Bohner Kessler Ott. Stochastik im Berufskolleg Berufliches Gymnasium. Merkur. Verlag Rinteln

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1 Boher Kessler Ott Stochastk m Berufskolleg Beruflches Gymasum Merkur Verlag Rtel 3

2 Wrtschaftswsseschaftlche Büchere für Schule ud Praxs Begrüdet vo Hadelsschul-Drektor Dpl.-Hdl. Fredrch Hutkap De Verfasser: Kurt Boher Oberstuderat Dpl.-Math. Rolad Kessler Studerat Rolad Ott Oberstuderat Das Werk ud see Tele sd urheberrechtlch geschützt. Jede Nutzug adere als de gesetzlch zugelassee Fälle bedarf der vorherge schrftlche Ewllgug des Verlages. Hwes zu 52a UrhG: Weder das Werk och see Tele dürfe ohe ee solche Ewllgug egescat ud e Netzwerk egestellt werde. Des glt auch für Itraets vo Schule ud sostge Bldugserchtuge. * * * * * 1. Auflage by MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellug: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, Rtel E-Mal: fo@merkur-verlag.de lehrer-servce@merkur-verlag.de Iteret: ISBN

3 I. Beschrebede Statstk Mt Statstk ka ma alles bewese. Ich glaube keer Statstk, de ch cht selbst gefälscht habe. (Wsto Churchll) 1 Eführug De Statstk hat ee erheblche Bedeutug für ee staatlche Poltk, de de Przpe ud Rchtle des Grudgesetzes verpflchtet st... (Volkszählugsurtel des BVerfG) Scho ca v. Chr. wurde m alte Ägypte statstsche Erhebuge durchgeführt. Erfasst wurde z.b. de Azahl der Felder, de Vorräte ud Arbetskräfte. Auch vo de Römer sd statstsche Erhebuge scho aus der Zet um 550 v. Chr. bekat. Ede des 18. Jahrhuderts besaße alle wchtge Gemewese statstsche Ämter. Etscheded für de wetere Ausbau der Wahrschelchketstheore ware der Schwezer Leohard Euler, der Deutsche Carl Fredrch Gauß ud de Frazose Posso ud Laplace. De Zusammefassug vo Wahrschelchketsrechug ud mathematscher Statstk, bezechet ma mt dem modere Begrff Stochastk. I der beschrebede Statstk werde Date erhobe, aufberetet ud aalysert. De erhobee Date werde geordet ud überschtlch dargestellt. Dadurch bekommt ma ee erste Überblck, erket Zusammehäge ud Strukture. De Struktur eer Vertelug wrd durch Lagemaße (z. B. Mttelwert) ud Streumaße (z. B. Stadardabwechug) beschrebe. Zwe Verteluge ud dere Zusammehäge utersucht ma eer Regressosaalyse, de de Grudlage für Treds ud Progose darstellt. 9

4 2 Häu gketsvertelug Absolute ud relatve Häu gket Ee Häu gketsvertelug det zur statstsche Beschrebug vo Date. A eer Kreuzug werde erhalb eer halbe Stude 125 Fahrzeuge gezählt. Davo sd 18 Fahrzeuge Lkws. De absolute Häu gket der Lkws st somt 18. Des sagt weg darüber aus, we groß der Atel der Lkws am Verkehr auf deser Kreuzug st. Um e brauchbares Maß für dese Atel zu bekomme, beötgt ma de relatve Häu gket. De relatve Häu gket st der Quotet 18 = 0,144 = 14,4 %, 125 d. h., ca. 14 % der vorbegefahree Fahrzeuge ware Lkws. Bespel E Schüler erkudgt sch be eer Zulassugsstelle ach der Azahl der zugelassee Autos, sortert ach Automarke. Er erstellt ee Häu gketstabelle. Marke Ford VW Mercedes adere Summe abs. Häu gket rel. Häu gket h = , , , , = 1 rel. Häu gket % 29 % 34 % 15 % 22 % 100 % Festlegug: Uter der absolute Häu gket H eer Merkmalsausprägug versteht ma de Azahl der Fälle, dee de Ausprägug etrtt. Ist de Azahl der Durchführuge (Stchprobeumfag), so st h = H de relatve Häu gket der Merkmalsausprägug. absolute Häu gket Relatve Häu gket = Stchprobeumfag Egeschafte der relatve Häu gket: Für de relatve Häu gket glt: 0 h 1 De relatve Häu gket h legt zwsche 0 ud 1. De Summe der relatve Häu gkete st 1 bzw. 100 %. 10

5 Bespele 1) Im Lade legt ee Leferug vo 12 Schachtel mt je 10 Eer. Ee Aushlfskraft otert sch für jede Schachtel de Azahl der weße Eer. Se erhält folgede Lste: 1; 3; 0; 2; 5; 1; 4; 0; 4; 1; 2; 4. a) Bereche Se de Mttelwert für de Azahl der weße Eer pro Schachtel. b) We groß st für dese Leferug de relatve Häu gket der weße Eer? Lösug a) Durchschttlche Azahl vo weße Eer pro Schachtel (Mttelwert): _ x = = = 2,25 Ee Schachtel ethält durchschttlch 2,25 weße Eer. b) Relatve Häu gket der weße Eer: Azahl der weße Eer h(weße Eer) = Gesamtzahl der Eer = = 0,225 2) I eem voll besetzte Zug mt 6-Persoe-Abtele hat ma jedem Raucherabtel de Zahl der Nchtraucher ermttelt. Das Ergebs gbt folgede Tabelle weder: Lösug a() Dabe st a() de Azahl der Abtele, dee ma Nchtraucher agetroffe hat. a) Bestmme Se für alle de relatve Häu gket h(), mt der ma Nchtraucher eem Raucherabtel agetroffe hat. b) We vel Prozet aller Fahrgäste ware Nchtraucher? c) I we vel % der Raucherabtele be de sch höchstes 2 Nchtraucher? a) De Summe aller Abtele beträgt 50. I 20 vo 50 Abtele hat ma kee Nchtraucher agetroffe, also h(0) = = 0,4. Allgeme glt für de relatve Häu gket für [ {1; 2; 3; 4; 5; 6}: h() = a() a() h() 0,40 0,28 0,18 0,06 0,04 0,02 0,02 b) Gesamtzahl der Fahrgäste: G = 50 6 = 300 Gesamtzahl der Nchtraucher: N = = 60 N Atel der Nchtraucher: G = = 0,2 = 20 % 20 % aller Fahrgäste ware Nchtraucher. c) I = 43 Raucherabtele be de sch höchstes 2 Nchtraucher. Relatve Häu gket: h = = 86 %. I 86 % be de sch höchstes 2 Nchtraucher. 11

6 Gra sche Darstelluge eer Häu gketsvertelug De gra sche Darstellug wrd ahad der Häu gketsvertelug vo Bespel 2 (s. Sete 11) erläutert. h() Stabdagramm a) Stabdagramm Auf der y-achse werde de relatve Häu gkete abgetrage; auf der x-achse de Azahl der Nchtraucher. h() Hstogramm b) Hstogramm E Hstogramm besteht aus Rechtecke. Wählt ma Rechtecke mt der Grudsete der Läge 1, etsprcht der Ihalt ees Rechtecks der zugehörge relatve Häu gket. A der y-achse wrd de relatve Häu gket abgetrage. Be eem Hstogramm beträgt de Summe der Ihalte der Rechtecks äche 1. Beachte Se: E Hstogramm st ee gra sche Darstellug eer Häu gketsvertelug. Es besteht aus mehrere, drekt aeader agrezede Säule. De Summe der Ihalte der Rechtecks äche beträgt 1. Bemerkug: Wetere gra sche Darstelluge sd Puktdagramm, Ledagramm, Balkedagramm ud Kresdagramm. 12

7 Aufgabe 1. I eer Gartealage sd alle Gärte ehetlch mt 6 Obstbäume bep azt. De Bäume wurde auf Krakhete utersucht. De Utersuchug erbrachte folgedes Ergebs: a() Dabe st a() de Azahl der Gärte, dee ma geschädgte Bäume gezählt hat. a) Bereche Se für {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} de relatve Häu gket h(), mt der ma geschädgte Bäume gefude hat. b) We vel Prozet der Obstbäume der gesamte Alage sd geschädgt? 2. Be eer Stchprobe werde eem Wörterbuch 500 Wörter mt jewels 6 Buchstabe auf de Azahl der ethaltee Vokale (A, E, I, O, U) utersucht. Nachfolgede Tabelle zegt das Ergebs: Vokale pro Wort Häu gket a) Bereche Se de relatve Häu gkete für de Azahl der Vokale je Wort. b) We vele Vokale ethält e Wort durchschttlch? c) We vele Wörter mt 3 Vokale müsste dazukomme, damt der Durchschtt be geau 2,5 Vokale je Wort legt? 3. Be eer Mathematkklassearbet gab es folgede Note: 3; 4; 3; 2; 3; 1; 5; 5; 4; 3; 3; 2; 1; 4; 2; 5; 4; 2; 4; 3 Erstelle Se ee Häu gketstabelle. Stelle Se de Vertelug gra sch dar. 4. Be eer Aufahmeprüfug sd vo jedem Bewerber 5 Aufgabe zu bearbete. Das Ergebs der Prüfug zegt de folgede Tabelle, wobe (k) de Azahl der Bewerber agbt, de k Aufgabe rchtg bearbetet habe: k (k) a) Ermttel Se für k {0; 1; 2; 3; 4; 5} de relatve Häu gket dafür, dass e Bewerber k Aufgabe rchtg gelöst hat. Stelle Se de Häu gketsvertelug gra sch dar. b) We vele Aufgabe hat jeder Bewerber m Mttel rchtg bearbetet? c) We vel Prozet der bearbetete Aufgabe wurde rchtg gelöst? 5. Ee Fabrk produzert Stfte. De Stfte werde auf Abwechuge m Durchmesser ud der Läge geprüft. E Stft st fehlerhaft, we er m Durchmesser oder der Läge abwecht. Vo 2000 Stfte gab es 65 Abwechuge m Durchmesser, 87 Abwechuge der Läge ud 25 Abwechuge m Durchmesser ud der Läge. Bestmme Se de relatve Häu gket der fehlerhafte Stfte. 13

8 3 Lagemaße I desem Kaptel solle zu eer Beobachtugsrehe charakterstsche Größe bestmmt werde, de Aussage über de Lage der Beobachtugswerte zulasse. Das bekateste Lagemaß st das arthmetsche Mttel. 3.1 Arthmetsches Mttel Bespele 1) De folgede Lste ethält das Körpergewcht kg vo 7 Schüler: 52; 67; 60; 55; 63; 63; 70 Bestmme Se das durchschttlche Körpergewcht deser Schüler. Lösug Azahl der Schüler (Merkmalsträger): = 7 Summe aller Körpergewchte: = 430 Durchschttswert x (Mttelwert) x = = 61,4 Das durchschttlche Körpergewcht beträgt 61,4 kg. Bemerkug: Der Mttelwert 61,4 kg bedeutet: Hätte jeder Schüler e Körpergewcht vo 61,4 kg, so ergäbe de Summe aller Körpergewchte 430 kg (gerudet). Berechug des (arthmetsche) Mttelwertes _ x aus de Beobachtugswerte x Mttelwert _ Summe aller Beobachtugswerte x x = Azahl der Beobachtugswerte x _ x = 1 (x 1 + x x ) = x =1 =1 x gelese: Summe aller x mt glech 1 bs Bespele für Mttelwerte Pro-Kopf-Verbrauch vo Wasser: Durchschttsekomme aller Arbetehmer: Durchschttlcher Zgaretteverbrauch: 135 Lter pro Tag pro Jahr 24,2 Zgarette pro Tag 2) Ee Umfrage ach der Azahl x der Geschwster hat ergebe: x relatve Häu ket h 0,48 0,3 0,14 0,07 0,01 Bereche Se das arthmetsche Mttel. Lösug Mttelwert: _ x = 0 0, , , , ,01 = 0,83 14

9 3) E Wegut betet ver Sorte Wee aus verschedee Lage a. De achfolgede Lste gbt de verkaufte Mege für ee Jahrgag a. Sorte A B C DS Verkaufspres pro Flasche ( x ) Verkaufte Flasche ( ) Bereche Se de durchschttlche Verkaufspres pro Flasche. Lösug Azahl der verkaufte Flasche: = 1300 Gesamteahme (Erlös): = Erlös pro Flasche: 1300 = 8,12 Der durchschttlche Verkaufspres pro Flasche beträgt 8,12. Berechug des arthmetsche Mttels _ x aus eer Häufgketstabelle für ver Auspräguge: _ x = 1 (x x x x 4 4 ) = 1 4 x =1 für k Auspräguge: _ x = 1 k k x = x h =1 =1 mt h = Herbe müsse de Häufgkete aller k Merkmalsauspräguge x bekat se. st de Summe der Häufgkete. Aufgabe 1. Bereche Se das arthmetsche Mttel folgeder Date: a) 15,2 16,1 17,3 15,7 14,8 17,0 16,8 15,1 b)x c) x h 0,25 0,2 0,15 0,4 2. De 32 Schüler der Klasse habe e Durchschttsgewcht vo 74 kg. Nach lager Krakhet hat e Schüler 24 kg abgeomme. Um we vel ädert sch der Mttelwert? We ädert sch der Mttelwert, we sch be eer Daterehe der Läge e Datewert um a vergrößert (verkleert)? 15

10 3.2 Modus ud Meda Bem Modus wrd ach ach der Merkmalsausprägug mt der größte Häufg ket gesucht. Der Modus x Mod (Modalwert) st der Merkmalswert, der am häufgste vorkommt. Bespele a) Merkmal Sportart Fußball; Hadball; Volleyball; Fußball; Fußball; Hadball; Fußball Modus x Mod = Fußball. Deser Wert kommt am häufgste (4-mal) vor. b) Merkmal Gewcht kg Lste: 44; 57; 32; 44; 32; 63; 66; 63; 99; 63 Der Modus x Mod st 63 (kg) (3-mal). Bemerkuge: 1. Gbt es mehrere Merkmalswerte mt der gleche maxmale Häufgket, exstert ke Modus. 2. Der Modus ka aus eem Säuledagramm (Hstogramm) drekt abgelese werde. Bespel E Bautrupp mt 9 Persoe hat folgede moatlche Eküfte ( ): Herbe st das arthmetsche Mttel _ x = Deser Durchschtt lefert e falsches Bld, wel de Mehrzahl (sebe vo eu Persoe) höchstes 1200 verdet. Der Wert 6600 (Ausreßer) zeht de Mttelwert _ x ach obe. Ma sucht ach eem Wert, der de Vertelug der Eküfte besser charaktersert. Dazu orde wr de Verdeste der Größe ach Der der Mtte legede Wert 1160 beschrebt de Vertelug besser als der Mttelwert _ x. Der Wert 1160 st der Meda (Zetralwert). Der Zetralwert x Med (Meda) st derjege Wert, der der Mtte steht, we alle Beobachtugswerte x der Größe ach geordet sd. 16

11 Verglech vo Mttelwert _ x ud Zetralwert x Med ahad ees Dagramms. Verdest EUR Mttelwert _ x Zetralwert x Med Bemerkug: Zetralwert x Med für ee ugerade Azahl vo Beobachtugswerte: x Med = x Zetralwert x Med für ee gerade Azahl vo Beobachtugswerte: x Med = 1 2 (x + x ) Was ma wsse sollte... Arthmetsches Mttel: über Lagemaße Summe der Merkmalsauspräguge dvdert durch dere Azahl: x _ = 1 x =1 Modus (Modalwert): Zetralwert (Meda): Merkmalswert, der am häufgste vorkommt Merkmalsausprägug desjege Wertes, der ee der Größe ach sorterte Rehe halbert. Aufgabe 1. I eem Uterehme sd 10 Fraue eer Putzkoloe auf Bass beschäftgt. Der Chef stellt ee Vorarbeter e, der 2800 pro Moat verdee soll. Welche Auswrkuge ergebe sch dadurch auf de Modus, de Meda ud das arthmetsche Mttel der Moatsekomme aller Mtarbeter? 17

12 2. De 13 Studete eem Kurs gebe hre moatlche Ausgabe we folgt a: 1300, 1200, 1400, 700, 200, 750, 1450, 1500, 800, 800, 950, 900, a) Bereche Se das arthmetsche Mttel, de Meda ud de Modalwert. Iterpretere Se dese Maße haltlch. b) Erkläre Se, warum sch de Lagemaße uterschede. c) Welche Maßzahl charaktersert Ihrer Meug ach de Stchprobe am beste? 3. Nach Agabe des Statstsche Budesamtes kame m Jahre 2007 auf je Ewoher m Alter zwsche 18 ud 25 Jahre 14,3 Verkehrstote. Iwefer hadelt es sch be deser Agabe um ee Mttelwert? 4. De Grafk des statstsche Budesamtes zegt de Zahl der Ehescheduge Deutschlad. Bestmme Se das arthmetsche Mttel ud de Zetralwert. Warum lässt sch ke Modalwert agebe? Ehescheduge Taused ,7 204,2 187,8 192,4 190,6 194,4 197,5 201, ,9 175, De Wetterstato lefert de Tagestemperature ( C), gemesse um 12:00 Uhr, für de 30 Tage ees Moats: 11,8 12,4 18,5 24,2 23,5 20,8 21,5 23,5 20,6 15,4 14,8 17,5 16,9 18,2 16,4 17,9 20,3 19,5 17,9 18,5 24,0 23,5 25,2 23,6 22,2 20,7 21,0 20,4 18,9 21,8 a) Bereche Se de durchschttlche Tagestemperatur. b) Bereche Se de Meda. c) Im lagjährge Mttel lage de Durchschttstemperature für dese Moat be 18,5 C. Habe sch de klmatsche Verhältsse geädert? 6. De Häufgketstabelle zegt de Azahl der Kude a der Kasse m Supermarkt 30 aufeaderfolgede Zetabschtte vo je 10 Mute. Azahl der Kude: Häufgket: a) Stelle Se de Vertelug eem Säuledagramm dar. b) Bereche Se de Zetralwert ud de Mttelwert. Was fällt Ihe auf? 18