Logarithmusfunktionen

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1 V Logarithmusfuktio Widrholug wichtigr Rchgstz Üug ach (utr Hälft ds Aritslatts!) mit folgd Zusatzfrag: Brch Si ud drück Si durch i izig Logarithmus glichr Basis aus: (9) + () ; ld(6) ld ( ½) Was ka ma mit dm Epot mach? (4 ) Wi lässt sich ach dism Prizip (/u) schri? Rchgstz Si > 0, i liig fstglgt Basis, u > 0, v > 0 lass da di Darstllug u r ; v s zu. (Btracht Si zur Bgrüdug di Fuktio f: ->, di d Wrtrich IR + hat, so dass u, v Wf) Aus u v r s r + s > (u v) r + s u + v (Rgl ) Aus u : v r : s r - s > (u : v) r - s u - v (Rgl ) Aus u k ( r ) k k r > u k k r k u (Rgl ) Nach Rgl : ( u ) (u - ) - (u) 0 für jd Basis Basiswchsl Jdr Logarithmus ir Zahl zu ir Basis lässt sich zu liigr adrr Basis > 0, darstll. Am Bispil:? k > k k k > > k > k > Allgmi: c a l a a l c Awdug: :... (allgmi: a /a) Gräuchlich Akürzug Gräuchlich Akürzug sid (z. B. am Taschrchr) für 0 ud l für, ld odr l für.

2 Di atürlich Logarithmusfuktio Altkat als Umkhrug dr p-fuktio f: -> l p: -> Für Dfiitiosmg, Wrtmg, Nullstll, Schitt mit -Achs Vrglich mit d Fuktio X ud X Dfiitiosmg: D IR + Wrtmg: W IR Symmtri: ki (ma tracht alli di Dfiitiosmg!) Nullstll: l 0 Etrma: Da l() / 0 git s ki Pukt mit waagrchtr Tagt Mootoi: Da l() / > 0 ist p auf D IR + strg mooto stigd. Krümmugsvrhalt: Da l() -/² < 0 ist p stts rchtsgkrümmt > ki Wdpukt Vrhalt am Rad vo D: lim l() ; lim l() Wrttall ud Graph: y y 4 4 4

3 Allg. Hiwis zur Diskussio vo Logarithmusfuktio a Dfiitiosrich l ist ur für > 0 dfiirt. Bispil:. f () l ² + l ³ Df ma IR\{0} + +. f () l > > 0 > (+ > 0 > 0) (+ < 0 < 0) <> > < - <> Df ma IR \[-; ]. f () l (4 ²) 4 ² > 0 ² < 4 < Df ma ]-;[ 4. f() l l > 0 l > 0 d. h. Df ma IR + \{}. f () l ² + Df ma IR Alit Vor allm, um Alitug ifachr zu ild, mpfhl sich di Gstz l (a ) l a + l l (a : ) l a l l a k k l a Allrdigs ist Vorsicht got: Häufig trt Logarithm vo Btragsfuktio auf! Bacht dai: l für > 0 Si f () l, Df IR \ {0}, d.h f () > f () l( ) für < 0 d.h. dr Fuktiostrm dr Alitug utrschidt sich icht! f() l > f () (oh Btragsstrich) für > 0 für < (-) 0 Hiwis: I Üristimmug mit dism Ergis stht i dr Formlsammlug dshal auch d l + c im Gltugsrich jwils IR + ud IR - Si jtzt allgmi f() l g() l g() i all Brich mit g() > 0 f () l( g()) i all Brich mit g() < 0 I id Fäll gilt widr f () gʹ() g() Bispil f() l, f () Df IR\{0} 4

4 c Vrifach (ud Alit) Prolm: + f () l, Df ]-, -[ ]; + [ (ach Bispil ) ~ vrglich mit f () l( + ) l( ), D ~ ]; + [ D, d.h. s fhlt i großr Brich i dr f ma Dfiitiosmg! Schrit ma statt dss Bträg, also ~ f() l + l, D ~ IR {; }, so wird di Dfiitiosmg icht igschräkt. Dass si f ma größr wird, lastt us icht witr, da wir di Fuktio ifach ur auf dm ursprüglich Df tracht. f () l l für IN f() l ² + l ³ l (!!!!) + l l ; f () Oh Vrifachug wär dis komplizirtr: f ʹ() + + () l ² f() g() ² ³ f() l für all aus dr Dfiitiosmg g() Irhal ds ursprüglich Dfiitiosrichs ädrt sich ichts, w ma stimmt Ausdrück durch dr Bträg rstzt. + So gilt, w > 0 (Bdigug für Dfiitiosmg ir l Fuktio (Argumt > 0): () + + (ar auch ur da!) I Df ka ma ach dr Rgl schri + + f() l l l + l Dr u Fuktiostrm ist zwar ürall außr i - ud dfiirt. Ma trachtt ih ar ur für Df ]-, -[ ]; + [ Nu folgt: 6 f () + ( + )( ) ( + )( ) Dis hätt ma komplizirtr ür di Quotitrgl ud Kttrgl rmittl kö: ( ) 6 f () + ( )² Vor allm auch das witrrch (f ) ist mit dr oig Darstllug güstigr: f () (+) - +(-) - Witrs Bispil: + f() l Als maimal Dfiitiosmg rrcht ma Df ]-;,[ f() l + - l - > f () f () + ( + )² ( )²

5 4 Grzwrt vo l - Fuktio Bkat (scho mal im Rahm ir Üugsstud hadlt): lʹh lʹh... ( )... lʹh lim lim > > lʹh lim 0 tsprchd > Vrmutug: di l-fuktio wächst lagsamr als jd Potz l lʹh. lim lim 0 > > lʹh. lim lim + > l > l lʹh. lim lim lim 0 > > > lʹh 4. lim lim lim + > > l > l lʹh. lim l lim lim lim 0 > o+ > > > l lʹh r r 6. Si r > 0 lim l lim lim lim 0 > o+ > > r 0 r > + r r lʹh l l. lim lim lim > > > ² + d. h. di -Fuktio wächst stärkr als all Potz (Bm: 0 ka alls si) 6

6 Ei praktischr Itgratiostrick Für i Fuktio f() gilt: fʹ() Falls f() > 0 : ( l( f()) ) f() Falls f() < 0 : ( f()) ) Isgsamt: ( f() )) Ud damit: fʹ() l( f() l( fʹ() d f() fʹ() f() l( f() + c fʹ() f() Awdug ² d l ³ + + c ³ + si si ta d d d l cos + c cos cos d l l c l + Buch S. 6