Physikalische Chemie: Kreisprozesse

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1 Physikalische Chemie: Kreisprozesse Version vom 29. Mai 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Diesel Kreisprozess Wärmemenge Q Arbeit W Beweis Innere Energie U Entropie S Wirkungsgrad η Otto Kreisprozess Wärmemenge Q Arbeit W Innere Energie U Entropie S Wirkungsgrad η Anhang: Zusammenfassung wichtiger Gleichungen 7 Anhang: Weitere Kreisprozesse 8 Werner Schwalbach Dieses Dokument darf ohne das Einverständnis des Autors nicht auf anderen Seiten veröffentlicht oder gegen Bezahlung verbreitet werden. Der Autor übernimmt keine Garantie dafür, dass dieses Dokument fehlerfrei ist und ist für Verbesserungsvorschläge und Korrekturhinweise dankbar.

2 Diesel Kreisprozess 2 1 Diesel Kreisprozess Schritt 1: Adiabatische Kompression von 1 2, δq = 0 Schritt 2: Isobare Expansion von 2 3, dp = 0 Schritt 3: Adiabatische Expansion von 3 4, δq = 0 Schritt 4: Isochore Druckerniedrigung von 4 1, dv = 0 Abbildung 1: Diesel Kreisprozess im pv-diagramm 1.1 Wärmemenge Q adiabatische Kompression: Q 12 = 0 isobare Expansion: Q 23 = C p (T 3 T 2 adiabatische Expansion: Q 34 = 0 isochore Druckerniedrigung: Q 41 = C V (T 1 T 4 Gesamt: Q gesamt = C p (T 3 T 2 + C V (T 1 T Arbeit W adiabatische Kompression: W 12 = C V (T 2 T 1 isobare Expansion: W 23 = p (V 3 V 2 = (C p C V (T 3 T 2 (Beweis durch adiabatische Expansion: W 34 = C V (T 4 T 3

3 Diesel Kreisprozess 3 isochore Druckerniedrigung: W 41 = 0 Gesamt: W gesamt = C V (T 2 T 1 + T 4 T 3 (C p C V (T 3 T Beweis Zunächst soll gezeigt werden, dass für die isobare Volumenarbeit gilt W 12 = p (V 2 V 1 = (C p C V (T 2 T 1 : W = pdv für p = const. : W 12 = p (T 2 T 1 (1.1 Da p = const. gilt (unter Verwendung von pv = nrt auch: p 1 = const. = p 2 V 1R T 1 = V 2R T 2 T 1 T 2 = V 1 V 2 (1.2 Wir können daher in (1.1 p durch die ideale Gasgleichung ersetzen. Hierbei ist es egal, ob für die Temperatur T 1 oder T 2 eingesetzt wird. Dies kann durch Gleichung (1.2 überprüft werden. Es folgt aus Gleichung (1.1 durch Einsetzen von p = V 2 R/T 2 : W 12 = RT 2 ( V1 V 2 1 V 1 /V 2 =T 1 /T 2 = +R (T 2 T 1 (1.3 Für ideale Gase C p C V = R gilt erhalten wir damit aus Gleichung (1.4 schließlich: W 12 = (C p C V (T 2 T 1 ( Innere Energie U adiabatische Kompression: U 12 = W 12 = C V (T 2 T 1 isobare Expansion: U 23 = C V (T 3 T 2 adiabatische Expansion: U 34 = W 34 = C V (T 4 T 3 isochore Druckerniedrigung: U 41 = C V (T 1 T 4 Gesamt: U gesamt = C V (T 2 T 1 + T 3 T 2 + T 4 T 3 + T 1 T 4 = 0 (1. HS erfüllt 1.4 Entropie S adiabatische Kompression: S 12 = 0 isobare Expansion: S 23 = C p ln (T 2 /T 1 adiabatische Expansion: S 34 = 0 isochore Druckerniedrigung: S 41 = C V ln (T 1 /T 4 Gesamt: S gesamt = C p ln (T 2 /T 1 + C V ln (T 1 /T 4

4 Diesel Kreisprozess Wirkungsgrad η Allgemein ist der Wirkungsgrad η der Quotient aus geleisteter Arbeit und aufgenommener Wärmemenge. Daraus folgt: η := W gesamt Q warm = 1 + C V (T 1 T 4 C p (T 3 T 2 = 1 + T 1 T 4 T 3 T 2 (1.5

5 Otto Kreisprozess 5 2 Otto Kreisprozess Schritt 1: Adiabatische Kompression von 1 2, δq = 0 Schritt 2: Isochore Druckverminderung von 2 3, dv = 0 Schritt 3: Adiabatische Expansion von 3 4, δq = 0 Schritt 4: Isochore Druckerhöhung von 4 1, dv = 0 Abbildung 2: Otto Kreisprozess im pv-diagramm 2.1 Wärmemenge Q adiabatische Kompression: Q 12 = 0 isochore Druckerhöhung: Q 23 = C V (T 3 T 2 adiabatische Expansion: Q 34 = 0 isochore Druckerniedrigung: Q 41 = C V (T 1 T 4 Gesamt: Q gesamt = C V (T 3 T 2 + T 1 T Arbeit W adiabatische Kompression: W 12 = C V (T 2 T 1 isochore Druckerhöhung: W 23 = 0 adiabatische Expansion: W 34 = C V (T 4 T 3 isochore Druckerniedrigung: W 41 = 0

6 Otto Kreisprozess 6 Gesamt: W gesamt = C V (T 2 T 1 + T 4 T Innere Energie U adiabatische Kompression: U 12 = W 12 = C V (T 2 T 1 isochore Druckerhöhung: U 23 = Q 23 = C V (T 3 T 2 adiabatische Expansion: U 34 = W 34 = C V (T 4 T 3 isochore Druckerniedrigung: U 41 = Q 41 = C V (T 1 T 4 Gesamt: U gesamt = C V (T 2 T 1 + T 3 T 2 + T 4 T 3 + T 1 T 4 = 0 (1. HS erfüllt 2.4 Entropie S adiabatische Kompression: S 12 = 0 isochore Druckerhöhung: S 23 = C V ln (T 3 /T 2 adiabatische Expansion: S 34 = 0 isochore Druckerniedrigung: S 41 = C V ln (T 1 /T 4 ( T3 T 1 Gesamt: S gesamt = C V (ln (T 3 /T 2 + ln (T 1 /T 4 = C V ln T 2 T Wirkungsgrad η Allgemein ist der Wirkungsgrad η der Quotient aus geleisteter Arbeit und aufgenommener Wärmemenge. Daraus folgt: η := W gesamt Q warm = C V (T 2 T 1 + T 4 T 3 C V (T 3 T 2 = 1 + T 1 T 4 T 3 T 2 Es ist bekannt, dass für Adiabaten gilt T V c = const., woraus folgt: (2.1 T 1 V c 1 = const. = T 2 V c 2 und T 3 V c 3 = const. = T 4 V c 4 (2.2 Mit V 1 = V 4 und V 2 = V 3 ergibt sich: ( c V1 = T ( c 2 V3, = T 4 = T 1 T 1 V 2 V 4 Beziehung (2.3 in (2.1 eingesetzt liefert: ( V2 V 1 c T 1 T 2 = T 4 T 3 (2.3 η = 1 + T 1 T 4 T 3 T 2 = 1 + T 1 T 3 /T 2 T 4 /T 1 T 2 = 1 + T 1 (1 T 3 /T 2 T 2 (T 3 /T 2 1 = 1 T 1 T 2 (2.4 Da T 2 der kalten Temperatur und T 1 der warmen Temperatur entspricht, ist der η Otto < η Carnot und der 2. Hauptsatz erfüllt.

7 Zusammenfassung wichtiger Gleichungen 7 Prozess Isotherm Isobar Isochor Adiabatisch Konstant pv = const., T = const. V/T = const., p = const. p/t = const., V = const. Q = 0, S = const. Innere Energie U = Q + W U = 0 U = CV T U = CV T = Q U = CV T = W Wärmezufuhr Q = C T Q = W Q = Cp T Q = CV T Q = 0 Arbeit W = p dv W = nrt ln ( V 2 V1 W = pex (V2 V1 W = 0 W = U Entropie S = Q T S = nr ln ( V 2 V1 S = Cp ln ( T 2 T1 S = CV ln ( T 2 T1 S = 0

8 Weitere Kreisprozesse 8 Abbildung 3: Carnot Kreisprozess im pv-diagramm Abbildung 4: Stirling Kreisprozess im pv-diagramm

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