9. Lineare Gleichungssysteme

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1 9. Lineare Gleichungssysteme. Aufgabe: estimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) T des Gleichungssystems 3x x + x 3 + x 4 = 4x + 8x 3 + x 4 = 3 x + x + 6x 3 x 4 = 3: Geben Sie die Lösung in vektorieller Form an.. Aufgabe: Ermitteln Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) T des linearen Gleichungssystems x + 5x + x 3 x 4 = 7 x 3x + x 4 = 4 3x 9x 3 + x 4 = 3 Geben Sie die Lösungen in vektorieller Darstellung an. 3. Aufgabe: erechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) T des linearen Gleichungssystems x x 3 + x 4 = 5 x 4x 3x 3 = 4x + x 3 + x 4 = 3 x + x + 3x 3 + x 4 = 3 4. Aufgabe: erechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) T des linearen Gleichungssystems x x x 3 + x 4 = 3 3x x + 3x 3 x 4 = 3 x + x x 3 + x 4 = 4 5. Aufgabe: erechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) T des linearen Gleichungssystems

2 x x + x 3 + 3x 4 = 3 x + 3x + x 3 + 3x 4 = 3 x + x + 5x 3 4x 4 = 6 6. Aufgabe: estimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) T des Gleichungssystems x 3x + x 3 x 4 + 4x 5 = 7 4x + 7x 3x 3 + 5x 4 6x 5 = x + x 3x 3 + x 4 + 4x 5 = 4 6x x + 4x 3 7x 4 + x 5 = 7 7. Aufgabe: Ermitteln Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) T des linearen Gleichungssystems 5x + 4x x 3 x 4 = 5 3x + x x 3 = 7 x + x + 6x 3 + 3x 4 = 3: Geben Sie die Lösungen in vektorieller Darstellung an.. Anwendungen in der Geometrie. Aufgabe: Gegeben seien die Punkte A(; ; ); (; 4; 5); ( ; ; 5); P (; 5; 3); Q(5; 4; 7). Die Punkte A; ; liegen auf der Ebene E. estimmen Sie je eine Gleichung der Ebene E in parameterfreier Form und in Parameterdarstellung. b) g sei die Gerade durch die Punkte P und Q. Ermitteln Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes S der Geraden g durch die Ebene E. erechnen Sie den Abstand des Punktes R(3; 4; ) von der Ebene E:. Aufgabe: Gegeben seien die Punkte P ( ; ; ); P (3; ; ); P 3 (; 3; ); P 4 ( ; 5; ). Die Geraden g und g gehen durch die Punkte P ; P bzw. P 3 ; P 4. erechnen Sie, falls vorhanden, den Schnittpunkt der beiden Geraden. Stellen Sie dabei ein Gleichungssystem für die Parameter der Geraden auf und lösen Sie dieses. 3. Aufgabe: Gegeben seien die Punkte P (; ; 3); P (3; 5; 4); P 3 (; 3; 4); P 4 (3; 7; 6). Die Gerade g geht durch P ; P. Die Gerade g geht durch P 3 und P 4. estimmen Sie

3 den Schnittpunkt der beiden Geraden, falls es einen solchen Schnittpunkt gibt. 4. Aufgabe: Gegeben seien die Punkte P (; ; ), P (4; ; 5), P 3 ( ; 4; 4), P 4 ( 5; ; 9), P 5 ( ; ; 7). Die Punkte P ; P ; P 3 liegen auf der Ebene E. estimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene E und der Geraden g durch P 4 ; P Aufgabe: Ermitteln Sie die Gleichung der Schnittgerade der Ebene E durch die Punkte P (5; ; ); P (4; ; ); P 3 ( 3; 3; ) und der Ebene E durch die Punkte P 4 (; ; ); P 5 (3; ; ); P 6 (4; ; 3). 6. Aufgabe: Gegeben ist die Ebene E, die durch die Punkte A(3; ; ); (4; ; ); (5; 4; 4) verläuft. Geben Sie die Parametergleichung von E und die parameterfreie Ebenengleichung von E an. b) estimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch P (; ; ) geht und senkrecht auf E steht. erechnen Sie den Schnittpunkt von E und g. 7. Aufgabe: Gegeben ist die Ebene E, die durch die Punkte A(; ; 7); (; ; 7); ( ; ; 5) verläuft. Geben Sie die Parametergleichung von E und die parameterfreie Ebenengleichung von E an. b) estimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P (4; 7; 3) und Q(3; 5; 4) geht. erechnen Sie den Schnittpunkt von E und g. d) Ermitteln Sie den Abstand des Punktes R(3; ; ) von der Ebene. 8. Aufgabe: Gegeben ist die Ebene E, auf der die Punkte A(; ; ); (3; ; ); ( 3; 5; ) liegen. estimmen Sie die Parametergleichung, die parameterfreie Gleichung der Ebene E. Welchen Abstand besitzt der Punkt P (; ; ) von der Ebene E?. Eigenwertprobleme. Aufgabe: estimmen Sie die Eigenwerte der Matrix: 6 5! ; b) 4! ; 3! : Geben Sie auch zugehörige Eigenvektoren an. 3

4 . Aufgabe: estimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix d) 3 A ; b) A ; e) A : A ; A ; Ermitteln Sie außerdem zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor. 3. Aufgabe: estimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix A ; b) 4 Ermitteln Sie außerdem einen Eigenvektor zum größten Eigenwert. Hinweis: ist Eigenwert der Matrix. A. Integralrechnung. Aufgabe: estimmen Sie die Integrale p (x + x + ) dx; b) e sin x cos x dx; x p 3 x x x + 3e dx; d) p 3 x x + 8 dx; e) x arctan x dx; f) e x cos x dx:. Aufgabe: estimmen Sie die Integrale e x 6 x 3 + x dx, 4 x 5x + 6 e x + dx, f) x p x e 3 3x dx, b) e x 4 ln(x + ) d) dx, e) x px g) ln x dx, h) ( + p 3 dx, k) x) e x l) dx, m) x arctan x e x dx: = x ( + p x) dx; dx; cos x sin x dx; 4

5 3. Aufgabe: estimmen Sie die Integrale x 3 dx, b) (x )(x + ) x + x + x 3 4x + 5x dx: 4. Aufgabe: estimmen Sie die Integrale 6x + 3 x + x 6 dx; dx; b) 4 + x 3 x x 3 7 dx: 5. Aufgabe: estimmen Sie die uneigentlichen Integrale dx, b) x (ln(x)) p x dx; d) e xe x dx, x p ln x dx 3. Doppelintegrale. Aufgabe: estimmen Sie die Doppelintegrale = = e x y dxdy; b) 3 x sin(x + y) dxdy; d) y x dydx; y+ ye x dxdy. Aufgabe: Gegeben ist der ebene ereich, der durch die x-achse, die y-achse, die Gerade x = 3 und die Funktionskurve y = begrenzt wird. erechnen Sie das x+ Integral RR (x + )y dxdy: 3. Aufgabe: Gegeben ist das Dreieck in der x-y-ebene, welches durch die y-achse, die Gerade y = und die Funktion y = 3 x begrenzt wird und die Grund äche eines zylindrischen Körpers darstellt. u berechnen ist das Volumen dieses Körpers, dessen Deck äche durch die Funktion f(x; y) = x y gegeben ist. 4. Aufgabe: Wir betrachten einen ylinder, dessen Grund äche in der x-y-ebene liegt und durch die Kurven x = y 4 und y = x begrenzt wird. Die Deck äche wird durch die Funktion f(x; y) = x + y beschrieben. estimmen Sie das Volumen des zylindrischen Körpers. 5

6 4. Anwendungen der Integralrechnung. Aufgabe: estimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionen f(x) = x und g(x) = + x entsteht. x begrenzt wird und zwischen den beiden Schnittpunkten. Aufgabe: Die Kurven f(x) = p x für x, f(x) = x+3 4 für x und f(x) = x begrenzen ein Flächenstück. estimmen Sie den Flächeninhalt dieses Flächenstücks. 3. Aufgabe: Ermitteln Sie die Länge l des Kurvenstückes der Funktion f(x) = (x + 3 )3= für x [; 4]. 4. Aufgabe: Ermitteln Sie die Länge l des Kurvenstückes der Funktion f(x) = cosh x für x [; 4]. Hinweis: cosh x = + sinh x 5. Aufgabe: Wir betrachten das Flächenstück unterhalb der Kurve der Funktion f(x) = x + cos(x) im Intervall [,], d.h. das Flächenstück wird durch die Funktion f, die Geraden x = und x = und die x-achse begrenzt. Ermitteln Sie die Koordinaten (x S ; y S ) des Schwerpunktes des Flächenstücks. 6. Aufgabe: Das Kurvenstück der Funktion y = xp x p +x für x [; 4] rotiere um die x-achse. erechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Rotation entsteht und durch die Deck ächen x = und x = 4 berandet wird. 7. Aufgabe: Das Kurvenstück der Funktion f(x) = sin x im Intervall [; ] rotiere um die x-achse. erechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Rotation entsteht. x = und x = ergeben die Deck ächen des Körpers. 8. Aufgabe: Welches Volumen besitzt der Körper, der durch Rotation um die x- Achse des Kurvenstücks f(x) = (x ) p 3x ( x ) entsteht. 6