Winter 2015/2016, Prof. Thomas Müller, IEKP, KIT. Aufgabenblatt 9; Übung am 13. Januar (Mittwoch)

Transkript

1 Winte 05/06, Pof. Thoas Mülle, IEKP, KIT Aufgabenblatt 9; Übung a 3. Janua 006 Mittwoch. Fliehkaft Auf ein Wasseteilchen an de Obefläche wiken die Schwekaft g und die Fliehkaft ω x. Die senkecht zu Resultieenden F velaufende Tangente hat den Anstieg:, siehe Bild woaus folgt dy ω g x dx, tan φ dy dx ω x ω g g x y ω g x dx ω g x + C Fü x0 sei y0, woit wiedeu C0 wid, und an ehält y ω g x Paabel Die Flüssigkeit hat also die Gestalt eines Rotationspaaboloides, welches u so stäke nach innen gewölbt ist, je göße die Rotationsgeschwindigkeit ist. ODER:Diskussion ittels schiefe Ebene: und dann Veallgeeineung: F g sin φ F ω x cos φ it F entspicht de Hangabtiebskaft esultieend aus de Gewichtskaft, und F Kaft nach oben esultieend aus de Zentifugalkaft. g sin φ ω x cos φ dy dx tan φ ω x g

2 . Deios a Seine Gewichtskaft auf de Ede: F g,t g auf de Mond: F g,l M LG L Dait η 0.7 F g,l F g,t M L ηg L G kg b Deios ähnelt ehe eine Katoffel denn eine Kugel. Man nehe abe totzde an, dass Deios kugelföig ist. Sonst kann Deios bei diese geingen Entfenung vo Schwepunkt nicht eh als Punktasse betachtet, und dait das Gavitationsgesetz nicht eh ohne Intagation übe den Hielsköpe angewandt weden. Beechne die Winkelgeschwindigkeit, die de Astonaut in eine Deios- Ulaufbahn hat. Setze wie ie die Gewichtskaft gleich de Zentipetalkaft: A M D G D A ω D ω M D G D s Dait eeicht e die Rakete wiede nach de Zeit T : T π ω 8500s 8h. Hiefü ist diese Abspunggeschwindigkeit nötig: v ω D.43 s 5.6k h Bei Geschwindigkeiten daunte eeicht e igendwann den Deiosboden. Bis zu Fluchtgeschwindigkeit v F von de Deiosobefläche aus und gegenübe Deios in Ruhe E pot E kin M DG MD G D v F v F.03 D s gelangt e in igendeine höhee Deiosulaufbahn. Daübe veläßt e Deios zwa, bleibt abe noch in eine Masulaufbahn. Zusätzliche elevante Diskussion zu Theenkoplex: Geostationäe Bahn. Nicht elevant bei Deios, da Deios sich nicht deht.

3 3. Skyhook Gavitation Fliehkaft ax ax GρM e e d ρω d e GρM e ax e ρω ax e e ax GρM e ax e ρω ax e ax + e e ax ist tiviale Lösung GρM e ax e ω ax + e ax e ± ax + e ax ρgm e e ω 0 3 e + ρgm e e ω 5000k 4 π 86400s it M e kg; e ; G kgs ; ω halbe Weg zu Mond. Negative Loesung: Seil hängt duch die Ede und an de andeen Seite wiede aus. 3

4 4. Meteoit Fü den Punkt nächste Annäheung gilt v in, sonst wüde de Meteo ja noch nähe koen ode wäe vohe nähe gewesen. Dehiipulsehaltung: L o o p b v o s v ax v ax v 0 b s 5 it v ax vo b s s is positiv a s44k E o v o; s GM v o E Annäheung v ax GM s 6 GM ± + b 7 b Maxiale Geschwindigkeit des Meteoiten iniale potentielle Enegie v o Betachte Genzfälle v ax v o b s 48 s 8 v o s b v o 0 s 0 b 0 s 0 4

5 5. Inteplanetae Reise Kebin nach Deios a Statgeschwindigkit M M Dehipulsehaltung: Enegieehaltung: v K v D v GM K v GM v b Gesatenegie de Rakete v v K D 9 0 D v v GM K D K GM D K D v GM K D 3 K K K GM D K + D GM 4 K + K D E tot v GM K E tot GM K c Geschwindigkeit in Anhängigkeit von GM K + K D GM K 5 K D + GM 6 K D K + D E tot E kin + E pot : GM K + D v GM v GM K + D Gavitation I Als Zentalkaft ist die Gavitationskaft adial anziehend, d.h. in Kugelkoodinaten ist sie in Richtung ˆ geichtet. ˆ ist dabei de Einheitsvekto de Radialkoodinate. a Die Gavitationskaft außehalb de Ede ist diekt F G N E ˆ fü R 9 it de Vollständigkeit halbe den Weten E kg, R und de Gavitationskonstanten G N kg s. 5

6 Das Gavitationspotential U a Ot des Köpes egibt sich aus de Wegintegal de gewonnenen geleisteten Abeit: [ U F d dˆ GN E G N E ] E G N 0 wobei wiede gilt: R. b Fü die Gavitationskaft innehalb de Ede < R gilt unte Benutzung de Massendichte ρ E E /4/3 πr 3 F G N ρ E 4π 3 3 ˆ G N E ˆ R3 und entspechend fü das Gavitationspotential innehalb des Edadius R: R E U G N + G N [ ] E R R 3 d G R N E R + R 3 G N E R 3 3R 3 c Man definiee geschickteweise zu Veeinfachung folgende konstante Göße: g G N E R 4 Dann lässt sich das Gavitationspotential wie folgt scheiben: U g 3R R g 3 R gr g R R R 5 An de Edobefläche gilt also UR gr U 0, in de Nähe de Edobefläche gilt dann R und R R. Dait können wi das Potential wie folgt scheiben: R R + R U U 0 g g g 6 R R Setzt an jetzt noch wie üblich fü die Höhe h ein, so ehält an die potentielle Enegie Uh gh, wobei F g F R 6

7 7. Jaes Bond a Bobe siehe Skizze letzte Aufgabe - Kaft i innen eine Vollkugel ist linea zu Mittelpunkt geichtet. F G M DGL it Gρ 4 3 π k 4 3 G π3 ρ Gρ 4 ; 7 3 F a k 8 Ähnlich Fedependel s Ds Fedependel. Dies wude in de Volesung schon bespochen jedoch nicht in de Übung Schwingungen weden späte ausfühlich behandelt. Ansatz t 0 sin ωt t 0 ω sin ωt T 600s 45in b und jetzt ohne Spengstoff- elastische Stoss 0 ω sin ωt k sin ωt 9 k ω Gρ 4 3 π T 30 T π 3 Gρ 4 3 E pot kx Gρ4 3 π GM v 3 it M Ede kg; G kgs ; v GMEde s Elastische Stoss: Mv Mv n + c und Mv Mv n + c 33 c v + M s 34 Nun veliet die Masse natuelich wiede Enegie bei de Aufwätsbewegung. c kx v + M GM Ede v M + M GM ede M GM Ede + M M GM ede GM ede + M J 39 7

8 Obee Te egibt Null fü M, wie ewatet. kg T NT J Die Masse schlägt it eh Enegie ein, als die Explosion von TNT de selben Masse feisetzen wde. U eine Explosion diese Göße zu ehalten, bäuchte an,7t TNT! Übungsleite: Fank Hatann, IEKP, CN, KIT Tel.: ; Mobil - ie Tel.: ab und zu Eail: Fank.Hatann@kit.edu www-ekp.physik.uni-kalsuhe.de/ hatann/mechanik.ht 8

9 a Lagange-Punkte Syste Ede-Mond ohne Testasse: Ede und Mond otieen u Ihen geeinsa Schwepunkt, d.h. it gleiche Winkelgeschwindigkeit. Siehe auch Zeichnung weite unten. Masse Ede M; Masse Mond : S Ede; : S Mond; + d; d ; + M M+ d; M M+ d M ; Nebenbei: it M kg; kg; d k liegt de Schwepunkt S noch innehalb de Edkugel. Anziehungskaft: F GM d Mω ω 40 ω G d GM + d 3 4 a L: Fliehkaft und Mond ziehen in dieselbe Richtung Testasse µ Abstand zu Schwepunkt. Alledings ist das Ganze natuelich unabhängig von µ, d.h. µ läßt sich gleich küzen. Abstand Testasse zu Schwepunkt: d. GMµ d Gµ + µω d 4 GM d G GM + + d 3 d d + M 43 M d + M + d 3 + M + d 3 M d + M M M + d L: Fliehkaft wikt gegen beide Anziehungen. Abstand Testasse zu Schwepunkt: d GMµ d + + Gµ µω d + 46 GM d + + G M d + + GM + d 3 d + 47 M + M d 3 d + M Alles ähnlich L. Die Gavitationskäfte von Ede und Mond heben in L die Zentifugalkaft auf. L3: Wie L abe it ugedehte GMµ M + + Gµ d + µω + 50 d + M + d d 3 + M + 5 Die Gavitationskäfte von Ede und Mond heben in L3 die Zentifugalkaft auf. 9

10 b Das gleichseitige Deieck - Die 60 Gad Punkte: Dait eine koekte Keisbahn voliegt, uss die Fliehkaft/Zentifugalkaft duch S laufen und die hoizontalen und vetikalen Koponenten de Gavitation entspechen. Fliehkaft Gesat: Gavitationskaft Ede µ h } E S M } d cos60 o d Gavitationskaft Mond 60 o }h d tan60o 3 4 d d + M F F lieh µω 5 Hoizontale Fliehkaft: F F lieh,hoizontal µω d Gµ d + M M + GµM + d 3 d 53 + M GµM d Gµ d 54 cos 60 GµM d cos 60 Gµ d 55 F Gav,Ede,hoizotal F Gav,Mond,hoizotal 56 it cos60 Ode - Hoizontale Koponente auch via: Vetikale Fliekaft: F F lieh F F lieh,hoizontal F F liehkaft,vet µω d 57 d + M GµM + d tan60 d 3 tan tan 60Gµ M d + tan 60Gµ d 59 F Gav,Ede,vet F Gav,Mond,vet 60 Anekung sin 60; falls jeand it Sinus echnen ag. Ode - Vetikale Koponente auch via: F F lieh F F lieh,vetikal d tan 60 d sin

11 b Coioliskaft In de Bewegungsgleichung fü den senkechten Wuf titt auße de Gewichtskaft g zusätzlich die Coioliskaft v ω auf: a d v dt g + v ω 6 I itotieenden Koodinatensyste s. Bild; die Stiche von v, x, y, z sind de Übesichtlichkeit halbe weggelassen ist fü einen Punkt it de geogaphischen Beite φ: ω ω k, g gcos φ j + sin φ k, v 0 v 0 cos φ j + sin φ k Anfangsgeschwindigkeiten und allgeein: v v x i + v y j + v z k. Dies in 6 eingesetzt, liefet die dei Diffeentialgleichungen v x ωv y, v y ωv x, v z g sin φ 63 duch die Bewegung beschieben wid. 63a nach de Zeit diffeenzieen und in 63b eingesetzt, egibt eine lineae DGL. Odnung fü v x : v x + 4ω v x ωg cos φ ω senkecht 64 it g senkecht g cos φ. it den Anfangsbedingungen v x 0 und v x ωv y ωv 0 cos φ fü t0 findet an als deen Lösung das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v x t dx dt v 0 cos φ sin ωt g sennkecht ω cos ωt]; an kontolliee dies duch Einsetzen in 64. Nach Integation übe t it xt00 folgt das zugehöige Weg-Zeit-Gesetz xt t 0 v x dt v 0 cos φ ω cos ωt g senkecht 4ω ωt sin ωt 65 Man ekennt, dass nu die zu ω senkechten Koponenten v 0 cos φ und g senkecht in die seitliche Abweichung eingehen. Fü nicht allzugoß Wufzeiten ωt wid it cos ωt ω t und ωt sin ωt 4ω 3 t 3 /3 sowie de Steigzeit t s T/ v 0 /g die halbe seitliche Abweichung x/ ωgt 3 s cos φ/3. Mit ω π/4h 7, ad/s und t s 65.0s ehält an daaus die gesuchte Abweichung zu x57,.