1 Einleitung. 2 Sinus. Trigonometrie

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1 1 Einleitung Die Trigonometrie (trigonon - griechisch für Dreieck) und die trigonometrischen Funktionen sind wichtige mathematische Werkzeuge zur Beschreibung der Natur. In der Physik werden trigonometrische Funktionen zur Beschreibung von Schwingungsvorgängen (z.b. die Pendelschwingung, die elektrische Schwingung, Saitenschwingung und Schwingungen bei Wellen) benötigt. Aber auch in anderen Bereichen ndet die Trigonometrie und ihre Funktionen Anwendung: Im Altertum wurde die Trigonometrie zur Berechnung von astronomischen Problemen entwickelt. Die Medizin benötigt die trigonometrischen Funktionen zur Beschreibung periodischer Vorgänge im menschlichen Körper, wie z.b. dem Herzschlag. Sinus Der Sinus eines Winkels kann im rechtwinkligen Dreiecks deniert werden. Er ergibt sich aus dem Quotienten der Gegenkathete und der Hypotenuse. Der Wert, der sich daraus ergibt, ist unabhängig von der Grösse des Dreiecks: sin ϕ = a c Um die Funktion des Sinus zu gewinnen, wird das Dreieck in den Einheitskreis, der wiederum in ein Koordinatensystem eingebettet ist, gesetzt.

2 Die Hypotenuse ist der Radius r des Kreises. Die y-koordinate von P ist dann gleich dem Sinus des Winkels, denn der Radius r des Einheitskreises ist 1 und damit gilt sin ϕ = y r = y Dies gilt für alle Punkte des Einheitskreises und damit für beliebige Winkel zwischen 0 und 60 (Gradmass) resp. alle Werte zwischen 0 und π (Bogenmass). (Wobei α = 60 π ϕ mit ϕ im Bogenmass und α im Gradmass.) Für die graphische Darstellung der Sinusfunktion y = sin x wird die Beziehung zwischen x und sin x in einem Koordinatensystem dargestellt. Die y-koordinate wird als Zeiger dargestellt. Dieser wandert im neuen Koordinatensystem entlang der x-achse und zeichnet so die Sinusfunktion. Sie ist eine πperiodische ungerade Funktion: Cosinus sin(ϕ + π) = sin(ϕ) sin( ϕ) = sin ϕ Geometrisch ist der Cosinus deniert als Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck cos ϕ = b c Genauso wie bei der Sinusfunktion wird das Dreieck in den Einheitskreis gesetzt.

3 Der Cosinus des Winkels ist der x-achsenabschnitt zum entsprechenden Punkt P. cos ϕ = x r = x Genauso wie die Herleitung der Sinusfunktion funktioniert die Herleitung der Cosinusfunktion: y = cos x Vom Schnittpunkt des Zeigers mit dem Einheitskreis wird ein Lot gefällt und der dazugehörige x-achsenabschnitt bestimmt. Dieser Wert wird der Cosinusfunktion im Graphen als y-achsenabschnitt zugeordnet. Die Cosinusfunktion ist π-periodisch und gerade: cos(ϕ + π) = cos ϕ cos( ϕ) = cos ϕ 4 Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus Die Graphik zeigt, dass die Strecke zwischen 0 und P zusammen mit der x-achse den Winkel ϕ bildet. Der Punkt P 1 geht dadurch hervor, dass von ϕ ein rechter Winkel abgezogen wird. Dann gilt: ϕ 1 = ϕ π Aus der Grak ist weiterhin zu entnehmen, dass sin ϕ = cos ϕ 1 = cos(ϕ π )

4 Durch Umformung ergibt: cos ϕ = sin(ϕ + π ) Somit ist die Cosinusfunktion eine um π/ nach links verschobene Sinusfunktion ist. Umgekehrt ist die Sinusfunktion eine um π/ nach rechts verschobene Cosinusfunktion. Mit dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck, ergibt sich sin ϕ + cos ϕ = 1 5 Tangens Der Tangens eines Winkels kann geometrisch deniert werden als Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete tan ϕ = a b Damit ndet sich folgender Zusammenhang zwischen Sinus, Cosinus und Tangens: tan ϕ = sin ϕ cos ϕ Die Funktion des Tangens lässt sich ebenfalls am Einheitskreis herleiten. Dazu wird im Punkt (1; 0) eine Tangente an den Einheitskreis errichtet. Der Zeiger, der vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Punkt P reicht, wird über den Punkt P verlängert, bis er die Tangente im Punkt S schneidet. Der y-achsenabschnitt auf der Tangente ist der Tangens.

5 Nähert sich der Wert von ϕ zum Beispiel dem Wert π/, dann wächst der Wert für den Tangens ins Unendliche. Wenn nun der Zeiger in den.quadranten ( ) des Einheitskreises wandert, wird auch hier der Zeiger zur Tangente hin verlängert, so dass der Schnittpunkt S an der Tangente einen negativen y-achsenabschnitt liefert. Die Tangensfunktion ist π-periodisch. 6 Cotangens Der Cotangens eines Winkels kann geometrisch deniert werden als Verhältnis der Ankathete zur Gegenkathete. cot ϕ = b a Damit ndet sich folgender Zusammenhang zwischen Cotangens und Tangens: cot ϕ = 1 tan ϕ = cos ϕ sin ϕ Die Funktion des Cotangens lässt sich ebenfalls am Einheitskreis herleiten.

6 Dazu wird im Punkt (0; 1) eine Tangente an den Einheitskreis errichtet. Der Zeiger, der vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Punkt P reicht, wird über den Punkt P verlängert, bis er die Tangente im Punkt S schneidet. Der x-achsenabschnitt auf der Tangente ist der Cotangens. Die Cotangensfunktion ist π-periodisch. 7 wichtige Werte Gradmass Bogenmass sin cos tan cot nicht def 1 0 π 6 45 π 4 60 π π 1 0 nicht def π nicht def 70 π 1 0 nicht def 0 8 Berechnung des allgemeinen Dreiecks In einem beliebigen Dreieck ABC mit den Seitenlängen a, b, c und den Winkeln α, β, γ gilt der Sinussatz: a sin α = b sin β = c sin γ = r wobei r der Umkreisradius ist. Ausserdem gilt der Cosinussatz: a = b + c bc cos α Der Flächeninhalt des Dreiecks lässt sich berechnen durch: A = 1 ab sin γ