Vorkurs: Mathematik für Informatiker. Wintersemester 2013/14 Lösungen

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1 Vorkurs: Mathematik für Informatiker Wintersemester 2013/14 Lösungen

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de Jennifer Maier Marcel Morisse 2

3 Kapitel I: Mengen Aufgabe I-1 Es seien A = f5; 7; 9g, B = f5; 6; 7g und C = f1; 3; 5; 7; 9g gegeben. Es gilt: n o a) A [ B = 5; 6; 7; 9 n o A \ C = 5; 7; 9 = A n o C n A = 1; 3 n o A4B = 6; 9 b) A \ B \ C = c) P(B) = d) A B = n o 5; 7 n o ;; f5g; f6g; f7g; f5; 6g; f5; 7g; f6; 7g; f5; 6; 7g n o (5; 5); (5; 6); (5; 7); (7; 5); (7; 6); (7; 7); (9; 5); (9; 6); (9; 7) 3

4 Kapitel I: Mengen Aufgabe I-2 Es gilt: a) P(;) = n o ; b) P(P(;)) = n;; ; ªo 4

5 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-1 a) = = 7 12 b) = = = c) = = 5 20 = 1 4 d) 6 7 : = = =1 5

6 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-2 a) 3 2 x2 b) a c) 1 d) y e) a 3 f) 1 a 4 g) xy 2 h) b10 c 3 a 3 6

7 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-3 a a) 3 2a 2 4ab 1 4ab +2 = 3 2b (4ab 1) a +2 4a2 b 4a 2 b = 6b 4a2 b + a +8a 2 b 4a 2 b = 4a2 b +6b + a 4a 2 b 7

8 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-3 b b) x x 2 xy y x 2 + xy x x 2 y 2 = = x x(x y) y x(x + y) x (x + y)(x y) x (x + y) y (x y) x x x(x + y)(x y) = x2 + xy xy + y 2 x 2 x(x + y)(x y) = y 2 x(x + y)(x y) 8

9 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-3 c, d c) a 3b 5a +1 25a 2 1 a 2 6ab +9b 2 = a 3b 5a +1 = 5a 1 a 3b (5a + 1)(5a 1) (a 3b) 2 d) 2x 3 5x : 4x2 9 10x 2 = 2x 3 5x 2x = 2x +3 10x 2 (2x +3)(2x 3) 9

10 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-1 a) 27 b) 49 c) 125 d) 16 e) 36 f)

11 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-2 a, b a) b) 7 p x 6 p y +3 p x 4 p y = 10 p x 10 p y r r = = r r =

12 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-2 c, d c) p p 0; 1 0; 121 = p 0; 0121 = 0; 11 d) (a p b)(a + p b) = a 2 b 12

13 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-3 & IV-4 Aufgabe IV-3 Aufgabe IV-4 a) r =2 b) r =5 c) r = 1000 d) r = 1 16 a) r =10+log 2 3 b) r =3 c) r = 1 d) r =5 4+3=4 e) r =

14 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-5 a) Es gilt: ; 98 n = ; 98 n = 1 2 ln 0; 98 n = ln 1 2 n = ln 1 2 ln 0; 98 = 34; 31 b) Nein, der Startwert hat keinen Ein uss auf die Dauer. c) Die Rechnung ist nur sinnvoll, wenn die In ationsrate konstant bleibt. 14

15 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-6 n entspricht 1600 Jahren. Es gilt 10g μ n 1 = 1; 25g 2 μ n 1 1; 25g = 2 10g = 1 8 Hieraus folgt direkt, dass n = 3 gilt. Es dauert also = 4800 Jahre, bis die 10g Radium 88 zu 1,25g zerfallen sind. 15

16 Kapitel V: Rechenregeln Aufgabe V-1, V-2 & V-3 Aufgabe V-1 Aufgabe V-2 a) a 11 b)20x 7 c)9z 9 d) 20x 6 Aufgabe V-3 a) a x b) x 2 2b c) 3 y 2 d) a 4 b 5+y a) x 3 b) x 3 5 c) a

17 Kapitel V: Rechenregeln Aufgabe V-4 a, b a) log a 2b = loga log 2b = loga log b log 2 b) log a 3 +log p b log ab 2 = 3loga log b log a +2logb = 2loga 3 2 log b 17

18 Kapitel V: Rechenregeln Aufgabe V-4 c, d c) log 3p a 2 log a +2log 1 7 a = 2 3 log a log a +2 μ log 1 7 +loga = 5 3 log a 2log7 d) log μ a 2 b 1 c ac 3 b = log ab 2 c 4 = loga 2logb +4logc 18

19 Kapitel V: Rechenregeln Aufgabe V-4 e e) μ a 2 c + ac log ab c b μ a 2 c + ac ac = log ab μ a 2 c = log ab = log ab 1 c = loga log b +logc 19

20 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Aufgabe VII-1 Die folgenden Operationen sind assoziativ: ² Addition ² Multiplikation Die restlichen Operationen sind nicht assoziativ. 20

21 Kapitel VII: grundlegende Rechengesetze Aufgabe VII-2 Die folgenden Operationen sind kommutativ: ² Addition ² Multiplikation Die restlichen Operationen sind nicht kommutativ. 21

22 Kapitel XI: Das Summenzeichen Aufgabe XI-1 a) b) c) d) e) P 1 k 4 P 1 i 10 i: gerade P 0 j 10 j: ungerade P 1 j 15 j: Primzahl a k = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 P 1 k 50 k: Quadratzahl a i = a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 2 j = b j = b 2 + b 3 + b 5 + b 7 + b 11 + b 13 a k = a 1 + a 4 + a 9 + a 16 + a 25 + a 36 + a 49 22

23 Kapitel XI: Das Summenzeichen Aufgabe XI-2 3X a i i=2 3X 2 bj j=0 = 2 a 2 b 0 + a 2 b 1 + a 2 b 2 + a 2 b 3 +2 a 3 b 0 + a 3 b 1 + a 3 b 2 + a 3 b 3 23

24 Kapitel XI: Das Summenzeichen Aufgabe XI-3 a) wahr b) falsch c) wahr d) falsch 24

25 Kapitel XII: Polynome Aufgabe XII-1 a, b, c a) a(x)+b(x) = x 3 +2x 2 4x +5 b) a(x) b(x) = x 3 +2x 2 6x +1 c) a(x) b(x) = x 4 +2x 3 +2x 3 +4x 2 5x 2 10x +3x +6 = x 4 +4x 3 x 2 7x +6 25

26 Kapitel XII: Polynome Aufgabe XII-1 d d) x 3 +2x 2 5x +3 : (x +2)=x 2 5 (x 3 +2x 2 ) 5x +3 ( 5x 10) 13 26

27 Kapitel XIII: Gleichungen & Gleichungssysteme Aufgabe XIII-1 a) b) c) x = 5 4 y = 15 8 x =1 y =3 x = 1 y =2 27

28 Kapitel XIII: Gleichungen & Gleichungssysteme Aufgabe XIII-2 a) b) c) nicht läosbar x =3 y = 7 x =0 y =3 28

29 Kapitel XIII: Gleichungen & Gleichungssysteme Aufgabe XIII-3 a Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem (p = Paul; v = Vater): p + v = 33 p +30 = 2 1 v +30 : Umformen und Au Äosen des Gleichungssystems ergibt p =1 und v =32: 29

30 Kapitel XIII: Gleichungen & Gleichungssysteme Aufgabe XIII-3 b Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem (m i =Michael;m u =Mutter): m i = 1 2 m u m i +2+m u + 2 = 100: Umformen und Au Äosen des Gleichungssystems ergibt m i =32 und m u =64: 30

31 Kapitel XIII: Gleichungen & Gleichungssysteme Aufgabe XIII-4 a) x 1 = 4 sowiex 2 =2 b) x 1 = p 7sowiex 2 = p 7 c) x 1 =0sowiex 2 = 1 3 d) x 1 =0sowiex 2 =1 e) x 1 = 8+2 p sowie x 2 = 8 2 p f) keine LÄosung 31

32 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-1 Es sei n eine ungerade ganze Zahl. Dann läasst sich n als n =2k+1 darstellen, wobei k eine ganze Zahl ist. Daraus folgt mit Hilfe der ersten binomischen Formel n 2 = 2k +1 2 =4k 2 +4k +1=2 2k 2 +2k)+1: Aus dieser Darstellung folgt, dass n 2 ungerade ist. 32

33 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-2 Wir berechnen zunäachst die doppelte Summe. Der erste und der letzte, der zweite und der vorletzte, der dritte und der vorvorletzte (usw.) Summand ergeben in der Summe stets n +1: :::+(n 1) + n = 1+n + 2+(n 1) + :::+ n +1 = n n +1 Damit wir die einfache Summe erhalten, teilen wir diesen Ausdruck durch 2 und erhalten: 1+2+:::+ n = n(n +1) 2 Diese Aufgabe (samt LÄosung) ist auch als der "kleine Gau¼" bekannt. 33

34 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-3 Nach dem Schubfachprinzip existieren (unter Zuhilfenahme des Hinweises) 1 Million verschiedene MÄoglichkeiten fäur die Anzahl an Kopfhaaren. Da Hamburg derzeit etwa 1,8 Millionen Einwohner hat, mäussen folglich mindestens 2 dieselbe Anzahl an Haaren auf dem Kopf haben. 34

35 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-4 I Angenommen, p 3wÄare rational. Dann käonntemandiezahlals Bruch zweier teilerfremder ganzer Zahlen a und b schreiben: p a 3= b : Durch Quadrieren der Gleichung erhäalt man Durch Umformung folgt 3= a2 b 2 : 3b 2 = a 2 : (1) 35

36 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-4 II In Gleichung (1) ist die rechte Seite genau dann ungerade, wenn a ungerade ist. Ebenso ist die linke Seite (weil 3 ungerade ist) genau dann ungerade, wenn b ungerade ist. Folglich haben a und b dieselbe ParitÄat. Als teilerfremde Zahlen käonnen aber nicht beide gerade sein, also sind a und b beide ungerade. Demnach kann man sie mit geeigneten ganzen Zahlen m und n in der folgenden Form schreiben: a =2m +1 bzw. b =2n +1: 36

37 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-4 III Setzt man diese AusdrÄucke in (1) ein, ergibt sich 3 4n 2 +4n +1 =4m 2 +4m +1: Nach elementaren Umformungen (Ausmultiplizieren, variable AusdrÄucke auf eine Seite bringen, Division durch 2) folgt 1=2 m 2 + m 3n 2 3n): (2) In Gleichung (2) ist die rechte Seite gerade, da sie das Doppelte einer ganzen Zahl ist, wäahrend die 1 links ungerade ist. Dies ist ein Widerspruch, so dass die Annahme, p 3 sei rational, falsch sein muss. Folglich ist p 3 irrational. 37

38 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-5 Wir nehmen an, dass es nur endlich viele Primzahlen p 1 ;:::;p n gibt. Wir multiplizieren die Primzahlen p 1 ;:::;p n und addieren 1: p = p 1 ::: p n +1: Die entstandene Zahl p ist durch keine der Primzahlen p 1 ;:::;p n teilbar. Wegen p > 1 besitzt p also entweder einen Primfaktor, der nicht in p 1 ;:::;p n enthalten ist, oder ist selbst eine Primzahl. Beide FÄalle stellen einen Widerspruch zur Annahme dar, dass p 1 ;:::;p n alle Primzahlen sind. Dies beweist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. 38

39 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-6 I Beweis: Mit vollstäandiger Induktion läasst sich zeigen, dass A(n) nicht nur fäur bestimmte n 2 N, sondernfäur alle n 2 N gilt: (I) Induktionsanfang A(1) ist richtig, da 1 3 = 12 (1 + 1) 2 4 gilt. 39

40 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-6 II (II) Induktionsschritt Es sei n 2 N eine beliebig gewäahlte natäurliche Zahl; wir setzen voraus, dass A(n) fäur dieses n richtig ist, d.h., es gelte fäur dieses n: nx i 3 = n2 n i=1 : (?) Wir haben zu zeigen, dass unter dieser Voraussetzung auch A(n + 1) richtig ist, d.h., wir mäussen Folgendes nachweisen: n+1 X i=1 i 3 = n +1 2 n : 40

41 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-6 III Dies ergibt sich durch folgende Rechnung: n+1 X i=1 i 3 = (?) = Zusammenfassen = (n+1) 2 ausklammern = = nx i 3 + n +1 3 i=1 n 2 n n n 2 n n n +1 n 2 +4n n +1 n Damitsind(I)und(II)gezeigt;nachdemInduktionsprinzipgilt A(n) alsofäur alle n 2 N.

42 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-7 I Beweis: Mit vollstäandiger Induktion läasst sich zeigen, dass A(n) nicht nur fäur bestimmte n 2 N, sondernfäur alle n 2 N gilt: (I) Induktionsanfang A(0) ist richtig, da 2 0+1=1= gilt. 42

43 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-7 II (II) Induktionsschritt Es sei n 2 N eine beliebig gewäahlte natäurliche Zahl; wir setzen voraus, dass A(n) fäur dieses n richtig ist, d.h., es gelte fäur dieses n: nx 2 2i +1 = n +1 : (?) i=0 Wir haben zu zeigen, dass unter dieser Voraussetzung auch A(n + 1) richtig ist, d.h., wir mäussen Folgendes nachweisen: n+1 X i=0 2i +1 = n +2 2: 43

44 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-7 III Dies ergibt sich durch folgende Rechnung: n+1 X i=0 2i +1 = nx 2i n +3 i=0 (?) = n n +3 = n 2 +2n +1+2n +3 = n 2 +4n +4 = n +2 2 Damitsind(I)und(II)gezeigt;nachdemInduktionsprinzipgilt A(n) alsofäur alle n 2 N. 44

45 Kapitel XVI: Vektoren Aufgabe XVI-1 a) Es ergibt sich: a + b = a b = b a = A A A : 30 b) Es gilt a 2 R 3 und b 2 R 2. Da nur Vektoren gleicher Dimension addiert/subtrahiert werden käonnen, ist diese Aufgabe nicht läosbar. 45

46 Kapitel XVI: Vektoren Aufgabe XVI-2 Es ist Hieraus folgt v = v 1 v 2 +3v 3 = v = A : 9 q ( 6) = p 126: 46

47 Kapitel XVI: Vektoren Aufgabe XVI-3 Zwei Vektoren sind genau dann senkrecht zueinander (orthogonal), wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Es gilt v 1 v 2 =4 ( 2) + ( 2) 4+5 0=0: Die beiden Vektoren v 1 und v 2 sind also senkrecht zueinander. 47

48 Kapitel XVI: Vektoren Aufgabe XVI-4 a) Es gilt a b =3 ( 1) ( 1) 2=0 a c =3 ( 6) + 1 ( 2) + ( 1) 2= 22 b c =( 1) ( 6) + 5 ( 2) + 2 2=0: Es gilt also a?b sowie b?c. a und c sind nicht orthogonal. b) c = a b ist senkrecht zu a und senkrecht zu b. c 0 ist der zu c gehäorende normierte Vektor: 0 c = a b A c 0 = p 7 1 5A :

49 Kapitel XVII: Geraden Aufgabe XVII-1 Aufstellen der Geradengleichung fäur die Gerade durch P 1 und P 2 ergibt x 2 = 1 2 x 1 +2: Durch Umstellen ergibt sich die gesuchte Koordinatenform: 1 2 x 1 + x 2 2=0: 49

50 Kapitel XVII: Geraden Aufgabe XVII-2 Aufstellen der Geradengleichung fäur die Gerade durch P 1 und P 2 ergibt x 2 = 1 2 x 1: Durch Umstellen ergibt sich die gesuchte Koordinatenform: Einsetzen von P 3 ergibt 1 2 x 1 + x 2 =0: ; 5=0; 5 6= 0: P 3 liegt also nicht auf der Geraden. Folglich liegen P 1, P 2 und P 3 nicht auf derselben Geraden. 50

51 Kapitel XVII: Geraden Aufgabe XVII-3 Als Parameterform ergibt sich sofort x =! μ 2 0P1 + t ³P 2 P 1 = + t 3 μ 2 1 (t 2 R): Aus dem Richtungsvektor μ der Parameterdarstellung läasst sich der 1 Normalenvektor direkt ablesen. FÄur die Normalenform 2 ergibt sich folglich μ μ μ 1 2 x =0:

52 Kapitel XVIII: Ebenen Aufgabe XVIII-1 Als Parameterform ergibt sich sofort x =! ³ ³ A+s B A +t C A 4A (s; t 2 R): Aus den beiden Spannvektoren ermittelt man mittels Kreuzprodukt einen Normalenvektor der Ebene: 0 n A 3 1 3A : Hieraus folgt die Normalenform der Ebene: AA =0:

53 Kapitel XVIII: Ebenen Aufgabe XVIII-2 Es lassen sich leicht 3 Punkte der Ebene bestimmen, beispielsweise P 1 =(0; 0; 4), P 2 =(0; 4; 0) und P 3 =( 2; 0; 0). Hieraus ergibt sich die folgende Parameterform der Ebene (fäur s; t 2 R): x =! P1 +s ³P 2 P 1 +t ³P 3 P 1 0 A : Die Normalenform kann man direkt aus der Koordinatenform ablesen: A x +4=0: 1 53

54 Kapitel XVIII: Ebenen Aufgabe XVIII-3 ZunÄachst erstellt man die Koordinatenform der Ebene: x 1 2x 2 4=0: Hieraus lassen sich leicht 3 Punkte der Ebene bestimmen, beispielsweise P 1 =(8; 2; 0), P 2 =(0; 2; 0) und P 3 =(4; 0; 0). Dies ergibt zum Beispiel die folgende Parameterform der Ebene (fäur s; t 2 R): x =! P1 +s ³P 1 P 2 +t ³P 1 P 3 2A :

55 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-1 a, b a) log a 2b = loga log 2b = loga log b log 2 b) log a b log 2 b 1 +log a2 b 1 = loga 2logb +logb +2loga +logb = 3loga 55

56 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-1 c c) log 3p a 2 log a +2log 1 7 a = 2 3 log a log a +2 μ log 1 7 +loga = 5 log a 2log7 3 56

57 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-2 a) a 3 a 3 a 1 = a 1 b) (x 4 z 3 ) 2 x 6 z 2 = x8 z 6 x 6 z 2 = x 2 z 4 c) 7a 4 b 6 49a 8 b 3 = b 3 7a 4 = 1 7 a 4 b 3 57

58 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-3 a) Ã μ1! 0;5 x = 2 μ x 2 Setzt man x = 6 ein, erhäalt man: μ = μ = 1 8 Analog erhäalt man fäur b) x = 2 sowiefäur c) x =4. 58

59 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-4 Eine Funktion ist periodisch, wenn sie sich auf dem gesamten De nitionsbereich in regelmäa¼igen AbstÄanden wiederholt. Periode von sin x: 2¼ Periode von cos 2x: ¼ Periode von sin 1 3 x:6¼ 59

60 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-5 1. x 1 = 3+p keine LÄosung sowie x 2 = 3 p Durch Ausprobieren erhäalt man die erste Nullstelle x 1 = 1. Anschlie¼ende Polynomdivison und pq-formel ergibt die restlichen Nullstellen: x 2 = 1 sowiex 3 = 2. 60

61 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-6 ZunÄachstbestimmtmandasSkalarproduktvona und b und setzt dieses gleich 0. 0= x Umstellen nach x ergibt: x = 2 3 : FÄur x = 2 3 sind die beiden Vektoren senkrecht zueinander. 61