ProInformatik: Funktionale Programmierung. Punkte

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1 ProInformatik: Funktionale Programmierung , M. Knobelsdorf Probeklausur Ihre persönliche Klausurnummer: Vorname, Nachname: Aufgabe Punkte Erz. Punkte Zum bestehen sind 20 Punkte notwendig. Ich bin damit einverstanden, dass mein Klausurergebnis unter der obigen Nummer im Internet einsehbar gemacht wird. Für alle Programmieraufgaben ist stets die Signatur mit anzugeben. 1

2 Aufgabe 1 (Textaufgabe, 12 Punkte) Sie betreiben ein kleines Geschäft und verwalten Ihr Warensortiment in einer Liste waren bestehend aus Einträgen, die jeweils einen Artikelnamen und seinen Preis (in Cent) enthalten. a) 2P. Definieren Sie geeignete Datentypen Artikel, Preis, Eintrag und Sortiment, so dass waren::sortiment. Definieren sie außerdem die Liste waren mit mind. 5 Einträgen. b) 4P. Definieren Sie eine Funktion preis, die einen Artikelnamen bekommt und den zugehörigen Preis aus dem Sortiment waren liefert. c) 2P. Schreiben Sie eine Funktion artikelanzahl, die die aktuelle Anzahl von Artikeln im Sortiment waren ausgibt; Sie können davon ausgehen, dass alle in waren aufgeführten Artikel unterschiedliche Namen haben. d) 4P. Schreiben Sie eine Funktion teuersterartikel, die denjenigen Artikelnamen aus dem Sortiment waren liefert, der den höchsten Preis hat. Aufgabe 1a) type Artikel = String -- ein Artikel wird durch seinen Namen angegeben type Preis = Int -- Preise werden in Cent ausgewiesen type Eintrag = (Artikel, Preis) -- ein Eintrag im Sortiment type Sortiment = [Eintrag] waren :: Sortiment -- das aktuelle Sortiment des Geschäftes waren = [(``Puppe'',1999), (``Stift'',25), (``Skat'',499), (``Butter'',123), (``Milch'',199)] Aufgabe 1b) preis :: Artikel -> Preis -- liefert aktuellen Preis in Bezug auf akt. Sortiment preis = preissort waren preissort :: Sortiment -> Artikel -> Preis -- Preis eines Artikels bzgl. Sortiment waren preissort [] a = error \Artikel nicht im Sortiment vorhanden." preissort ((b,p):es) a a==b = p otherwise = preissort es a Aufgabe 1c) artikelanzahl :: Int -- Anzahl der Artikel im aktuellen Sortiment artikelanzahl = length waren 2

3 Aufgabe 1d) teuersterartikel :: Artikel -- teuerster Artikel aus aktuellem Sortiment teuersterartikel = fst (maxeintrag waren) maxeintrag :: Sortiment -> Eintrag -- maximaler Eintrag bzgl. eines Sortiments maxeintrag [] = error \Sortiment ist leer, daher gibt es keinen teuersten Artikel." maxeintrag (e:es) = max' e es -- max' führt einen vorläufig maximalen Parameter mit max' :: Eintrag -> Sortiment -> Eintrag -- Akkumulatortechnik zur Bestimmung des Maximums max' e [] = e max' (a1,p1) ((a2,p2):es) p1 >= p2 = max' (a1,p1) es otherwise = max' (a2,p2) es Aufgabe 2 (Rekursion, Listen, Funktionen höherer Ordnung, 4 Punkte) Definieren Sie Funktionen sum1, sum2 und sum3, die angewendet auf eine Liste von Zahlen, jeweils die Summe dieser Zahlen ergeben. Definieren Sie sum1 durch eine einfache, rekursive Funktion, sum2 unter Verwendung der Akkumulatortechnik und sum3 unter Verwendung des Haskell-Operators foldr. Zur Erinnerung: foldr f s [ ] = s foldr f s (x:xs) = f x (foldr f s xs). sum1, sum2, sum3 :: Num a => [a] -> a sum1 [] = 0 sum1 (x:xs) = x + sum1 xs sum2 = sumakk 0 where sumakk :: Num a => a -> [a] -> a sumakk akk [] = akk sumakk akk (x:xs) = sumakk (akk+x) xs sum3 = foldr (+) 0 3

4 Aufgabe 3 (Laufzeitanalyse, 4 Punkte) Gegeben Sei die folgende Funktion. Analysieren Sie die Laufzeit und notieren Sie sie anschließend in O-Notation: Einfügen eines Elements in eine geordnete Liste: insert [ ] a = [a] insert (x:xs) a a<= x = a:x:xs otherwise = x:insert xs a : Sei n die Länge der Eingabeliste (x:xs). Worst Case: a ist größer oder gleich dem letzten Element von (x:xs). Dann muss die gesamte Liste durchlaufen werden und die Laufzeit bestimmt der zweite Guard: T ins (0) = 1 T ins (n) = T ins (n-1) -- insert wird mit xs rekursiv aufgerufen = 3+ (3+T ins (n-2)) = wegen worst case läuft die Rekursion n mal = 3*n+1 T ins (n) Є O(n) mit c=4, x 0 =1 Best Case: a ist kleiner als das erste Element der Liste. Dann greift der erste Guard und a wird eingefügt: T ins (n)= 1+1+1, T ins (n) Є O(1) mit c=3, x 0 =1 Average Case: a ist im Durchschnitt kleiner gleich dem mittleren Element der Liste. Dann muss die halbe Liste durchlaufen werden und die Laufzeit bestimmt der zweite Guard: T ins (0) = 1 T ins (n) = T ins (n-1) -- insert wird mit xs rekursiv aufgerufen = 3+ (3+T ins (n-2)) = wegen average case läuft die Rekursion n/2 mal = 3*n/2+1 T ins (n) Є O(n) mit c=2, x 0 =1 4

5 Aufgabe 4 (Currying, 4 Punkte) Definieren Sie eine Haskell-Funktion, vda (vertausch die Argumente), die angewendet auf eine zweistellige Funktion f eine zweistellige Funktion f liefert, sodass für alle Argumente x und y gilt: f x y ist gleich f y x. a) ohne Verwendung der Lambda-Notation, b) unter Verwendung der Lambda-Notation. : Aufgabe 2a) vda ohne Verwendung der Lambda-Notation vda :: (r -> s -> t) -> (s -> r -> t) vda f y x = f x y Aufgabe 2b) vda unter Verwendung der Lambda-Notation vda' :: (r -> s -> t) -> (s -> r -> t) vda' f = (\y x -> f x y) Aufgabe 5 (Algorithmik, 4 Punkte) Betrachtet werden Ausdrücke, die nur aus Klammern oder Leerzeichen bestehen. Klammerausdrücke sind korrekt, wenn es zu jeder öffnenden Klammer eine passende schließende gibt (z.b. "(() ) ()" oder "()()()()", nicht jedoch" ())(()" ). Schreiben Sie eine Haskell-Funktion klammern, die den Wert True liefert, wenn der Klammerausdruck in diesem Sinne korrekt ist, False sonst. Hinweis: Zählen Sie die Anzahl offener Klammern. klammern :: String -> Bool klammern xs = klammern' 0 xs where klammern' n [] n== 0 = True otherwise = False klammern' n (x:xs) n < 0 = False x == '(' = klammern' (n+1) xs x == ')' = klammern' (n-1) xs x == ' ' = klammern' n xs otherwise = False 5

6 Aufgabe 6 (Pattern Matching, Typerkennung, 2 Punkte) Welche der folgenden Funktionen definiert eine Funktion des Typs ([Char], Char) -> [Char]? Begründen Sie Ihre Antwort stichpunktartig. 1. f ( (x:xs), 'x') = [x] ++ reverse xs ++ ['x'] korrekt 2. f (x:y:ys) = [ ] ++ reverse ys ++ [x] 3. f ( (xs: 'x'), x) = [x] ++ reverse xs xs ++ ['x'] Zu 1. x:xs steht für eine Liste insbesondere geht also auch eine Liste von Char, 'x'::char, beides zusammen ist ein 2-er Tupel. Also matcht das Pattern von f den Typ ([Char],Char) Ausgabe soll eine Liste von Char sein, x ist ein Element vom Typ Char, also ist [x]::char, ebenso ist ['x']::[char], reverse xs nimmt sich die Liste von Char, verdreht die Reihenfolge der Elemente und liefert wieder eine Liste von Char, ++ konkateniert alle einzelnen Listen zu einer Liste vom Elementtyp Char. Zu 2. Eingabe matcht kein 2-er Tupel Zu 3. xs: 'x' ist kein gültiges Pattern, da 'x' ein Char, aber der Cons-Operator erwartet als zweites Element eine Liste. Aufgabe 7 (ZF-Notation, 4 Punkte) Gesucht ist eine Haskell-Funktion tripel, die für ein vorgegebenes n (n ist natürliche Zahl) eine Liste aller pythagoräischen Tripel (x,y,z) zurück gibt, für die gilt: x 2 = y 2 + z 2, dabei stehen x,y,z für alle natürliche Zahlen n. tripel n = [(x,y,z) x<-[1..n],y<-[1..n],z<-[1..n], x^2=y^2+z^2] 6

7 Aufgabe 8 (Induktion, 6 Punkte) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion über die Listenlänge, dass für alle Listen xs gilt: length (reverse xs) = length xs Wobei reverse::[a]->[a] reverse [] = [] reverse (z:zs) = reverse zs ++ [z] (rev.1) (rev.2) (++)::[a]->[a]->[a] (++)[] zs = zs (++.1) (++)(x:xs) zs = x:(xs++zs) (++.2) length ::[a]->int length [] = 0 length (x:xs) = 1+length xs (len.1) (len.2) Siehe Vorlesung 7