Lie Gruppen, SS 2010 Montag $Id: intro.tex,v /04/23 12:56:11 hk Exp hk $

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1 Lie Gruppen, SS 2 Montag 9.4 $Id: intro.tex,v.5 2/4/23 2:56: hk Exp hk $ Einleitung Wir wollen jetzt die Frage der Umkehrbarkeit der Exponentialfunktion behandeln. Zunächst werden wir einsehen, dass exp auf K n n mit Ausnahme des Randfalls K = R, n = niemals injektiv ist. Etwas spezifischer werden wir alle Matrizen A mit exp(a) = bestimmen. Wir hatten bereits gesehen, dass wir für eine diagonalisierbare Matrix A den Wert f(a) für überhaupt jede Potenzreihe f(z) = k= a kz k berechnen können, sofern f(a) überhaupt definiert ist. Für die konkrete Situation f(z) = e z können wir noch etwas weiter gehen, und exp(a) auch im nicht diagonalisierbaren Fall recht konkret berechnen. Wie sieht das konkret aus? Zu gegebener Matrix A C n n suchen wir eine Jordanbasis, und mit geeigneter Transformationsmatrix T ist dann A = T λ ɛ λ 2 ɛ λ n ɛ n λ n T, wobei λ,..., λ n die Eigenwerte von A sind, ɛ,..., ɛ n {, } gilt und ɛ i = für λ i λ i+ ist. Wir führen jetzt die sogenannte Jordanzerlegung von A durch, d.h. wir schreiben A = H + N mit λ H = T... λ n T, N = T ɛ ɛ ɛ n T. Die Matrix H ist diagonalisierbar und die Matrix N ist nilpotent. Weiter gilt HN = N H, denn ausgeschrieben bedeutet diese Gleichung T λ ɛ λ 2 ɛ 2 λ n ɛ n T = T 3- λ 2 ɛ λ 3 ɛ 2 λ n ɛ n T,

2 Lie Gruppen, SS 2 Montag 9.4 und dies ist wahr da für i < n mit ɛ i stets auch λ i = λ i+ ist. Man kann sich überlegen das diese Zerlegung von A als Summe einer diagonalisierbaren Matrix und einer damit kommutierenden nilpotenten Matrix eindeutig ist. Weiter sind die Matrizen H und N reell wenn A eine reelle Matrix ist. In diesem Sinne hat man dann über den reellen Zahlen zwar keine Jordansche Normalform aber zumindest eine Jordanzerlegung A = H + N. Dabei sind A, N zwei kommutierende, reelle n n Matrizen wobei N nilpotent und H über C diagonalisierbar ist. Weiter nennt man eine über C diagonalisierbare reelle Matrix halbeinfach. Für komplexe Matrizen ist halbeinfach ein Synonym für diagonalisierbar. Wir werden diese Tatsachen in dieser Vorlesung nicht verwenden, nur der Begriff einer halbeinfachen Matrix wird gelegentlich nützlich sein. Wenden wir jetzt Lemma 5.(b) auf die Jordanzerlegung A = H + N an, so ergibt sich exp(a) = exp(h) exp(n) mit exp(h) = T e λ... e λn T, exp(n) = T ɛ ɛ 2! ɛ 2 ɛ 3! ɛ 2 ɛ 3 ɛ (n )!... ɛ n ɛ 2 ɛ 2! 2ɛ T, Jetzt können wir anhand dieser Formel gut sehen, wann exp(a) = ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn exp(h) exp(n) = ist. Also muss wegen e λ,..., e λn zunächst ɛ =... = ɛ n = sein, d.h. A muss eine halbeinfache Matrix sein. Die zweite Bedingung ist exp(λ j ) = für j n, d.h. alle Eigenwerte müssen ganzzahlige Vielfache von 2πi sein. Insgesamt haben wir damit: Satz.6: Seien K {R, C}, n N, A K n n. Dann ist genau dann exp(a) = wenn A halbeinfach ist und alle komplexen Eigenwerte von A ganzzahlige Vielfache von 2πi sind. Bis auf den oben erwähnten Randfall ist die Exponentialfunktion also niemals injektiv. Wenn wir uns allerdings auf eine Umgebung der Nullmatrix beschränken, so wird die Lage viel besser. Man kann zeigen, dass die Eigenwerte einer Matrix stetig von der Matrix abhängen, Matrizen mit Eigenwerten der Form 2πik, k Z\{} sind also relativ weit von der Nullmatrix entfernt, und stellen damit kein Hindernis für die Injektivität von exp in der Nähe von Null dar. Wir werden die lokale Injektivität von exp gleich zweimal beweisen, einmal durch Anwendung des Satzes über Umkehrfunktionen und ein zweites Mal durch direkte Angabe einer Umkehrfunktion. Satz.7: Seien K {R, C} und n. Dann gibt es offene Mengen U K n n, V GL n K mit U, V so, dass exp : U V ein Diffeomorphismus ist. 3-2

3 Lie Gruppen, SS 2 Montag 9.4 Beweis: Wir wollen den Satz über Umkehrfunktionen anwenden. Hierzu müssen wir uns klarmachen, dass die Ableitung exp () : K n n K n n invertierbar ist. Für ein allgemeines f(z) = k= a kz k hatten wir bereits f ()A = a A für jedes A K n n gesehen, und wegen e z = + z + ist damit exp ()A = A für jedes A K n n. Also ist exp () = id K n n invertierbar, und alles ist gezeigt. Da diese Aussage so wichtig ist, wollen wir noch einen zweiten Beweis angeben. Dieser erlaubt es uns sogar ganz explizit eine passende Umgebung U der Nullmatrix anzugeben, auf der die Umkehrung der Exponentialfunktion möglich ist. Wir lassen uns von der Hoffnung leiten, dass alles so ist wie im skalaren Fall und die Umkehrung der Exponentialfunktion der Logarithmus ist. Den komplexen Logarithmus können wir für z < durch die Potenzreihe ( ) k log( + z) = z k k k= mit Konvergenzradius r = beschreiben. Aus unseren allgemeinen Überlegungen zu Potenzreihen von Matrizen wissen wir, dass durch ( ) k log( + A) := A k k k= für A C n n mit A < ein Matrix-Logarithmus definiert wird, und dass diese Reihe für jedes < s < gleichmäßig und absolut auf der Menge aller A C n n mit A s konvergiert. Wir erwarten das für jedes A C n n mit A < stets exp(log( + A)) = + A gilt. Wie kann man dies einsehen? Direktes Einsetzen in die Potenzreihen gibt ( ) k ( ) l exp(log( + A)) = + A l k! l k= l= = + k= m=k l + +l k =m k= m=k l ++l k =m k! ( )l l... ( )lk A m l k wobei wir verwendet haben, dass man absolut konvergente Reihen ausmultiplizieren kann. Die nun entstandene Reihe ist absolut konvergent, es gilt ja ( ) l... ( )lk A m k! l l l k= m=k l + +l k =m ( ) k A m A l = k! l... l k k! l k= l= = k= k! ( log( A ))k = e log( A ) = 3-3 A = A A <.

4 Lie Gruppen, SS 2 Montag 9.4 Also können wor unsere Reihe weiter umordnen und erhalten exp(log( + A)) = + = + k= m=k l ++l k =m [ ( ) m m= l ++l k =m k! ( )l l ( ) k k! l... l k... ( )lk Der Term in den eckigen Klammern ist stets eine endliche Summe, die man jetzt ausrechnen müsste. Das kann man als eine Übung einmal explizit durchführen, aber in Wahrheit ist das gar nicht nötig. Unsere Logarithmusreihe hat ja dieselben Koeffizienten wie die gewöhnliche reelle oder komplexe Potenzreihenentwicklung des Logarithmus. Führen wir die analoge komplexe Rechnung exp(log( + z)) = + z durch, so kommen wir genau zur selben Reihe, nur überall mit z statt A, und damit wissen wir a priori durch Koeffizientenvergleich, dass l ++l k =m ( ) k k! l... l k = {, m =,, m > gilt. Dasselbe Argument kann man immer für diese Fragen verwenden, jede Identität komplexer Potenzreihen können wir als Identität formaler Potenzreihen auffassen, und diese überträgt sich auf den Matrixfall. Wir wollen mit dieser Argumentation nun auch noch log(exp(a)) = A einsehen, aber hierzu müssen wir uns zuerst überlegen, für welche A C n n dies überhaupt definiert ist. Zunächst ist log(exp(a)) = log( + (exp(a) )), und da der Konvergenzradius der Logarithmusreihe war, benötigen wir exp(a) <. Für jede komplexe n n Matrix A gilt exp(a) = k! Ak k= k= ] A m. A k = e A. k! Ist also A C n n mit A < ln 2, so ist auch exp(a) e A <. Weiter gilt für diese A auch log(exp(a)) = A. Dies ist völlig analog zum obigen Beweis, durch Einsetzen in die Potenzreihen führen wir dies auf die Gleichung log(exp(z)) = z für z C mit z < ln 2 zurück. Für die Menge U des Satzes können wir also ganz konkret die Kugel mit Radius log 2 um nehmen und die Umkehrfunktion von exp wird der Logarithmus. Wir wollen jetzt den Satz 7 benutzen um einige Aussagen über die Struktur der GL n K in der Nähe der Eins zu beweisen. Ein erstes oft nützliches Lemma ist wie folgt: l k A m Lemma.8: Seien K {R, C}, n, bezeichne U die Kugel um im K n n mit Radius (/2) log 2 und setze V := exp(u) GL n K. Dann gelten: (a) Sind a, b V mit a 2 = b 2, so ist a = b. 3-4

5 Lie Gruppen, SS 2 Montag 9.4 (b) Ist a V, so gibt es ein k N mit a k / V. (c) Ist H GL n K eine Untergruppe mit H V, so gilt schon H =. Beweis: (a) Wir können a = exp(u), b = exp(v) mit u, v < (log 2)/2 schreiben. Dann ist 2u, 2v < log 2 und exp(2u) = exp(u) 2 = a 2 = b 2 = exp(2v), d.h. 2u = 2v und somit auch u = v und a = b. (b) Schreibe wieder a = exp(u) mit u < (log 2)/2. Wegen a ist u, also existiert ein minimales k 2 mit k u > (log 2)/2. Wegen (k ) u (log 2)/2 ist andererseits auch k u (log 2)/2 + u < log 2, und somit ist a k = exp(ku) / exp(u) = V. (c) Dies ist klar nach (b). Für die Aussage (c) des Lemmas sagt man auch, dass die Gruppe GL n K keine kleinen Untergruppen hat. Für unsere Zwecke spielt das keine grosse Rolle, in der allgemeinen Strukturtheorie lokalkompakter Gruppen ist diese Eigenschaft allerdings der zentrale Schlüssel zur Kennzeichnung der Liegruppen. Darauf werden wir später noch einmal eingehen. Die Eindeutigkeit des Wurzelziehens, die durch (b) ausgedrückt wird gilt wirklich nur in einer Umgebung der. In ganz GL n K gibt es ja sogar in grossen Mengen Elemente a mit a 2 =, das Lemma sagt nur, dass diese alle weit von der entfernt sind. Das ist übrigens auch a priori klar, jedes solche a hat als Eigenwert, und wie schon früher bemerkt hängen die Eigenwerte einer Matrix in geeigneten Sinn stetig von der Matrix ab, d.h. Matrizen in der Nähe von haben nur Eigenwerte die nahe bei liegen. Wir wollen dieses Lemma und die Exponentialabbildung verwenden um die Einparameteruntergruppen der GL n K zu bestimmen. Eine Einparametergruppe ist dabei ein stetiger Gruppenhomomorphismus ϕ : (R, +) GL n K. Nach Lemma 5.(b,d) ist zum Beispiel für jedes a K n n die Abbildung ϕ : R GL n K; t e ta eine solche Einparameteruntergruppe. Wir wollen jetzt noch einige weitere Beispiele von Einparametergruppen durchgehen. Zunächst ist ( ) e t ϕ(t) = eine Einparametergruppe, die Stetigkeit ist klar und die Homomorphie folgt aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Ein weiteres Beispiel ist gegeben durch ( ) t ϕ(t) =. 3-5 e t

6 Lie Gruppen, SS 2 Montag 9.4 Auch diese Abbildung ist wieder stetig, und wegen ( ) ( ) ( t s t + s = ) für alle t, s R auch ein Gruppenhomomorphismus. Ein weiteres naheliegendes Beispiel wird durch Drehungen im R 2 geliefert. Die Drehung um den Nullpunkt im Gegenuhrzeigersinn mit Drehwinkel t R ist durch die Matrix ( ) cos t sin t ϕ(t) = sin t cos t gegeben. Auch dies ist stetig und ein Gruppenhomomorphismus. Letzteres ist klar, denn die Hintereinanderausführung der Drehungen um die Winkel t und s ist insgesamt die Drehung um den Winkel t + s. Schreibt man dies als Matrixprodukt hin, so entstehen gerade die Additionstheoreme von Sinus und Cosinus. Als letztes Beispiel wollen wir auch noch die Drehungen im Raum behandeln. Zur Angabe einer solchen Drehung brauchen wir sowohl eine Drehachse als auch einen Drehwinkel. Die Drehachse beschreiben wir durch einen Einheitsvektor u R 3 mit u =. Durch den Vektor u ist dann auch die Orientierung unserer Drehung festgelegt, wir wollen von u aus gesehen im Gegenuhrzeigersinn um den Winkel φ R drehen. Wir wollen uns jetzt überlegen wie diese Drehung D u (φ) in Matrixform aussieht. Sei x R 3 mit x / u, d.h. u und x sind linear unabhängig. Wir bestimmen zunächst eine Orthonormalbasis u,, u 3 des R 3 in der die Drehachse u der erste Basisvektor ist und x im Aufspann der ersten beiden Basisvektoren liegt. Setze also u := u. Zur Bestimmung des zweiten Basisvektors verwenden wir die Gram-Schmidt Orthonormalisierung angewandt auf u, x an, d.h. wir setzen y := x u x u und := y y. Dabei schreiben wir a b für das Skalarprodukt zweier Vektoren a, b R 3. Die Orthonormalbasis wird dann vervollständigt durch das Vektorprodukt der ersten beiden Basisvektoren, dieses ist ja normiert und steht senkrecht auf den ersten beiden Basisvektoren, also u 3 := u = u x u (x u x u) = y y 3-6 φ u

7 Lie Gruppen, SS 2 Montag 9.4 da u u = ist. Bezüglich der Basis u,, u 3 wird x zu x = u x u + y = u x u + y = u x y. Der Spaltenvektor ist dabei bezüglich der Basis u,, u 3 gemeint. In dieser Basis berechnet sich das Bild von x unter unserer Drehung als u x u x Dx = cos φ sin φ y = y cos φ. sin φ cos φ y sin φ Bezüglich der Standardbasis haben wir damit das Ergebnis D u (φ)x = u x u + y cos(φ) + y sin(φ)u 3 = u x u + cos(φ)y + sin(φ)u x = u x u + cos(φ)x u x cos(φ)u + sin(φ)(u x) = cos(φ)x + ( cos φ) u x u + sin(φ)(u x). Dies ist bereits eine für praktische Zwecke nützliche Drehungsformel. Wir können die Formel auch noch in Matrixform umschreiben, hierzu müssen wir uns nur überlegen wie die Matrix der linearen Abbildung f(x) = u x aussieht. Dies ist schnell berechnet u e = u u 3 = u 3, u e 2 = u e 3 = u u 3 u u 3 u 3 =, u = u, die Matrix von f ist also û := u 3 u 3 u u. Bezeichnet außerdem u t den transponierten Vektor u, also u als Zeilenvektor, so ist u x u = u u x = uu t x, und uu t ist eine 3 3 Matrix. Die Drehmatrix wird damit insgesamt zu D u (φ) = cos φ + ( cos φ)uu t + sin(φ)û. Damit ist ϕ(t) := D u (t) ein weiteres Beispiel einer Einparametergruppe. 3-7