Probeklausur zur Analysis I WS 11/12 Prof. Dr. G. Wang Dr. A. Magni. Beginn: 8:15 Uhr. Name:...Vorname:... Matr.Nr.:...Studiengang:...

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Probeklausur zur Analysis I WS 11/12 Prof. Dr. G. Wang Dr. A. Magni. Beginn: 8:15 Uhr. Name:...Vorname:... Matr.Nr.:...Studiengang:..."

Transkript

1 Probeklausur zur Aalysis I WS / Prof. Dr. G. Wag 3.. Dr. A. Magi Begi: 8:5 Uhr Ede: Name: Vorame: Matr.Nr.: Studiegag: Geburtsort: Geburtstag: Studiegag: Semesterzahl: Bitte Beachte Sie folgede Hiweise: Resultate aus der Vorlesug dürfe Sie als bekat voraussetze. Begrüde Sie ach Möglichkeit stichwortartig Ihre Schritte. Aufgabe Etscheide Sie, ob die achstehede Folge für kovergiere ud bestimme Sie ggf. de Grezwert (mit kurzer Begrüdug). a) a = k=, b) a k(k+) = ( ). L: a) Mit Teleskopsummetrick gilt a = k= k(k + ) = k= ( k k + ) = +. b) Sei f(x) = x = exp(x log ). f is differezierbar mit f (x) = x log. Bei der Defiitio vo der Ableitug gilt lim = f () = log. Aufgabe Utersuche Sie die folgede Reihe auf Kovergez ud absolute Kovergez ( ) k+ ( k 3 ). k=

2 L: Sei a k = k 3. Die Folge {a k } ist eie mooto fallede Nullfolge. Nach Leibiz kovergiert die alterative Reihe k= ( )k+ ( k 3 ). Wir behaupte, dass die Reihe k= a k = k= ( k 3 ) icht koverget ist. Um die Behauptug zu zeige, vergleiche wir sie mit der harmoische Reihe k=, die icht k koverget ist: Aus lim k ( + k )k = e < 3 gilt ( + k )k < 3 a k > k für k hireiched groß. Also die Reihe ( ) k ( k 3 ) ist icht absolut koverget. Bemerkug: Ma ka auch die folgede Behauptug beutze: Die Reihe k= mit lim k ka k = a > ist icht koverget. Aufgabe 3 Die reelle Folge (a ) N sei rekursiv defiiert durch a = ud a + = + a a) Zeige Sie mittles vollstädiger Iduktio, dass < a. b) Zeige Sie, dass die Folge mooto ist. c) Zeige Sie, dass die Folge kovergiert ud bereche Sie de Grezwert. L: a) ud b) sid leicht zu zeige. Nach a) ud b) ist die Folge mooto ud beschräkt. Nach der Vorlesug kovergiert die Folge gege eie Zahl a [, ]. Mit der Rechugsregel vo Grezwert folgt aus a + = + a a = + a, die zwei Lösuge, a = ud a =, hat. Die Lösug a = ist keie Lösug, da sie icht im Itervall [, ] liegt. Also folgt a =. Aufgabe 4 Bestimme Sie alle Lösuge z C der Gleichug z 5 = ud fertige Sie eie Skizze a. L: I de Polarkoordiate hat die Gleichug z 5 = die folgede Form z 5 = r 5 e i5θ =. Also gilt r = 5 ud θ = kπ/5 für k Z. Wir habe 5 Lösuge, da θ [, π), z k = 5 e ikπ/5 mit k =,,, 3, 4. Aufgabe 5 Betrachte Sie die Mege M = {(x, y) R : x + y <, y }. Etscheide Sie, ob folgede Aussage wahr sid, jeweils mit Begrüdug:

3 (a) M ist beschräkt. (b) M ist offe. (c) M ist abgeschlosse. L: (a) M ist beschräkt, da (x, y) = x + y. (b) M ist icht offe, da es keie Umgebug U vo (, ) M mit U M gibt. (c) M ist icht abgeschlosse, da eie Folge a = (, ) M existiert, die kovergiert, aber der Grezwert (, ) = lim a icht i M liegt. Aufgabe 6 Bestimme Sie die Kovergezradie folgeer Potezreihe mit kürzer Begrüdug a) = a b k z, a, b >, k N b) = z. L: (a) Für z gilt a + a + b k z + = a a b k z = a z. Nach dem Quotietekriterium kovergiert die Reihe für z < a ud divergiert für z > a, d.h., der Kovergezradius is R = a. (b) R =. De für jedes festes z C gilt a + z < / <, für hireiched groß a Aufgabe 7 Bestimme Sie die lokale Extremstelle der Fuktio f : R R, f(x) = x 3 e x. L: Die extremstelle erfülle die otwedige Bedigug Die Gleichug hat 3 Lösuge = f (x) = x (3 x )e x. Nach der Produktregel gilt 3 x =, x ± = ±. Daraus folgt f (x) = e x { x 3 (3 x ) + x(3 x ) 4x 3 }. f (x + ) <, f (x ) >, f (x ) =. Nach der Vorlesug wisse wir, dass x + ei lokales Maximum ud x ei lokales Miimum ist. 3

4 Aber x ist keie lokale Extremstelle, de f(x) > f(x ) = für x >, f(x) < f(x ) = für x <. Aufgabe 8 Wir defiiere die Fuktio cosh (Cosius hyperbolicus) durch cosh : [, ) [, ), cosh(x) = ex + e x. Begrüde Sie, dass cosh : [, ) [, ) eie Umkehrfuktio besitzt; diese wird mit Arcosh (Area Cosius hyperbolicus) bezeichet. Leite Sie die Formel Arcosh(y) = log(y + y ) (y [, )) her. L: Aus cosh x = ex e x gilt cosh x > für x (, ), da e x > > e x für x (, ). Also ist cosh mooto wachsed auf (, ) mit cosh =. Da e x mit x, gilt auch cosh x mit x. Da cosh stetig ist, ist cosh : [, ) [, ) ach dem Zwischewertsatz surjektiv. Also existiert für cosh : [, ) [, ) eie Umkehrfuktio Arcosh(y). Die Berechug der Umkehrfuktio: y = cosh(x) = ex + e x. Setze u = e x. Da bekomme wir die Gleichug die zwei Lösuge hat. u ist keie Lösug. Wir habe Aufgabe 9 Bereche Sie die folgede Itegrale: (a) x log xdx. u yu + =, u + = y + y, u = y y (b) a L: (a) Nach der partielle Itegratio gilt x = log u = log(y + y ). cos (log x) dx (a > ). (c) x log xdx = [ x log x] x= = log x= = log 3 4. x dx x x dx x dx. 4

5 (b) Nach der Substitutio x = e y gilt a cos(log x)dx = e y cos ydy = [cos ye y ] y=log a y= + e y si ydy = [cos ye y ] y=log a y= + [si ye y ] y=log a y= e y cos ydy wobei wir och zweimal die partielle Itegratio beutzt habe. Es folgt a (c) cos(log x)dx = x dx = = = e y cos ydy = ([cos yey ] y=log a y= + [si ye y ] y=log a y= ) = (a cos(log a) + a si(log a) ). (Es gab ei Fehler hier!!!) = log ( x + ( log [ log + + x x ) dx ] x= + x x x= + x ) dx (Es gab ei Fehler hier!!!) (Es gab ei Fehler hier!!!) Aufgabe Prüfe Sie auf gleichmäßige Kovergez, sowie auf gleichmäßige Kovergez der Ableitugsfuktioe: f (x) = cos(x) auf I = [ π, π], L: f ist gleichmäßig koverget, da gilt f I = sup f (x) = x I, mit. Die Ableitug (f ) ist icht gleichmäßig koverget, da gilt f I = sup x I f (x) = sup si(x) =. x I Aufgabe 5

6 Für eie gegebee Folge (a ) N betrachte wir die Folge A = (a + a a ) der arithmetische Mittelwerte der erste Folgeglieder. Zeige Sie Gilt die Umkehrug dieses Schlusses? lim a = a lim A = a. L: Aus der Voraussetzug habe wir: () Die Folge ist beschräkt, d.h, es existiert M > mit a M. () Für bliebige ɛ > existiert N mit a a < ɛ/, für alle N. Wähle N mit MN N < ɛ/. Setze N = max{n, N }. Es folgt für > N A a = (a a) + (a a) + + (a a) ( (a a) + (a a) + (a N a) + (a N + a) + + (a a) ) < MN + ɛ/ < ɛ/ + ɛ/ = ɛ. Also die Folge A kovergiert gege a. Die Umkehrug ist falsch. Sei a = ( ). Die Folge kovergiert icht, aber A ist die Nullfolge A. 6

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =

n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 = Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: 1 2 + 2 3 + 3 4 +... + ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt:

Mehr

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud

Mehr

Aufgaben zur Analysis I

Aufgaben zur Analysis I Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.

Mehr

Kurvendiskussion. Sei c R. Skizzieren Sie den Graphen von f(x) = 1 + x e 2x.

Kurvendiskussion. Sei c R. Skizzieren Sie den Graphen von f(x) = 1 + x e 2x. Kurvediskussio Vorzeigeaufgabe: Sei c R. Skizziere Sie de Graphe vo fx) = + x e x. HS4 Probeprüfug Aufgabe 5 Bestimme Sie das Miimum ud das Maximum der Fuktio fx) = x 3 + 3x x + 0 auf dem Itervall [ 3,

Mehr

n=1 b n, deren Summe n=1 (a n + b n ) eine konvergente Reihe ist. Die Aussage ist WAHR, ein mögliches Beispiel sind die divergenten Reihen 1

n=1 b n, deren Summe n=1 (a n + b n ) eine konvergente Reihe ist. Die Aussage ist WAHR, ein mögliches Beispiel sind die divergenten Reihen 1 ANALYSIS WS 08/09 Vorlesug: Prof. Dr. P. Ullrich Übuge: Dr. I. Kharif/ Dr. M. Steihauer 9. ÜBUNGSBLATT- LÖSUNGSHINWEISE/Ergebisse Die folgede Bearbeituge sid - zum Teil - keie ausführliche Musterlösuge,

Mehr

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium

Mehr

Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie KIT) Istitut für Aalysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patric Breuig SS 3.9.3 Klausur Höhere Mathemati I für die Fachrichtug Physi Aufgabe 4+3+3) Pute) a) Sei a ) N eie reelle

Mehr

Analysis Übungen Hausaufgaben für 4. April

Analysis Übungen Hausaufgaben für 4. April Aalysis Übuge Hausaufgabe für 4. April Reihe sg 1. AN 8.2. c), AN 8.9. a). 2. Beweise die otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe: we a koverget ist, da lim a = 0. (I der Praxis: we lim a 0, da ist

Mehr

Analysis I - Zweite Klausur

Analysis I - Zweite Klausur Aalysis I - Zweite Klausur Witersemester 2004-2005 Vorame: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Summe Aufgabe 4 Pukte Bestimme Sie (mit Beweis)

Mehr

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015 Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

Musterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil

Musterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil WS 2008/2009 Prof. Dr. Scheider Musterlösuge zur Klausur Aalysis I Verstädisteil 04.02.2009. a A ist ach Defiitio abzählbar, falls A edlich ist, oder falls carda = cardn gilt. b Ei Pukt x A ist ei ierer

Mehr

Klausur zur Analysis II

Klausur zur Analysis II Uiversität Würzburg Mathematisches Istitut Prof Jör Steudig SS 007 807007 Klausur zur Aalysis II Aufgabe Die Mege M R 3 sei gegebe durch Zeit: 7:45-9:45 M := { x, y, z R 3 expx + y + z = } a Ist M abgeschlosse?

Mehr

Modulabschlussprüfung Analysis Musterlösung

Modulabschlussprüfung Analysis Musterlösung Bergische Uiversität Wuppertal Fachbereich C Mathematik ud Naturwisseschafte Prof. Dr. N. Shcherbia SoSe 204 Modulabschlussprüfug Aalysis 2.07.204 Musterlösug. Utersuche Sie folgede Reihe auf Kovergez

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 8Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr Robert Haller-Ditelma 0206200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a)

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2

Übungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Übuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 06/07. Richtig oder Falsch? Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8 Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir

Mehr

13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape 3. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 6./7. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Reihe)

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 7..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 5. Übugsblatt Aufgabe

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr Christoph Schmoeger Dipl-Math Sebastia Schwarz WS 4/5 45 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Übugsklausur Aufgabe

Mehr

Lösungen zur Übungsserie 10

Lösungen zur Übungsserie 10 Aalysis Herbstsemester 08 Prof Peter Josse Motag, 3 Dezember Lösuge zur Übugsserie 0 Aufgabe,,4,,6,8,9,,,3,4 Aufgabe Sei V der R-Vektorraum der stetige Fuktioe auf dem Itervall [0, ], ud sei d 0 eie gaze

Mehr

4 Konvergenz von Folgen

4 Konvergenz von Folgen 4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder

Mehr

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dr. T. Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge

Mehr

Scheinklausur Analysis 1 WS 2007 /

Scheinklausur Analysis 1 WS 2007 / Scheiklausur Aalysis 1 WS 2007 / 2008 08.02.2008 Es gibt 11 Aufgabe ud 1 Zusatzaufgabe. Die jeweilige Puktzahl steht am like Rad. Die Gesamtpuktzahl ist 40 Pukte plus 4 Zusatzpukte. Zum Bestehe der Klausur

Mehr

Analysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze

Analysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug

Mehr

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7

Mehr

Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a +

Mehr

Lösungen 7.Übungsblatt

Lösungen 7.Übungsblatt Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) WS 20/202 Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.tech. Raier Madel Lösuge 7.Übugsblatt Aufgabe 25 (K) Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede

Mehr

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma 05.05.200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie:

Mehr

Analysis 1 für Informatiker und Statistiker Beispielslösungen, Woche 13

Analysis 1 für Informatiker und Statistiker Beispielslösungen, Woche 13 Mathematisches Istitut der LMU WS 016/17 Prof. Dr. S. Morozov Olie am: Dr. H. Hogreve 1. 01. 017 Aalysis 1 für Iformatiker ud Statistiker Beispielslösuge, Woche 1 1.1 (a Um festzustelle, ob die utestehede

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug

Mehr

Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014

Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014 Übuge zu Eiführug i die Aalysis, WS 2014 Ulisse Stefaelli 19. Jauar 2015 1 Wiederholug 1. Seie p, q ud r Aussage. Zeige Sie, dass dei Aussage Tautologie sid. p ( p q), (b) ( p q) ( p q), [ ((p ) ( ) ]

Mehr

Repetitorium Analysis 1 für Physiker WS08/09 Montag - Folgen und Reihen Musterlösung

Repetitorium Analysis 1 für Physiker WS08/09 Montag - Folgen und Reihen Musterlösung Repetitorium Aalysis für Physier WS08/09 Motag - Folge ud Reihe Musterlösug. Verstädisfrage Thomas Blasi a Sid folgede Aussage richtig oder falsch: Jede overgete Folge hat eie Grezwert. Richtig. i Der

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Karlsruher Istitut für Techologie KIT) WS 0/3 Istitut für Aalysis 030 Prof Dr Tobias Lamm Dr Patrick Breuig Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik 8 Übugsblatt Aufgabe Bereche Sie die Ableituge

Mehr

Ubungen zur Analysis 1. Prof. Dr. Kohnen. Dr. O. Delzeith

Ubungen zur Analysis 1. Prof. Dr. Kohnen. Dr. O. Delzeith Ubuge zur Aalysis 1 Prof. Dr. Kohe Dr. O. Delzeith SS 1996 1. Beweise Sie uter Beutzug der i der Vorlesug geate vier Axiome fur N : Sid m; ; p; q 2 N ud gilt m > sowie p > q, so gilt mp > q. (3 Pukte)

Mehr

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) 10 1 1/ 2 1/, b) a = + 1, c)

Mehr

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n) Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10. 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie

Mehr

Kompaktheit und gleichgradige Stetigkeit. 1 Einführung in die Kompaktheit in C 0

Kompaktheit und gleichgradige Stetigkeit. 1 Einführung in die Kompaktheit in C 0 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit Vortrag zum Prosemiar zur Aalysis, 14.06.2010 Mao Wiescherma Matthias Klupsch Dieser Vortrag beschäftigt sich mit Kompaktheit vo Teilräume vom Raum der stetige Abbilduge

Mehr

Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen

Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe 129 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe Lerziele: Kozepte: Puktweise ud gleichmäßige Kovergez Resultate: Vertauschbarkeit vo Grezprozesse, Kovergezverhalte vo

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt

Mehr

1 Übungszettel. Beispiel 1.1. Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz, d.h. für alle a, b 2 R, n 2 N gilt. (a + b) n = a k b n k. k

1 Übungszettel. Beispiel 1.1. Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz, d.h. für alle a, b 2 R, n 2 N gilt. (a + b) n = a k b n k. k 1 Übugszettel Beispiel 1.1. Beweise Sie de biomische Lehrsatz, d.h. für alle a, b 2 R, 2 N gilt (a + b) =! X a k b k. k HINWEIS: Berücksichtige Sie, dass für alle,k 2 N mit 1 k gilt k=0!!! + 1 = +. k k

Mehr

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge

Mehr

3. Taylorformel und Taylorreihen

3. Taylorformel und Taylorreihen Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. R. Köig Dr. M. Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Z8.. Kriterie für strege Mootoie Mathematik für Physiker 2 (Aalysis ) MA9202 Witersem. 207/8 Lösugsblatt 8

Mehr

Grenzwertberechnungen

Grenzwertberechnungen Katosschule Solothur Grezwertberechuge Grezwertberechuge Grezwertberechuge bei Folge ud Reihe Folge sid Fuktioe; die Begriffe beschräkt ud mooto trete daher auch bei Folge auf. Isbesodere habe sie eie

Mehr

Analysis I. Carsten Schütt WS 2010/11

Analysis I. Carsten Schütt WS 2010/11 . Falls Christa Purzelbäume schlägt, da isst Bruo Torte. Christa ist geau da übel, we Ato Likör trikt ud Christa Purzelbäume schlägt. Falls Christa übel ist, da ist Bruo besorgt ud isst Torte. Etweder

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr A Müller-Rettkowski Dr T Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum

Mehr

Kapitel 6 Differenzierbarkeit

Kapitel 6 Differenzierbarkeit Kapitel 6 Differezierbarkeit Ihalt 6.1 6.1Die Defiitio 6.2 6.2Die Eigeschafte 6.3 6.3Extremwerte Seite 2 Was heißt differezierbar? Differezierbare Fuktioe sid sid glatte Fuktioe. Wir Wir beschreibe diese

Mehr

Musterlösung der Klausur. Analysis I WS 2012/13

Musterlösung der Klausur. Analysis I WS 2012/13 Musterlösug der Klausur Aalysis I WS 202/3 Aufgabe (C) Die Folge ( ) 2N 2 R N sei durch : (2 + 32 )( + 2) 2 3 + 2 2 gegebe Ma utersuche mittels der Recheregel für Kovergez, ob ( ) 2N kovergiert ud bereche

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe

Mehr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:

Mehr

4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.

Mehr

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17 Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4

Mehr

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen

Angabe Analysis 1 - Beweise, Vollständige Induktion, Folgen Agabe Aalysis - Beweise, Vollstädige Idutio, Folge 4. März 0 Aufgabe : Zum Aufwärme i Zeige durch geschictes Umforme, dass + + gilt. +!!!!!! +!! +! + + + + + ii Zeige durch vollstädige Idutio, dass 6 +

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie

Mehr

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per

Mehr

1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch

1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 2008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum 4. Übugsblatt

Mehr

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele

Mehr

Dann ist die Zahl auf der linken Seite gerade und die auf der rechten Seite ungerade. Also sind sie nicht gleich.

Dann ist die Zahl auf der linken Seite gerade und die auf der rechten Seite ungerade. Also sind sie nicht gleich. Lösuge. Es gibt drei Lösuge.. Lösug: Ato ist traurig ud er trikt keie Likör. Bruo isst Torte ud ist besorgt. Christa ist icht übel ud sie macht Purzelbäume.. Lösug: Ato ist traurig ud trikt keie Likör.

Mehr

D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi. Musterlösung 6. und berechnen. = lim. = lim. n n. = lim

D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi. Musterlösung 6. und berechnen. = lim. = lim. n n. = lim D-ITET Aalysis I HS 2018 Prof. Alessadra Iozzi Musterlösug 6 1. a) Wir setze a := 1 (3+1) 4 ud bereche a a +1 = 1. ( 3( + 1) + 1 1 3 + 1 3 + 4 3 + 1 ( 3 + 4 ) 4 3 + 1 Der Limes existiert isbesodere ud

Mehr

2 Konvergenz von Folgen

2 Konvergenz von Folgen Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge

Mehr

( 1) n 1 n n n + 1. n=1

( 1) n 1 n n n + 1. n=1 Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst Fakultät Mathematik TU Dortmud Musterlösug zum 6. Übugsblatt zur Höhere Mathematik I P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS 20/2 Aufgabe mittels Zeige Sie die Kovergez der Reihe )

Mehr

Übungen zu Analysis in einer Variable für das Lehramt SS 2016

Übungen zu Analysis in einer Variable für das Lehramt SS 2016 Übuge zu Aalysis i eier Variable für das Lehramt SS 06 Christoph Baxa ) Drei Lehramtsstudete mache gemeisam Urlaub im Süde. Da sie weig Geld habe, suche sie eie billige Uterkuft. Tatsächlich fide sie ei

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele

Mehr

5.7. Aufgaben zu Folgen

5.7. Aufgaben zu Folgen 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils

Mehr

1 Integrationsmethoden

1 Integrationsmethoden KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffma WS 3/4 4..4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Iformatik Itegratiosmethode. Saalübug (4..4) Aufgabe Bereche

Mehr

Zusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 4

Zusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 4 Mathemati I für E-Techier C. Erdma WS 0/, Uiversität Rostoc, 4. Vorlesugswoche Zusatzmaterial zur Mathemati I für E-Techier Übug 4 Wiederholug - Theorie: Reihe Zu jeder Folge {a } b Die Reihe eier zugehörige

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom

Mehr

α : { n Z n l } n a n IR

α : { n Z n l } n a n IR 1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)

Mehr

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009

Übungen zur Analysis I WS 2008/2009 Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge

Mehr

12. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

12. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Se Herrma Dipl.-Math. Susae Pape. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 9./0. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Logarithmus-Fuktio)

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 5..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 9. Übugsblatt

Mehr

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die

Mehr

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 00 PROF. DR. AMILLO DE LELLIS Aufgabe. Etscheide Sie für folgede Folge (wobei N \ {0}), ob diese koverget sid, ud bereche sie gegebeefalls ihre

Mehr

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen 6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z

Mehr

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa

4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa 20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle

Mehr

Kapitel 9. Aufgaben. Verständnisfragen

Kapitel 9. Aufgaben. Verständnisfragen Kapitel 9 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 9. Hadelt es sich bei de folgede für z C defiierte Reihe um Potezreihe? Falls ja, wie lautet die Koeffizietefolge ud wie der Etwicklugspukt? a c 3! j0 x! j x j

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009 Übug am 09.2.2008 Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 0..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 4. Übugsblatt

Mehr

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I

Aufgaben und Lösungen der Probeklausur zur Analysis I Fachbereich Mathematik AG 5: Fuktioalaalysis Prof. Dr. K.-H. Neeb Dipl.-Math. Rafael Dahme Dipl.-Math. Stefa Wager ATECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT SS 007 19. Jui 007 Aufgabe ud Lösuge der Probeklausur

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 9

Aufgaben zu Kapitel 9 Aufgabe zu Kapitel 9 Aufgabe zu Kapitel 9 Verstädisfrage Aufgabe 9. Hadelt es sich bei de folgede für z C defiierte Reihe um Potezreihe? Falls ja, wie lautet die Koeffizietefolge ud wie der Etwicklugspukt?

Mehr

STUDIENMATERIAL Teil 9 für Studenten der Elektrotechnik/Informationstechnik UNENDLICHE REIHEN

STUDIENMATERIAL Teil 9 für Studenten der Elektrotechnik/Informationstechnik UNENDLICHE REIHEN Techische Uiversität Chemitz Fakultät für Mathematik Zahlereihe STUDIENMATERIAL Teil 9 für Studete der Elektrotechik/Iformatiostechik UNENDLICHE REIHEN Utersuche für folgede uedliche Reihe jeweils die

Mehr

8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen

8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen 8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8.1 Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: lim 1 w k 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k 2 3

Mehr

Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015. Vorlesung 20. Konvexe Funktionen

Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015. Vorlesung 20. Konvexe Funktionen Prof. Dr. H. Breer Osabrück WS 2014/2015 Aalysis I Vorlesug 20 Kovexe Fuktioe Eie kovexe Teilmege. Eie ichtkovexe Teilmege. Defiitio 20.1. Eie Teilmege T R heißt kovex, we mit je zwei Pukte P, Q T auch

Mehr

8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion

8. Die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. 8.1 Definition der Exponentialfunktion 8. Die Expoetialfuktio ud die trigoometrische Fuktioe 8. Defiitio der Expoetialfuktio Fudametallemma: Für jede Folge w mit dem Grezwert w gilt: w lim + = k = 0 k w. k! Defiitio der Expoetialfuktio : k

Mehr

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung

1 Lösungen zu Analysis 1/ 12.Übung Lösuge ausgewählter Beispiele zu Aalysis I, G. Bergauer, Seite Lösuge zu Aalysis / 2.Übug. Eileitug Gleichmäßige Kovergez ist eie starke Eigeschaft eier Fuktioefolge. Formuliert ma sie für Netze, statt

Mehr

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,

Mehr

Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden

Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden Mathematik I für Naturwisseschafte Dr. Christie Zehrt 7.09.18 Übug (für Pharma/Geo/Bio) Ui Basel Besprechug der Lösuge: 1. Oktober 018 i de Übugsstude Aufgabe 1 Sid die folgede Abbilduge f : X Y umkehrbar?

Mehr

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg bei der Klausur.

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg bei der Klausur. Klausur zur Vorlesug Aalysis I Bo, de. Februar 009 Prof. Dr. W. Müller Dr. A. Wotze Nachame, Vorame: Matrielummer: Nummer der Übugsgruppe: A Drehe Sie diese Zettel bitte erst auf Aufforderug um. Sollte

Mehr

Kapitel 3 Folgen von reellen Zahlen

Kapitel 3 Folgen von reellen Zahlen Wolter/Dah: Aalysis Idividuell 4 Kapitel 3 Folge vo reelle Zahle Wir befasse us i diesem Abschitt mit Zahlefolge, die u.a. zur Eiführug ud 3/0/0 Behadlug des für die Aalysis äußerst wichtige Grezwertbegriffes

Mehr

Übungsaufgaben mit Lösungen. Mathematik I

Übungsaufgaben mit Lösungen. Mathematik I Fachhochschule Pforzheim - Eletrotechi / Iformatiostechi - Übugsaufgabe mit Lösuge zur Vorlesug Mathemati I Prof. Dr. Mazura ud Prof. Dr. Gohout) für Studete der Fachrichtuge Eletrotechi / Techische Iformati

Mehr