Hobit 2015: Mathematik Studiengänge und Fachvortrag

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1 Hobit 2015: Mathematik Studiengänge und Fachvortrag Unendlich? Infinite? (1) Kann man die Größe unendlicher Mengen messen? (2) Ein paar Gedankenexperimente im Unendlichen some of them in English Martin Otto Arbeitsgruppe Logik Fachbereich Mathematik Technische Universität Darmstadt otto Martin Otto /14

2 Zählen & Mengengrößen messen die Größe endlicher Mengen kann man durch Zählen messen: für M = {e 1,..., e n }, mit paarweise verschiedenen Elementen e 1,..., e n, ist die Elementezahl M = n N natürliches Maß Martin Otto /14

3 Zählen & Mengengrößen messen die Größe endlicher Mengen kann man durch Zählen messen: für M = {e 1,..., e n }, mit paarweise verschiedenen Elementen e 1,..., e n, ist die Elementezahl M = n N natürliches Maß einfacher Größenvergleich unter endlichen Mengen: M M falls M = M M M falls M M ( gleichgroß ) ( höchstens so groß wie ) Martin Otto /14

4 Zählen & Mengengrößen messen die Größe endlicher Mengen kann man durch Zählen messen: für M = {e 1,..., e n }, mit paarweise verschiedenen Elementen e 1,..., e n, ist die Elementezahl M = n N natürliches Maß einfacher Größenvergleich unter endlichen Mengen: M M falls M = M M M falls M M ( gleichgroß ) ( höchstens so groß wie ) natürliche Zahlen messen die Größe endlicher Mengen (eines der Grundkonzepte der natürlichen Zahlen)... und für unendliche Mengen? Martin Otto /14

5 unendliche Mengen Beispiele: N (Menge der natürlichen Zahlen) {0, 2, 4, 6,...} N (Menge der geraden Zahlen) {p N: p prim } N (Menge der Primzahlen) Z, Q, R,... (ganze, rationale, reelle Zahlen) viele interessante Mengen von Folgen, Funktionen, geometrischen Objekten, Gleichungen, Formeln,... sind unendlich mögliche Definition: M = falls für alle n N gilt M n Martin Otto /14

6 unendliche Mengen Beispiele: N (Menge der natürlichen Zahlen) {0, 2, 4, 6,...} N (Menge der geraden Zahlen) {p N: p prim } N (Menge der Primzahlen) Z, Q, R,... (ganze, rationale, reelle Zahlen) viele interessante Mengen von Folgen, Funktionen, geometrischen Objekten, Gleichungen, Formeln,... sind unendlich mögliche Definition: M = falls für alle n N gilt M n ist das schon alles? sind denn je zwei unendliche Mengen gleichgroß? Martin Otto /14

7 Größenvergleich, Mächtigkeit/Kardinalität (Cantor) Idee: (partielle) Paarungen statt Zählen M M zeigt dass M M Georg Cantor ( ) Martin Otto /14

8 Größenvergleich, Mächtigkeit/Kardinalität (Cantor) Idee: (partielle) Paarungen statt Zählen M M zeigt dass M M M M zeigt dass M M Georg Cantor ( ) Martin Otto /14

9 Größenvergleich, Mächtigkeit/Kardinalität (Cantor) Idee: (partielle) Paarungen statt Zählen M M zeigt dass M M M M zeigt dass M M Georg Cantor ( ) Definition: M M falls M = {m i : i M } (eine Liste (m i ) i M deckt M ab) M M M M falls sowohl M M als auch M M falls M M und nicht M M Martin Otto /14

10 Größenvergleich, Mächtigkeit/Kardinalität (Cantor) Idee: (partielle) Paarungen statt Zählen M M zeigt dass M M M M zeigt dass M M Georg Cantor ( ) manche Intuitionen aus dem Endlichen setzen sich fort, andere nicht! Martin Otto /14

11 Hilbertsches Hotel (1): ℵ = ℵ 0 in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3,... ) sind alle Zimmer schon belegt und es kommt ein neuer Gast David Hilbert ( ) Mathematiker, nicht Hotelier Martin Otto /14

12 Hilbertsches Hotel (1): ℵ = ℵ 0 in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3,... ) sind alle Zimmer schon belegt und es kommt ein neuer Gast unmöglich, ihn unterzubringen? oder doch? David Hilbert ( ) Mathematiker, nicht Hotelier Martin Otto /14

13 Hilbertsches Hotel (1): ℵ = ℵ 0 in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3,... ) sind alle Zimmer schon belegt und es kommt ein neuer Gast unmöglich, ihn unterzubringen? oder doch? Zimmer Gäste David Hilbert ( ) Mathematiker, nicht Hotelier Martin Otto /14

14 Hilbertsches Hotel (1): ℵ = ℵ 0 in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3,... ) sind alle Zimmer schon belegt und es kommt ein neuer Gast unmöglich, ihn unterzubringen? oder doch? Zimmer Gäste Zimmer Gäste David 1 2 Hilbert 3 4 ( ) Mathematiker, nicht Hotelier Martin Otto /14

15 Hilbertsches Hotel (1): ℵ = ℵ 0 in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3,... ) sind alle Zimmer schon belegt und es kommt ein neuer Gast unmöglich, ihn unterzubringen? oder doch? Zimmer Gäste Zimmer Gäste David 1 2 Hilbert 3 4 ( ) Mathematiker, nicht Hotelier Martin Otto /14

16 Hilbertsches Hotel (2): ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 wieder sind alle Zimmer schon belegt und es kommen unendlich viele neue Gäste (1, 2, 3,... ) Zimmer Gäste Martin Otto /14

17 Hilbertsches Hotel (2): ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 wieder sind alle Zimmer schon belegt und es kommen unendlich viele neue Gäste (1, 2, 3,... ) Zimmer Gäste Zimmer Martin Otto /14

18 Hilbertsches Hotel (2): ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 wieder sind alle Zimmer schon belegt und es kommen unendlich viele neue Gäste (1, 2, 3,... ) Zimmer Zimmer Gäste Martin Otto /14

19 Hilbertsches Hotel (2): ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 wieder sind alle Zimmer schon belegt und es kommen unendlich viele neue Gäste (1, 2, 3,... ) Zimmer Zimmer Gäste Beobachtung: Z N die Menge Z der ganzen Zahlen hat dieselbe Kardinalität wie die Menge N der natürlichen Zahlen ( abzählbar unendlich ) Martin Otto /14

20 Hilbertsches Hotel (3): ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 wieder sind alle Zimmer schon belegt und es kommen unendlich viele Busse (1, 2, 3,... ) mit jeweils unendlich vielen Passagieren (1, 2, 3,... ) Busse Passagiere Martin Otto /14

21 Hilbertsches Hotel (3): ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 wieder sind alle Zimmer schon belegt und es kommen unendlich viele Busse (1, 2, 3,... ) mit jeweils unendlich vielen Passagieren (1, 2, 3,... ) Busse neue Gäste Passagiere Martin Otto /14

22 Hilbertsches Hotel (3): ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0 wieder sind alle Zimmer schon belegt und es kommen unendlich viele Busse (1, 2, 3,... ) mit jeweils unendlich vielen Passagieren (1, 2, 3,... ) Busse neue Gäste Passagiere Satz (Cantor): Q N die Menge Q der rationalen Zahlen hat dieselbe Kardinalität wie die Menge N der natürlichen Zahlen (auch abzählbar unendlich) Martin Otto /14

23 die nach oben offene Kardinalitäts-Skala Satz (Cantor): M P(M) für jede Menge M gilt M P(M), d.h. die Menge der Teilmengen einer Menge ist stets strikt mächtiger als die Menge selbst vgl. im Endlichen: P(M) = 2 M Martin Otto /14

24 die nach oben offene Kardinalitäts-Skala Satz (Cantor): M P(M) für jede Menge M gilt M P(M), d.h. die Menge der Teilmengen einer Menge ist stets strikt mächtiger als die Menge selbst P(M) M vgl. im Endlichen: P(M) = 2 M jede Paarung bleibt auf Seite von P(M) unvollständig Martin Otto /14

25 die nach oben offene Kardinalitäts-Skala Satz (Cantor): M P(M) für jede Menge M gilt M P(M), d.h. die Menge der Teilmengen einer Menge ist stets strikt mächtiger als die Menge selbst P(M) M vgl. im Endlichen: P(M) = 2 M jede Paarung bleibt auf Seite von P(M) unvollständig Beweis ( Diagonalisierung ): in jeder Liste (s m ) m M von M-vielen Teilmengen von M fehlt immer mindestens diese: s := {m M : m s m } denn für jedes m ist s s m, da m s gdw. m s m Martin Otto /14

26 die nach oben offene Kardinalitäts-Skala Satz (Cantor): M P(M) für jede Menge M gilt M P(M), d.h. die Menge der Teilmengen einer Menge ist stets strikt mächtiger als die Menge selbst vgl. im Endlichen: P(M) = 2 M Korollar: N P(N) R die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar, d.h. strikt mächtiger als die Mengen N, Z oder Q Martin Otto /14

27 Diagonalisierungsidee: Überabzählkbarkeit von P(N): keine Liste von Teilmengen s 0, s 1, s 2,... N kann vollständig sein: s 0 s 1 s 2 s 3 s 4. s Martin Otto /14

28 Diagonalisierungsidee: Überabzählkbarkeit von P(N): keine Liste von Teilmengen s 0, s 1, s 2,... N kann vollständig sein: s 0 s 1 s 2 s 3 s 4. Martin Otto /14

29 . Diagonalisierungsidee: Überabzählkbarkeit von P(N): keine Liste von Teilmengen s 0, s 1, s 2,... N kann vollständig sein: s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s Martin Otto /14

30 Kombinatorik unendlicher Mengen: ein Beispiel make only finitely many mistakes an infinite team is challenged to find a strategy for the following: (fair play, no cheating, no tricks!) each player is going to be given a blue or green cap and cannot see his/her own colour but everbody else s; they then must simultaneously and independently respond to the question what colour their own cap is; they win (as a team) if only finitely many answers are wrong. Martin Otto /14

31 Kombinatorik unendlicher Mengen: ein Beispiel make only finitely many mistakes an infinite team is challenged to find a strategy for the following: (fair play, no cheating, no tricks!) each player is going to be given a blue or green cap and cannot see his/her own colour but everbody else s; they then must simultaneously and independently respond to the question what colour their own cap is; they win (as a team) if only finitely many answers are wrong. impossible? Martin Otto /14

32 Modellierung des Gedankenexperiments... simultaneously and independently declare the colour of their own cap; the team wins if only finitely many answers are wrong für das Team ( N) betrachten wir die Menge M aller 0-1-Folgen s = (s n ) n N M P(N) überabz.! M kodiert alle möglichen Kappen-Verteilungen { 0: n hat grüne Kappe s n = 1: n hat blaue Kappe Antworten des Teams { 0: n antwortet grün a n = 1: n antwortet blau Martin Otto /14

33 Modellierung des Gedankenexperiments... simultaneously and independently declare the colour of their own cap; the team wins if only finitely many answers are wrong für das Team ( N) betrachten wir die Menge M aller 0-1-Folgen s = (s n ) n N M P(N) überabz.! M kodiert alle möglichen Kappen-Verteilungen { 0: n hat grüne Kappe s n = 1: n hat blaue Kappe Antworten des Teams { 0: n antwortet grün a n = 1: n antwortet blau Ziel: s a := {n : a n s n } endlich only finitely many mistakes Martin Otto /14

34 Modellierung des Gedankenexperiments... simultaneously and independently declare the colour of their own cap; the team wins if only finitely many answers are wrong für das Team ( N) betrachten wir die Menge M aller 0-1-Folgen s = (s n ) n N M P(N) überabz.! M kodiert alle möglichen Kappen-Verteilungen { 0: n hat grüne Kappe s n = 1: n hat blaue Kappe Antworten des Teams { 0: n antwortet grün a n = 1: n antwortet blau Ziel: s a := {n : a n s n } endlich only finitely many mistakes Problem: Antwort a n darf nicht von s n abhängen, wohl aber von allen s m für m n: (s m ) m n Martin Otto /14

35 Modellierung & Lösungsansatz: Idee 1: Modellierung der verfügbaren Information der einzelne Spieler n kennt nur (s m ) m n was wissen Spieler n 1, n 2,..., n k gemeinsam über s? Martin Otto /14

36 Modellierung & Lösungsansatz: Idee 1: Modellierung der verfügbaren Information der einzelne Spieler n kennt nur (s m ) m n was wissen Spieler n 1, n 2,..., n k gemeinsam über s? Idee 2: Modellierung der relevanten Information Antworten a = (a n ) n N und a = (a n) n N sind gleich gut falls die Differenzmenge a a = {n : a n a n} endlich ist Martin Otto /14

37 Modellierung & Lösungsansatz: Antworten a = (a n ) n N und a = (a n) n N sind gleich gut falls die Differenzmenge a a = {n : a n a n} endlich ist gröbere Sicht auf M (relevante & allen verfügbare Information): wir definieren Äquivalenzrelation auf M s s : s s endlich Martin Otto /14

38 Modellierung & Lösungsansatz: Antworten a = (a n ) n N und a = (a n) n N sind gleich gut falls die Differenzmenge a a = {n : a n a n} endlich ist gröbere Sicht auf M (relevante & allen verfügbare Information): wir definieren Äquivalenzrelation auf M s s : s s endlich M zerfällt in Äquivalenzklassen (überabz. viele/abz. groß) [s] := {s : s s} s bis auf endlich viele Differenzen M... s... [s] Martin Otto /14

39 Modellierung & Lösungsansatz: Antworten a = (a n ) n N und a = (a n) n N sind gleich gut falls die Differenzmenge a a = {n : a n a n} endlich ist gröbere Sicht auf M (relevante & allen verfügbare Information): wir definieren Äquivalenzrelation auf M s s : s s endlich M zerfällt in Äquivalenzklassen (überabz. viele/abz. groß) [s] := {s : s s} s bis auf endlich viele Differenzen M... s... [s] Ziel: a s, d.h. a [s]... und jeder kennt [s] (!!) Martin Otto /14

40 the rest is easy... at least if we ignore some issues of arbitrary choices and people s cognitive capacities ;-) all players agree in advance on some fixed system of representatives: a choice of one element a([s]) from each equivalence class [s] Martin Otto /14

41 the rest is easy... at least if we ignore some issues of arbitrary choices and people s cognitive capacities ;-) all players agree in advance on some fixed system of representatives: a choice of one element a([s]) from each equivalence class [s] M... a([s])... [s] Martin Otto /14

42 the rest is easy... at least if we ignore some issues of arbitrary choices and people s cognitive capacities ;-) all players agree in advance on some fixed system of representatives: a choice of one element a([s]) from each equivalence class [s] M... a([s])... [s] in situation s no-one knows s, but everyone knows [s] everyone can answer according to a([s]) Martin Otto /14

43 the rest is easy... at least if we ignore some issues of arbitrary choices and people s cognitive capacities ;-) all players agree in advance on some fixed system of representatives: a choice of one element a([s]) from each equivalence class [s] M... a([s])... [s] in situation s no-one knows s, but everyone knows [s] everyone can answer according to a([s]) then a([s]) [s] guarantees a([s]) s, a sure win Martin Otto /14