Ausgewählte Mathematische Hilfsmittel Formelsammlung zu Physik I. Uwe Thiele

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1 Ausgewählte Mathematische Hilfsmittel Formelsammlung zu Physik I Uwe Thiele Institut für Theoretische Physik Westfälische Wilhelms-Universität Münster Version vom 5. April 2015

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Vektoralgebra Vektoren und ihre Produkte Einige Identitäten Koordinatensysteme Orthonormierte Basis Komponentendarstellung der Produkte Auswahl orthonormaler Koordinatensysteme Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Beschreibung von Bahnkurven Parametrisierung von Raumkurven Differentiation vektorwertiger Funktionen Ableitungen von Feldern Skalares Feld Vektorfeld Partielle Ableitung Diverse Ableitungen

3 Dies ist eine Zusammenstellung einiger mathematischer Hilfsmittel, wie sie in Physik I eingeführt worden sind. Sie ist als Merkhilfe gedacht und kann das regelmäßige Konsultieren von Formelsammlungen wie [Bronstein] oder [Gradstein] nicht ersetzen. Auch haben die meisten Lehrbücher der theoretischen Physik ausführliche Einführungen zu mathematischen Hilfsmitteln, die auf jeden Fall konsultiert werden sollten, um die jeweils verwendeten Konventionen und Notationen zu verstehen. 1 Grundlagen der Vektoralgebra 1.1 Vektoren und ihre Produkte Vektor a ist geometrisch bestimmt durch Richtung und Betrag (a = a ). Einheitsvektor e, ê mit e = 1 e a = a a Addition von Vektoren hat Betrag a a = 1. a + b = b + a = c Nullvektor, inverser Vektor b + ( b) = 0 Subtraktion von Vektoren a + ( b) = a b = d Skalare Multiplikation b = λ a mit λ R, λ = b a 1

4 Skalarprodukt (inneres Produkt) ( a, b) = a b = b a = a b cos(α) Kosinussatz c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(α) für Projektionen Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a b = b a = c c a, b Rechte-Hand-Regel ( a = Daumen) Parallelogrammfläche c = a b sin(α) Berechnung des Drehmoments (manchmal auch a b oder anderes careful) Spatprodukt (gemischtes Produkt zyklisch vertauschbar) ( a, b, c) = ( a b) c = ( b c) a = ( c a) b = a b c cos(α) Volumen des von a, b, c aufgespannten Parallelepipeds (Grundfläche Höhe) Tensorprodukt a b = a b b a ergibt aus zwei Vektoren einen Tensor 2. Stufe (siehe später) 2

5 1.2 Einige Identitäten Graßmann Identität Lagrange Identität a ( b c) = b( a c) c( a b) Beweis: Komponentenweise siehe später ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c) Beweis: Graßmann und Definition des Spatprodukts Zerlegung von a in Komponen- a = ( a e) e e ( e a) wobei a = ( a e) e ten parallel und senkrecht zu e und a = e ( e a) (oder auch a = a a = (1 e e) a ) Beweis: Graßmann 2 Koordinatensysteme 2.1 Orthonormierte Basis Lineare Unabhängigkeit und Basis N Vektoren a i sind linear unabhängig, wenn N λ i a i = 0 nur die Lösung λ i = 0 λ i hat. Die i=1 Menge { a i } ist vollständig, falls es keinen weiteren linear unabhängigen Vektor gibt. Dann ist { a i } eine Basis. Komponentendarstellung Es sei { e i } eine Basis aus Einheitsvektoren. Dann ist jeder Vektor als a = N a i e i i=1 3d N=3 = 3 a i e i = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 darstellbar. a i sind Komponenten. Kurz: a = a 2 und a T = (a 1, a 2, a 3 ). a 3 Komponentendarstellung ist basisabhängig! i=1 a 1 Orthonormierte Basis! nicht orthonormale Basen möglich. Beschreibung von Mustern, Gittern,... Kronecker Delta: e i e j = δ ij = Betrag: e i = 1 ( ) a e j = a i e i e j = i i { 1 i = j 0 i j a i δ ij = a j 3

6 Zerlegung von a in Komponenten bezüglich einer Basis { e i } ist eindeutig. Beweis: Annahme, es gibt zwei Zerlegungen a = i a i e i a = i ã i e i dann a a = i (a i ã i ) e i = 0. Da { e i } linear unabhängig ist, muss a i ã i = 0 sein. 2.2 Komponentendarstellung der Produkte (allg. orthonormale Basen) Skalarprodukt ( ) a b = a i e i i j b j e j = i a i b i nutze e i e j = δ ij Vektorprodukt a a 1 b 1 a 2 b 3 a 3 b 2 b = a 2 b 2 = a 3 b 1 a 1 b 3 a 3 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 = i,j,k ε ijk a i b j e k +1 ijk = 123 oder zyklische Vertauschung ε ijk = 1 ijk = 213 oder zyklische Vertauschung 0 sonst Epsilon-Tensor oder Levi-Civita-Symbol: total antisymmetrischer Tensor 3. Stufe. Nutze e i e j = i,j,k ε ijk e k. Nützliche Beziehung: j ε ikj ε jlm = δ il δ km δ im δ kl Matrixrepräsentation Vektorprodukt a b = A b 0 a 3 a 2 mit A = a 3 0 a 1 } a 2 a 1 {{ 0 } antisymmetrische Matrix 4

7 Spatprodukt ( a b) c = det a b c a 1 b 1 c 1 = a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c Auswahl orthonormaler Koordinatensysteme Kartesische Koordinaten a = a x e x + a y e y + a z e z r = x e x + y e y + z e z a x = a e x (allg.) (Position) etc. gebräuchlichstes Koordinatensystem orts- und zeitfeste Basisvektoren einschränkbar/erweiterbar auf beliebige Zahl von Dimensionen x Basisvektoren e x = r r x x r = x 1 y = 0 x z 0 x... partielle Ableitung, siehe später Nabla-Operator Laplace-Operator = x y z cart differenzierbares Skalarfeld f ( ) f = ( f) = 2 2 f = x y z 2 f cart 5

8 2.3.2 Polarkoordinaten in zwei Dimensionen Radius r [0, ) Winkel ϕ [0, 2π] immer in Radiant Transformation x = r cos(ϕ) und r = x 2 + y 2 y = r sin(ϕ) ϕ = arctan( y x ) Funktionaldeterminante (x, y) (r, ϕ) = x r y r x ϕ y ϕ = cos(ϕ) sin(ϕ) = r(cos 2 (ϕ) + sin 2 (ϕ)) = r }{{} =1 r sin(ϕ) r cos(ϕ) Flächenelement Basisvektoren ds = dx dy = (x, y) dr dϕ = r dr dϕ (r, ϕ) r ( ) r cos(ϕ) e r = r r = = cos(ϕ) e sin(ϕ) x + sin(ϕ) e y r r = ( ) ( ) r cos(ϕ) cos(ϕ) = r r sin(ϕ) sin(ϕ) r ( ) ϕ sin(ϕ) e ϕ = r ϕ = = sin(ϕ) e cos(ϕ) x + cos(ϕ) e y r ϕ = ( ) ( ) r cos(ϕ) sin(ϕ) = r ϕ r sin(ϕ) cos(ϕ) Nabla-Operator erhält man durch = ( x y ) cart = e x x + e y y = e r r + e 1 ϕ r ϕ = ( r 1 r ϕ = e r ( e r ) + e ϕ ( e ϕ ) ( = e r cos ϕ x + sin ϕ ) ( + e ϕ sin ϕ y }{{} = r ) polar ) x + cos ϕ y }{{} = 1 r ϕ 6

9 mit r = x r x + y r y ϕ = x ϕ x + y ϕ y Laplace-Operator = ( 1 r r ( r ) + 1r 2 ) r 2 ϕ 2 polar Zylinderkoordinaten = Polarkoordinaten (2d) + Höhenkoordinate Transformation x = r cos(ϕ) r = x 2 + y 2 y = r sin(ϕ) ϕ = arctan( y x ) z = z z = z Funktionaldeterminante (x, y, z) (r, ϕ, z) = x r y r z r x ϕ y ϕ z ϕ x z y z z z = r(cos 2 (ϕ) + sin 2 (ϕ)) = r }{{} =1 cos(ϕ) r sin(ϕ) 0 = sin(ϕ) r cos(ϕ) Volumenelement dv = dx dy dz = (x, y, z) dr dϕ dz = r dr dϕ dz (r, ϕ, z) Einheitsvektoren cos(ϕ) sin(ϕ) 0 e r = sin(ϕ), e ϕ = cos(ϕ), e z = Nabla-Operator = r 1 r ϕ z zylinder 7

10 Laplace-Operator = ( 1 r r ( r ) + 1r 2 ) r 2 ϕ z 2 zylinder Kugelkoordinaten in 3d r z θ x ϕ y ϕ z ϕ Transformation Radius r [0, ) Polarwinkel θ [0, π] Azimutalwinkel ϕ [0, 2π] x = r sin(θ) cos(ϕ) r = x 2 + y 2 + z 2 y = r sin(θ) sin(ϕ) z θ = arctan( ) x 2 +y 2 z = r cos(θ) ϕ = arctan( y x ) Funktionaldeterminante x x (x, y, z) r θ (r, θ, ϕ) = y y sin(θ) cos(ϕ) r cos(θ) cos(ϕ) r sin(θ) sin(ϕ) r θ = z sin(θ) sin(ϕ) r cos(θ) sin(ϕ) r sin(θ) cos(ϕ) cos(θ) r sin(θ) 0 = r sin2 (θ) Volumenelement dv = dx dy dz = (x, y, z) (r, θ, ϕ) dr dθ dϕ = r sin2 (θ) dr dθ dϕ Einheitsvektoren sin(θ) cos(ϕ) e r = sin(θ) sin(ϕ), cos(θ) cos(ϕ) e θ = cos(θ) sin(ϕ), sin(ϕ) e ϕ = cos(ϕ) cos(θ) sin(θ) 0 Nabla-Operator = r 1 r θ 1 r sin(θ) ϕ kugel Laplace-Operator = ( 1 r 2 r ( r 2 ) + r 1 r 2 sin(θ) θ ( sin(θ) ) + θ 1 2 ) r 2 sin 2 (θ) ϕ 2 kugel 8

11 3 Beschreibung von Bahnkurven 3.1 Parametrisierung von Raumkurven Vektorwertige Funktion r(t) R 3 mit t R. Raumkurven (Trajektorien) beschreiben die Position eines Punktteilchens in Abhängigkeit der Zeit t. Wahl einer zeitunabhängigen Basis { e i } gibt die Komponentendarstellung für die Position: r(t) = 3 r 1 (t) x(t) r i (t) e i = r 2 (t) = y(t). r 3 (t) z(t) Man sagt, die skalare Größe t parametrisiert die Raumkurve r(t). i=1 Einheiten : [ r] = m und [t] = s Kreisbewegung in der (xy)-ebene Parametrisierungen cos(ϕ) r(ϕ) = R sin(ϕ) mit ϕ [0, 2π] 0 x oder r(x) = ± R 2 x 2 mit x [ R, R] 0 +/ gilt für obere/untere Halbebene Bahnkurven stetig Komponentenfunktion stetig (siehe [Bronstein]). Hier: Falls nicht anders eingeführt, sind alle Funktionen stetig und beliebig oft differenzierbar. 3.2 Differentiation vektorwertiger Funktionen Differenzvektor r(t) = r(t + t) r(t) für t 0 ist r 0 Richtung ändert sich wird tangential Ableitung v = r(t) = d r(r + t) r(t) r(t) = lim dt t 0 t v r 9

12 in zeitunabhängigen Koordinaten entspricht die Ableitung des Vektors der Ableitung seiner Komponenten: ẋ(t) d dt r(t) = ẏ(t) ż(t) analog für höhere Ableitungen oder Integrale Wiederholung des Mittelwertsatzes (siehe [Bronstein]) Ableitungsregeln a(t), b(t) f(t) vektorwertige Funktionen skalare Funktion d dt [ a(t) + b(t)] = a(t) + b(t) d dt [f(t) a(t)] = f(t) a(t) + f(t) a(t) d dt [ a(t) b(t)] = a(t) b(t) + a(t) b(t) d dt [ a(t) b(t)] = a(t) b(t) + a(t) b(t) Geschwindigkeit v(t) = d dt r(t) = r(t) [ v] = [ r] [t] = m s Beschleunigung Einheitsvektor a(t) = d dt d2 v(t) = dt2 r(t) = r(t) [ a] e e = 1 impliziert (bzw. e = 0 für zeitunabhängige Basis) 4 Ableitungen von Feldern 4.1 Skalares Feld = [ v] [t] = m s 2 d dt ( e e) = 2 e e = 0 d e(t) e(t) dt Menge der Zahlenwerte Φ( r) einer physikalischen Größe, die den Punkten eines Gebiets zugeordnet wird. Darstellung: Abbildung/Funktion Φ : r R 3 Φ( r) R Projektion von Konturlinien auf Ebene Φ = const. 1d Schnitt, z.b. für radialsymmetrische Felder Φ(r) 10

13 Beispiel: Coulomb-Potential einer Punktladung am Ursprung Φ Cou ( r) = α r 4.2 Vektorfeld Menge der durch Betrag und Richtung gekennzeichneten Vektoren E( r), die den Punkten eines bestimmten Gebiets zugeordnet sind. E : r R 3 E( r) R 3 Beispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung E = α r r Partielle Ableitung Sei f eine Funktion mehrerer Variablen x 1, x 2,... Dann ist f f(x 1 + x 1, x 2,... ) f(x 1, x 2,... ) = lim x 1 x 1 0 x 1 die partielle Ableitung nach x 1. Analog für x 2, x 3,... Beispiel: 4.4 Diverse Ableitungen f(x, y) = 3x 2 y + y 4 f x = 6xy und f y = 3x2 + 4y 3 Totale Ableitung (Kettenregel) dφ dt = d dt Φ(r 1(t), r 2 (t), r 3 (t)) = 3 i=1 Φ dr i r i dt Gradient (Stärke und Richtung der Änderung eines Skalarfeldes) Φ = = Φ r 1 Φ r 2 Φ r 3 r 1 r 2 r 3 (für obiges Beispiel: E = Φ) Nabla Operator 11

14 Divergenz (Quellstärke eines Vektorfeldes) E = 3 i=1 r i E i Rotation (Wirbelstärke eines Vektorfeldes) E = i,j,k ε ijk ( Ej r i ) e k Danksagung Mein Dank gilt Gabi Wenzel für das sorgfältige Erstellen dieser Version nach meinen handschriftlichen Notizen. Literatur [Bronstein] Bronstein, I. N., Mühlig, H., Musiol, G. und Semendjajew, K. A. (2013): Taschenbuch der Mathematik, Verlag Europa-Lehrmittel, 9. Auflage, ISBN [Gradstein] [Nolting] Gradstein, I. S., Ryshik, I. W. (1981): Summen-, Produkt- und Integraltafeln, Harri Deutsch Verlag, 5. Auflage, ISBN Nolting, W. (2012): Grundkurs Theoretische Physik 1: Klassische Mechanik, Springer Verlag, 10. Auflage, ISBN