) Zeit berechnet werden. Beweis: zeige die folgenden Aussagen: Jede Lage enthält nur O( P ) Knoten. Für alle Knoten v Qi in einer Lage benötigt der Aufruf QUADTREE(P i, Q i ) insgesamt nur O( P ) Zeit.

54 Aufbau des Quadtrees d + 1 Lagen sei d die Tiefe des Quadtrees T (P) Satz: Berechnung des Quadtrees Der Quadtree T (P) einer Punktmenge P enthält O((d + 1) P ) Knoten und kann in O((d + 1) P ) Zeit berechnet werden. Beweis: zeige die folgenden Aussagen: Jede Lage enthält nur O( P ) Knoten. Immer vier Knoten in einer Lage haben einen gemeinsamen Vorgänger. Das Quadrat von mind. einem der vier Knoten enthält einen Punkt aus P. Jeder Punkt aus P ist pro Lage in nur einem Quadrat enthalten. Für alle Knoten v Qi in einer Lage benötigt der Aufruf QUADTREE(P i, Q i ) insgesamt nur O( P ) Zeit.

55 Aufbau des Quadtrees d + 1 Lagen sei d die Tiefe des Quadtrees T (P) Satz: Berechnung des Quadtrees Der Quadtree T (P) einer Punktmenge P enthält O((d + 1) P ) Knoten und kann in O((d + 1) P ) Zeit berechnet werden. Beweis: zeige die folgenden Aussagen: Jede Lage enthält nur O( P ) Knoten. Immer vier Knoten in einer Lage haben einen gemeinsamen Vorgänger. Das Quadrat von mind. einem der vier Knoten enthält einen Punkt aus P. Jeder Punkt aus P ist pro Lage in nur einem Quadrat enthalten. Für alle Knoten v Qi in einer Lage benötigt der Aufruf QUADTREE(P i, Q i ) insgesamt nur O( P ) Zeit. Betrachte Knoten v Qi für den Q i keinen Punkt aus P enthält (also P i = ): O(1) Zeit pro Knoten insgesamt O( P ). Andernfalls: O( P i ) Zeit für Knoten v Qi insgesamt O( P ), da P i P

56 Aufbau des Quadtrees d + 1 Lagen Beweis: zeige die folgenden Aussagen: sei d die Tiefe des Quadtrees T (P) Satz: Berechnung des Quadtrees Der Quadtree T (P) einer Punktmenge P enthält O((d + 1) P ) Knoten und kann in O((d + 1) P ) Zeit berechnet werden. (Hinweis: (d + 1), da d = 0 gelten könnte) Jede Lage enthält nur O( P ) Knoten. Immer vier Knoten in einer Lage haben einen gemeinsamen Vorgänger. Das Quadrat von mind. einem der vier Knoten enthält einen Punkt aus P. Jeder Punkt aus P ist pro Lage in nur einem Quadrat enthalten. Für alle Knoten v Qi in einer Lage benötigt der Aufruf QUADTREE(P i, Q i ) insgesamt nur O( P ) Zeit. Betrachte Knoten v Qi für den Q i keinen Punkt aus P enthält (also P i = ): O(1) Zeit pro Knoten insgesamt O( P ). Andernfalls: O( P i ) Zeit für Knoten v Qi insgesamt O( P ), da P i P

57 Tiefe des Quadtrees sei d die Tiefe des Quadtrees T (P) d + 1 Lagen Satz: Berechnung des Quadtrees Der Quadtree T (P) einer Punktmenge P enthält O((d + 1) P ) Knoten und kann in O((d + 1) P ) Zeit berechnet werden. Satz: Tiefe des Quadtrees Die Tiefe d von T (P) ist höchstens log 2 ( s c ) Beweis: Übungsaufgabe Seitenlänge s P NW P SW P NO P SO minimaler Abstand zwischen zwei Punkten c Für gleichmäßig verteilte Punkte ist die Tiefe d von T (P) klein. Beispiel: Liegen die Punkte auf einem polynomiell großen Gitter (z.b.: P 2 P 3 ), so gilt d O(log P ).

58 Bereichsanfrage Szenario: großer Straßengraph zeige nur einen kleinen Ausschnitt Problem: Bereichsanfrage Gegeben eine Punktmenge P (die Knoten in dem Straßengraph) sowie ein Rechteck R, finde alle Punkte aus P die in R liegen. Einfache Lösung: Teste für jeden Punkt p P, ob p in R liegt. Laufzeit O( P ), dabei werden ggf. sehr viel weniger Punkte angezeigt. Ziel im Folgenden: Nutze aus, dass nur ein sehr kleiner Anteil der P Punkte angezeigt werden muss.

59 Bereichsanfrage BEREICHSANFRAGE(v Q, R) (v Q ist ein Knoten von T (P) (zu Beginn die Wurzel)) if Q R then gib alle Punkte in Q aus else if v Q ist ein Blatt then if Q R enthält einen Punkt p P then gibt p aus else foreach Kind v Qi von v Q mit i {NW, NO, SW, SO} do if Q i R then BEREICHSANFRAGE(v Qi, R)

60 Bereichsanfrage BEREICHSANFRAGE(v Q, R) (v Q ist ein Knoten von T (P) (zu Beginn die Wurzel)) if Q R then gib alle Punkte in Q aus else if v Q ist ein Blatt then if Q R enthält einen Punkt p P then gibt p aus else foreach Kind v Qi von v Q mit i {NW, NO, SW, SO} do if Q i R then BEREICHSANFRAGE(v Qi, R) vorzeitiges Rekursionsende Es kann passieren, dass der gesamte Baum T (P) traversiert wird, aber: Rekursionsende Rekursionsaufruf Ein Quadrat außerhalb von R wird im Rekursionsaufruf nicht weiter verfolgt. Die Traversierung wird vorzeitig abgebrochen, wenn ein Quadrat komplett in R liegt. (Es werden nur noch die enthaltenen Knoten ausgegeben. Übung: Wie geht das schnell?)

61 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO R

62 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO R Starte mit der Wurzel

63 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO R Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für nur eins der Kinder

64 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO R Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für nur eins der Kinder Rekursionsaufruf für nur eins der Kinder

65 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO R Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für nur eins der Kinder Rekursionsaufruf für nur eins der Kinder Rekursionsaufruf für alle vier Kinder

66 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO R Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für nur eins der Kinder Rekursionsaufruf für nur eins der Kinder Rekursionsaufruf für alle vier Kinder Rekursionsende (Blätter erreicht): gib resultierende Knoten aus

67 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO R

68 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO Starte mit der Wurzel R

69 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für alle vier Kinder R

70 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für alle vier Kinder Süd-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenen Punkte R

71 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für alle vier Kinder Süd-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenen Punkte Süd-West-Knoten: Rekursionsaufruf für zwei Kinder Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf für ein Kind R

72 Bereichsanfrage Beispiel P NW P NO P SW P SO Starte mit der Wurzel Rekursionsaufruf für alle vier Kinder Süd-Ost-Knoten: vorzeitiger Abbruch und Ausgabe der enthaltenen Punkte Süd-West-Knoten: Rekursionsaufruf für zwei Kinder Nord-West-Knoten: Rekursionsaufruf für ein Kind Rekursionsende (Blätter erreicht): gib resultierende Knoten aus R