4. Standardübertragungsglieder
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- Arthur Günther
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1 4. PT-Glied : Verzögerungsglied. Ordnung 4. P-Glied : Proportionalglied 4.3 I-Glied: Integrator 4.4 D-Glied: Differenzierer (ideal/real) 4.5 PT-Glied: Verzögerungsglied. Ordnung 4.6 Totzeitglied Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer
2 4. Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Differentialgleichung: Übertragungsfunktion: Pol der Übertragungsfunktion: T y(t) & + y(t) = K u(t) ; K,T > G(s) = Y(s) U(s) K = + s T + st = : s = T Sprungantwort: h(t) = K( e t/ T ) ; für t > Impulsantwort: g(t) = K T e t / T ; für t > Blocksymbol Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer
3 4. Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Sprungantwort: h(t) = K( e t / T ) ; für t >.8 h(t) K t / T Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 3
4 4. Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Sprungantwort: Quelle: K.-D. Tieste, O.Romberg: Keine Panik vor Regelungstechnik!.Auflage, Vieweg&Teubner, Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 4
5 4. Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Impulsantwort: g(t) = K T e t /T ; für t >.8 g(t) K /T t /T Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 5
6 4. Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Bode-Diagramm: - G(jω) K db arg { G(jω) } ω ωe = ωt Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 6
7 4. Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Ortskurve:,5 G(jω) Im{ } K -,5 - -,5,5,5 G(jω) Re{ } K Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 7
8 4. Proportionalglied (P-Glied) Differentialgleichung: Übertragungsfunktion: y (t) = K u(t) Y(s) G (s) = = K U(s) Ein Hebel ist ein P-System Pol der Übertragungsfunktion: keine Sprungantwort: h (t) = K; für t > Impulsantwort: g (t) = Kδ(t) ; für t > Quelle: K.-D. Tieste, O.Romberg: Keine Panik vor Regelungstechnik!.Auflage, Vieweg&Teubner, Blocksymbol Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 8
9 4.3 Integrator (I-Glied) Differentialgleichung: Übertragungsfunktion: Pol der Übertragungsfunktion: y&(t) = u(t) bzw. Y(s) G (s) = = U(s) s = y(t) = s t u( τ)dτ u (t) y(t)...dt Eine sich füllende Tasse Kaffee ist ein I-System Sprungantwort: h (t) = t σ(t); für t > Impulsantwort: g (t) = σ(t) ; für t > Quelle: K.-D. Tieste, O.Romberg: Keine Panik vor Regelungstechnik!.Auflage, Vieweg&Teubner, Blocksymbol oder /s Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 9
10 4.3 Integrator (I-Glied) Sprungantwort: Impulsantwort: h(t) g(t), ,75,5, t Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer
11 4.3 Integrator (I-Glied) Bode-Diagramm: 4 G(jω) db arg { G(jω) } ω Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer
12 4.3 Integrator (I-Glied) Ortskurve:,5 Im{ G(jω)} -,5 - -,5,5,5 ReG(jω)} Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer
13 4.4 Idealer Differenzierer (ideales D-Glied) Differentialgleichung: Übertragungsfunktion: kein Pol, aber eine Nullstelle : y (t) = u(t) & Y(s) G (s) = = s U(s) s = u (t) y(t) d dt( L) Sprungantwort: h (t) = δ(t); für t > Blocksymbol: oder s Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 3
14 4.4 Realer Differenzierer (reales D-Glied) Differentialgleichung: T y(t) & + y(t) = u(t); & T klein Übertragungsfunktion: G(s) = Y(s) U(s) = s + T s Pol : s = T Nullstelle: Sprungantwort: h(t) = s = T e t /T Reihenschaltung aus schnellem PT- und idealem D-Glied + Ts s Blocksymbol: Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 4
15 4.4 Ideales und reales D-Glied Bode-Diagramm: G(jω) db ideal real arg { G(jω) } /T ω Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 5 dt
16 4.4 Ideales und reales D-Glied Ortskurve: Im{ G(jω)},5 ideal real /T -,5 - -,5,5,5 Re{ G(jω)} Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 6
17 4.5 Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Differentialgleichung: ω D && y(t) + ω y(t) & + y(t) = K u(t) ; K,D, ω > Übertragungsfunktion: G(s) = Y(s) U(s) = K + D(s/ ω ) + (s/ ω ) Pole der Übertragungsfunktion: s s + Dω s + ω = / = Dω ± D ω Fall : D > : aperiodischer Fall reelle Pole Fall : D = : aperiodischer Grenzfall doppelter reeller Pol Fall 3: < D < : oszillatorischer Fall konjugiert komplexe Pole Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 7
18 4.5 Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Sprungantwort: Fall : D > : h(t) = reelle Pole K α α + α s, = α, = ω ( D ± D ) α α e α t α α t e für t > α α Fall : D = : reeller Doppelpol s, = ω h(t) = K ω t ωt [ e ω t e ] für t > Fall 3: < D < : konj. komplexe Pole s, = ω( D ± j D ) Dω t h(t) = K e sin( ωet + ϕ ) für t > D ω ϕ e = ω D = arccosd Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 8
19 4.5 Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Sprungantwort (normiert): h(t) K D =,,35,5,7,,5, ω t Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 9
20 4.5 Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Impulsantwort (normiert): g(t) Kω D =,,35,5,7,,5, Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer ω t
21 4.5 Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Bode-Diagramme (normiert) arg G(jω) K db { G(jω) } D =,5,,35,5,7,,5, D =,5,,35,5,7,,5, -8 - ω/ω Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer
22 4.5 Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Ortskurve (normiert) G(jω) Im{ } K Re{ G(jω)/K} Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer
23 4.5 Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) G(s) = Y(s) U(s) = K + D (s / ω ) + (s / ω) K Übertragungs- / Verstärkungsfaktor (Messtechnik: stat. Empfindlichkeit) D Dämpfung, (Lehrsches) Dämpfungsmaß ω Eckfrequenz (Schnittpunkt der Asymptoten) ω e = ω D Eigen(kreis)frequenz des (gedämpften) Systems ω R = ω D Resonanzfrequenz, d.h. { G(jω R } = max D = D = / aperiodischer Grenzfall: Sprungantwort weist gerade keine Überhöhung (Überschwingung) mehr auf Oszillographendämpfung: Amplitudengang weist gerade keine Resonanzüberhöhung mehr auf Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 3
24 4.5 Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Das Berechnen der Näherungswerte für die maximale Überschwingweite, die Zeit, bei der die maximale Überschwingweite auftritt, die relative Dämpfung, die Einschwingzeit erfolgt (für das dominante Polpaar) im Zeitbereich mit den Beziehungen: Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 4 x m T m T an D = e = πd D π ωd π ϕ ω D ϕ = arccos( ζ) ω T T = aus% aus5% = ω 4 = Dω = % D 3 Dω
25 4.5 Verzögerungsglied. Ordnung (PT-Glied) Einfaches Feder-Masse-System x m && x + k x& + c x = F Zahlenbeispiel mit m = kg k = Ns /m c = N/m F(t) = N σ(t s) Übertragungsfunktion? Sprungantwort? Bode-Diagramm, Ortskurve? Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 5 pt
26 4.6 Totzeitglied Beispiele: Förderband x(t) = K y(t T ) T t = l v t Mischungsregelung (z.b. Dusche): Temperaturänderung erst nach Totzeit T t = l v bemerkbar allgemein: Transportvorgänge, Diffusion, Wellenausbreitung (räumliche Entfernung zwischen Ort der Ein- u. Ausgangsgröße) Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 6
27 4.6 Totzeitglied Differentialgleichung: y(t) = u(t T t ); Tt > ; T t : "Totzeit" Übertragungsfunktion: G(s) = Y(s) U(s) Pol der Übertragungsfunktion: transzendente Übertragungsfunktion = e s T t Sprungantwort: Impulsantwort: h(t) g(t) = σ(t = δ(t T ) t T ) t Blocksymbol: oder s e T t Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 7
28 4.6 Totzeitglied Sprungantwort: Impulsantwort: h(t) g(t),5,75,5, ,5,75,5,5 Totzeit T t Totzeit T t t /T t 6 6 Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 8
29 4.6 Totzeitglied Bode-Diagramm: 4 G(jω) db arg { G(jω) } ω T t Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 9
30 4.6 Totzeitglied Ortskurve:,5 Im{ G(jω)} ω = -, ,5,5 Re{ G(jω)} Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 3
31 4.6 Totzeitglied Totzeitverhalten stellt ein spezielles Verzögerungsverhalten dar. Die Verzögerung eines Signals um eine konstante Zeit T t ohne Änderung der Signalform. Für Sprung- und Impulsantworten findet man die entsprechenden Ausdrücke im Zeitbereich in der Korrespondenztabelle. Da ein Totzeitglied nur eine konstante Zeitverschiebung des Eingangssignals bewirkt, ist im Bode-Diagramm nur im Phasenverlauf eine Auswirkung festzustellen. Die Ortskurve ergibt einen Kreis, der wiederholt durchlaufen wird. Es besteht kein Zusammenhang zwischen Amplituden- und Phasenverlauf. Ein Totzeitglied ist bei der Frequenzgangberechnung (speziell bei einem rückgekoppelten System) mathematisch schwierig handhabbar. Es ist deshalb sinnvoll, das Totzeitverhalten näherungsweise mit einem Verzögerungsglied. Ordnung zu beschreiben. Der Phasengang eines Verzögerungsgliedes.Ordung mit T = T t, entspricht bis ca., dem eines Totzeitgliedes (Fehler <5%). Bessere Näherungen erreicht man durch Reihenschaltung mehrerer Verzögerungsglieder.Ordnung. Campus Friedrichshafen --- Regelungstechnik --- Dr.-Ing. Erika Schäfer 3
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