Messung und Vektoren. A: Aufgaben

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1 Messung und Vektoren Maßeinheiten Umrechnen von Einheiten Dimensionen physikalischer Größen Exponentialschreibweise und signifikante Stellen Vektoren und ihre Eigenschaften 1A A: Aufgaben Verständnisaufgaben A1.1 Welche der folgenden physikalischen Größen ist keine Grundgröße im SI-Einheitensystem? a) Masse, b) Länge, c) Energie, d) Zeit; e) alle genannten Größen sind solche Grundgrößen. A1.2 Am Ende einer Berechnung erhalten Sie m/s im Zähler und m/s 2 im Nenner. Wie lautet die endgültige Maßeinheit? a) m 2 /s 3,b)1/s,c)s 3 /m 2,d)s,e)m/s. A1.3 Wie viele signifikante Stellen hat die Dezimalzahl 0, ? a) eine, b) drei, c) vier, d) sieben, e) acht. A1.4 Richtig oder falsch? Zwei Größen müssen die gleiche Dimension haben, um miteinander multipliziert werden zu können. A1.5 Ein Vektor hat eine negative x-komponente und eine positive y-komponente. Dann liegt sein entgegen dem Uhrzeigersinn gegen die positive x-achse gemessener Winkel a) zwischen 0 und 90,b)zwischen90 und 180, c) über 180. A1.6 Lassen sich drei Vektoren mit dem gleichen Betrag so addieren, dass der Nullvektor erhalten wird? Wenn ja, fertigen Sie eine Skizze an. b) Wenn nein, erläutern Sie, weshalb nicht. Schätzungs- und Näherungsaufgaben A1.7 Die Annahme, dass der menschliche Körper im Wesentlichen aus Wasser besteht, ermöglicht einige gute Schätzungen. Ein Wassermolekül hat die Masse 29, kg. Schätzen Sie die Anzahl der Wassermoleküle eines Menschen mit einer Masse von 60 kg. A1.8 a) Schätzen Sie, wie viele Liter Benzin die Kraftfahrzeuge in den USA jeden Tag verbrauchen, sowie den Geldwert dieser Benzinmenge. b) Aus einem Barrel (knapp 159 l) Rohöl können ca. 73 l Benzin gewonnen werden. Wie viele Barrel Rohöl müssen die USA demnach zur Benzingewinnung jährlich einsetzen? Wie vielen Barrel Rohöl pro Tag entspricht das? A1.9 Das sogenannte Megabyte (MB) ist eine Maßeinheit für die Kapazität bzw. das Fassungsvermögen von Computerspeichern, CD-ROMs oder Musik- bzw. Sprach-CDs. Beispielsweise kann eine Musik-CD mit ihrer Speicherkapazität von 700 MB etwa 70 min Musik in HiFi-Qualität speichern. a) Wie viele MB werden für einen 5 min langen Musiktitel benötigt? b) Schätzen Sie, wie viele Romane auf einer CD-ROM gespeichert werden können, wenn pro Druckseite Text durchschnittlich 5 KB an Speicherplatz benötigt werden. Maßeinheiten A1.10 Drücken Sie die folgenden Werte mithilfe geeigneter Vorsätze aus. Beispiel: m = 10 km. a) W, b) 0,002 g, c) m, d) s. A1.11 In den folgenden Gleichungen wird die Strecke x in Metern, die Zeit t in Sekunden und die Geschwindigkeit v in Metern pro Sekunde angegeben. Welche SI-Einheiten haben jeweils die Konstanten C 1 und C 2?a)x = C 1 + C 2 t,b)x = 1 2 C 1 t 2, c) v 2 = 2 C 1 x,d)x = C 1 cos C 2 t,e)v 2 = 2 C 1 v (C 2 x) 2.

2 2 1 Messung und Vektoren Umrechnen von Einheiten A1.12 Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt bei normalen Bedingungen 343 m/s. Sie wird in der Luft- und Raumfahrt nach Ernst Mach als Mach 1 bezeichnet (man sagt auch: Die Mach-Zahl beträgt 1 ). Wie hoch ist in km/h die Geschwindigkeit eines Überschallflugzeugs, das mit Mach 2, also mit doppelter Schallgeschwindigkeit, fliegt? A1.13 Im Folgenden ist jeweils x in Metern, t in Sekunden, v in Metern pro Sekunde und a in Metern pro Sekunde zum Quadrat gegeben. Gesucht sind die SI-Einheiten der Ausdrücke a) v 2 /x, b) x/a, c) 1 2 at2. Dimensionen physikalischer Größen A1.14 Das Zeitgesetz für den radioaktiven Zerfall lautet n(t) = n 0 e λ t, wobei n 0 die Anzahl der radioaktiven Kerne zur Zeit t = 0 und n(t) die Anzahl der davon zum Zeitpunkt t verbliebenen Kerne sowie λ die sogenannte Zerfallskonstante ist. Welche Dimension hat λ? A1.15 Die SI-Einheit kg m/s 2 der Kraft wird Newton (N) genannt. Gesucht sind die Dimension und die SI-Einheit der Konstanten Γ im Newton schen Gravitationsgesetz F = Γ m 1 m 2 /r 2. A1.16 Der Impuls eines Körpers ist das Produkt aus seiner Geschwindigkeit und seiner Masse. Zeigen Sie, dass der Impuls die Dimension Kraft mal Zeit hat. A1.17 Wenn ein Gegenstand in der Luft fällt, dann übt diese eine Widerstandskraft F W aus, die proportional zum Produkt aus der Querschnittsfläche des Gegenstands und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit ist. Somit gilt F W = CAv 2, wobei C eine Konstante ist. Bestimmen Sie deren Dimension. Exponentialschreibweise und signifikante Stellen A1.18 Drücken Sie folgende Werte in der jeweils zusätzlich angegebenen Einheit in der Exponentialschreibweise aus: a) m = km, b) 12340,0 kw = MW, c) 54,32 ps = s, d) 3,0 m = mm. Vektoren und ihre Eigenschaften A1.20 BestimmenSiejeweilsdie x- und die y-komponente der folgenden drei Vektoren in der x-y-ebene: a) eines 10 m langen Verschiebungsvektors, der mit der +y-achse im Uhrzeigersinn einen Winkel von 30 bildet, b) eines Geschwindigkeitsvektors von 25 m/s, der mit der x-achse entgegen dem Uhrzeigersinn einen Winkel von 40 bildet, c) eines Kraftvektors von 40 N, der mit der y-achse entgegen dem Uhrzeigersinn einen Winkel von 120 bildet. A1.21 Gegeben sind die folgenden Kraftvektoren: A mit dem Betrag 25 N unter dem Winkel 30 im Uhrzeigersinn gegenüber der +x-achse und B mit dem Betrag 42 N unter dem Winkel 50 im Uhrzeigersinn gegenüber der +y-achse. a) Fertigen Sie eine Skizze an und schätzen Sie daran den Betrag und den Winkel eines Vektors C ab, der so gewählt wird, dass 2 A + C B ein Vektor mit dem Betrag 35 N ist, der in die +x-richtung weist. b) Wiederholen Sie die Aufgabe a, jedoch mithilfe des Komponentenverfahrens, und vergleichen Sie beide Ergebnisse. Allgemeine Aufgaben A1.22 Ein Eisenatomkern hat den Radius 5, m und die Masse 9, kg. a) Wie groß ist (in kg/m 3 )dasverhältnis der Masse zum Volumen? b) Angenommen, die Erde hätte das gleiche Masse-Volumen-Verhältnis. Wie groß wäre dann ihr Radius? (Die Masse der Erde beträgt 5, kg.) A1.23 Falls die durchschnittliche Dichte des Universums mindestens kg/m 3 beträgt, wird seine Expansion eines Tages aufhören und in eine Kontraktion umschlagen. a) Wie viele Elektronen pro Kubikmeter wären notwendig, um die kritische Dichte zu erzeugen? b) Wie viele Protonen pro Kubikmeter würden die kritische Dichte erzeugen? (m e = 9, kg, m P = 1, kg.) A1.24 Eine astronomische Einheit (1 AE) ist definiert als der mittlere Abstand 1, m der Mittelpunkte von Erde und Sonne. Ein Parsec (1 pc) ist der Radius eines Kreises, dessen Kreisbogen bei einem Zentriwinkel von einer Bogensekunde (= ) genau 1 AE lang ist (siehe Abbildung). Ein Lichtjahr ist die Entfernung, die das Licht in einem Jahr zurücklegt. a) Wie viele Parsec bilden eine astronomische Einheit? b) Wie viele Meter entsprechen einem Parsec? c) Wie viele Meter umfasst ein Lichtjahr? d) Wie viele astronomische Einheiten ergeben ein Lichtjahr? e) Wie viele Lichtjahre bilden ein Parsec? A1.19 Ein 7,00 Einheiten langer Vektor und ein 5,50 Einheiten langer Vektor werden addiert. Der Summenvektor hat eine Länge von 10,0 Einheiten. a) Zeigen Sie wenigstens eine Möglichkeit, die Vektoren grafisch zu addieren. b) Bestimmen Sie anhand der Skizze zu Teilaufgabe a den Winkel zwischen den beiden Ausgangsvektoren.

3 1 Aufgaben 3 A1.25 In der folgenden Tabelle sind die Umlaufzeiten T und die Radien r der Umlaufbahnen von vier Satelliten aufgeführt, die einen schweren Asteroiden mit hoher Dichte umkreisen. Umlaufzeit T, a 0,44 1,61 3,88 7,89 Radius r, Gm 0,088 0,208 0,374 0,600 a) Die Daten lassen sich durch die Formel T = Cr n beschreiben. Ermitteln Sie die Werte der Konstanten C und n. b)eswird ein fünfter Satellit mit einer Umlaufzeit von 6,20 a entdeckt. Bestimmen Sie mithilfe der in Teilaufgabe a ermittelten Formel den Radius der Umlaufbahn dieses Satelliten. A1.26 Die Schwingungsdauer T eines mathematischen Pendels hängt von seiner Länge l und von der Erdbeschleunigung g (Dimension l/t 2 ) ab. a) Ermitteln Sie eine einfache Kombination von l und g, die die Dimension der Zeit hat. b) Überprüfen Sie durch Messen der Schwingungsdauern (der Dauern für ein vollständiges Hin- und Herschwingen) eines Pendels bei zwei verschiedenen Pendellängen l die Abhängigkeit der Schwingungsdauer T von l. c) Die richtige Formel für T, l und g enthält eine Konstante, die ein Vielfaches von π ist und sich nicht aus der Dimensionsbetrachtung in Teilaufgabe a ergibt. Sie kann aber experimentell wie in Teilaufgabe b ermittelt werden, wenn g bekannt ist. Ermitteln Sie mit g = 9,81 m/s 2 und mithilfe Ihrer experimentellen Ergebnisse von Teilaufgabe b eine möglichst genaue Beziehung zwischen T, l und g. A1.27 Sie erblicken ein Flugzeug, das in einer Höhe von 5,0 km über dem Erdboden fliegt und sich momentan 1,5 km nördlich und 2,5 km östlich von Ihrem Standort befindet. a) Wie weit ist das Flugzeug von Ihnen entfernt? b) Welchen Winkel bildet Ihre Blickrichtung (in der horizontalen Ebene) mit der Nordrichtung? c) Drücken Sie den Ortsvektor des Flugzeugs (von Ihrem Standort aus) durch die Einheitsvektoren aus, wobei ˆx nach Osten, ŷ nach Norden und ẑ vertikal nach oben zeigt. d) Unter welchem Höhenwinkel (gegenüber der horizontal angenommenen Erdoberfläche) sehen Sie das Flugzeug?

4 1L Messung und Vektoren L: Lösungen L1.1 Die Masse, die Länge und die Zeit sind physikalische Grundgrößen im SI-Einheitensystem, die Energie dagegen nicht. Also ist Aussage c richtig. L1.2 Dividieren von m/s durch m/s 2 und Kürzen ergibt m/s m/s 2 = m s2 m s = s. Also ist Aussage d richtig. L1.3 Wir zählen die Stellen von links nach rechts, wobei Nullen links von der ersten von null verschiedenen Ziffer (d. h. führende Nullen ) nicht berücksichtigt werden. Die ersten vier Nullen, davon drei nach dem Komma, sind also nicht signifikant, während die Null am Schluss signifikant ist. Die Zahl hat daher vier signifikante Stellen (5130), sodass Aussage c richtig ist. L1.4 Falsch, denn beispielsweise der zurückgelegte Weg ergibt sich aus der Multiplikation von Geschwindigkeit (Länge pro Zeit) und verstrichener Zeit. L1.5 EinVektor mitnegativer x- und positiver y-komponente liegt im zweiten Quadranten. Also hat sein Winkel gegen die positive x-achse einen Wert zwischen 90 und 180, entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen. Damit ist Aussage b richtig. L1.6 Damit die Addition dreier gleicher Vektoren vom gleichen Betrag den Nullvektor ergibt, müssen sie ein Dreieck bilden; dieses ist gleichseitig, weil die Beträge der Vektoren gleich sind. Für die Vektoren A, B und C in der Abbildung gilt also A = B = C, aber auch A + B + C = 0. L1.7 Der Schätzwert für die Anzahl der Wassermoleküle ergibt sich ganz einfach aus dem Quotienten der Masse m des Menschen und der Masse eines Wassermoleküls: n = m 60 kg = m Molek. 29, kg/molek. = 2, Molek. L1.8 Die USA haben ca Einwohner. Wir nehmen an, dass eine durchschnittliche Familie mit vier Personen zwei PKWs hat, sodass es in den USA etwa 1, PKWs gibt. Wir verdoppeln die Zahl, um LKWs, Taxis, Busse usw. zu berücksichtigen, sodass wir von Fahrzeugen ausgehen. Weiter nehmen wir an, dass jedes Fahrzeug durchschnittlich 35 Liter Benzin pro Woche, also 5 Liter pro Tag, verbraucht. a) Der gesamte tägliche Benzinverbrauch ergibt sich daraus zu B = ( Fahrzeuge)(5 l/tag) = l/tag. Bei einem Preis von P = 0,80 $ pro Liter belaufen sich die täglichen Kosten K auf K = BP= ( l/tag)(0,80 $/l) = $/Tag 1,2Mrd.$/Tag. b) Die Anzahl n B der jährlich verbrauchten Barrel Rohöl ist der Quotient aus dem oben berechneten Benzinverbrauch, umgerechnet auf das Jahr, und der Anzahl n der Liter Benzin, die aus einem Barrel Rohöl hergestellt werden können. Wir rechnen weiterhin mit leicht gerundeten Werten, weil wir ja nur Schätzungen vornehmen. Wir erhalten schließlich n B = B n = ( l/tag) (365 Tage/Jahr) 73 l/barrel Barrel/Jahr. C B Wir rechnen die Barrel pro Jahr in Barrel pro Tag um: n B = Barrel/Jahr 365 Tage/Jahr Barrel/Tag. A L1.9 a) Die Anzahl der MB, die die CD insgesamt fasst, verhält sich zu ihrer Gesamtspieldauer wie die Anzahl n MB,Titel der

5 1 Lösungen 5 MB eines Titels zu dessen Dauer: 700 MB 70 min = n MB,Titel 5min. Damit ergibt sich 700 MB n MB,Titel = (5min) = 50 MB. 70 min b) Die Anzahl n R derromane, die die CD-ROM aufnehmenkann, ist der Quotient aus ihrer Speicherkapazität 700 MB und der für einenroman(r) benötigtenspeicherkapazität k R (die die Einheit MB/R oder KB/R hat): 700 MB n R =. k R Wie gegeben, beträgt der Speicherbedarf für eine Romanseite 5 KB. Wir nehmen dazu an, dass ein Roman durchschnittlich 200 Seiten hat. Damit beträgt der Speicherbedarf pro Roman k R = 200 (5KB/R) = 1000 KB/R. Wir müssen im Folgenden beachten, dass der Vorsatz M beim Speicherplatz nicht für den Faktor 10 6, sondern für den Faktor (und entsprechend der Vorsatz K nicht für den Faktor 10 3, sondern für den Faktor 1024) steht. Damit ergibt sich für die Anzahl der zu speichernden Romane 700 MB 700 MB 700 (1024 KB) n R = = = k R 1000 KB/R 1000 KB/R = 71, R. L1.10 a) W = 10 6 W = 1 MW, b) 0,002 g = g = 2mg, c) m = 3 μm, d) s = s = 30 ks. L1.11 Die SI-Einheit des Terms auf der rechten Seite der angegebenen Gleichungen ist jeweils gleich der Einheit der Größe auf der linken Seite. a) Da x in Metern angegeben wird, müssen C 1 und C 2 t ebenfalls die Einheit Meter (m) haben, sodass C 1 in m und C 2 in m/s anzugeben ist. Auf dem gleichen Weg finden wir: b) C 1 ist in m/s 2 anzugeben. c) Da v 2 die Einheit m 2 /s 2 hat, muss C 1 die Einheit m/s 2 haben. d) C 1 hat die Einheit m und C 2 die Einheit s 1.e)C 1 ist in m/s und C 2 in s 1 anzugeben. L1.12 Wir rechnen die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h um: v = 2 (343 m s 1 ) = 686 m s 1 ( = 686 m ) ( ) 1km ( s s ) = 2, km h 1. m h L1.13 a) Einsetzen und Kürzen ergibt für die Einheiten v 2 x : (m s 1 ) 2 = m2 m m s 2 = m s 2. b) Entsprechend erhalten wir x m a : m s 2 = s 2 = s. c) Die Konstante 1 2 ist dimensionslos und muss daher nicht berücksichtigt werden; somit ergibt sich 1 2 at2 : m s 2 s2 = m. L1.14 Da der Exponent dimensionslos sein muss, hat λ die Dimension t 1. L1.15 Wir lösen das Newton sche Gravitationsgesetz nach der Gravitationskonstanten Γ auf und setzen die bekannten Dimensionen der einzelnen Größen ein. Das ergibt für die Dimensionen [Γ ]= [F][r 2 ] [m 1 ][m 2 ] = ml t 2 l2 m 2 = l3 mt 2. Einsetzen der SI-Einheiten zeigt, dass die Gravitationskonstante Γ die Einheit m 3 kg 1 s 2 hat. L1.16 Die Masse hat die Dimension m und die Geschwindigkeit die Dimension lt 1. Damit ergibt sich für den Impuls die Dimension [m v] =mlt 1. Ferner hat die Kraft mit der Einheit kg m/s 2 die Dimension mlt 2. Daher ergibt sich für das Produkt aus Kraft und Zeit die Dimension [F t]=(mlt 2 ) t = mlt 1, die also mit der des Impulses übereinstimmt. L1.17 Wir lösen die gegebene Gleichung für die Widerstandskraft nach der Konstanten C auf: C = F W A v 2. Nun setzen wir die Dimensionen der Kraft, der Fläche und der Geschwindigkeit ein: [C] = [F W] [A][v] 2 = mlt 2 l 2 (lt 1 ) 2 = m l 3. L1.18 a) m = 1, m = 1, km. b) 12340,0 kw = 1, kw = 1, MW. c) 54,32 ps = 54, s = 5, s. d) 3,0 m = 3,0 m 103 mm 1m = 3,0 103 mm. L1.19 Den 7,00 Einheiten langen Vektor nennen wir A und den 5,50 Einheiten langen Vektor B. Der Summenvektor soll C sein. Da die Summe aus A und B 10,0 Einheiten lang sein soll, können die Vektoren nicht auf ein und derselben Geraden liegen, also nicht kollinear sein.

6 6 1 Messung und Vektoren a) Die Abbildung zeigt die Orientierungen der Vektoren. y v x x 40 C B v α θ v y A b) Nach dem Kosinussatz ist C 2 = A 2 + B 2 2 A B cos α. Das lösen wir nach α auf: Die Komponenten dieses Vektors sind v x = (25 m s 1 ) cos 220 = 19 m s 1, v y = (25 m s 1 ) sin 220 = 16 m s 1. c) Schließlich bildet der in der dritten Abbildung dargestellte Kraftvektor F mit der +x-achse einen Winkel von 30. α = acos A2 + B 2 C 2 2 A B y = acos (7,00)2 + (5,50) 2 (10,0) 2 2 7,00 5,50 = 105,6. F Der Winkel θ zwischen den Vektoren A und B ist also θ = 180 α = ,6 = x L1.20 Die Komponenten der Vektoren sind ihre Projektionen auf die x- bzw. auf die y-achse. Dabei ergibt sich jede Komponente aus der Länge des Vektors und dessen Winkel gegen die x- bzw. die y-achse. Die Komponenten dieses Vektors sind F x = (40 N) cos 30 = 35 N, F y = (40 N) sin 30 = 20 N. a) Die erste Abbildung zeigt, dass der Winkel des Verschiebungsvektors A gegen die x-achse 60 beträgt. A y y L1.21 a) Die Bedingung 2 A + C B = 35 ˆx stellen wir in der Abbildung möglichst maßstabsgerecht dar. y 30 A A x x 50 B 35xˆ 30 2A x Die Komponenten dieses Vektors sind C 50 A x = (10 m) cos 60 = 5,0 m, B A y = (10 m) sin 60 = 8,7 m. θ b) Der in der zweiten Abbildung dargestellte Geschwindigkeitsvektor, den wir v nennen, bildet mit der +x-achse einen Winkel von 220. Wir messendarin ab, dassder Vektor C näherungsweise den Betrag 57 N hat und dass der Winkel θ näherungsweise 68 beträgt.

7 1 Lösungen 7 b) Wir formulieren die Bedingung 2 A + C B = 35 ˆx für die jeweiligen Komponenten: 2 A x + C x B x = 35, 2 A y + C y B y = 0. Also gilt für die Komponenten von C C x = 35 2 A x + B x, C y = 2 A y + B y. Wir können sie berechnen, indem wir die Komponenten von A und von B einsetzen: C x = 35 N 2 [(25 N) cos 330 ]+(42 N) cos 40 = 23,9 N, C y = 2 [(25 N) sin 330 ]+(42 N) sin 40 = 52 N. Der Betrag des Vektors ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras: C = Cx 2 + C2 y = (23,9 N) 2 + (52,0 N) 2 = 57 N. Aus den geometrischen Gegebenheiten folgt für den Winkel θ, also für die Richtung des Vektors gegen die +x-achse: θ = atan C y = atan 52,0 N C x 23,9 N = 65. Die grafisch ermittelten Ergebnisse stimmen mit den analytisch berechneten gut überein. L1.22 a) Das Verhältnis der Masse zum Volumen ist die Dichte: ρ = m/ V. Wenn das Atom als kugelförmig angenommen wird, ist sein Volumen V = 4 3 π r 3. Damit ergibt sich ρ = m 4 3 π r = 3 m 3 4 π r 3 (1) = 3 ( 9, kg ) 4 π ( 5, m ) 3 = 1, kg m 3 = 1, kg m 3. b) Wir lösen Gleichung 1 nach r auf und erhalten für den hypothetischen Radius 3 m r = 3 4 π ρ = 3 (5, kg) 3 4 π (1, kg m 3 ) = 2,2 102 m. Die Erde hätte also einen Radius von nur 220 m! L1.23 a) Mit der Anzahl n e der Elektronen gilt gemäß der Definition der Dichte ρ = m V = n e m e n e und daher V V = ρ. (1) m e Einsetzen der Zahlenwerte liefert für die erforderliche Anzahldichte der Elektronen n e V = kg m 3 9, kg = 6, m m 3. b) Wir berechnen zunächst das Verhältnis der Elektronenmasse zur Protonenmasse: m e m P = 9, kg 1, kg = 5, Nun stellen wir die der Gleichung 1 entsprechende Beziehung für die Protonen auf: n P V = ρ. (2) m P Dividieren von Gleichung 2 durch Gleichung 1 ergibt bei gleicher Dichte n P /V n e /V = m e m P, also n P V = m e m P n e V. Einsetzen der zuvor ermittelten Zahlenwerte der beiden Brüche ergibt für die erforderliche Anzahldichte der Protonen n P V = (5, )(6, m 3 ) 4m 3. L1.24 a) Der Winkel ist der Quotient aus der Bogenlänge und dem Radius, sodass gilt: θ = s und somit s = r θ. (1) r Gesucht ist die Bogenlänge s in Parsec (Parallaxensekunden, pc), die 1 AE entspricht (das Zeichen bezeichnet Winkelminuten und das Zeichen Winkelsekunden): ( 1 s = (1pc)(1 )( 1 )( ) 2π rad ) = 4, pc. b) Hierfür lösenwir Gleichung1nachr aufundsetzendie gegebene Bogenlänge und den zugehörigen Winkel (1 Winkelsekunde) ein: r = s θ = 1, m ( 1 (1 )( 1 )( ) = 3, m 2π rad ) = 3, m. c) Die Strecke d ist das Produkt aus der Lichtgeschwindigkeit c und der Zeitspanne t: d = c t = (3, m s 1 )(1a)(3, s a 1 ) = 9, m = 9, m. d) Mit der Definition der astronomischen Einheit AE und dem Ergebnis von Teilaufgabe c erhalten wir für die Einheit Lichtjahr (1 c) a = (9, AE m) 1, m = 6, AE. e) Mit den Lösungen der Teilaufgaben b und c ergibt sich 1pc= (3, (1 c) a m) 9, = (3,26 c) a. m

8 8 1 Messung und Vektoren L1.25 a) Um die Konstante C zu ermitteln, tragen wir die Logarithmen der Umlaufzeiten T gegen die Logarithmen der Radien r auf. Hierfür bilden wir auf beiden Seiten der Gleichung T = Cr n den Logarithmus zur Basis 10: log T = log (Cr n ) = log C + log r n = n log r + log C. Dies ist eine Geradengleichung der Form y = mx+ b.diesteigung m dieser Geraden entspricht dem Exponenten n, und ihr Schnittpunkt b mit der y-achse entspricht log C. Die Gerade in der Abbildung wurde mit der Excel-Funktion Trendlinie hinzufügen erstellt, die mittels Regressionsanalyse die Ausgleichsgerade berechnet. log T 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-1,1-1,0-0,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0,3-0,2 log r Die Gleichung für die Ausgleichsgerade lautet log T = 1,5036 log r + 1,2311. Ihre Koeffizienten sind also n = 1,50, C = 10 1,2311 a Gm 3/2 = 17,0a Gm 3/2, und die gesuchte Funktion lautet T = (17,0a Gm 3/2 ) r 1,50. (1) Dabei istzu beachten, dass n dimensionslos ist, während sich für die Konstante C die Einheit a Gm 3/2 ergab, weil die Umlaufzeiten in a (der Einheit Jahr) und die Radien in Gm (der Einheit Gigameter) gegeben waren. b) Wir lösen Gleichung 1 nach dem Radius der Umlaufbahn des fünften Satelliten auf und setzen die Zahlenwerte ein: ( ) T 2/3 ( ) 6,20 a 2/3 r = 17,0a Gm 3/2 = 17,0a Gm 3/2 = 0,510 Gm = km. L1.26 a) Zunächst drücken wir die Schwingungsdauer T als Produkt der Pendellänge l und der Erdbeschleunigung g mit noch unbekannten Exponenten a und b sowie mit einer dimensionslosen Konstanten C aus: T = Cl a g b. (1) Weil C dimensionslos ist, gilt für die Dimensionen auf der rechten Seite [l] a [g] b =[t] und daher wegen [g] =[l]/[t 2 ] für die gesamte Gleichung ( ) l b t = l a t 2 bzw. t 1 = l a+b t 2b. Um beide Seiten leichter vergleichen zu können, fügen wir auf der linken Seite den Faktor l 0 hinzu, der ja gleich 1 ist: l 0 t 1 = l a+b t 2b. Nun können wir die Exponenten von l und die Exponenten von t auf beiden Seiten jeweils gleichsetzen. Das ergibt a + b = 0 sowie 2 b = 1. Also ist a = 1 2 und b = 1 2. Damit wird Gleichung 1 zu T = Cl 1/2 g 1/2 l = C g. (2) b) Wenn Sie beispielsweise zwei Pendel mit den Längen 1,0 m bzw. 0,50 m verwenden, erhalten Sie näherungsweise die Schwingungsdauern T 1m = 2,0 s und T 0,5 m = 1,4 s. c) Wir lösen Gleichung 2 nach der gesuchten Konstanten C auf und setzen die Werte l = 1,0 m und T 2,0 s ein: g 9,81 m s 2 C = T (2,0 s) = 6,26 2 π. l 1,0 m l Einsetzen in Gleichung 2 ergibt T 2 π g. L1.27 Wir bezeichnen in der Abbildung die Flughöhe des Flugzeugs mit h und seine horizontale Entfernung von Ihnen mit l. 1,5 km θ φ 2,5 km Ihr Standort N d l Flugzeug a) Wir wenden zweimal den Satz des Pythagoras an und erhalten für den Abstand des Flugzeugs von Ihnen [(2,5 d = l 2 + h 2 = km) 2 + (1,5 km) 2] + (5,0 km) 2 = 5,8 km. O h

9 1 Lösungen 9 b) Ihr Blickwinkel östlich der Nordrichtung ergibt sich aus dem Tangens der Vektorkomponenten: θ = atan 2,5 km 1,5 km = 59. d) Ihren Blickwinkel relativ zur Horizontalen berechnen wir aus der Höhe h und dem horizontalen Abstand l: φ = atan h l = atan 5,0 km (2,5 km) 2 + (1,5 km) 2 = 60. c) Der Ortsvektor des Flugzeugs relativ zu Ihnen ist d = (2,5 km) ˆx + (1,5 km) ŷ + (5,0 km) ẑ.

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