Fuzzy Logik und negative Zahlen

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1 Fuzzy Logik und negative Zahlen Ablauf Unscharfe Mengen Fuzzyfizierung Fuzzy Operatoren Inferenz Defuzzyfizierung Ablauf Darstellung negativer Zahlen Vorzeichen und Betrag Exzess Einerkomplement Zweierkomplement Scharfe und unscharfe Mengen Gegeben Merkmalsraum X und A X. Lotfi Zadeh (*1921) Die Menge A wird als scharfe Menge bezeichnet, wenn die Zugehörigkeitsfunktion µ A (x) jedem Element den Wert 0 oder 1 zuweist: 1 für x A µ A (x): X {0, 1} = 0 für x A Die Menge A wird als unscharfe Menge bezeichnet, wenn die Zugehörigkeitsfunktion µ A (x) jedem Element einen Zugehörigkeitsgrad µ A (x) aus dem Intervall [0,1] zuordnet. Fuzzy Sets, Information and Control, Vol. 8, pp ,

2 Fuzzyfizierung Linguistische Variablen und Zugehörigkeitsfunktionen sehr kalt...0 kalt 0.5 kühl 0.5 µ(5)= warm. 0 sehr warm.0 heiß 0 sehr heiß.. 0 sehr kalt..0 kalt...0 kühl...0 µ(28)= warm.0.2 sehr warm 0.8 heiß.. 0 sehr heiß. 0 Fuzzy Operatoren (1) OR AND 2

3 Fuzzy Operatoren (2) weitere Interpretationen OR, AND NOT Regelbasis und Inferenz Regelbasis Produktionsregeln R 1, R 2, R n R k : IF p k THEN c k p k : Prämissen als Funktionen der Eingangsgrößen c k : Konklusionen als Aussagen über Ausgangsgrößen Inferenz 1. Zugehörigkeitsgrad der Prämisse ermitteln 2. Inferenz MAX-MIN OR max AND min Implikation min MAX-PROD max min 3. Vereinigungsmenge bilden 3

4 Heizungssteuerung Eingangsgröße 1 Eingangsgröße 2 Ausgangsgröße Heizungssteuerung Regelbasis AND Gradient Temperatur negativ null positiv sehr kalt ganz offen ganz offen offen kalt ganz offen offen offen warm mittel mittel zu heiß zu zu ganz zu sehr heiß zu ganz zu ganz zu IF Temperatur = sehr heiß AND Gradient = positiv THEN Ventil = ganz zu 4

5 Heizungssteuerung (cont.) IF Temperatur = kalt AND Gradient = negativ THEN Ventil = mittel IF Temperatur = sehr kalt OR Gradient = null THEN Ventil = offen Defuzzyfizierung Suchen des scharfen Wertes ξ s der Ausgangsgröße u Maximum Height ξ s = Wert mit maximaler Zugehörigkeitsfunktion einfaches Verfahren problematisch, wenn mehrere Maxima auftreten Mean-of-Maximum ξ s = arithmetisches Mittel aller Werte mit max. Zugehörigkeitsfunktion problematisch bei Plateauverläufen Center of Gravity ξ s = gesamter Verlauf der Zugehörigkeitsfunktion wird berücksichtigt 5

6 Heizungssteuerung (cont.) µ(ξ) f 3 (x) f 4 (x) f 1 (x) f 2 (x) f 5 (x) 30 ξ s ξ [%] Maximum Height: ξ s = beliebiger Wert aus [65,75] Mean-of-Maximum: ξ s = 70% Center of Gravity: ξ s = 64.21% Fuzzy Logik und negative Zahlen Ablauf Unscharfe Mengen Fuzzyfizierung Fuzzy Operatoren Inferenz Defuzzyfizierung Ablauf Darstellung negativer Zahlen Vorzeichen und Betrag Exzess Einerkomplement Zweierkomplement 6

7 Vorzeichen und Betrag VZ Betrag m m-1 m m -1 2 m m m m +1 2 m Bemerkungen: Zahl 0 mit positivem UND negativem VZ dargestellt! Vorzeichen bei arithmetischen Operationen getrennt zu behandeln! Vorzeichen und Betrag VZ Betrag Wie lautet die Darstellung der Zahlen +27 und -27? 7

8 Einerkomplement Negative Zahlen werden durch Ergänzung auf 2 m+1-1 ermittelt Oder einfacher: Negative Zahlen werden durch Vertauschen von 0 und 1 aus dem Betrag der Zahlen ermittelt werden m -1 2 m m +1 2 m m +2 2 m m m Bemerkungen: Zahl 0 mit positivem UND negativem VZ dargestellt Positive und negative Zahlen können am führenden Bit unterschieden werden Ordnungsrelation innerhalb positiver und negativer Zahlen bleibt erhalten Negative Zahlen rangieren hinter positiven Zahlen Einerkomplement Wie lautet die Darstellung der Zahlen +27 und -27? 8

9 Zweierkomplement Negative Zahlen werden durch Ergänzung auf 2 m+1 ermittelt Oder: binäre Ziffern der positiven Zahl von rechts nach links bis zur ersten 1 einschließlich kopieren und die restlichen Ziffern komplementieren Oder: zuerst Einerkomplement der positiven Zahl bilden und dieses um 1 inkrementieren m -1 2 m m 2 m m +1 2 m m m Bemerkungen: Positive und negative Zahlen können am führenden Bit unterschieden werden Ordnungsrelation innerhalb positiver und negativer Zahlen bleibt erhalten Negative Zahlen rangieren hinter positiven Zahlen Zweierkomplement Wie lautet die Darstellung der Zahlen +27 und -27? 9

10 Exzessdarstellung Zur Zahl z wird ein Exzess (q = 2 m ) addiert, so dass das Ergebnis w nicht negativ ist -2 m m m m m m -2 2 m m -1 2 m Bemerkungen: Null besitzt eindeutige Darstellung Abbildung ist ordnungserhaltend! Bei arithmetischen Operationen ist Exzess zu berücksichtigen Exzessdarstellung EX Wie lautet die Darstellung der Zahlen +27 und -27? 10

11 Einerkomplement (m=7) Es stehen 8 Bit zur Darstellung der Zahlen zur Verfügung! 18-9 = (+18) (- 9) (Überlauf) (+ 9) -9-9 = (- 9) (- 9) (Überlauf) (-18) = (-127) (- 9) (Überschreitung) Zahl nicht darstellbar! Zweierkomplement (m=7) Es stehen 8 Bit zur Darstellung der Zahlen zur Verfügung! 18-9 = (+18) (- 9) (Überlauf) (+ 9) -9-9 = (- 9) (- 9) (Überlauf) (-18) = (-127) (- 9) (Überschreitung) Zahl nicht darstellbar! 11