Baden-Württemberg: Abitur 2014 Pflichtteil Lösungen. Für die Ableitungsfunktion werden die Produkt- und Kettenregel benötigt:

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1 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Lösungen Aufgabe : Zunächst wird die Funktionsgleichung von f umgeschrieben in 0,5 x f(x) = x e Für die Ableitungsfunktion werden die Produkt- und Kettenregel benötigt: f (x) = 0,5x e + x e = e + x e x 0,5 x 0,5 x x x Aufgabe : ( ) (x+ ) (x+ ) dx= 4 x+ dx = (x+ ) = = ( ) = 9 9 Aufgabe : Zunächst wird die Gleichung gleich Null gesetzt: 4 x x 4= 0 Mit der Substitution x = u folgt: u u 4= 0 ± 9 4 ( 4) ± 5 Anwendung der Lösungsformel: u, = = u = 4 und u = Rücksubstitution: x = 4 x=± x = ergibt keine Lösung. Lösungsmenge L = {-; } Aufgabe 4: a) Der Graph von f wird mit dem Faktor in y-richtung gestreckt. Anschließend wird er mit dem Faktor π in x-richtung gestaucht. Danach wird er um Längeneinheiten nach unten verschoben. b) Nullstellen von g: g(x) = 0 π π π cos x = 0 cos x = cos x = Die Funktion y= cos(x) nimmt an den Stellen x = 0, π, 4 π,... den Wert an. π x = 0 x = 0 π x = π x = 4 Im gegebenen Intervall gibt es daher zwei Nullstellen x = 0 und x = 4. 4

2 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Aufgabe 5: a) Aus dem Schaubild kann man ablesen, dass g() = - ist. Somit ist f(g()) = f(-) = 5. Gesucht ist x, so dass f(g(x)) = 0 ist..lösungsmöglichkeit: Es ist f(4) = 0. Gesucht ist daher ein x-wert, so dass g(x) = 4 ist. Dies wäre für x = - der Fall..Lösungsmöglichkeit: Es ist f(0) = 0. Gesucht ist daher ein x-wert, so dass g(x) = 0 ist. Dies wäre für x = der Fall. b) Mit der Produktregel folgt: h() = f () g() + f() g() Es ist f () = 0, da an der Stelle x = die Parabel einen Tiefpunkt besitzt. Es ist g() =, da die Gerade die Steigung m = - besitzt. Außerdem gilt f() = -4 und g() = 0. h() = ( 4) ( ) = 4 Hinweis: Man könnte auch die Aufgabe dadurch lösen, dass man für die beiden Schaubilder die zugehörigen Funktionsgleichungen aufstellt und das ganze dann rechnerisch löst. Dies wäre jedoch deutlich aufwändiger und würde vom zeitlichen Aufwand her nicht zu der Punktzahl passen, die man bei der Aufgabe erzielen kann. Aufgabe 6: a) Schnittpunkte der Ebene E: x+ x = 4 mit den Koordinatenachsen: S (x /0/0) = S (4/0/0) x x S (0/ x /0) = S (0/ 4/0) x x S (0/0/ x ) existiert nicht, da dies auf einen Widerspruch 0 = 4 führt. x Die Ebene ist folglich parallel zur x-achse. Schnittpunkte der Ebene F: x+ x + x = 4 mit den Koordinatenachsen: S (x /0/0) = S (4/0/0) x x S (0/ x /0) = S (0/ 4/0) x x S (0/0/ x ) = S (0/0/) x x 5

3 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Die Schnittgerade der Ebenen E und F ist die Gerade durch die Punkte S (4/0/0) und S (0/ 4/0). x x g: 4 4 x= 0 + s b) Da die Ebene G parallel zur x-achse verläuft, taucht die Variable x nicht in der Koordinatengleichung auf. Ansatz für die Koordinatengleichung von G: bx + cx = d Damit G dieselbe Spurgerade mit der xx-ebene wie F besitzt, muss G die Punkte S x (0/ 4/0) und Einsetzen von Einsetzen von S x (0/0/) besitzen. S x in die Koordinatengleichung: 4b= d S x in die Koordinatengleichung: c = d Wenn man z.b. d = 4 wählt, ergibt sich b = und c =. Eine mögliche Koordinatengleichung von G lautet damit: x + x = 4 Aufgabe 7: Zunächst benötigt man die Gleichung der Geraden g. 4 Es ist g: x= 0 + s 0 Zur Berechnung des Abstandes von g zu Punkt C(//) benötigt man eine Hilfsebene H. Diese Hilfsebene steht orthogonal zur Geraden g und enthält den Punkt C. Der Normalenvektor von H ist der Richtungsvektor von g. 4 Normalenform von H: x = 0 0 Koordinatengleichung von H: 4x+ x = Der Schnittpunkt von g mit H ergibt den Lotfußpunkt F: 4( 4s) + (0+ s) = 4+ 6s+ 0+ 9s= s= Einsetzen von s = - in die Gerade ergibt den Lotfußpunkt F(5/7/). Abstand von g zu C = CF= CF = 4 = = 5 LE 0 6

4 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Aufgabe 8: a) Die dargestellte Formel ergibt sich aus der Formel der Binomialverteilung: n k n k P(X= k) = p ( p) k Die Formel P(A) setzt sich aus drei Summanden zusammen: 8 0.Summand = 8 entspricht der obigen Formel mit n = 0, k = 8, p= Dieser stellt die Wahrscheinlichkeit dar, mit der man bei 0 Spielen am Automaten bei einer Verlustwahrscheinlichkeit von genau 8 Spiele verliert..summand = 0 9 entspricht der obigen Formel mit n = 0, k = 9, p= 0 0 Hinweis: Der.Summand lautet ausführlich 9, da = 0 ist 9 Dieser stellt die Wahrscheinlichkeit dar, mit der man bei 0 Spielen am Automaten bei einer Verlustwahrscheinlichkeit von genau 9 Spiele verliert. 9.Summand = 0 entspricht der obigen Formel mit n = 0, k = 0, p= Hinweis: Der.Summand lautet ausführlich 0 0, da = und = 0 Dieser stellt die Wahrscheinlichkeit dar, mit der man bei 0 Spielen am Automaten bei einer Verlustwahrscheinlichkeit von genau 0 Spiele verliert. 0 Fazit: Ereignis A heißt, dass man bei 0 Spielen am Automaten bei einer Verlustwahrscheinlichkeit von mindestens 8 verliert. b) Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der verlorenen Spiele am Automaten an. X ist binomialverteilt mit n = 4 und p= Es ist P(X= ) = 6 = = = Mit der Wahrscheinlichkeit 8 verliert der Spieler genau zwei von vier Spielen. 7 7

5 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Aufgabe 9:.Schritt: Man stellt die Gleichung einer Hilfsgeraden g auf. Diese Gerade g steht senkrecht auf der gegebenen Ebene (Richtungsvektor von g ist der Normalenvektor von E) und geht durch den Mittelpunkt M der Kugel (Ortsvektor der Gerade ist OM ).Schritt: Der Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E ist der gesuchte Berührpunkt B..Schritt: Den Abstand der Punkte M und B erhält man durch Berechnung von MB und entspricht dem Radius der Kugel. 8

6 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil A Lösungen Aufgabe A. a) Koordinaten des Extrempunktes: Notwendige und hinreichende Bedingung: f(x) = 0 und f (x) 0 GTR: Das Schaubild besitzt den Hochpunkt H(/7,6) Koordinaten des Wendepunktes: Notwendige und hinreichende Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0 GTR: Die Ableitungsfunktion hat ihr relatives Minimum bei x = 4. Somit besitzt K die Wendestelle x = 4. Außerdem gilt f(4) = 5,4. Das Schaubild besitzt den Wendepunkt W(4/5,4). Das Schaubild K besitzt für x die waagrechte Asymptote y = 0. Skizze von K:

7 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil A b) Skizze des Dreiecks: Die Fläche des Dreiecks OPQ berechnet sich mit A= OP PQ Mit OP= u und PQ= f(u) ergibt sich als Fläche der Term A(u) = u f(u). Nun soll gelten: u f(u) = 8 für u > 0. Die Gleichung wird mit dem GTR gelöst: Es gibt zwei Werte für u, für die die Dreiecksfläche den Inhalt 8 besitzt: u =,8 oder u = 6,6. Das Dreieck OPQ ist gleichschenklig, wenn die Seiten OP und PQ gleich lang sind. Da das Dreieck rechtwinklig ist bei P und OQ die längste Dreiecksseite darstellt,. gibt es keine andere Möglichkeit. Bedingung für Gleichschenkligkeit: OP PQ u f(u) = = für u > 0 Die Gleichung wird mit dem GTR gelöst: Für u = 4,6 ist das Dreieck OPQ gleichschenklig. 4

8 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil A c) Das gesuchte Intervall mit der Länge hat die Gestalt [x ; x+]. Ansatz für den Mittelwert: Berechnung mit dem GTR: x+ f(x)dx =, x Es existieren zwei Lösungen: x = -0,86 und x = 5,5. Die möglichen Intervalle lauten [-0,86 ;,8] und [5,5 ; 8,5]. Aufgabe A. Berechnung der Ableitungsfunktionen: f(x) t = x t x = t t f(x) x t f (x) = x Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrempunkte: f(x) t = 0 und f(x) t 0 t = = =± f(x) 0 x t 0 x t f(t) = t> 0 relatives Minimum ; t Da f(t) = t t = t ergibt sich als Tiefpunkt T(t/ t ) f( t t) = t< 0 relatives Maximum ; Da f( t) = ( t) ( t) = t ergibt sich als Hochpunkt Abstand der Extrempunkte: 4 d(t) = ( t) + ( t ) Bedingung: d(t) = für t > 0 Lösung mit GTR: H( t/ t ) d = (x x ) + (y y ) = ( t t) + ( t ( t )) H T H T Für t =, haben die beiden Extrempunkte den Abstand voneinander. 5

9 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil A Lösungen Aufgabe A. a) Skizze des Graphen von f: Zeitpunkt maximaler Ankunftsrate: Notwendige und hinreichende Bedingung: f(t) = 0 und f (t) 0 Berechnung mit dem GTR: Die Ankunftsrate ist maximal für t = 0. 0 Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die momentane Ankunftsrate maximal. Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden ankommen: Da es sich bei f(t) um die momentane Ankunftsratenfunktion handelt, ergibt sich die Anzahl der Fahrzeuge durch die Berechnung eines Integrals: 6 f(t)dt 769,05 (GTR). 0 In den ersten 6 Stunden kommen etwa 770 Fahrzeuge an.

10 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil A b) Die Gerade y = 0 stellt die Abfertigungsrate dar. Die Fahrzeuge beginnen sich zu stauen, wenn die Ankunftsrate f(t) oberhalb der Abfertigungsrate liegt. Berechnung des linken Schnittpunktes der Schaubilder: f(t) = 0 Mit dem GTR ergibt sich als Schnittstelle t =,54. Die Fahrzeuge beginnen sich etwa,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn zu stauen. Die Anzahl der Fahrzeuge, die sich stauen entsprechen der Fläche, die das Schaubild von f(t) und die waagrechte Gerade einschließt. Die rechte Schnittstelle der Schaubilder ist bei t =,86 Stunden. Bis zu diesem Zeitpunkt liegt die Ankunftsrate oberhalb der Abfertigungsrate, das heißt der Stau nimmt zu. Erst für t >,86 Stunden baut sich der Stau wieder ab. Die maximale Anzahl der Fahrzeuge, die sich stauen, berechnen sich folglich mit dem Integral,86 (f(t) 0)dt= 4,97 (GTR),54 Es befinden sich maximal etwa 5 Fahrzeuge vor der Grenze. Wenn die Abfertigungsrate nach Stunden auf 0 Fahrzeuge pro Stunde erhöht wird, ergibt sich folgendes Bild: 4

11 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil A Die Fahrzeuge beginnen sich auch hier nach t =,54 Stunden (linke Schnittstelle) zu stauen. Die rechte Schnittstelle ändert sich nun: Ansatz: f(t) = 0 Die Lösung mit dem GTR lautet t = 5,9 Stunden. Bis zu diesem Zeitpunkt liegt die Ankunftsrate oberhalb der Abfertigungsrate, das heißt der Stau nimmt zu. Erst für t > 5,9 Stunden baut sich der Stau wieder ab. Die maximale Anzahl der Fahrzeuge, die sich stauen, berechnen sich folglich mit dem Integral 5,9 (f(t) 0)dt + (f(t) 0)dt = 4,6+ 79,8 = 60,4 (GTR),54 Es befinden sich maximal etwa 600 Fahrzeuge vor der Grenze. Aufgabe. a) Koordinaten des Extrempunktes: Gegenüber der üblichen Vorgehensweise bei der Extrempunktberechnung ( f a (x) = 0 und f a (x) 0) ist es hier einfacher, auf Basis der bekannten Extrempunkte der Funktion y = cos(x) die Extrempunkte von f a (x) herzuleiten. Im Intervall π< x<π besitzt das Schaubild y = cos(x) nur den Hochpunkt H(0/). Im ersten Schritt wird y = cos(x) mit dem Faktor a in y-richtung gestreckt, dies ergibt y= a cos(x). Dadurch ändert sich nur der y-wert des Hochpunktes zu H(0/ a). Im zweiten Schritt wird y= a cos(x) um Dies ergibt f (x) = acos(x) a. a a nach unten verschoben. Dadurch ändert sich nur der y-wert des Hochpunktes zu gesuchte Extrempunkt. H(0/a a ) und dies ist der 5

12 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil A b) Das Schaubild G a schneidet die y-achse im in a) berechneten Hochpunkt H(0/a a ) für a > 0. Nun ist gefragt, welche Werte von dem Term können. Einzeichnen der Funktion h(a) = a a für a > 0 in den GTR: a a für a > 0 angenommen werden Die Funktion h(a) hat ihr Maximum für a = 0,5 mit h(0,5) = 0,5. Der Term a a kann für a > 0 alle Werte annehmen, die kleiner oder gleich 0,5 sind. Das heißt, dass der y-wert von H keine Werte oberhalb von 0,5 annehmen kann. Daher verläuft durch keinen Punkt P(0/y) mit y > 0,5 ein Graph G a. 6

13 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil B Aufgabe B.: a) Koordinatengleichung von E: Lösungen Die Parametergleichung der Ebene, in der die Punkte B, C und S liegen, ist E: x= 5 + r 0 + s Nun wird der Normalenvektor von E berechnet. Mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt sich 0 Als Normalenvektor kann n* = gewählt werden n= 0 5 = Ansatz für die Koordinatengleichung von E: x + 5x = d Einsetzen des Ebenenpunktes B(5/5/0) ergibt = 60= d Koordinatengleichung von E: x + 5x = 60 Gesucht ist der Schnittwinkel der Ebene E und der xx -Ebene (Normalenvektor cosα= = ; Es ist α= 67, ) Flächeninhalt des Dreiecks BCS: Die Fläche des Dreiecks kann mit der Formel ADreieck = BC BS berechnet werden. 0 Es ist BC BS= 0 (siehe Rechnung oben) und 50 0 BC BS = 0 = = Die Fläche des Dreiecks beträgt ADreieck = 0= 65 Flächeneinheiten. Hinweis: Man hätte die Dreiecksfläche auch mit Hilfe der Eigenschaft der Gleichschenkligkeit des Dreiecks berechnen können.

14 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil B b) Aufgrund der Skizze ergeben sich neben Q(,5/,5/0) als weitere Quadereckpunkte T(,5/-,5/0) und U(-,5/,5/0). Die Länge und die Breite des Quaders sind jeweils 5 LE. Für die Höhe des Quaders benötigt man die Koordinaten des Punktes R(,5/,5/?), der auf der Geraden durch B und S liegt. 5 5 Gleichung der Gerade durch B und S: x= 5 + s 5 0,5 5 5 Punktprobe mit R:,5 = 5 + s 5 daraus folgt s = 0,5 und x = 6 x 0 Mit R(,5/,5/6) ist die Höhe des Quaders h = 6. V = 5 5 6= 50VE Quader Der Quader ist dann ein Würfel, wenn der Eckpunkt R die Koordinaten R(x/x/x) besitzt. Einsetzen von R in die Gerade durch B und S:.Zeile: x= s x= 6s 5.Zeile: 6s= 5 5s s= und damit 0 x= x 5 5 x = 5 + s 5 x 0 Der gesuchte Eckpunkt R des Würfels hat die Koordinaten R( / / ). 4

15 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil B Aufgabe B.: a) Wahrscheinlichkeit für das Ziehen aus G: Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln. X ist binomialverteilt mit n = 0 und p = 0,6. Es gilt: P(X ) = P(X ) = 0,596 (GTR) Wahrscheinlichkeit für das Ziehen aus G: Diese Wahrscheinlichkeit kann nicht mit der Binomialverteilung berechnet werden, da vorgegeben ist, an welchen möglichen Stellen die schwarzen Kugeln zu ziehen sind (nämlich hintereinander): Angenommen, die beiden schwarzen Kugeln werden gleich am Anfang gezogen: 6 Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit 0, 0,7 Da die beiden schwarzen Kugeln aber auch während der Ziehung oder am Ende der Ziehung gezogen werden können, muss man berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, die beiden schwarzen Kugeln auf der 8 Stellen zu verteilen. Es gibt hierfür 7 Möglichkeiten. Daher gilt: P(genau schwarze Kugeln direkt hintereinander) = 6 7 0, 0,7 = 0,074 b) Folgende Fälle müssen betrachtet werden: A) Aus G werden schwarze Kugeln gezogen mit Wk 6 5 = 0 9 B) Aus G wird schwarze und weiße Kugel gezogen mit Wk = C) Aus G werden weiße Kugeln gezogen mit Wk 4 = Im Fall A) sind 5 schwarze Kugeln in G: P(schwarze Kugel) = 5 Im Fall B) sind 4 schwarze Kugeln in G: P(schwarze Kugel) = 4 Im Fall C) sind schwarze Kugeln in G: P(schwarze Kugel) = Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt: P(schwarze Kugel aus G) = = 0,

16 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil B Aufgabe B.: a) Koordinatengleichung von E: Lösungen Die Parametergleichung der Ebene, in der die Punkte A, B und C liegen, ist E: x= 6 + r 0 + s Nun wird der Normalenvektor von E berechnet Mit dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt sich n= 0 6 = Als Normalenvektor kann n* = gewählt werden. Ansatz für die Koordinatengleichung: x + x = d Einsetzen von A(0/6/0) in die Koordinatengleichung: 6+ 0= 6= d Koordinatengleichung von E: x + x = 6 Anschauliche Darstellung von Platte, Stab und Lichtquelle: Der Stab FT besitzt den Richtungsvektor 0 0.

17 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil B Winkel zwischen Stab und Platte: sinα= = 5 5 α= 6,4 b) Das obere Ende des Stabes ist der Punkt T(5/6/). Zur Berechnung des Schattenpunktes von T wird eine Gerade durch L(8/0/) und T aufgestellt. 8 g: x= 0 + s 4 0 Schnittpunkt der Ebene E mit g liefert den Schattenpunkt T*: 0 4s+ = 6 s= Einsetzen von s = in g: T*(//) Der Punkt T* liegt als Schnittpunkt von g und E in der Ebene E. Zu begründen ist, dass T* innerhalb des Rechtecks ABCD liegt. Die x-koordinate von T* liegt zwischen den x-koordinaten von A und B. Die x-koordinate von T* liegt zwischen den x-koordinaten von B und C. Damit liegt T* innerhalb des Rechtecks ABCD (also auf der Platte). Der Schattenpunkt von F ist F*. Da F auf der Platte liegt, stimmen F und F* überein. Da sich die Schattenpunkte T* und F* auf der Platte befinden, befindet sich folglich die Schattenstrecke T*F* auch auf der Platte. c) Die zur xx-ebene parallele Kreisbahn liegt in der Ebene H: x =, da die Lichtquelle L die x-koordinate besitzt. Die Kollisionspunkte liegen auf der Schnittgeraden k der Ebenen H und E: Berechnung der Schnittgeraden k: x + x = 6 x = Aus dem Gleichungssystem folgt x =, x =, x= t, t Gleichung der Schnittgeraden: k: 0 x= + s 0 0 Da die Kollisionspunkte auf der Gerade k liegen, haben diese die allgemeinen Koordinaten P(s//). s Der Radius der Kreisbahn beträgt LT = 4 = = 5m. 0 4

18 Baden-Württemberg: Abitur 04 Wahlteil B Nun muss der Parameter s so gewählt werden, dass der Geradenpunkt P s vom Mittelpunkt T der Kreisbahn den Abstand 5 besitzt: TPs = 5 s 5 TPs = 4 = (s 5) Bedingung: (s 5) + 6 = 5 (s 5) + 6= 5 s 5=± (s 5) = 9 Daraus folgt s = 8 oder s =. (Hinweis: Alternativ kann die Quadratklammer auch aufgelöst und die Lösungsformel für quadratische Gleichungen angewandt werden) Die beiden Kollisionspunkte haben die Koordinaten P(//) und P(8//) 8 Aufgabe B.: a) Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 800 und p = 0,05. P(X 0) = 0,057 (GTR) Der Erwartungswert von X ist E(X) = n p= 800 0,05 = 40. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P( X 49) : P( X 49) = P(X 49) P(X 0) = 0,947 0,057 = 0,878 (GTR) b) Die Zufallsvariable Y beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Stifte. Y ist im Extremfall binomialverteilt mit n = 800 und p = 0,0. Nullhypothese: p 0,0 Gegenhypothese: p> 0,0 Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Der Ablehnungsbereich ist A = {k+,...,800} Gesucht ist der kleinste Wert von k, so dass gilt: P(Y k+ ) 0,05 umgeformt: P(Y k) 0,05 GTR: P(Y ) = 0,0564 und P(Y ) 0,05 Damit ist k =. Der Ablehnungsbereich ist A = {4,...,800} Bei mindestens 4 fehlerhaften Stiften entscheidet man sich gegen die Nullhypothese. 5