TEIL 12: BIVARIATE ANALYSE FÜR METRISCH SKALIERTE VARIABLEN

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1 TEIL 12: BIVARIATE ANALYSE FÜR METRISCH SKALIERTE VARIABLEN

2 Bivariate Analyse für metrisch skalierte Variablen Grundlagen Verfahren für metrische Daten nutzen den vollen mathematischen Informationsgehalt von Daten aus Denn nur mit metrischen Daten kann gerechnet werden z.b. kann das Nettoeinkommen in Euro : o addiert (bspw. zum Haushaltseinkommen zusammengerechnet werden, wenn die Personen dem selben Haushalt angehören) oder o multipliziert werden (bspw. mit einem Faktor, um in eine andere Währungseinheit umzurechnen)

3 Hier werden nur Zusammenhänge linearer Art behandelt, also je / desto -Beziehungen, die proportional beschaffen sind o Perfekter linearer Zusammenhang zw. und : Die Werte von können immer mit einem konstanten Faktor multiplizieren werden, um auf die Werte von zu kommen

4 Während sich die bivariate Verteilung zweier nominal- oder ordinalskalierter Variablen gut in einer Kreuztabelle veranschaulichen lässt, könnte dies bei metrischen Variablen ungünstig sein, wenn diese Variablen viele Werte aufweisen o Besser: Darstellung mit Hilfe eines Streudiagramms (zweidimensionales Koordinatensystem)

5 Streudiagramme und Visualisierungen von Zusammenhängen Zwei betrachtete Variablen und ergeben für jedes Objekt ein Wertepaar o Z.B. hat eine Person ein Einkommen von 1600 Eur ( = 1600) und eine Wohnfläche von 75 qm ( = 75) o Ein solches Wertepaar wird als Punkt [hier= ] in einem Koordinatensystem abgetragen Für alle Personen einer Stichprobe ergibt dies eine Punktewolke bzw. ein Streudiagramm

6 Beispiel: Dozent: Dawid Bekalarczyk

7 Positive lineare Zusammenhänge: Beziehung: je mehr (weniger), desto mehr (weniger) Positive Zusammenhänge werden mit einem positiven Vorzeichen versehen Das Streudiagramm ähnelt bei immer intensiveren Zusammenhängen immer mehr einer Geraden mit einer positiven Steigung

8 Beispiel: Dozent: Dawid Bekalarczyk

9 Negative lineare Zusammenhänge: Beziehung: je mehr (weniger), desto weniger (mehr) Negative Zusammenhänge werden mit einem negativen Vorzeichen versehen Das Streudiagramm ähnelt bei immer intensiveren Zusammenhängen immer mehr einer Geraden mit einer negativen Steigung

10 Beispiel: Dozent: Dawid Bekalarczyk

11 Kein Zusammenhang (statistische Unabhängigkeit): Zwischen und besteht keine Beziehung, ihre Werte streuen unabhängig voneinander Dies wird numerisch mit einer 0 bzw. einer Zahl nahe 0 zum Ausdruck gebracht Das Streudiagramm enthält einer chaotische Punktewolke, durch die schon nach Augenmaß keine sinnvolle Gerade gelegt werden kann

12 Beispiel: Dozent: Dawid Bekalarczyk

13 Andere nicht-lineare Zusammenhänge: Es sind diverse anders geartete Zusammenhänge denkbar, z.b.:

14 Die Kovarianz Funktioniert ähnlich der Idee der Varianz, nur hier wird die Variation zweier (!!!) Variablen und gleichzeitig betrachtet daher Kovarianz So wird ermittelt, inwieweit die Werte beider Variablen vom Mittelwert nach oben oder nach unten abweichen Auch die Information über die Größe der Abweichung von den Mittelwerten wird genutzt Wesentlich ist das Vorzeichen der Streuung, welches sich für jedes Wertepaar ergibt

15 Formel: 1 Cov = 1 Für jede Person wird das Produkt der beiden Abweichungen berechnet; dieses Produkt wird über alle Personen aufsummiert und durch die Anzahl der Personen geteilt 1 = Laufindex für die einzelnen untersuchten Fälle; stellt den letzten Fall dar und entspricht somit der Anzahl der untersuchten Fälle. und stehen jeweils für die arithmetischen Mittel der Variablen bzw..

16 Basisgraphik zum Verständnis der Kovarianz: Dozent: Dawid Bekalarczyk

17 Erläuterung der Grafik: Weichen beide Werte einer Person nach oben von den Mittelwerten ab, so befindet sich der Punkt dieser Person im positiven Feld rechts oben das Produkt der beiden Abweichungen ergibt eine positive Zahl Weichen beide Werte einer Person nach unten von den Mittelwerten ab, so befindet sich der Punkt dieser Person im positiven Feld links unten das Produkt der beiden Abweichungen ergibt ebenfalls eine positive Zahl

18 Weicht der x-wert nach oben und der y-wert nach unten ab, dann befindet sich die Person im negativen Feld rechts unten das Produkt der beiden Abweichungen ergibt eine negative Zahl Weicht der x-wert nach unten und der y-wert nach oben ab, dann befindet sich die Person im nagativen Feld links oben das Produkt der beiden Abweichungen ergibt ebenfalls eine negative Zahl

19 Deutung der Kovarianz: Überwiegt, zusammengerechnet, das positive Vorzeichen, dann ergibt die Kovarianz einen positiven Wert o Dies deutet auf einen positiven Zusammenhang hin (Personen aus positiven Feldern dominieren den Datensatz) o Analog dazu verhält es sich beim negativen Vorzeichen Gleichen sich beide Vorzeichen ungefähr zu 0 aus, dann deutet dies auf einen nicht vorhandenen Zusammenhang hin: o Die Punkte verteilen sich annähernd gleichmäßig auf alle vier Felder

20 Die Kovarianz ist eine unstandardisierte Maßzahl, da sie sich verändern würde, wenn die selben Variablen in anderen Maßeinheiten gemessen werden würden Somit dient nur das Vorzeichen als Hinweis für die Richtung des Zusammenhangs; eine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs lässt sich nicht treffen

21 Der Korrelationskoeffizient standardisiert die Kovarianz, normiert sie somit auf einen festen Wertebereich, welcher sich unabhängigg von den Maß- einheiten der Variablen immer zwischen -1 und +1 bewegt:

22 Die Standardisierung erfolgt, indem die Kovarianz durch das Produkt der Standardabweichungen beider Variablen geteilt wird: 2 = Cov 2 steht für die Standardabweichung der Variablen (entsprechend für ). Da sowohl die Kovarianz im Zähler als auch die beiden Standardabweichungen im Nenner die Maßeinheiten der beiden Variablen beinhalten, kürzen sich durch die Division die entsprechenden Maßeinheiten sozusagen heraus und es wird eine normierte Maßzahl erreicht.

23 Es lässt sich sowohl im Zähler als auch im Nenner herauskürzen: dies führt zur folgenden gekürzten Darstellung: = Cov = = = =

24 Möchte man ferner auf das Rechnen mit Mittelwerten verzichten, so lässt sich die alternative Formel nutzen: 3 = Alle drei Formeln führen logischerweise zum selben Ergebnis Anmerkung: Der Korrelationskoeffizient (sowie die Kovarianz) ist eine symmetrische Maßzahl (die Variablen x und y sind vertauschbar) 3 Hier wird aus Gründen der Übersichtlichkeit das Summenzeichen ohne Ober- und Untergrenze angezeigt. Es gilt: =

25 Deutung der Zahlenwerte innerhalb des Wertebereichs: Es herrscht keine eindeutige, mathematisch gerechtfertigte Vorgabe, ab welchem Wert von einem starken Zusammenhang gesprochen werden kann Es gibt nur einen ungefähren Konsens unter Wissenschaftlern: 0 bis 0,2 sehr niedrig 0,2 bis 0,4 niedrig 0,4 bis 0,7 mäßig 0,7 bis 0,9 hoch 0,9 bis 1 sehr hoch