Elemente der Stochastik (SoSe 2016) 3. Übungsblatt

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1 Dr. M. Weimar Elemente der Stochastik (SoSe 016) 3. Übungsblatt Aufgabe 1 (1++=5 Punkte) Das nachfolgende Glücksrad wird einmal gedreht. Ferner bezeichne P eine Abbildung mit den Eigenschaften P ({q}) = 5, P ({b}) = 1 8, P ({w}) = 1 4. (1) a) Geben sie eine geeignete Ergebnismenge Ω für das Experiment an. b) Lässt sich P zu einem W-Maß auf Ω ausweiten, falls zusätzlich zu (1) bekannt ist, dass P ({s}) = 1 10? Begründen sie! c) Lässt sich P zu einem W-Maß auf Ω ausweiten, falls zusätzlich zu (1) bekannt ist, dass P ({c}) = 3 10? Begründen sie! Aufgabe ( Punkte) Konstruieren sie ein Beispiel in dem die folgende Ungleichung erfüllt ist: P (A B) > P (A) P (B). Aufgabe 3 (++=6 Punkte) a) Wieviele verschiedene dreistellige Zahlen lassen sich aus den Ziffern, 3, 5, 7 bilden? b) Wieviele solcher Zahlen lassen sich bilden, wenn man fordert, dass alle Ziffern verschieden sein sollen? c) Ändern sich die Anzahlen in a) bzw. b), wenn man die Primzahlen, 3, 5, 7 durch die Ziffern 1, 4, 6, 8 ersetzt? Begründen sie ihre Antworten! Aufgabe 4 (+=4 Punkte) Das nachfolgende Glücksrad wird einmal gedreht. Jedes der abgebildeten Elementarereignisse besitze eine echt positive W-keit tatsächlich einzutreten. Stellen sie fest, ob folgende Schlüsse jeweils richtig sind oder nicht (inklusive Begründung)! a) Wird dem Ergebnis 1 die W-keit 1/4 und dem Ergebnis 5 die W-keit 1/6 zugeordnet, so erhält man das Ereignis 1 oder 5 mit der W-keit 5/1. b) Die W-keit für eine gerade Zahl als Ergebnis der Drehung betrage 3/5, die für eine durch drei teilbare Zahl /5. Dann tritt mit W-keit 1 das Ereignis Ergebnis ist durch zwei oder durch drei teilbar ein. bitte wenden

2 Zusatzaufgabe a) Wieviele verschiedene Belegungen gibt es für die drei Boxen im nebenstehenden Bild? b) Wieviele der möglichen Belegungen aus Teilaufgabe a) machen die abgebildete Gleichung zu einer wahren Aussage? c) Wieviele mögliche Belegungen müssen sie ausprobieren bis sie die Antwort für Teilaufgabe b) mit Sicherheit kennen? Abgabe (freiwillig, ohne Zusatzaufgabe): In den Tutorien während der 4. Vorlesungswoche ( )

3 Musterlösung zum 3. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 016) Aufgabe 1. a) Ω = {q, s, b, w, c} b) Die angegebenen W-keiten für die Elementarereignisse {q}, {b}, {w}, {s} sind alle nicht negativ. Ihre Summe beträgt = = = 7 8 = Setzt man P ({c}) := 1 8 = 0.15, und definiert P (A) := ω Ω P ({ω}) für alle A Ω, so bildet P nach Satz 5.15 ein W-Maß auf Ω. c) Hier beträgt die Summe der bereits gesetzten W-keiten für die Elementarereignisse {q}, {b}, {w}, {c} bereits = = 43 = > Somit kann kein W-Maß auf Ω diese Vorgaben erfüllen. Aufgabe. Wichtig hier: Angabe aller Zutaten! Z.B.: Ω = {x, y, z} mit Gleichverteilung P und Ereignissen A = {x} und B = {x, z}. Dann ist A B = {x} und damit P (A B) = 1 3 = 3 9 und P (A) P (B) = = 9. Aufgabe 3. Fundamentalprinzip des Zählens! a) Man kann = 4 3 = 64 verschiedene dreistellige Zahlen aus vier verschiedenen Ziffern bilden, denn für jede der drei Stellen gibt es jeweils vier mögliche Belegungen. b) Ohne Wiederholungen gibt es nur 4 3 = 4 Kombinationen: vier verschiedene Ziffern stehen für die erste Stelle zur Auswahl, drei für die zweite und nur noch zwei für die letzte. c) Natürlich ändert sich gar nichts. Wie aus der Herleitung für a) und b) ersichtlich ist, geht es einzig und allein darum, wieviele verschiedene Objekte für die einzelnen Stellen jeweils zur Auswahl stehen. Ob das Primzahlen, Obstsorten, oder Hieroglyphen sind, spielt keine Rolle! Aufgabe 4. Es bezeichne P ein W-Maß auf Ω = {1,, 3, 4, 5, 6}. a) Die Schlussfolgerung stimmt. Für A = {1} und B = {5} gilt A B =. Damit ist (gemäß den Annahmen für P (A) und P (B) und dem Additivitätsaxiom) P ( 1 oder 5 ) = P (A B) = P (A) + P (B) = = = 5 1. b) Diese Schlussfolgerung stimmt nicht. Hier führt C = gerade = {, 4, 6} und D = durch drei teilbar = {3, 6} auf C D = {6}, wobei nach Voraussetzung P ({6}) > 0 gilt. Damit gilt für C D = Ergebnis ist durch zwei oder durch drei teilbar P (C D) = P (C) + P (D) P (C D) = P (C D) = 1 P ({6}) < 1. 5 Zusatzaufgabe. a) Es stehen acht verschiedene Zahlen für jede der drei Boxen zur Verfügung. Analog zu Aufgabe 3a) ergeben sich = 8 3 = 51 mögliche Belegungen. b) Offensichtlich löst keine der 51 möglichen Belegungen die Gleichung. Alle zur Auswahl stehenden Zahlen sind ungerade. Die Summe aus drei ungeraden Zahlen ist stets wieder ungerade und kann daher niemals (die gerade Zahl) 30 ergeben. c) Hoffentlich keine

4 Vorschläge für die Tutorien zum 3. Übungsblatt Elemente der Stochastik (SoSe 016) Aufgabe 5 Zeigen Sie durch Angabe eines Beispiels, dass die Abschätzung P (A B) P (A) P (B) im Allgemeinen nicht richtig ist. Wähle Ω := {1, } mit der Gleichverteilung P und setze A := {1} und B := {}. Dann ist P (A B) = P ( ) = 0 < 1 4 = 1 1 = P (A) P (B). Aufgabe 6 (Kütting/Sauer, Sect..6.5, Aufg. 8, S.10) Untersuchen sie, ob die folgenden drei Schlüsse richtig sind. Gewürfelt wird jeweils mit einem Laplace- Würfel. a) Die W-keit eine Drei zu würfeln beträgt 1/6. Gleiches gilt für eine Zwei. Also beträgt die W-keit eine Zwei oder eine Drei zu würfeln 1/3. b) Die W-keiten für eine ungerade Zahl bzw. eine Zweierpotenz betragen jeweils 1/. Daher ist es sicher, eine ungerade Zahl oder eine Zweierpotenz zu würfeln. c) Es werde zweimal gewürfelt. Die W-keiten im ersten bzw. zweiten Wurf eine drei zu würfeln betragen jeweils 1/6. Also beträgt die W-keit im ersten oder zweiten Wurf eine drei zu würfeln 1/3. a) Richtig. Lösung genau wie Aufgabe 4a) b) Falsch. (6 ist weder ungerade, noch eine Zweierpotenz, tritt aber mit positiver W-keit 1/6 auf.) Lösung analog zu Aufgabe 4b): A = {1, 3, 5} und B = {1,, 4} führen auf A B = {1,, 3, 4, 5} und A B = {1} (Venn-Diagramme nutzen!). Also P (A B) = 5 6 = = P (A) + P (B) P (A B) < 1. c) Falsch. Lösung wie in b): Diesmal ist Ω = {1,,..., 6}, sowie A = {(3, l) l {1,,..., 6}} und B = {(k, 3) k {1,,..., 6}}. Also A B = {(3, 3)}, sodass P (A B) = 1/36 und damit P (A B) = 11/36 < 1/3. Aufgabe 7 (Empirische W-keit) Aus einer Urne mit vier nummerierten Kugeln mit den Nummern 1,, und 4 wird 100-mal zufällig eine Kugel gezogen und jeweils sofort (also jeweils vor der nächsten Ziehung) wieder in die Urne zurückgelegt. Das Ergebnis sehe folgendermaßen aus: Kugel Nr. 1 wird 7 Mal gezogen, Kugeln mit der Nr. werden insgesamt 4 Mal gezogen, und Kugel Nr. 4 wird 31 Mal gezogen. Geben sie eine geeignete Ergebnismenge an und berechnen sie die statistischen Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse! Ω = {1,, 4} (Es gibt keinen Grund Unterscheidbarkeit der Kugeln mit der Nummer anzunehmen). Also P(Ω) = Ω = 3 = 8 Ereignisse mit relativen Häufigkeiten h 100 ( ) = 0, h 100 ({1}) = 0.7, h 100 ({}) = 0.4 h 100 ({4}) = 0.31, h 100 ({1, }) = 0.69, h 100 ({1, 4}) = 0.58, h 100 ({, 4}) = 0.73 h 100 ({1,, 4}) = 1,

5 denn z.b. h 100 ({1, 4}) = H 100({1, 4}) H 100 (Ω) = Anzahl der Versuche mit Ausgang in {1, 4} Gesamtzahl der Versuche = = Aufgabe 8 (vgl. Kütting/Sauer, Sect..6.5, Aufg. 6a, S.10) Was ist (unter natürlichen Annahmen) wahrscheinlicher? Begründen sie ihre Antwort! Szenario Nr.1: Zwei zufällig ausgewählte Personen haben am gleichen Tag Geburtstag. Szenario Nr.: Eine zufällig gewählte Person hat an ihrem Klausurtermin Geburtstag. Beides ist gleichwahrscheinlich: Szenario Nr.1: Modell: zufällige Auswahl aus Ω 1 := {(k, l) 1 k, l 365} bzgl. Gleichverteilung P 1 und A 1 := {(k, k) 1 k 365}. Dann ist P 1 (A 1 ) = A 1 / Ω 1 = 365/365 = 1/365. Szenario Nr.: Modell: zufällige Auswahl aus Ω := {j 1 j 365} mit Gleichverteilung P und A := Tag der Klausur ausgewählt. Dann ist P (A ) = A / Ω = 1/365.