Übungsaufgaben zu Kapitel 1 und 2

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Reiner Lenz
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1 Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Wintersemester 8/9 Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. B. Jung Übungsaufgaben zu Kapitel und Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden komplexen Ausdrücke so weit wie möglich (Angabe in arithmetischer Form): z = (6 + j)( j) + j, z = + j ( + j)( 7j), z = z = e +j e +j, z 6 = e (π/)j e+(π/)j j ( + j)(6 j), z = ( + j )( + 8j), j Aufgabe : a) Berechnen Sie: ( + j ) und ( j). b) Berechnen Sie jeweils alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen: z 6 = + j und z = j. Aufgabe : Gegeben ist die komplexe Zahl z = a + bj. Berechnen Sie: z, z und z. Aufgabe : Gegeben sind: w =..j und w = +.j. w a) Berechnen Sie den Ausdruck: w w + w b) Lösen Sie die Gleichung: z = w w. Aufgabe : a) Sei z = 6 + j und z = α + βj (α, β: beliebige reelle Zahlen). Unter welcher Bedingung an α und β ist das Produkt z z eine reelle Zahl? b) Sei die zu z konjugiert-komplexe Zahl. Unter welcher Bedingung an α und β ist das Produkt z eine reelle Zahl? Aufgabe 6: Berechnen Sie die reellen Zahlen A (mit A > ) und ϕ aus der Gleichung: e jϕ = A Aufgabe 7: Gegeben ist: Z = Z R + Z CZ L Z C + Z L mit Z R = R, Z C = jωc, Z L = jωl. ( ) + j. j Berechnen Sie Re(Z), Im(Z) sowie Z. weiter siehe S.

2 Aufgabe 8: Gegeben seien der Punkt P (,, ) und die Gerade g : r(λ) = + λ (λ R). Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E, welche durch P verläuft und die Gerade g enthält, auf (Parameterform und parameterfreie Form). Aufgabe 9: Berechnen Sie das Volumen und den Oberflächeninhalt des Spates, der von den Vektoren a =, b = und c = 6 7 aufgespannt wird. Aufgabe : Gegeben sind die Vektoren a = und b = a) Wie lautet eine Gleichung der von a und b aufgespannten Ebene E, die den Koordinatenursprung enthält? b) Bestimmen Sie einen in der Ebene E verlaufenden Einheitsvektor, der senkrecht auf a steht. Aufgabe : Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E: g : r(λ) = + λ (λ R), E : n ( r r ) = (x ) + (y ) + (z + ) =. Zeigen Sie, dass die Gerade und die Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel.. Aufgabe : Die Gerade g sei durch die beiden Punkte P (,, ) und P (,, ) gegeben. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch den Punkt P (,, 8) und senkrecht zu g verläuft. b) Vom Punkt P wird das Lot auf die Gerade g gefällt. Berechnen Sie den Fußpunkt S des Lotes. Aufgabe : Die Ebene E soll durch den Punkt P (,, ) verlaufen und den Normalenvektor n = besitzen. a) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g, welche senkrecht auf E steht und durch den Punkt P (6,, ) verläuft, an. b) In welchem Punkt schneidet die Gerade g die Ebene E? c) Wie groß ist der Abstand des Punktes P von der Ebene? weiter siehe S.

3 Aufgabe : Gegeben sind die beiden Ebenen E und E (mit λ,, µ, R): E : r(p ) = + λ + µ, E : r(p ) = + λ + µ. a) Zeigen Sie, dass diese Ebenen parallel sind. b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g, welche senkrecht zu beiden Ebenen und durch den Koordinatenursprung verläuft, an. c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geraden g mit den Ebenen E und E. Aufgabe : Gegeben sind die beiden Ebenen E und E (mit λ,, µ, R): E : r(p ) = + λ + µ, E : r(p ) = a + λ mit zunächst unbekanntem a R. Bestimmen Sie alle Werte von a, für die die beiden Ebenen aufeinander senkrecht stehen. Aufgabe 6: Gegeben ist der Vektor a = a x a y a + µ mit a y,. Berechnen Sie die Koordinaten eines Vektors b, der orthogonal zu a ist, in der (y, z)-ebene liegt und dessen Betrag halb so groß wie a ist. Aufgabe 7: Viele chemische Moleküle (z.b. das Methan-Molekül CH ) besitzen die Form eines regelmäßigen Tetraeders, d.h. einer dreiseitigen Pyramide, deren Kanten alle die gleiche Länge haben. In einem geeigneten Koordinatensystem haben die Ecken eines solchen Tetraeders die folgenden Koordinaten: A(,, ), B(,, ), C(,, ) und D(,, ). Die durch die Punkte A und C verlaufende Gerade sei g. Mit g sei die durch die Punkte B und D verlaufende Gerade bezeichnet. Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie den Abstand der Geraden g und g. Ergebnisse: siehe S. und

4 Ergebnisse Hinweis: Dezimalzahlen sind auf drei Nachkommastellen gerundet angegeben. Aufgabe : z =. 9.8j, z =.6.69j, z =.67.j, z =.8 +.6j, z = j, z 6 = j Aufgabe : ( ) a) + j =. +.86j, ( j) = j b) z 6 = + j hat insgesamt 6 Lösungen: z =.9 +.j, z =.7 +.j, z =.8 +.8j, z =.9.j, z =.7.j, z =.8.8j z = j hat insgesamt Lösungen: z =.9.6j, z =.8 +.j, z =.97.9j Aufgabe : z = a + b, z = a b a + b + j ab a + b und z = a b a + b j ab a + b. Aufgabe : a)..67j b) insgesamt Lösungen: z =.7 +.j, z = j, z =..6j Aufgabe : a) Für β = 6 α ist das Produkt z z eine reelle Zahl. b) Für β = 6 α ist das Produkt z eine reelle Zahl. Aufgabe 6: A =, ϕ = π + kπ mit k Z Aufgabe 7: Re(Z) = R, Im(Z) = Im weiteren bezeichnen λ und µ reelle Konstante. Aufgabe 8: E : r(λ, µ) = + λ ωl ω CL, Z = R + ω L ( ω CL) + µ, parameterfrei: x y z = Aufgabe 9: V = 7 [VE], A O = 7.76 [FE] Aufgabe : a) E : r(λ, µ) = + λ + µ

5 Fortsetzung zu Aufgabe : b) gesuchter Vektor: e = 7 6 (oder: e ) Aufgabe : Schnittpunkt: S(,, ), Schnittwinkel: ϕ = 6.6 Aufgabe : a) g : r(λ) = 8 + λ b) S(, 7, ) Aufgabe : a) g : r(p ) = 6 + λ b) Schnittpunkt: S( 6,, 9 ) c) Abstand: d =.78 [LE] Aufgabe : (λ R) a) Normalenvektoren von E und E sind parallel b) g : r(p ) = + λ (λ R) c) Schnittpunkt mit E : S (,, ), Schnittpunkt mit E : S (,, ) Aufgabe : a =, a = Aufgabe 6: b x =, b y = a + ( ay ) = a x + a y + a z a y ( ), b z = b y ay + (Hinweis: Die Lösung ist nicht eindeutig, es kann auch b y genommen werden.) Aufgabe 7: d(g, g ) = [LE]

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