F2 Zusammenfassung Letzte Tips zur Klausur

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1 F2 Zusammenfassung Letzte Tips zur Klausur Berndt Farwer FB Informatik, Uni HH F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.1/15

2 Funktionen vs. Relationen Funktionen sind eindeutig, Relationen brauchen nicht eindeutig zu sein! Wo ist der Unterschied wichtig? F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.2/15

3 Funktionen vs. Relationen Funktionen sind eindeutig, Relationen brauchen nicht eindeutig zu sein! Wo ist der Unterschied wichtig? In der Automatentheorie: Determinismus (DFA, DPDA), Nichtdeterminismus (NFA, NPDA) allgemeiner: In der Graphentheorie; überall, wo keine Eindeutigkeit gefordert ist (z.b., ). F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.2/15

4 Was ist ein endlicher Automat? DFA A = (Z, Σ, δ, z 0, Z end ) δ meist grafisch dargestellt durch Zustandsübergangsdiagramm F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.3/15

5 Was ist ein endlicher Automat? DFA A = (Z, Σ, δ, z 0, Z end ) δ meist grafisch dargestellt durch Zustandsübergangsdiagramm, z.b. a b 0 1 b F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.3/15

6 Was ist ein endlicher Automat? DFA A = (Z, Σ, δ, z 0, Z end ) δ meist grafisch dargestellt durch Zustandsübergangsdiagramm, z.b. a b 0 1 b oder als Übergangstabelle F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.3/15

7 Was ist ein endlicher Automat? DFA A = (Z, Σ, δ, z 0, Z end ) δ meist grafisch dargestellt durch Zustandsübergangsdiagramm, z.b. a b 0 1 b oder als Übergangstabelle : δ a b z 0 z 0 z 1 z 1 z 1 F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.3/15

8 Eigenschaften DFA vs. NFA Zu jedem NFA existiert äquivalenter DFA. F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.4/15

9 Eigenschaften DFA vs. NFA Zu jedem NFA existiert äquivalenter DFA. Idee: Merke in den Zuständen des Potenzautomaten, wo man sich im NFA aufhalten könnte. F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.4/15

10 Eigenschaften DFA vs. NFA Zu jedem NFA existiert äquivalenter DFA. Idee: Merke in den Zuständen des Potenzautomaten, wo man sich im NFA aufhalten könnte. Endzustände sind diejenigen, in denen im NFA ein Endzustand erreichbar war. F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.4/15

11 Eigenschaften DFA vs. NFA Zu jedem NFA existiert äquivalenter DFA. Idee: Merke in den Zuständen des Potenzautomaten, wo man sich im NFA aufhalten könnte. Endzustände sind diejenigen, in denen im NFA ein Endzustand erreichbar war. Vollständigkeit F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.4/15

12 Eigenschaften DFA vs. NFA Zu jedem NFA existiert äquivalenter DFA. Idee: Merke in den Zuständen des Potenzautomaten, wo man sich im NFA aufhalten könnte. Endzustände sind diejenigen, in denen im NFA ein Endzustand erreichbar war. Vollständigkeit weitere Eigenschaften: (fast) buchstabierend F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.4/15

13 Abschlußeigenschaften (Typ-3) Für reguläre Mengen R 1 und R 2, auch regulär: Vereinigung R 1 R 2 F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.5/15

14 Abschlußeigenschaften (Typ-3) Für reguläre Mengen R 1 und R 2, auch regulär: Vereinigung R 1 R 2 Komplexprodukt R 1 R 2 F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.5/15

15 Abschlußeigenschaften (Typ-3) Für reguläre Mengen R 1 und R 2, auch regulär: Vereinigung R 1 R 2 Komplexprodukt R 1 R 2 ternbildung R1 F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.5/15

16 Abschlußeigenschaften (Typ-3) Für reguläre Mengen R 1 und R 2, auch regulär: Vereinigung R 1 R 2 Komplexprodukt R 1 R 2 ternbildung R1 Durchschnitt R 1 R 2 F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.5/15

17 Abschlußeigenschaften (Typ-3) Für reguläre Mengen R 1 und R 2, auch regulär: Vereinigung R 1 R 2 Komplexprodukt R 1 R 2 ternbildung R1 Durchschnitt R 1 R 2 Komplement Σ \ R 1 F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.5/15

18 Abschlußeigenschaften (Typ-3) Für reguläre Mengen R 1 und R 2, auch regulär: Vereinigung R 1 R 2 Komplexprodukt R 1 R 2 ternbildung R1 Durchschnitt R 1 R 2 Komplement Σ \ R 1 Reversal R rev 1 F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.5/15

19 Abschlußeigenschaften (Typ-3) Für reguläre Mengen R 1 und R 2, auch regulär: Vereinigung R 1 R 2 Komplexprodukt R 1 R 2 ternbildung R 1 Durchschnitt R 1 R 2 Komplement Σ \ R 1 Reversal R rev 1 (inverse) Homomorphismen h(r 1 ), h 1 (R 1 ) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.5/15

20 Abschlußeigenschaften (Typ-3) Für reguläre Mengen R 1 und R 2, auch regulär: Vereinigung R 1 R 2 Komplexprodukt R 1 R 2 ternbildung R 1 Durchschnitt R 1 R 2 Komplement Σ \ R 1 Reversal R rev 1 (inverse) Homomorphismen h(r 1 ), h 1 (R 1 ) reguläre ubstitution σ(r 1 ) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.5/15

21 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

22 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

23 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck a ist rationaler Ausdruck für alle a Σ ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

24 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck a ist rationaler Ausdruck für alle a Σ ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: (A + B) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

25 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck a ist rationaler Ausdruck für alle a Σ ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: (A + B) A B F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

26 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck a ist rationaler Ausdruck für alle a Σ ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: (A + B) A B (A) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

27 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck M = = {} a ist rationaler Ausdruck für alle a Σ ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: (A + B) A B (A) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

28 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck M = = {} a ist rationaler Ausdruck für alle a Σ ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: (A + B) A B (A) M a = {a} F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

29 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck M = = {} a ist rationaler Ausdruck für alle a Σ ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: M a = {a} (A + B) M (A+B) = (M A M B ) A B (A) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

30 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck M = = {} a ist rationaler Ausdruck für alle a Σ ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: M a = {a} (A + B) M (A+B) = (M A M B ) A B M A B = M A M B (A) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

31 rationale Ausdrücke ei Σ ein Alphabet. Rationale Grund- Ausdrücke sind: ist rationaler Ausdruck M = = {} a ist rationaler Ausdruck für alle a Σ ind A und B rationale Ausdrücke, dann sind auch folgende Ausdrücke rational: M a = {a} (A + B) M (A+B) = (M A M B ) A B (A) M A B = M A M B M (A) = (M A ) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.6/15

32 rat. Ausdrücke vs. reguläre Mengen Rationale Ausdrücke beschreiben genau die regulären Mengen! F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.7/15

33 rat. Ausdrücke vs. reguläre Mengen Rationale Ausdrücke beschreiben genau die regulären Mengen! Durch endliche Automaten beschriebene prachen lassen sich auch durch rationale Ausdrücke beschreiben. [R k i,j-konstruktion] F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.7/15

34 rat. Ausdrücke vs. reguläre Mengen Rationale Ausdrücke beschreiben genau die regulären Mengen! Durch endliche Automaten beschriebene prachen lassen sich auch durch rationale Ausdrücke beschreiben. [R k i,j-konstruktion] Durch rationale Ausdrücke beschriebene Mengen sind auch durch endliche Automaten darstellbar. [Abschlußeigenschaften] F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.7/15

35 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

36 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch Kontextfreie Grammatiken F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

37 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch Kontextfreie Grammatiken G = (V N, V T, P, ) A w V N (V N V T ) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

38 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch Kontextfreie Grammatiken G = (V N, V T, P, ) A w V N (V N V T ) Chomsky-Normalform-Grammatiken F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

39 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch Kontextfreie Grammatiken G = (V N, V T, P, ) A w V N (V N V T ) Chomsky-Normalform-Grammatiken V N (VN 2 V T ) A BC oder A a F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

40 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch Kontextfreie Grammatiken G = (V N, V T, P, ) A w V N (V N V T ) Chomsky-Normalform-Grammatiken V N (VN 2 V T ) A BC oder A a Greibach-Normalform-Grammatiken F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

41 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch Kontextfreie Grammatiken G = (V N, V T, P, ) A w V N (V N V T ) Chomsky-Normalform-Grammatiken V N (VN 2 V T ) A BC oder A a Greibach-Normalform-Grammatiken A aa 1 A 2 V N V T V N F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

42 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch Kontextfreie Grammatiken G = (V N, V T, P, ) A w V N (V N V T ) Chomsky-Normalform-Grammatiken V N (VN 2 V T ) A BC oder A a Greibach-Normalform-Grammatiken A aa 1 A 2 V N V T V N Kellerautomaten F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

43 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch Kontextfreie Grammatiken G = (V N, V T, P, ) A w V N (V N V T ) Chomsky-Normalform-Grammatiken V N (VN 2 V T ) A BC oder A a Greibach-Normalform-Grammatiken A aa 1 A 2 V N V T V N Kellerautomaten A = (Z, Σ, Γ, K, Z start, Z end ) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

44 kontextfreie prachen... lassen sich beschreiben durch Kontextfreie Grammatiken G = (V N, V T, P, ) A w V N (V N V T ) Chomsky-Normalform-Grammatiken V N (VN 2 V T ) A BC oder A a Greibach-Normalform-Grammatiken A aa 1 A 2 V N V T V N Kellerautomaten A = (Z, Σ, Γ, K, Z start, Z end ) pezialfall: Rechtslineare Grammatiken äquivalent zu NFAs F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.8/15

45 Ableitung(sbaum) Grammatik mit Regeln: ab λ Ableitungen können geschrieben werden: F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.9/15

46 Ableitung(sbaum) Grammatik mit Regeln: ab λ Ableitungen können geschrieben werden: linear: als Baum: F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.9/15

47 Ableitung(sbaum) Grammatik mit Regeln: ab λ Ableitungen können geschrieben werden: linear: als Baum: F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.9/15

48 Ableitung(sbaum) Grammatik mit Regeln: ab λ Ableitungen können geschrieben werden: linear: ab als Baum: a b F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.9/15

49 Ableitung(sbaum) Grammatik mit Regeln: ab λ Ableitungen können geschrieben werden: linear: ab aabb als Baum: a b a b F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.9/15

50 Ableitung(sbaum) Grammatik mit Regeln: ab λ Ableitungen können geschrieben werden: linear: ab aabb aabb als Baum: a b a b y F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.9/15

51 Ableitung(sbaum) Grammatik mit Regeln: ab λ Ableitungen können geschrieben werden: linear: ab aabb aabb aabb als Baum: a b a b y y F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.9/15

52 Ableitung(sbaum) Grammatik mit Regeln: ab λ Ableitungen können geschrieben werden: linear: ab aabb aabb aabb aabb als Baum: a b a a b b a a b b y a a b b y y a a b b y y y F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.9/15

53 Ableitung(sbaum) Grammatik mit Regeln: ab λ Ableitungen können geschrieben werden: linear: ab aabb aabb aabb aabb als Baum: Ableitungsbäume + Chomsky-Normalform Pumping-Lemma a b a b y y y F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.9/15

54 ubklassen der kontextfreien prachen Echte Teilmengen der kontextfreien prachen sind: F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.10/15

55 ubklassen der kontextfreien prachen Echte Teilmengen der kontextfreien prachen sind: Durch eindeutige kontextfreie Grammatiken erzeugte prachen: F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.10/15

56 ubklassen der kontextfreien prachen Echte Teilmengen der kontextfreien prachen sind: Durch eindeutige kontextfreie Grammatiken erzeugte prachen: w L(G) hat genau einen Ableitungsbaum bzw. genau eine Linksableitung. F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.10/15

57 ubklassen der kontextfreien prachen Echte Teilmengen der kontextfreien prachen sind: Durch eindeutige kontextfreie Grammatiken erzeugte prachen: w L(G) hat genau einen Ableitungsbaum bzw. genau eine Linksableitung. Durch deterministische Kellerautomaten akzeptierte prachen. F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.10/15

58 ubklassen der kontextfreien prachen Echte Teilmengen der kontextfreien prachen sind: Durch eindeutige kontextfreie Grammatiken erzeugte prachen: w L(G) hat genau einen Ableitungsbaum bzw. genau eine Linksableitung. Durch deterministische Kellerautomaten akzeptierte prachen. Beispiel: L := {wcw rev w {a, b} } ist deterministisch kontextfrei und eindeutig: aa bb c ist eindeutige Grammatik für L. F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.10/15

59 ubklassen der kontextfreien prachen Echte Teilmengen der kontextfreien prachen sind: Durch eindeutige kontextfreie Grammatiken erzeugte prachen: w L(G) hat genau einen Ableitungsbaum bzw. genau eine Linksableitung. Durch deterministische Kellerautomaten akzeptierte prachen. Beispiel: L := {wcw rev w {a, b} } ist deterministisch kontextfrei und eindeutig: aa bb c ist eindeutige Grammatik für L. Die regulären Mengen. [Konstruktion einer CFG aus einem FA] F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.10/15

60 Akzeptierbedingungen Ein Wort w wird von einem endlichen Automaten A akzeptiert, gdw. es eine Erfolgsrechnung von A auf w gibt. F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.11/15

61 Akzeptierbedingungen Ein Wort w wird von einem endlichen Automaten A akzeptiert, gdw. es eine Erfolgsrechnung von A auf w gibt. (z 0, w) (z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.11/15

62 Akzeptierbedingungen Ein Wort w wird von einem endlichen Automaten A akzeptiert, gdw. es eine Erfolgsrechnung von A auf w gibt. (z 0, w) (z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end Bei Kellerautomaten: zwei unterschiedliche Bedingungen. F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.11/15

63 Akzeptierbedingungen Ein Wort w wird von einem endlichen Automaten A akzeptiert, gdw. es eine Erfolgsrechnung von A auf w gibt. (z 0, w) (z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end Bei Kellerautomaten: zwei unterschiedliche Bedingungen. mit Endzustand akzeptierte prache L(A) (, z 0, w) (v, z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.11/15

64 Akzeptierbedingungen Ein Wort w wird von einem endlichen Automaten A akzeptiert, gdw. es eine Erfolgsrechnung von A auf w gibt. (z 0, w) (z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end Bei Kellerautomaten: zwei unterschiedliche Bedingungen. mit Endzustand akzeptierte prache L(A) (, z 0, w) (v, z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end mit leerem Keller akzeptierte prache N(A) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.11/15

65 Akzeptierbedingungen Ein Wort w wird von einem endlichen Automaten A akzeptiert, gdw. es eine Erfolgsrechnung von A auf w gibt. (z 0, w) (z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end Bei Kellerautomaten: zwei unterschiedliche Bedingungen. mit Endzustand akzeptierte prache L(A) (, z 0, w) (v, z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end mit leerem Keller akzeptierte prache N(A) (, z 0, w) (λ, z, λ) mit z 0 Z start und z Z F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.11/15

66 Akzeptierbedingungen Ein Wort w wird von einem endlichen Automaten A akzeptiert, gdw. es eine Erfolgsrechnung von A auf w gibt. (z 0, w) (z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end Bei Kellerautomaten: zwei unterschiedliche Bedingungen. mit Endzustand akzeptierte prache L(A) (, z 0, w) (v, z e, λ) mit z 0 Z start und z e Z end mit leerem Keller akzeptierte prache N(A) (, z 0, w) (λ, z, λ) mit z 0 Z start und z Z Beide Akzeptierbedingungen sind äquivalent! F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.11/15

67 Abschlußeigenschaften (Typ-2) Vereinigung Durchschnitt Durchschnitt mit regulären Mengen Komplexprodukt ternbildung Komplement kontextfreie ubstitution Homomorphismen inverse Homomorphismen kontextfrei det. kontextfrei F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.12/15

68 Entscheidbarkeiten (Typ-2) Leerheit Universalität Endlichkeit Wortproblem Inklusion Äquivalenz Eindeutigkeit kontextfrei det. kontextfrei F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.13/15

69 Entscheidbarkeiten (Typ-2) Leerheit Universalität Endlichkeit Wortproblem Inklusion Äquivalenz Eindeutigkeit Nicht entscheidbar sind auch: kontextfrei det. kontextfrei Ein-/Mehrdeutigkeit kontextfreier Grammatiken L 1 L 2 = für kontextfreie prachen L 1 und L 2 F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.13/15

70 formale chreibweise Es ist wichtig, z.b. Mengen formal korrekt zu notieren: Die Menge L aller Wörter, die zwei d s enthalten. F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.14/15

71 formale chreibweise Es ist wichtig, z.b. Mengen formal korrekt zu notieren: Die Menge L aller Wörter, die zwei d s enthalten. Über welchem Alphabet? F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.14/15

72 formale chreibweise Es ist wichtig, z.b. Mengen formal korrekt zu notieren: Die Menge L aller Wörter, die zwei d s enthalten. Über welchem Alphabet? Σ := {c, d} F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.14/15

73 formale chreibweise Es ist wichtig, z.b. Mengen formal korrekt zu notieren: Die Menge L aller Wörter, die zwei d s enthalten. Über welchem Alphabet? Σ := {c, d} Mindestens zwei oder genau zwei d s? F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.14/15

74 formale chreibweise Es ist wichtig, z.b. Mengen formal korrekt zu notieren: Die Menge L aller Wörter, die zwei d s enthalten. Über welchem Alphabet? Σ := {c, d} Mindestens zwei oder genau zwei d s? Darstellungsmöglichkeiten: L = L(A) für A = ({0, 1, 2}, {c, d}, {(0, c, 0), (0, d, 0), (0, d, 1), (1, c, 1), (1, d, 1), (1, d, 2), (2, c, 2), (2, d, 2)}, {0}, {2}) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.14/15

75 formale chreibweise Es ist wichtig, z.b. Mengen formal korrekt zu notieren: Die Menge L aller Wörter, die zwei d s enthalten. Über welchem Alphabet? Σ := {c, d} Mindestens zwei oder genau zwei d s? Darstellungsmöglichkeiten: L = L(A) für A = ({0, 1, 2}, {c, d}, {(0, c, 0), (0, d, 0), (0, d, 1), (1, c, 1), (1, d, 1), (1, d, 2), (2, c, 2), (2, d, 2)}, {0}, {2}) L = L(G) für G = ({, A}, {c, d}, {(, AdAdA), (A, ca), (A, da), (A, λ)}, ) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.14/15

76 formale chreibweise Es ist wichtig, z.b. Mengen formal korrekt zu notieren: Die Menge L aller Wörter, die zwei d s enthalten. Über welchem Alphabet? Σ := {c, d} Mindestens zwei oder genau zwei d s? Darstellungsmöglichkeiten: L = L(A) für A = ({0, 1, 2}, {c, d}, {(0, c, 0), (0, d, 0), (0, d, 1), (1, c, 1), (1, d, 1), (1, d, 2), (2, c, 2), (2, d, 2)}, {0}, {2}) L = L(G) für G = ({, A}, {c, d}, {(, AdAdA), (A, ca), (A, da), (A, λ)}, ) L = M R für R = (c + d) d(c + d) d(c + d) F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.14/15

77 Viel Erfolg bei der Klausur!!! F2-ommersemester 2001-(10.6.) p.15/15

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